ΘΕΜΑ: ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΛΥΒΑ ΣΟΦΙΑ-ΕΛΕΝΗ ΚΟΥΣΑΝΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΧΟΛΕΙΟ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Γλένης Σπύρος ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Σύνδεση με το Αναλυτικό Πρόγραμμα Α΄-Γ΄Δημοτικού: εξάσκηση με αφαιρέσεις φυσικών αριθμών έως τεσσάρων ψηφίων Δ΄ Δημοτικού: η πρόσθεση και η αφαίρεση ως αντίστροφες πράξεις, επαλήθευση στους υπολογισμούς, εισαγωγή δεκαδικών αριθμών Ε΄ Δημοτικού: αφαιρέσεις με κλάσματα ΣΤ΄ Δημοτικού: ευχέρεια στην εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων με φυσικούς, δεκαδικούς και κλασματικούς αριθμούς, μεικτές αριθμητικές παραστάσεις, ιδιότητες των πράξεων

Α' Γυμνασίου: Κατανόηση της ανάγκης εισαγωγής αρνητικών αριθμών μέσω δραστηριοτήτων που επιδέχονται αντίθεση (π.χ. θερμοκρασία, κέρδος-ζημία) Ευθεία των ρητών αριθμών, απόλυτη τιμή, αντίθετοι αριθμοί Εισάγεται ο αλγόριθμος της πρόσθεσης ρητών και οι ιδιότητές του Ακολουθεί ο κανόνας της αφαίρεσης ρητών αριθμών ως πρόσθεση με τον αντίθετο Τι ακολουθεί; Η βαθιά κατανόηση αλλά και η υπολογιστική ευχέρεια στην αφαίρεση (και στις υπόλοιπες πράξεις) αποτελεί εφαλτήριο για το χειρισμό αλγεβρικών διαδικασιών σε όλες τις μετέπειτα τάξεις

Το επίπεδο χειρισμού και κατανόησης της αφαίρεσης Οι μαθητές λύνουν με επιτυχία την αφαίρεση που περιέχεται σε ένα πρόβλημα όταν τους δίνεται η αντίστοιχη αλγεβρική παράσταση Δυσκολεύονται να τοποθετήσουν τους όρους της αφαίρεσης στη σωστή σειρά-παράδειγμα προϋπολογισμού Προβληματίζονται πάνω στο ρόλο και στην ερμηνεία του αρνητικού πρόσημου

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΡΙΣΙΜΟΥ ΣΥΜΒΑΝΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΚΡΙΣΙΜΟΥ ΣΥΜΒΑΝΤΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: «Εδώ να είμαστε λίγο αυστηροί με τους κανόνες. Τελικά έχουμε να κάνουμε μόνο με πρόσθεση, αφού η αφαίρεση ισοδυναμεί με πρόσθεση. Εδώ τι να κάνω;» 10 π.μ. 12 π.μ. Διαφορά θερμο-κρασίας -1,5 -3,7 ?

10 π.μ. → 12 π.μ. ΜΑΘΗΤΗΣ: « Είναι -1,5...(παύση)» ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: « Αρνείστε πεισματικά το ''τελικό μείον αρχικό''. Μας ενδιαφέρει το βέλος του χρόνου!» 10 π.μ. → 12 π.μ. ΜΑΘΗΤΗΣ:«Ααα ναι...(-3,7)-(-1,5)=(-3,7)+(+1,5)=-2,2»

Γιατί το επεισόδιο χαρακτηρίζεται κρίσιμο; Γιατί το επεισόδιο χαρακτηρίζεται κρίσιμο; Αποτελεί καμπή για την κατανόηση των μαθητών Παρότι ο εκπαιδευτικός είχε εξηγήσει τον κανόνα ''τελικό μείον αρχικό'', οι μαθητές αδυνατούσαν να τον εφαρμόσουν σε πραγματικά προβλήματα. Τότε, ο καθηγητής αποφάσισε να αποδώσει γραφικά το συλλογισμό με την χρήση του βέλους του χρόνου.

Ερμηνεία του κρίσιμου συμβάντος Σχετική ευκολία των μαθητών στην εκτέλεση αφαιρέσεων και γενικότερα πράξεων Παρουσίαση προβλημάτων στην μαθηματική απόδοση της έκφρασης «διαφορά θερμοκρασίας»

Δυσκολία στην επέκταση της αφαίρεσης από τους φυσικούς στους ρητούς Επιστημολογικό εμπόδιο η μοντελοποίηση προβλημάτων της καθημερινής ζωής Υπερπήδηση του εμποδίου μέσω πολλαπλών προσεγγίσεων - αλγεβρική έκφραση και οπτικοποίηση

Διαχείριση της διδακτικής κατάστασης από τον εκπαιδευτικό Διαχείριση της διδακτικής κατάστασης από τον εκπαιδευτικό Ο καθηγητής για να ελέγξει την κατανόηση της αφαί- ρεσης των ρητών αριθμών, εστιάζει στη μοντελοποίηση προβλημάτων και όχι στο διαδικαστικό κομμάτι της Δίνει έμφαση στη συλλογιστική πορεία και όχι στο σωστό ή λανθασμένο αποτέλεσμα Επιλέγει παραδείγματα με γνώμονα τη δημιουργία πολ- λαπλών συνδέσεων με περιοχές της Φυσικής και των Οικονομικών (θερμοκρασία, προϋπολογισμοί διαδοχικών ετών, ισολογισμός εσόδων-εξόδων) Απόφαση της στιγμής: Εισάγει το «βέλος του χρόνου»

Η δική μας προσέγγιση Αποφυγή σύνθετων καταστάσεων και λέξεων-Αντικατάσταση με πιο οικείες έννοιες για τους μαθητές, όπως το χαρτζιλίκι Εισαγωγή της «χρονογραμμής» στο παράδειγμα της θερμοκρασίας

Η έρευνα Διδακτικής για την αφαίρεση ρητών Η έρευνα Διδακτικής για την αφαίρεση ρητών Η γλώσσα και η επιρροή της στην κατανόηση των μαθητών Δικλείδες ελέγχου των αποτελεσμάτων-πολλαπλές αναπαραστάσεις Ιστορική αναδρομή- αποκαλύπτει πιθανά λάθη στην κατανόηση ρητών

Δυσκολία αποτελεί η τριπλή σημασία του συμβόλου « - » ως πρόσημο, ως δηλωτικό του αντίθετου και ως σύμβολο της αφαίρεσης Ο Freudenthal (1973) προτείνει ένα γεωμετρικό μοντέλο, από σημεία στην αριθμογραμμή έως βέλη.

Πηγές Κυπριανού, Δ., Χατζηνικολάου, Π. & Γαγάτζης, Α.: Το διδακτικό συμβόλαιο στη γεωμετρία: http://www.math.uoa.gr/me/faculty/spirou /Spyrou%209.pdf Γαβριήλ, Ά., (2014): Το πρόβλημα της διδασκαλίας και μάθησης των αρνητικών αριθμών και ο ρόλος της Ιστορίας των Μαθηματικών στην αντιμετώπισή του, Διπλωματική Εργασία, ΕΚΠΑ & Παν. Κύπρου, σελίδες 33-48

Ευχαριστούμε για την παρακολούθηση! Εαρινό εξάμηνο 2016-2017