Ρομποτική Μάθημα 7ο «Σχεδιασμός τροχιάς και έλεγχος» Ρομποτική Μάθημα 7ο «Σχεδιασμός τροχιάς και έλεγχος» Γαστεράτος Αντώνιος, Επίκουρος Καθηγητής Εργαστήριο Ρομποτικής και Αυτοματισμών Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Σκοπός του μαθήματος Υπολογισμός της επιθυμητής κίνησης του ρομπότ στο χώρο Μέθοδοι προσδιορισμού της επιθυμητής τροχιάς κατά τη διάρκεια του χρόνου Τρόποι επιλογής της επιθυμητής τροχιάς Δυνατότητα προσδιορισμού των τροχιών με απλή περιγραφή της επιθυμητής κίνησης Έλεγχος ρομποτικών συστημάτων

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις του πίνακα περιστροφής Περιστροφή περί τον άξονα Χ κατά γωνία θ άξονα Υ κατά γωνία φ άξονα Ζ κατά γωνία ψ

Ανασκόπηση Ομογενής πίνακας μετασχηματισμού Πίνακας περιστροφής Διάνυσμα θέσης Κλιμάκωση

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις ομογενούς πίνακα 1. Μεταφορά 2. Περιστροφή

Ανασκόπηση Αναπαράσταση προσανατολισμού γωνίες roll, pitch, yaw γωνίες του Euler ZA ZA ZA Z’B Z’’B Z’’’B Y’’’B Z’B Z’’B Y’’B α Y’B Y’’B Y’B X’’’B YA X’’B YA YA γ X’’B X’B β X’B XA XA XA X’B Z’B ZA Z’B ZA ZA Z’’B Z’’B α Z’’’B Y’’’B Y’B Y’B Y’’B γ Y’’B β YA YA YA X’’B X’’’B X’B X’B X’’B XA XA XA

Τελικό στοιχείο δράσης Ανασκόπηση Σύνδεσμοι και αρθρώσεις Σύνδεσμοι (Links) 4 4 2 5 3 Αρθρώσεις (Joints) 5,6 Τελικό στοιχείο δράσης (End Effector) 2 1 1 Βάση Ρομπότ

Ανασκόπηση Κανόνας των Denavit-Hartenberg Προσδιορισμός του πλαισίου βάσης: Προσδιορίζουμε το ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα βάσης (Χ0Υ0Ζ0) με αρχή στη βάση του χειριστή και τον άξονα Ζ0 παράλληλα στον άξονα κίνησης της άρθρωσης 1 Προσάρτηση πλαισίων σε καθένα από τους συνδέσμους σύμφωνα με τις προηγούμενες διαφάνειες Υπολογισμός των παραμέτρων των συνδέσμων

Ανασκόπηση

Ανασκόπηση Ορθό κινηματικό πρόβλημα Δεδομένου του διανύσματος q των μεταβλητών των αρθρώσεων, να υπολογιστούν η θλεση και ο προσανατολισμός του τελικού σημείου δράσης: γωνίες roll, pitch, yaw ή γωνίες Euler ?

Ανασκόπηση Αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα Δεδομένου του πίνακα μετασχηματισμού:

Ανασκόπηση Οι μερικές παράγωγοι είναι ή πιο συμπαγώς Ιακωβιανή

Ανασκόπηση Τα σημεία στα οποία ένας χειριστής απολλύει έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας, ονομάζεται σημείο ιδιομορφίας Όλοι οι χειριστές παρουσιάζουν ιδιομορφία στα όρια του χώρου εργασίας τους, ενώ για πολλούς υπάρχει γεωμετρικός τόπος ιδιομορφίας εντός του χώρου εργασίας ιδιομορφίες ιδιομορφίες χώρος εργασίας

Ανασκόπηση Χώροι: Ενεργοποιητών, Αρθρώσεων, Καρτεσιανό Διάνυσμα αρθρώσεων: Καρτεσιανός χώρος Χώρος αρθρώσεων ενεργοποιητών

Εκτέλεση τροχιάς Το βασικό πρόβλημα είναι η μετακίνηση του χειριστή από μια αρχική θέση σε μια επιθυμητή τελική θέση

Εκτέλεση τροχιάς Ένας τρόπος αναλυτικής περιγραφής της πορείας του ρομπότ είναι μία ακολουθία ενδιάμεσων σημείων (via points) μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης Τα σημεία πορείας περιλαμβάνουν όλα τα ενδιάμεσα σημεία καθώς και τα σημεία εκκίνησης και προορισμού ΠΡΟΣΟΧΗ: Όλα αυτά τα σημεία είναι ουσιαστικά πλαίσια

Υπολογισμός τροχιάς Καρτεσιανός χώρος Χώρος αρθρώσεων ενεργοποιητών υπολογισμός τροχιάς πραγματική κίνηση Καρτεσιανός χώρος Χώρος αρθρώσεων ενεργοποιητών

Τροχιά t0 t1 t2 tf t q(t0) q(t1) q(t2) q(tf) Αρχική τιμή Ανύψωση Κάθοδος Τελική τιμή Άρθρωση i Ταχύτητα Επιτάχυννση Η ακολουθία των θέσεων, ταχυτήτων, επιταχύνσεων, για κάθε μια από τις παραμέτρους του χειριστή

Σχεδιασμός κίνησης ρομπότ Σχεδιασμός διαδρομής Γεωμετρική διαδρομή Ζητήματα: αποφυγή εμποδίων, ελάχιστη διαδρομή, βέλτιστη διαδρομή Σχεδιασμός τροχιάς “παρεμβολή” ή “προσέγγιση” της επιθυμητής τροχιάς με μία τάξη πολυωνυμικών συναρτήσεων και δημιουργία μιας ακολουθίας σημείων ελέγχου για τον έλεγχο του χειριστή από την αρχική του θέση έως τον προορισμό

Σχήμα σχεδιασμού τροχιάς Περιορισμοί πορείας (συνέχεια, ομαλότητα) χώρος αρθρώσεων )} ( ), { t q & Προδιαγραφές πορείας Σχεδιασμός τροχιάς ή ακολουθία σημείων ελέγχου επί της επιθυμητής τροχιάς )} ( ), { t a v p Καρτεσιανός χώρος

Περιορισμοί πορείας Ομαλή πορεία συνάρτηση πορείας: συνεχής παράγωγος: συνεχής δεύτερη παράγωγος: συχνά επιθυμείται να είναι συνεχής οι βάναυσες και απότομες κινήσεις τείνουν να φθείρουν το μηχανισμό και να δημιουργούν δονήσεις

Σχεδιασμός τροχιάς Προφίλ διαδρομής Προφίλ ταχύτητας 70 Προφίλ διαδρομής Προφίλ ταχύτητας Προφίλ επιτάχυνσης 60 50 q 40 30 20 50 100 150 200 t 0.25 0.2 /dt 0.15 q d 0.1 0.05 50 100 150 200 t 0.01 0.005 2 /dt q 2 d -0.005 -0.01 50 100 150 200 t

Από το χώρο των αρθρώσεων στον Καρτεσιανό χώρο Κάθε σημείο της πορείας περιγράφεται σαν επιθυμητό σημείο και προσανατολισμός του πλαισίου του εργαλείου {Τ}, σε σχέση με το πλαίσιο του σταθμού εργασίας {S}. Καθένα από τα σημεία αυτά μετατρέπεται σε ένα σύνολο επιθυμητών μεταβλητών αρθρώσεων με εφαρμογή αντίστροφης κινηματικής Τελικά υπολογίζεται μία ομαλή συνάρτηση πορείας για καθεμιά από τις αρθρώσεις του χειριστή, η οποία μέσω των ενδιάμεσων σημείων καταλήγει στο τελικό σημείο.

Ομαλές συναρτήσεις Υπάρχουν πολλές ομαλές συναρτήσεις που μεταβαίνουν από την τιμή q0 στην qf σε χρόνο tf-t0 Κυβικά πολυώνυμα Πολυώνυμα υψηλότερης τάξης Γραμμικές συναρτήσεις με παραβολικές συναρμογές q(t) qf q0 t0 tf t

Κυβικά πολυώνυμα Επιλογή αρχικού και τελικού χρόνου: t0 και tf Επιλογή αρχικής και τελικής θέσης: q(0)=q0 και q(tf)=qf Επιλογή αρχικής και τελικής ταχύτητας: και Για να μπορούν να ικανοποιούνται και οι τέσσερις συνθήκες είναι αναγκαία η χρήση ενός πολυωνύμου τουλάχιστον τρίτου βαθμού:

Κυβικά πολυώνυμα και επομένως η εξίσωση για την ταχύτητα είναι: Από τις συνθήκες προκύπτει εύκολα:

Κυβικά πολυώνυμα Επιλύοντας ως προς τους συντελεστές του πολυωνύμου προκύπτει:

Παράδειγμα Να υπολογιστούν η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση άρθρωσης για χρόνους t0=0sec και tf=1sec, αν q0=10o, qf=30o και Από το τυπολόγιο προκύπτουν: a0=10, a1=0, a2=60, και a3=-40.

Παράδειγμα Να υπολογιστούν η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση άρθρωσης για χρόνους t0=0sec και tf=500msec, αν q0=10o, qf=30o, και Από το τυπολόγιο προκύπτουν: a0=10, a1=-10, a2=340, και a3=-480.

Σχεδιασμός τροχιάς με κυβικά πολυώνυμα και ενδιάμεσα σημεία Διαίρεση της τροχιάς σε τμήματα, καθένα από τα οποία ορίζονται από: αρχικό και τελικό χρόνο tk και tk+1 αρχικό και τελικό σημείο qk και qk+1 αρχική και τελική ταχύτητα όπου k =0, 1,… n-1 υπολογισμός των ενδιάμεσων τιμών του συνδέσμου με κυβικά πολυώνυμα

Παράδειγμα k 1 2 3 4 tk 8 10 qk 20 30 40 -10 Να σχεδιαστεί τροχιά σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση

Κυβικά πολυώνυμα και ταχύτητα στα ενδιάμεσα σημεία Για να μπορούν να υπολογιστούν τα κυβικά πολυώνυμα, όπως έγινε κατανοητό απαιτείται η γνώση της ταχύτητα στα ενδιάμεσα σημεία. Για τον υπολογισμό των πολυωνύμων λοιπόν διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Ο χρήστης περιγράφει την επιθυμητή ταχύτητα στα ενδιάμεσα σημεία. Το σύστημα επιλέγει αυτόματα τις ταχύτητες στα ενδιάμεσα σημεία, με την εφαρμογή κατάλληλης ευρετικής μεθόδου Το σύστημα επιλέγει αυτόματα την ταχύτητα στα ενδιάμεσα σημεία, έτσι ώστε η επιτάχυνση εκεί να είναι συνεχής

Αυτόματος υπολογισμός ταχύτητας στα ενδιάμεσα σημεία Όταν ο χρήστης δεν ενδιαφέρεται για την ταχύτητα στα ενδιάμεσα σημεία της τροχιάς, το σύστημα θα πρέπει να υπολογίζει για τα σημεία αυτά τις πλέον κατάλληλες τιμές της ταχύτητας Αυτό υλοποιείται πολύ εύκολα με ευρετικές μεθόδους του τύπου

Αυτόματος υπολογισμός ταχύτητας στα ενδιάμεσα σημεία και τελικά η ταχύτητα είναι

Παράδειγμα k 1 2 3 4 tk 8 10 qk 20 30 40 Να σχεδιαστεί τροχιά σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα και για μηδενική αρχική και τελική ταχύτητα Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση

Συνεχής επιτάχυνση Όταν ο χρήστης επιθυμεί η επιτάχυνση στα ενδιάμεσα σημεία να είναι συνεχής. Για να συμβεί αυτό υιοθετείται μια νέα μέθοδος, δηλαδή οι ταχύτητες στα οριακά σημεία ενός τμήματος αντικαθίστανται από δύο συναρτήσεις του χρόνου, έτσι ώστε η ταχύτητα και η επιτάχυνση να είναι συνεχείς Έστω ότι η αρχική θέση είναι q0 το ενδιάμεσο σημείο qv και το τελικό qf Τα δύο κυβικά πολυώνυμα είναι: και

Συνεχής επιτάχυνση Καθένα από αυτά τα πολυώνυμα πρέπει να επαληθεύονται στο διάστημα [t0, tfi ], i=1 ή 2 Οι περιορισμοί επομένως που επιβάλλονται είναι:

Συνεχής επιτάχυνση Επιλύοντας ως προς τους συντελεστές του πολυωνύμου προκύπτει:

Πολυώνυμα ανώτερης τάξης Τα κυβικά πολυώνυμα μπορούν να δώσουν συνεχείς συναρτήσεις της θέσης και της ταχύτητας, για την επιτάχυνση όμως η διαδικασία που περιγράφτηκε είναι αρκετά πολύπλοκη. Η συνεχής επιτάχυνση προκαλεί ομαλές κινήσεις, χωρίς απότομες ροπές, οι οποίες μπορεί να αποβούν μοιραίες για το μηχανισμό Ένας πιο εύκολος τρόπος για να επιτευχθεί συνεχής επιτάχυνση είναι με τη χρήση πολυωνύμων πέμπτου βαθμού, όπως:

Πολυώνυμα ανώτερης τάξης Από τις συνθήκες προκύπτει εύκολα:

Πολυώνυμα ανώτερης τάξης Επιλύοντας ως προς τους συντελεστές του πολυωνύμου προκύπτει:

Παράδειγμα Να υπολογιστούν η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση άρθρωσης για χρόνους t0=0sec και tf=1sec, αν q0=10o, qf=30o και Από το τυπολόγιο προκύπτουν: a0=10, a1=0, a2=0, a3=200, a4=-300 και a5=120.

Παράδειγμα k 1 2 3 4 tk 8 10 qk 20 30 40 Να σχεδιαστεί τροχιά σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα και για μηδενική αρχική και τελική ταχύτητα Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση

Γραμμικές τροχιές με συναρμογές ανώτερης τάξης Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων είναι η γραμμική μεταβολή της θέσης από το ένα ενδιάμεσο σημείο στο άλλο και η σύνδεση των γραμμικών αυτών τμημάτων με συνδέσεις που υπολογίζονται με πολυώνυμα ανώτερης τάξης Κατά τη γραμμική διαδρομή η ταχύτητα είναι σταθερή, ενώ στις συνδέσεις μεταβάλλεται με το χρόνο

Γραμμικές τροχιές με συναρμογές ανώτερης τάξης Συνήθως η επιτάχυνση στο διάστημα [t0, t0+2Δ] είναι ίση με την επιβράδυνση στο διάστημα [tf-2Δ, tf] qf qf2 qf1 q02 q01 q0 tf t0 2Δ 2Δ

Οι οριακές συνθήκες Αρχική θέση Αρχική ταχύτητα Αρχική επιτάχυνση Θέση ανύψωσης Συνέχεια θέσης στο χρόνο t02 =t0+2Δ Συνέχεια ταχύτητας στο χρόνο t02 Συνέχεια επιτάχυνσης στο χρόνο t02 Θέση καθόδου Συνέχεια θέσης στο χρόνο tf1=tf-2Δ Συνέχεια ταχύτητας στο χρόνο tf1 Συνέχεια επιτάχυνσης στο χρόνο tf1 Τελική θέση Τελική ταχύτητα Τελική επιτάχυνση

Απαιτήσεις Αρχική θέση Τελική θέση Θέση (δίνεται) Ταχύτητα (δίνεται, συνήθως μηδέν) Επιτάχυνση (δίνεται, συνήθως μηδέν) Τελική θέση

Απαιτήσεις Ενδιάμεσες θέσεις Θέση ανύψωσης (υπολογίζεται από το Δ, συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς) Ταχύτητα ανύψωσης (συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς) Επιτάχυνση ανύψωσης (συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς)

Απαιτήσεις Ενδιάμεσες θέσεις Θέση καθόδου (υπολογίζεται από το Δ, συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς) Ταχύτητα καθόδου (συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς) Επιτάχυνση καθόδου (συνεχής σε σχέση με το προηγούμενο τμήμα της τροχιάς)

Γραμμικές τροχιές με παραβολικές συναρμογές Στον τύπο αυτό η τροχιά διαιρείται σε τρία μέρη: Σταθερή θετική επιτάχυνση, ταχύτητα ράμπας, παραβολική μεταβολή θέσης Μηδενική επιτάχυνση, σταθερή ταχύτητα, μεταβολή θέσης σύμφωνα με την κλίση της συνάρτησης ράμπας Σταθερή αρνητική επιτάχυνση, ταχύτητα ράμπας, παραβολική μεταβολή θέσης Η σταθερή ταχύτητα στη γραμμική περιοχή είναι:

Φάση επιτάχυνσης Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι: οι παράμετροι δίνονται σε σχέση με την αρχική και την τελική θέση της άρθρωσης και τα χρονικά διαστήματα:

Γραμμική φάση Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι: είναι προφανές ότι:

Φάση επιβράδυνσης Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι: οι παράμετροι προκύπτουν σε σχέση με τις αρχικές συνθήκες:

Γραμμικές τροχιές με παραβολικές συναρμογές Συνοψίζοντας όπου

Γραμμικές τροχιές με παραβολικές συναρμογές Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση

Γραμμικές τροχιές με συναρμογές 4ης τάξης Στον τύπο αυτό η τροχιά διαιρείται επίσης σε τρία μέρη. Η διαφορά εδώ είναι ότι στην πρώτη και την τρίτη φάση χρησιμοποιούνται πολυώνυμα 4ης τάξης: Θετική επιτάχυνση, μεταβολή ταχύτητας σύμφωνα με πολυώνυμο 3ης τάξης, μεταβολή θέσης σύμφωνα με πολυώνυμο 4ης τάξης Μηδενική επιτάχυνση, σταθερή ταχύτητα, γραμμική μεταβολή θέσης Αρνητική επιτάχυνση, μεταβολή ταχύτητας σύμφωνα με πολυώνυμο 3ης τάξης, μεταβολή θέσης σύμφωνα με πολυώνυμο 4ης τάξης

Γραμμικές τροχιές με συναρμογές 4ης τάξης Ο τύπος αυτός μικτής τροχιάς μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη γενική περίπτωση που η αρχική και τελική επιτάχυνση είναι άλλη από μηδενική Σε κάθε περίπτωση η σταθερή ταχύτητα στη γραμμική περιοχή είναι:

Φάση επιτάχυνσης Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι:

Φάση επιτάχυνσης οι παράμετροι δίνονται σε σχέση με την αρχική και την τελική θέση της άρθρωσης και τα χρονικά διαστήματα:

Γραμμική φάση Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι: είναι προφανές ότι:

Φάση επιβράδυνσης Η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι:

Φάση επιβράδυνσης οι παράμετροι υπολογίζονται από τις αρχικές και τελικές συνθήκες:

Γραμμικές τροχιές με συναρμογές 4ης τάξης Συνοψίζοντας

Σχεδιασμός γραμμικής τροχιάς ενδιάμεσα σημεία Διαίρεση της τροχιάς σε τμήματα, καθένα από τα οποία ορίζονται από: αρχικό και τελικό χρόνο tk και tk+1 αρχικό και τελικό σημείο qk και qk+1 αρχική και τελική ταχύτητα όπου k =0, 1,… n-1 υπολογισμός των ενδιάμεσων τιμών του συνδέσμου θέτοντας συνεχή την επιτάχυνση, όπως και προηγούμενα

Έλεγχος ρομποτικών χειριστών Μέθοδοι ελέγχου Συμβατικός PID έλεγχος αρθρώσεων Ευρέως χρησιμοποιούμενος στη βιομηχανία Προηγμένες προσεγγίσεις ελέγχου Μη γραμμικός Προσαρμοστικός Ασαφής Δομής μεταβλητών ….

Συμπεριφορά συστήματος 2ης τάξης M - fv ποσοστό υπερύψωσης pt PO × 100 fv Υπερύψωση 4 T s z × w n p T p 2 w × 1 - z n Χρόνος μεγίστου Χρόνος αποκατάστασης p - z × Χρόνος ανόδου 2 1 - z M 1 + e Κανονικοποιημένος χρόνος ανόδου pt p - z × 2 1 - z PO 100 × e

Ελεγκτής PID Συνάρτηση μεταφοράς ελεγκτή: Ελεγχόμενη διεργασία GP KP R(s) + E(s) U(s) Ελεγχόμενη διεργασία GP Y(s) KP - + + + KI/s KDs Συνάρτηση μεταφοράς ελεγκτή:

Χαρακτηριστικά ελεγκτών P, I και D Απόκριση Χρόνος ανόδου Υπερύψωση Χρόνος αποκατάστασης Σφάλμα μόνιμης κατάστασης Kp Ελαφρά μεταβολή Ki Kd

Σχεδιασμός συστήματος με ελεγκτή PΙ και PD 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Χωρίς ελεγκτή Ελεγκτής PD Ελεγκτής PΙ ΚΙ=1,6 KP=0,08 Ελεγκτής PΙ ΚΙ=0,8 KP=0,08 Ελεγκτής PΙ ΚΙ=0,08 KP=0,08 Ελεγκτής PΙ ΚΙ=0,008 KP=0,08

Σχεδιασμός συστήματος με ελεγκτή PΙD 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 PD έλεγχος ΚP=1, ΚD=0,002 PID έλεγχος ΚP=0,309, KI=4,5 ΚD=0,0006 PI έλεγχος ΚP=0,075, ΚI=0,15

Έλεγχος κίνησης ρομπότ Έλεγχος PID σε επίπεδο αρθρώσεων κάθε άρθρωση είναι ένας σερβομηχανισμός ευρέως χρησιμοποιούμενος για βιομηχανικά ρομπότ αγνοεί τη συνολική δυναμική συμπεριφορά του βραχίονα απόδοση βασισμένη στη διαμόρφωση του χειριστή

Έλεγχος κίνησης ρομπότ Μέθοδος υπολογισμού ροπής Σύστημα ρομπότ: Ελεγκτής: Πώς επιλέγω τα Kp, Kv ? δυναμική εξίσωση του σφάλματος Πλεονέκτημα: εξισορρόπηση στις δυναμικές επιδράσεις Συνθήκη: γνώση του δυναμικού μοντέλου του ρομπότ

Έλεγχος κίνησης ρομπότ Μη γραμμικός έλεγχος Ρομποτικό σύστημα: Ιακωβιανή:

Έλεγχος κίνησης ρομπότ Μη γραμμικός έλεγχος Σχεδιασμός μη γραμμικού ελεγκτή με ανάδραση: Γραμμικοποίηση του δυναμικού μοντέλου: Σχεδιασμός του γραμμικού ελεγκτή: δυναμική εξίσωση του σφάλματος

Ασκήσεις στο Matlab Να γράψετε ένα πρόγραμμα που θα υπολογίζει τις εξισώσεις τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων για μία άρθρωση. Τα ενδιάμεσα σημεία της τροχιάς δίνονται στον πίνακα: Να υπολογίσετε τις εξισώσεις για τις ακόλουθες περιπτώσεις Πολυώνυμο 3ου βαθμού Πολυώνυμο 3ου βαθμού με αυτόματο υπολογισμό ταχύτητας Πολυώνυμο 3ου βαθμού με συνεχή επιτάχυνση (2 πολυώνυμα) Πολυώνυμο 5ου βαθμού Γραμμική τροχιά με παραβολικές συναρμογές Γραμμική τροχιά με συναρμογές 4ου βαθμού k 1 2 3 4 tk 8 10 qk 20 30 40 -10

Ασκήσεις στο Matlab Προφανώς στις περιπτώσει που η ταχύτητα δεν χρειάζεται, δεν θα τη λάβετε υπόψην Με το Robotics Toolbox να κάνετε επαλήθευση των αποτελεσμάτων με τη συνάρτηση jtraj Ως το επόμενο μάθημα μόνο με ηλεκτρονικό ταχυδρομείο

Ερωτήσεις