Ψηφιακές Επικοινωνίες ΙΙ Η Σχεδίαση Βέλτιστου Ανιχνευτή Επίκουρος Καθηγητής Βασίλης Στυλιανάκης Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστημίου Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1

Η Σχεδίαση του Βέλτιστου Ανιχνευτή Μεγιστοποίηση της πιθανότητας ορθής απόφασης βάσει του ληφθέντος σήματος r O κανόνας συνίσταται στην επιλογή του σήματος με τη μέγιστη εκ των υστέρων (posterior) πιθανότητα Κριτήριο της Μέγιστης Εκ Των Υστέρων Πιθανότητας (Maximum a posterior Probability - MAP) P(sm|r)≣P(μετάδοσης του sm |r), m = 1, 2, …, M

Βέλτιστος Ανιχνευτής Σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes Ο παρονομαστής είναι ανεξάρτητος της επιλογής του λαμβανομένου σήματος Εάν τα σήματα έχουν σταθερή εκ των προτέρων πιθανότητα , η πιθανότητα μεγιστοποιείται όπως και η κατανομή

Απλοποίηση του Κριτηρίου MAP Η μεγιστοποίηση του Οδηγεί στην ελαχιστοποίηση του ή στην ελαχιστοποίηση του ή στη μεγιστοποίηση του

Σε Κανάλια με Περιορισμένο Εύρος Ζώνης και AWGN Θόρυβο Στα σήματα μερικής απόκρισης ενυπάρχει μνήμη που οδηγεί σε διαφορικές αποφάσεις Δύο τύποι ανιχνευτή Ο ανά Σύμβολο Ανιχνευτής Ο Ακολουθιακός Ανιχνευτής

Ο ανά Σύμβολο Ανιχνευτής Ο Ανιχνευτής αποφασίζει με την παρατήρηση κάθε μεμονωμένου συμβόλου με τη χρήση κατωφλίων Στα σήματα μερικής απόκρισης ενυπάρχει μνήμη που οδηγεί σε διαφορικές αποφάσεις Παράδειγμα, στον διπλοδυαδικό παλμό Συνεπώς κίνδυνος διάδοσης των σφαλμάτων Λύση η Προκωδικοποίηση

Διπλοδυαδικός Παλμός Χωρίς το θόρυβο

Τροποποιημένος Διπλοδυαδικός Παλμός Χωρίς το θόρυβο

Ο Ακολουθιακός Ανιχνευτής Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum-Likelihood Sequence Detector) Χρησιμοποιεί μία ακολουθία ληφθέντων σημάτων ως διάνυσμα Συγκρίνει το διάνυσμα αυτό με όλα τα διανύσματα που είναι πιθανόν να έχουν εκμπεμφθεί από τον πομπό. Η εκθετική εξάρτηση από τον αριθμό των χρονικών διανυσμάτων αποφεύγεται με τη χρήση του αλγορίθμου Viterbi, ο οποίος κρατά την εξάρτηση γραμμική. Η μελέτη του ακολουθιακού ανιχνευτή γίνεται με τη βοήθεια των διαγραμμάτων Trellis (πλέγμα)

Το Διάγραμμα Καταστάσεων του NRZI Με είσοδο το 0 η κατάσταση παραμένει η ίδια, με 1 η κατάσταση αλλάζει. 1

To Trellis του NRZI Το Trellis περιέχει την ίδια πληροφορία με το διάγραμμα μεταβάσεων καταστάσεων S0 S1

Trellis Τεσσάρων Καταστάσεων

Εύρεση της Βέλτιστης Διαδρομής Επιλέγεται η διαδρομή που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση Το μετρικό σε κάθε επόμενη χρονική στιγμή δειγματοληψίας υπολογίζεται με την επέκταση του προηγούμενο

Η Έξοδος του Προσαρμοσμένου Φίλτρου του NRZI

Η από Κοινού Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας μίας Ακολουθίας Εξόδου του NRZI Η από κοινού Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (pdf) μίας ακολουθίας εξόδου του προσαρμοσμένου φίλτρου με μεταδοθείσα την ακολουθία : m = 1,2,…M (M σύμβολα)

Ο Ανιχνευτής Ακολουθίας Μέγιστης Πιθανοφάνειας

Σύγκριση των Πιθανών Διαδρομών Υποθέτουμε ότι ξεκινάμε στην t = 0: κατάσταση S0 t=T: t=2T: Στην κατάσταση S0 στην t=2T εισέρχονται τα bits (0,0)&(1,1) με αντίστοιχα σημεία σήματος Στην κατάσταση S1 στην t=2T εισέρχονται τα bits (0,1)&(1,0) S0 S1

Εύρεση Επιζωσών Διαδρομών Σύγκριση Ευκλειδίων Αποστάσεων Είσοδος στην S0 Είσοδος στην S1 Επιλέγεται μία διαδρομή για κάθε κατάσταση

Εύρεση Επιζωσών στην Τρίτη Χρονική Στιγμή Στην t=3T εισέρχονται στην S0 στην S1 Επιλέγεται μία διαδρομή για κάθε κατάσταση

Η Σχεδίαση των Βέλτιστων Φίλτρων Φάσμα Ισχύος του Θορύβου SW(f) g(t) Σήμα Παλμού w(t) x(t) h(t) y(t) t = T y(T) Προσαρμοσμένο Φίλτρο f

Υπολογισμός του Προσαρμοσμένου Φίλτρου Η κρουστική συνάρτηση που μεγιστοποιεί το SNR h Η ανισότητα Schwartz Διανυσματική Στις συναρτήσεις : Μεγιστοποίηση όταν a θ b

Υπολογισμός του Προσαρμοσμένου Φίλτρου

Προσαρμοσμένο Φίλτρο Κρουστική Απόκριση hopt(t) = k g*(T - t) Εξαρτάται από την περίοδο του παλμού T, το σχήμα του μεταδιδόμενου παλμού g(t) και το κέρδος k Η διάρκεια και το σχήμα καθορίζονται από το g(t) Η Μετιστοποίηση του SNR Ανεξάρτητη από το σχήμα του g(t) Ανάλογη προς την ενέργια ανα bit Eb Αντιστόφως ανάλογη προς τη φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου

Σχεδίαση των Φίλτρων Μετάδοσης και Λήψης Μηδενική ISI Όταν τα φίλτρα μετάδοσης και λήψης μοιράζονται τα ίδια φασματικά χαρακτηριστικά Ο Ισοσταθμιστής αναλαμβάνει τη χαρακτηριστική του καναλιού

Βέλτιστα Φίλτρα Στα δυαδικά ισοπίθανα σήματα ΌπουVo και V1 οι λαμβανόμενες τιμές του ‘0’ και ‘1’ και sv η τυπική απόκλιση του θορύβου Η ελαχιστοποίηση του ελαχιστοποιεί το BER Επειδή η Q(.) είναι μονοτονική συνάρτηση του ορίσματός της

Βέλτιστα Φίλτρα Δυαδική PAM με επίπεδα A1 and A2 και μηδενική ISI Μεγιστοποίηση A1, A2, pR(0) είναι σταθερά, οπότε Ελαχιστοποίηση του ή Μεγιστοποίηση του

Βέλτιστα Φίλτρα Φασματική Πυκνότητα Ισχύος του Θορύβου Η ισχύς του θορύβου n(t) v(t) HR(w) N (w) Sv(w)

Βέλτιστα Φίλτρα Από το θεώρημα του Paserval

Βέλτιστα Φίλτρα Ή Ελαχιστοποίηση του

Βέλτιστα Φίλτρα Από την ανισότητα του Schwartz Με ισότητα όταν

Βέλτιστα Φίλτρα Έτσι Όλοι οι όροι στο ολοκλήρωμα δεξιά είναι σταθεροί, άρα ελαχιστοποίηση όταν

Βέλτιστα Φίλτρα Εάν λ = 1 Φίλτρο Μετάδοσης Φίλτρο Λήψης

Βέλτιστο Φίλτρο σε Λευκό Θόρυβο Λευκός Θόρυβος

Σχεδίαση Φίλτρων Δυαδικό Σύστημα μετάδοσης με ρυθμός 3kb/s με παλμό υψωμένου συνημιτόνου (RC) με συντελεστή εξομάλυνσης στα 1500 Hz. Θόρυβος με ομοιόμορφη psd και επίπεδη απόκριση συχνότητας 3Hz έως 3kHz.

Παράδειγμα Απόκριση Συχνότητας HC(f) HC(w) f (Hz) w (rad/s) -3000 f (Hz) w (rad/s) -3000 -2p3000 3000 2p3000

Η Συνάρτηση Υψωμένου Συνημίτονου PR(f) T f (Hz)

Συντελεστής Εξομάλυνσης b=1/2T=1500 Hz PR(f) T f (Hz) 1500 3000 2p1500 2p3000 w(rad/s)

Τα Φίλτρα Έτσι No και HC(f) σταθερά

Τα Φίλτρα Συνεπώς , α αυθαίρετη σταθερά Παρομοίως,

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 41

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. 43

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιον Πατρών, Βασίλης Στυλιανάκης. «Ψηφιακές Επικοινωνίες IΙ. Η Σχεδίαση του Βέλτιστου Ανιχνευτή». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=EE900 44

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. [1] http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 45

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 46