Ρομποτική Μάθημα 4ο «Κινηματική χειριστών» Ρομποτική Μάθημα 4ο «Κινηματική χειριστών» Γαστεράτος Αντώνιος, Επίκουρος Καθηγητής Εργαστήριο Ρομποτικής και Αυτοματισμών Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Σκοπός του μαθήματος Προσδιορισμός θέσης και προσανατολισμού των σημείων σύνδεσης ενός χειριστή Πώς μεταβάλλονται τα πλαίσια καθώς αρθρώνεται ο μηχανισμός Προσδιορισμός θέσης και προσανατολισμού του τελικού σημείου δράσης, σε σχέση με τη βάση του χειριστή

Ανασκόπηση Τύποι αρθρώσεων: Οι πρισματικές (P), στις οποίες η κίνηση είναι γραμμική μετατόπιση Οι περιστροφικές (R), στις οποίες η κίνηση είναι μια περιστροφή

Ανασκόπηση Βασικά πίνακα περιστροφής

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις του πίνακα περιστροφής Περιστροφή περί τον άξονα Χ κατά γωνία θ άξονα Υ κατά γωνία φ άξονα Ζ κατά γωνία ψ

Ανασκόπηση Ομογενής πίνακας μετασχηματισμού Πίνακας περιστροφής Διάνυσμα θέσης Κλιμάκωση

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις ομογενούς πίνακα 1. Μεταφορά 2. Περιστροφή

Ανασκόπηση Αναπαράσταση προσανατολισμού γωνίες roll, pitch, yaw γωνίες του Euler ZA ZA ZA Z’B Z’’B Z’’’B Y’’’B Z’B Z’’B Y’’B α Y’B Y’’B Y’B X’’’B YA X’’B YA YA γ X’’B X’B β X’B XA XA XA X’B Z’B ZA Z’B ZA ZA Z’’B Z’’B α Z’’’B Y’’’B Y’B Y’B Y’’B γ Y’’B β YA YA YA X’’B X’’’B X’B X’B X’’B XA XA XA

Σύνδεσμοι και αρθρώσεις Σύνδεσμοι (Links) 4 4 2 5 3 Αρθρώσεις (Joints) 5,6 Τελικό στοιχείο δράσης (End Effector) 2 1 1 Οι σύνδεσμοι αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 (βάση χειριστή) Βάση Ρομπότ

Σχηματικό διάγραμμα αρθρώσεων Πρισματικές (P) Περιστροφικές (R)

Σχηματικό διάγραμμα βραχίονα

το μήκος της κοινής καθέτου μεταξύ δύο διαδοχικών αξόνων Περιγραφή συνδέσμου Ένας σύνδεσμος θεωρείται ότι είναι ένα στερεό σώμα ρυθμίζει τη σχέση μεταξύ δύο διαδοχικών αξόνων του χειριστή Άξονας i Άξονας i-1 Μήκος συνδέσμου: το μήκος της κοινής καθέτου μεταξύ δύο διαδοχικών αξόνων ai-1 Στρέψη συνδέσμου: η γωνία που σχηματίζουν οι προβολές δύο διαδοχικών αξόνων, που πλαισιώνουν ένα σύνδεσμο, πάνω σε επίπεδο κάθετο στην κοινή κάθετο i-1

Ενδιάμεσοι σύνδεσμοι di ai θi ai-1 i-1 Άξονας i Άξονας i-1 Μετατόπιση συνδέσμου: η απόσταση από τον ένα σύνδεσμο στον επόμενο, πάνω στον κοινό άξονα σύνδεσμος i Άξονας i-1 σύνδεσμος i-1 di ai θi ai-1 Γωνία συνδέσμου: η γωνία περιστροφής περί τον κοινό άξονα, δύο διαδοχικών συνδέσμων i-1

Αρχικός και τελικός σύνδεσμος Τα χαρακτηριστικά του τελικού συνδέσμου τίθενται στο μηδέν Αν ο αρχικός σύνδεσμος είναι περιστροφικός η μηδενική θέση για τη θ1 μπορεί να επιλεχθεί τυχαία και η d1=0

Παράμετροι συνδέσμων Οποιοδήποτε ρομπότ μπορεί να περιγραφεί κινηματικά με τις τιμές τεσσάρων μεταβλητών για κάθε σύνδεσμο Όταν η άρθρωση είναι περιστροφική (πρισματική) η θi (di) ονομάζεται μεταβλητή άρθρωσης, ενώ οι υπόλοιπες τρεις είναι μεταβλητές συνδέσμου. Οι παράμετροι χρησιμοποιούνται για το σχηματισμό του συστήματος Denavit-Hartenberg, για τον υπολογισμό της κινηματικής του βραχίονα

Προσάρτηση πλαισίων σε συνδέσμους Προσδιορίζουμε τους άξονες των αρθρώσεων. Για τα βήματα 2 έως 5 εργαζόμαστε πάνω σε 2 διαδοχικούς από αυτούς (άξονες i και i+1) Προσδιορίζουμε την κοινή κάθετο μεταξύ των δύο αξόνων, ή το σημείο τομής τους (αν η κοινή κάθετος έχει μήκος 0). Στο σημείο που η κοινή κάθετος τέμνει τον άξονα i θέτουμε την αρχή του πλαισίου Η διεύθυνση του άξονα Ζi είναι κατά μήκος του άξονα της i-στης άρθρωσης

Προσάρτηση πλαισίων σε συνδέσμους (συνέχεια) Η διεύθυνση του άξονα Χi είναι κατά μήκος της κοινής καθέτου ή, αν το μήκος αυτής είναι μηδέν, τότε είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν οι δύο άξονες Η διεύθυνση του άξονα Υi προσδιορίζεται ώστε να σχηματίζεται ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων (κανόνας δεξιού χεριού) Τα πλαίσια {0} και {1} ταυτίζονται. Για το τελικό πλαίσιο {Ν} η διεύθυνση του άξονα ΧΝ επιλέγεται τυχαία

Περίληψη των παραμέτρων των συνδέσμων Θεωρώντας ένα πλαίσιο προσαρτημένο στον αντίστοιχο σύνδεσμο, τότε: ai : Η απόσταση από τον άξονα Ζi στον Zi+1 μετρημένη επί του άξονα Χi αi : Η γωνία από τον άξονα Ζi στον Zi+1 μετρημένη περί τον άξονα Χi di : Η απόσταση από τον άξονα Xi-1 στον Χi μετρημένη επί του άξονα Ζi θi : Η γωνία από τον άξονα Χi-1 στον Χi μετρημένη περί τον άξονα Ζi

Ο κανόνας των Denavit-Hartenberg Προσδιορισμός του πλαισίου βάσης: Προσδιορίζουμε το ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα βάσης (Χ0Υ0Ζ0) με αρχή στη βάση του χειριστή και τον άξονα Ζ0 παράλληλα στον άξονα κίνησης της άρθρωσης 1 Προσάρτηση πλαισίων σε καθένα από τους συνδέσμους σύμφωνα με τις προηγούμενες διαφάνειες Υπολογισμός των παραμέτρων των συνδέσμων

Παράδειγμα Στο Σχήμα παρουσιάζεται ένας χειριστής 3 βαθμών ελευθερίας RΡR. Είναι ένα κυλινδρικό ρομπότ, στο οποίο οι 2 πρώτοι βαθμοί ελευθερίας αντιστοιχούν στις πολικές συντεταγμένες, ενώ ο τρίτος αντιστοιχεί στο roll του καρπού. l2 l1

Παράδειγμα Τα πλαίσια {0} και {1} είναι ακριβώς τα ίδια στο σχήμα αυτό, γιατί ο βραχίονας σχεδιάστικε στη θέση θ1=0. Το πλαίσιο {0} παρόλο που δεν συμπίπτει με το πλαίσιο βάσης είναι σταθερό στο σύνδεσμο 0, δηλαδή επαρκεί το πλαίσιο {0} να είναι προσαρτημένο οπουδήποτε επί του σταθερού συνδέσμου 0. Επίσης και το τελικό πλαίσιο {Ν} μπορεί να προσαρτηθεί οπουδήποτε στον τελευταίο σύνδεσμο του βραχίονα. Οι σχέσεις των πλαισίων {0} και {Ν} με τα πλαίσια βάσης {Β} και τελικού σημείου δράσης {Ε} καθορίζονται στη συνέχεια Χ1 Χ2 Χ3 Ζ1 Ζ2 Ζ3

Παράδειγμα Πίνακας Denavit-Hartenberg Οι περιστροφικές αρθρώσεις έχουν ως άξονα περιστροφής τον άξονα Ζ του αντίστοιχου πλαισίου και ομοίως οι πρισματικοί ολισθαίνουν επί του Ζ. Στην περίπτωση που η άρθρωση είναι περιστροφική, η παράμετρος di είναι σταθερή και η θi μεταβλητή. Στην περίπτωση που η άρθρωση είναι πρισματική, η παράμετρος θi είναι σταθερή και η di μεταβλητή. Αν η d2 είναι μηδενική στην ελάχιστη έκταση του συνδέσμου, τότε τη πλαίσιο {2} πρέπει να τοποθετηθεί όπως φαίνεται στο σχήμα, έτσι ώστε η d2 να σχετίζεται με την πραγματική μετατόπιση. Η θ2 είναι 0 και η d2 μεταβλητή. Οι άξονες 1 και 2 τέμνονται και έτσι a1 =0. H γωνία αi πρέπει να είναι 90, ώστε περιστρέφοντας το Ζ1 να συμπίπτει με τον Ζ2. Χ1 Χ2 Χ3 Πίνακας Denavit-Hartenberg Ζ1 ‘Αρθρωση ai-1 αi-1 di θi 1 (θ1) 2 90o (d2) 3 l2 (θ3) Ζ2 Ζ3

Παράδειγμα 3 περιστροφικές αρθρώσεις a1 a2 d2 Z0, Ζ1 Z3 d2 X3 Z2 άρθρωση 1η άρθρωση 2η άρθρωση 3η 1ος σύνδεσμος 2ος σύνδεσμος {0}, {1} Υ0, Υ1 Χ0, Χ1 Υ2 Χ2 {2} {3} Πίνακας Denavit-Hartenberg l2 ‘Αρθρωση ai-1 αi-1 di θi 1 (θ1) 2 a1 (θ2) 3 a2 -90o d2 (θ3)

Παράδειγμα Στο σχήμα παρουσιάζεται ένας χειριστής RRR, στον οποίο οι άξονες 1 και 2 τέμνονται και οι 2 και 3 είναι παράλληλοι. l1 l2

Παράδειγμα Δύο πιθανές τοποθετήσεις των πλαισίων a1=0 α1=-90 d1=0 Ζ1 Χ2 Ζ1 Χ2 Ζ2 Ζ2 Χ1 Χ1 a1=0 α1=-90 d1=0 a2=l2 α2=0 d2=l1 θ2=- a1=0 α1=90 d1=0 a2=l2 α2=0 d2=-l1 θ2=+

Παράδειγμα Δύο ακόμη τοποθετήσεις των πλαισίων a1=0 α1=90 d1=0 a2=l2 Χ1 Ζ1 Χ2 Ζ1 Χ2 Χ1 Ζ2 Ζ2 a1=0 α1=90 d1=0 a2=l2 α2=0 d2=l1 θ2=+ a1=0 α1=-90 d1=0 a2=l2 α2=0 d2=-l1 θ2=-

Παράδειγμα Γενικά όταν οι άξονες Ζi και Ζi+1 τέμνονται, υπάρχουν δύο επιλογές για τον Χi. Στο παράδειγμα αυτό, επειδή τέμνονται οι άξονες 1 και 2, υπάρχουν δύο επιλογές για την κατεύθυνση του Χ1. Στην πραγματικότητα υπάρχουν 4 ακόμη επιλογές αν ο Ζ1 έχει κατεύθυνση προς τα κάτω

Μετασχηματισμός μεταξύ i-1 και i Περιστροφή (δεξιόστροφα) περί τον άξονα Zi-1 κατά γωνία θi έως ότου να ευθυγραμμιστούν οι άξονες Xi-1 και Xi. Μεταφορά κατά τον άξονα Zi-1 απόσταση di, έως ότου συμπέσουν οι άξονες Xi-1 και Xi . Μεταφορά κατά τον άξονα Xi απόσταση ai, έως ότου να συμπέσουν οι αρχές Oi-1 και Oi. Περιστροφή (δεξιόστροφα) περί τον άξονα Xi κατά γωνία αi, έως ότου τα δύο πλαίσια ταυτιστούν.

Μετασχηματισμός μεταξύ i-1 και i ΖP Xi di ΖQ XQ ai θi ai-1 XP ZR Zi-1 XR Xi-1 i-1

Μετασχηματισμός μεταξύ i-1 και i Ομογενής πίνακας

Μετασχηματισμός μεταξύ i-1 και i Ομογενής πίνακας

Παράδειγμα Αντικαθιστώντας τις παραμέτρους αυτές λαμβάνουμε Χ1 Χ2 Χ3 Ζ1 ‘Αρθρωση ai-1 αi-1 di θi 1 (θ1) 2 90o (d2) 3 l2 (θ3) Ζ2 Ζ3 Αντικαθιστώντας τις παραμέτρους αυτές λαμβάνουμε

Κινηματικές εξισώσεις χειριστή Ευθεία κινηματική Δεδομένων των μεταβλητών των αρθρώσεων Η θέση και ο προσανατολισμός του τελικού σημείου δράσης Ομογενής μετασχηματισμός Προσδιορίζει τη θέση του πλαισίου i σε σχέση με το σύστημα αναφοράς Το γινόμενο των επιμέρους πινάκων μετασχηματισμού Διάνυσμα θέσης Πίνακας περιστροφής

Quiz Να υπολογιστεί η ευθεία κινηματική, δεδομένου του ομογενούς πίνακα μετασχηματισμού ? γωνίες roll, pitch, yaw ή γωνίες Euler

Κινηματικό μοντέλο Αρίθμηση συνδέσμων και αρθρώσεων Τοποθέτηση πλαισίων Εύρεση παραμέτρων συνδέσμων Εφαρμογή του κανόνα Denavit-Hartenberg Υπολογισμός των επιμέρους πινάκων μετασχηματισμού Υπολογισμός του ομογενούς πίνακα μετασχηματισμού του χειριστή Υπολογισμός της θέσης και του προσανατολισμού του τελικού σημείου δράσης

Χώροι: Ενεργοποιητών, Αρθρώσεων, Καρτεσιανό Διάνυσμα αρθρώσεων: Στη γενική περίπτωση ένας ενεργοποιητής δεν κινεί μία άρθρωση, ούτε η θέση του είναι πάνω στην άρθρωση σε επόμενο μάθημα Καρτεσιανός χώρος Χώρος αρθρώσεων ενεργοποιητών Διδάχθηκαν σήμερα

Παράδειγμα a1 a2 d2 Z3 Z0, Ζ1 άρθρωση 3η X3 Υ0, Υ1 Υ2 {3} άρθρωση 1η άρθρωση 2η άρθρωση 3η 1ος σύνδεσμος 2ος σύνδεσμος {0}, {1} Υ0, Υ1 Χ0, Χ1 Υ2 Χ2 {2} {3} ‘Αρθρωση ai-1 αi-1 di θi 1 (θ1) 2 a1 (θ2) 3 a2 -90o d2 (θ3)

Παράδειγμα cosθi=cθi=ci sinθi=sθi=si

PUMA 560

PUMA 560

PUMA 560 Αριθμούμε τις αρθρώσεων Θέτουμε το πλαίσιο βάσης t Αριθμούμε τις αρθρώσεων Θέτουμε το πλαίσιο βάσης Θέτουμε τους άξονες Zi των αρθρώσεων Θέτουμε τους άξονες Xi και Yi:

Πίνακας Denavit-Hartenberg PUMA 560 Πίνακας Denavit-Hartenberg

PUMA 560

PUMA 560

Πλαίσια με καθιερωμένο όνομα {B} πλαίσιο βάσης {S} πλαίσιο σταθμού εργασίας {W} πλαίσιο τελικού σημείου δράσης {Τ} πλαίσιο εργαλείου {G} πλαίσιο στόχου {W} {T} {G} {Β} {S} Που είναι το εργαλείο;

Εργασία Για το κυλινδρικό ρομπότ του παρακάτω σχήματος να επιλύσετε το ευθύ κινηματικό πρόβλημα Άρθρωση 1η Άρθρωση 2η ΧΒ ΥΒ ΖΒ {Β}Β ΖΤ {Τ}Β Άρθρωση 3η Άρθρωση 4η ΥΤ ΧΤ l1

Ασκήσεις στο Matlab Για το χειριστή του σήματος, να υπολογίσετε τις παραμέτρους Denavit-Hartenberg (l1=4, l2=3 και l3=2) Τρέξτε την εντολή symintro, για να μάθετε τα βασικά για το Symbolic Toolbox (για περισσότερα “help symbolic”) Να υπολογίσετε τους επιμέρους πίνακες ii-1Τ και τον τελικό Η0Τ Με το Robotics Toolbox να κάνετε επαλήθευση των αποτελεσμάτων. Δοκιμάστε τις συναρτήσεις link, robot και fkine Ως το επόμενο μάθημα μόνο με ηλεκτρονικό ταχυδρομείο l 1 2 3 q x y {0} {H}

Ερωτήσεις