ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II Διάλεξη 1η Σειρές Fourier Καθ. Πέτρος Π. Γρουμπός

Μιγαδικοί Αριθμοί Στην ανάλυση σημάτων και συστημάτων πολλές φορές χειριζόμαστε μιγαδικούς αριθμούς. Οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να εκφραστούν είναι: X+jY |X+jY| ejθ Πλάτος και φάση !! Όπου το πλάτος του μιγαδικού είναι: Και η φάση του μιγαδικού Μιγαδικό επίπεδο

Σήματα και Φάσμα Κατηγοριοποίηση Σημάτων Αιτιοκρατικά (Deterministic) και Τυχαία (Random) σήματα - Η τιμή του σήματος είναι ή δεν είναι γνωστή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή Περιοδικά (Periodic) και Μη Περιοδικά (Nonperiodic) σήματα. Π.χ. x (t) είναι περιοδικό αν: x(t) = x(t+T0), −∞<t<∞ Analog (Continuous-Time) και Discrete Signals - x (t) υπάρχει συνέχεια στο συνεχές διάστημα (a, b) - Διακριτά ή Ψηφιακά σήματα x [n] = x(nTs), Ts είναι το χρονικό διάστημα δειγματοληψίας. Το σήμα υπάρχει σε συγκεκριμένες περιοδικές χρονικές στιγμές.

Ενέργεια και Ισχύς των Σημάτων Η ενέργεια που καταναλώνει ένα σήμα στο χρονικό διάστημα (-Τ/2, Τ/2) δίνεται από και η μέση ισχύς κατανάλωσης είναι Όταν Τ - >∞ το σήμα είναι ενεργειακό αν 0 < Εx<∞ όπου Σήμα είναι ισχύος αν 0 < Px<∞ όπου

Παλμός Δέλτα (Dirac) Συνάρτηση Μοναδιαίου Παλμού

Σειρές Fourier O Fourier και αργότερα ο Dirichlet έδειξαν ότι μία περιοδική συνάρτηση x(t) με περίοδο Τ που ικανοποιεί μερικές μάλλον ασθενείς συνθήκες μπορεί να αναπαρασταθεί σαν γραμμικός συνδυασμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων της μορφής: φ1n (t) = cos (nω0 t) n=0,2,… φ2n (t) = sin (nω0 t) n=1,2,… Όπου ω0 = 2π/Τ. Δηλαδή (1) Η σχέση ονομάζεται πρώτη τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier, ένα περιοδικό σήμα x(t) με περίοδο Τ μπορεί να θεωρηθεί σαν το αποτέλεσμα της υπέρθεσης άπειρων ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών σημάτων με (κυκλικές) συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της (κυκλικής) συχνότητας ω0 = 2π/Τ του σήματος x(t). Οι όροι a1cos(ω0t) και b1sin(ω0t) ονομάζονται θεμελιώδεις συνιστώσες (fundamental components) του σήματος ενώ οι όροι ancos(nω0t)και bnsin(nω0t) για n≥2 ονομάζονται n-στες αρμονικές συνιστώσες (harmonic components).

Επειδή Η σχέση (1) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στη μορφή Όπου (2) (3) (4) (5)

Στην περίπτωση αυτή, η θεμελιώδης συνιστώσα εκφράζεται από τον όρο A1cos(ω0t +φ1 ) ενώ οι αρμονικές από τους όρους An cos( nω0t +φn ) για n≥2 . Η σχέση (2) είναι γνωστή σαν η δεύτερη τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier. Τέλος, λαμβάνοντας υπ’όψιν ότι είναι φανερό ότι η σειρά (1) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα σαν γραμμικός συνδυασμός μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της μορφής Όπου ω0 = 2π/Τ. Δηλαδή (6) Όπου (7)

Η σχέση (6) είναι γνωστή σαν η εκθετική μορφή της σειράς Fourier. Απομένει να δούμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τους άγνωστους συντελεστές της σειράς Fourier. Ας υποθέσουμε ότι για ένα περιοδικό σήμα x(t) με περίοδο Τ υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί Χn τέτοιοι ώστε η σχέση Με ω0 = 2π/Τ να ικανοποιείται σχεδόν παντού. Από την σχέση αυτή με πολλαπλασιασμό των δύο μελών επί προκύπτει ότι (8)

Τέλος, με ολοκλήρωση σε διάστημα μίας περιόδου καταλήγουμε στην σχέση (9)

και για n≠m ισχύει ότι Και για n=m

Από τη σχέση (9) προκύπτει ότι (10) Συνδυάζοντας την σχέση (10) με τη σχέση (7) μπορούμε να υπολογίσουμε και τις σχέσεις υπολογισμού των συντελεστών των τριγωνομετρικών μορφών των σειρών Fourier: (11) (12) (13)

(14) (15) (16)

1o Παράδειγμα Σειρών Fourier περίοδο Τ0, που ορίζεται από την

2o Παράδειγμα Σειρών Fourier Ο συρμός παλμικών σημάτων διάρκειας Δ είναι μία περιοδική συνάρτηση x(t) με περίοδο Τ και συμπεριφορά σε μία περίοδο που περιγράφεται από την σχέση Το σήμα αυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 1 Σχήμα 1: Συρμός παλμικών σημάτων

Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier υπολογίζονται ως εξής Άρα

Οι ισοδύναμες τριγωνομετρικές μορφές των σειρών Fourier του σήματος υπολογίζονται από τις σχέσεις (11)-(16):

Συνθήκες σύγκλισης σειράς Fourier α) Η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών πρώτου είδους στο διάστημα μίας περιόδου. β) Η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ακροτάτων στο διάστημα μίας περιόδου γ) Η συνάρτηση είναι απολύτως ολοκληρώσιμη, δηλαδή

Έστω ότι σε ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) επιβάλλεται σαν είσοδος το εκθετικό σήμα Η απόκριση του συστήματος θα είναι

Άρα y(t)=H(s)u(t) Όπου Συνεπώς η απόκριση γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος σε εκθετική διέγερση είναι η ίδια εκθετική διέγερση πολλαπλασιασμένη με ένα (εν γένει) μιγαδικό αριθμό H(s).