Παράγωγος κατά κατεύθυνση Για μια συνάρτηση f δύο μεταβλητών οι μερικές παράγωγοι ορίζονται ως εξής:

οι οποίες εκφράζουν τους οριακούς ρυθμούς μεταβολής στις τιμές της f(x,y), για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση των δύο αξόνων.

 Αν θεωρήσουμε μια μετατόπιση Δs στο xy-επίπεδο προς κατεύθυνση διαφορετική από την κατεύθυνση των δύο αξόνων, τότε η κατεύθυνση αυτή θα καθορίζεται από την γωνία θ που σχηματίζει με τον x-άξονα και αντιστοιχεί σε ταυτόχρονη μεταβολή των x και y κατά: Δx=Δs cosθ         και  Δy=Δs sinθ

Ορισμός Η παράγωγος της f κατά κατεύθυνση θ, στο σημείο (x,y) συμβολίζεται με Dθf(x,y) και ορίζεται ως το μέγεθος Dθf(x,y) =

       Παρατήρηση 1.  Όπως βλέπουμε στον προηγούμενο ορισμό η Dθf(x,y) εκφράζει τον οριακό ρυθμό μεταβολής στις τιμές της f για μετατοπίσεις στο xy-επίπεδο κατά την κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον x-άξονα.         

Dθf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ    Παρατήρηση 2. Από τον ορισμό έπεται ότι: διότι όταν Δs τείνει προς το 0 ,  τα Δx , Δy θα τείνουν προς το 0 και άρα  τα  n1 , n2  θα τείνουν προς το 0. Επομένως: Dθf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ

Παρατήρηση 3: Αν η γωνία θ παίρνει τιμή θ= ο ή θ= π/2 τότε ο τύπος Dθf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ θα διαμορφώνεται αντίστοιχα ως εξής: Αν θ =0, τότε D0f(x,y) = fx(x,y), διότι sin0 = 0 Αν θ = π/2, τότε Dπ/2f(x,y)= fy(x,y), διότι cos π/2=0

=(fx(x,y) i + fy(x,y)j ).(cosθ i + sinθ j)= Παρατήρηση 4: Εάν ονομάσουμε το διάνυσμα ∇f(x,y) = fx(x,y) i + fy (x,y)j,  διάνυσμα κλίσης της f στο (x,y), παρατηρούμε ότι: Dθf(x,y) = fx(x,y)cosθ + fy(x,y)sinθ= =(fx(x,y) i + fy(x,y)j ).(cosθ i  + sinθ j)= = ∇ ( f(x,y))(cosθ i  +sinθ j )  όπου (cosθ i  +sinθ j  ) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση θ.

Dθf(x,y)=|∇ f(x,y)|cosφ Όμως γνωρίζουμε από το διανυσματικό λογισμό ότι:   ∇( f(x,y))(cosθ i +sinθ j ) =|∇ f(x,y)|cosφ όπου φ η γωνία που σχηματίζει το  ∇  f(x,y) με την κατεύθυνση θ. Άρα: Dθf(x,y)=|∇ f(x,y)|cosφ και επομένως -|∇ f(x,y) | ≤ Dθf(x,y) ≤ | ∇ f(x,y) | Εάν φ=0        Dθf(x,y) = |∇ f(x,y)| Εάν φ=π        Dθf(x,y) = -|∇ f(x,y)|

Συμπεράσματα: H f(x,y) αυξάνεται περισσότερο προς την κατεύθυνση της κλίσης  ∇ f(x,y). H f(x,y) μειώνεται περισσότερο προς την αντίθετη κατεύθυνση του  ∇ f(x,y). Ο ρυθμός μεταβολής είναι μηδενικός όταν φ=π/2 ή φ=3π/2.

Παράδειγμα: Το ύψος h ενός βουνού στην θέση (x,y) περιγράφεται από την συνάρτηση h(x,y)=4e-x2 +3e-2y2. Αν ξεκινήσουμε από το σημείο (1,2), προς ποια κατεύθυνση πρέπει να αρχίσουμε να προχωράμε για να σκαρφαλώσουμε γρηγορότερα;

hy(x,y)=3e-2y2(-4y)= -12ye-2y2 Απάντηση: Θα βρούμε το διάνυσμα κλίσης της h(x,y) στο σημείο (1,2), οπότε έχουμε :  hx(x,y)=4e-x2 (-2x)=-8xe-x2     hy(x,y)=3e-2y2(-4y)= -12ye-2y2  Άρα    ∇ h(x,y) = (-8xe-x2) i  + (-12ye-2y2) j οπότε   ∇ h(1,2)=(-8e-1) i   + (-24e-8) j   δηλαδή αν ξεκινήσουμε από το σημείο (1,2), θα κινηθούμε ταχύτερα αν κινηθούμε προς την κατεύθυνση του διανύσματος της κλίσης ∇ h(1,2), διότι προς αυτή την κατεύθυνση οι τιμές της συνάρτησης της h(x,y) αυξάνονται με το γρηγορότερο ρυθμό.

ΑΣΚΗΣΗ 1. Για την συνάρτηση f(x,y)=4x2y να βρεθεί στο σημείο (-1 , 1) η κατεύθυνση προς την οποία η τιμή της f(x,y) αυξάνει με το γρηγορότερο ρυθμό.

Απάντηση: Η συνάρτηση αυξάνει με το γρηγορότερο ρυθμό κατά την κατεύθυνση του διανύσματος της κλίσης ∇ f σε κάποιο σημείο. Δηλαδή η μέγιστη αύξηση θα βρεθεί αν πάρουμε την κατευθυνόμενη παράγωγο κατά την κατεύθυνση της κλίσης, στο δεδομένο σημείο P(-1,1). Εδώ είναι ∇ f(x, y) =fx(x,y)∙i + fy(x,y)∙j = 8xy∙i +4x2∙j και στο σημείο (-1,1) είναι ∇ f(-1,1) = -8 i + 4 j

- Βρίσκουμε πρώτα το μέτρο της κλίσης: | ∇ f(-1,1) | = = = 4 Η κατευθυνόμενη παράγωγος δίνεται από τον τύπο Duf(x,y)= ∇ f(x,y)∙u0 , όπου u(α1, α2) είναι το δεδομένο διάνυσμα και u0 το αντίστοιχο μοναδιαίο u0 = (α1/|u| , α2/|u|). Άρα εδώ η κατευθυνόμενη παράγωγος θα είναι:

Εδώ θα έχουμε: u0 = ∇f(-1,1)∙/ |∇f(-1,1)| = = (- 8 i + 4 j)/4 = = -2i/ + j/ Και η κατευθυνόμενη παράγωγος θα είναι: Duf(-1,1) = (-8i + 4j)●(-2i/ + j/ )= (εσωτερικό γινόμενο) = -8∙ (-2/ ) + 4 ∙ 1/ = 20/ Duf(x,y)= ∇ f(x,y)|∙ u0