Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών εννοιών από: Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών εννοιών από: Απαρίθμηση Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εξοικείωση, κατανόηση, εφαρμογή

Περιεχόμενα ενότητας Απαρίθμηση Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί

Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 5 5

Μέχρι τώρα… Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε σε σειρά (διατάξεις) διακριτά (=διαφορετικά) αντικείμενα που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν το πολύ 1 φορά… Τι γίνεται όταν υπάρχουν πολλά αντίγραφα των αντικειμένων που διαλέγουμε (συνδυάζουμε) ή διαλέγουμε και βάζουμε στη σειρά (διατάσσουμε); Τι γίνεται όταν καλούμαστε να απαριθμήσουμε συνδυασμούς ή διατάξεις στοιχείων που ΔΕΝ είναι διακριτά; Π.χ., με πόσους τρόπους μπορούν να αναδιαταχθούν τα γράμματα της λέξης SUCCESS; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 6

Μεταθέσεις r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Για κάθε μία από τις n θέσεις υπάρχουν 26 επιλογές (αφού δεν υπάρχουν περιορισμοί)  26*26*…*26=26n λέξεις Γενικεύοντας: αν έχω διαθέσιμα n αντικείμενα οι διαφορετικές λέξεις μήκους r που μπορώ να φτιάξω (όταν δεν υπάρχουν περιορισμοί  όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις) είναι: n*n*…*n=nr Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 7

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Δίνεται πιατέλα που περιέχει τουλάχιστον 4 μήλα, τουλάχιστον 4 πορτοκάλια και τουλάχιστον 4 αχλάδια Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω (δεν με νοιάζει η σειρά) 4 φρούτα από την πιατέλα αυτή; Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ φρούτων του ίδιου είδους ? ? ? ? … … … Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 8

15 τρόποι ? ? ? ? … … … Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 9

15 τρόποι Τα στοιχεία είναι λίγα και δεν είναι χρονοβόρο να τα «μετρήσω» ψάχνοντας… Όταν το πρόβλημα είναι πιο περίπλοκο…;;; ? ? ? ? … … … Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 10

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (Ι) Δίνεται συρτάρι ταμείου που περιέχει χαρτονομίσματα 1$, 2$, 5$, 10$, 20$, 50$, 100$ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω (δεν με νοιάζει η σειρά) 5 χαρτονομίσματα από το συρτάρι αυτό, όταν: Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ χαρτονομισμάτων του ίδιου είδους Στο συρτάρι υπάρχουν τουλάχιστον 5 χαρτονομίσματα από κάθε είδος 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 11

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (ΙΙ) Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 12

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (ΙΙΙ) Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 13

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (ΙV) Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω Χωρίσματα που ορίζουν διαφορετικές θέσεις στο συρτάρι Ένδειξη για το ότι διάλεξα χαρτονόμισμα από αυτή τη θέση του συρταριού Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 14

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (V) 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα για να ορίσουμε τις διαφορετικές θέσεις του συρταριού Στην αρχή ή στο τέλος ή ανάμεσά τους πρέπει να εμφανίσουμε 5 * * * * * Η ερώτηση γίνεται: με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω 11 αντικείμενα (6 χωρίσματα και 5 ενδείξεις *); Ή ισοδύναμα: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 5 από τις 11 διαθέσιμες θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; Με C(11,5) τρόπους… !!! Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 15

Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις (VI) Συμπέρασμα: το πλήθος των τρόπων να διαλέξω r από n στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις είναι C(n+r-1,r) 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 16

Παραδείγματα (I) Βρισκόμαστε σε ζαχαροπλαστείο με 4 διαφορετικά είδη γλυκισμάτων Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 6 γλυκίσματα; δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ γλυκισμάτων του ίδιου είδους Ουσιαστικά, θέλω να μετρήσω τους συνδυασμούς με επανάληψη 6 από 4 αντικειμένων Χρειάζομαι 3 «χωρίσματα» (= 4-1) για να ορίσω θέσεις για τα 4 αντικείμενα και διαθέτω 6 ενδείξεις * για τα γλυκίσματα που θα διαλέξω Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 6 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(9,6)  Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 3 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(9,3)  C(9,3)=C(9,6)=9!/(6!*3!)=9*8*7/3*2*1=3*4*7=84 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 17

Παραδείγματα (II) Μπορώ να βρίσκω το πλήθος λύσεων κάποιων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την ιδέα απαρίθμησης συνδυασμών r από n αντικειμένων με επανάληψη – ΠΩΣ; Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση x1+x2+x3=11, όπου x1,x2,x3 είναι μη αρνητικοί ακέραιοι; Λύση της εξίσωσης = επιλογή 11 από 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Σαν να θέλω να «μοιράσω» τις 11 μονάδες σε 3 θέσεις… Θέλω 2 χωρίσματα για να ορίσω τις 3 θέσεις και διαθέτω 11 ενδείξεις * Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 11 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(13,11)  Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 2 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(13,2)  C(13,11)=C(13,2)=13!/(11!*2!)=13*12/2=13*6=78 τρόπους Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 18

Παραδείγματα (III) Μπορώ να βρίσκω το πλήθος λύσεων κάποιων γραμμικών εξισώσεων ακόμα και όταν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές τους χρησιμοποιώντας την ιδέα απαρίθμησης συνδυασμών r από n αντικειμένων με επανάληψη – ΠΩΣ; Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση x1+x2+x3=11, όπου x1,x2,x3 είναι μη αρνητικοί ακέραιοι με x1≥1, x2≥2, x3≥3; Σαν να θέλω να «μοιράσω» τις 11 μονάδες σε 3 θέσεις… μόνο που τώρα υπάρχουν και οι εξής περιορισμοί: Πρέπει να τοποθετήσω οπωσδήποτε: 1 από τα 11 αντικείμενα στην πρώτη θέση (αφού x1≥1) 2 από τα 11 αντικείμενα στη τη δεύτερη θέση (αφού x2≥2) 3 από τα 11 αντικείμενα στην τρίτη θέση (αφού x3≥3) Οπότε μένουν 11-1-2-3=5 αντικείμενα για να τα «μοιράσω» ΧΩΡΙΣ περιορισμούς στις 3 θέσεις … Θέλω 2 χωρίσματα για να ορίσω τις 3 θέσεις και διαθέτω 5 ενδείξεις * Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 5 από τις 5+2=7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(7,5)  Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 2 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(13,2)  C(7,2)=C(7,5)=7!/(5!*2!)=7*6/2=7*3=21 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 19

Σύνοψη ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω και να βάλω σε σειρά (δηλαδή να διατάξω) r από n στοιχεία; Επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων; Όχι Ναι n*(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1) n*n*…*n=nr ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n στοιχεία; C(n,r) C(n+r-1,r) Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 20

«Μπάλες σε κουτιά» (“Balls to Bins”) Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 21 21

«Μπάλες σε κουτιά» Θα δούμε και πώς μετράμε τους τρόπους τοποθέτησης αντικειμένων σε κουτιά Π.χ., πώς μπορούν να μοιραστούν τα φύλλα μιας τράπουλας στους παίκτες ενός παιχνιδιού Π.χ., πώς μπορούν να χρονοπρογραμματιστούν διαφορετικές εργασίες σε επεξεργαστές (scheduling); Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 22

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν (I) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r-1,r)  Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n διαφορετικά κουτιά; C(n+r-1,r) Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 23

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν (II) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r-1,r)  Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n διαφορετικά κουτιά; C(n+r-1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω n-1 από τις n-1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(n+r-1,n-1)  Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από τις n-1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(n+r-1,r) (= C(n+r-1,n-1) ) r ενδείξεις * n-1 χωρίσματα για να ορίσω τα n κουτιά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 24

Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω 10 όμοιες μπάλες σε 8 διαφορετικά κουτιά; Θέλω 7 χωρίσματα για να ορίσω τις 8 θέσεις και διαθέτω 10 ενδείξεις * για τις μπάλες: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 10 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(17,10)  με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 7 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(17,7)  C(17,7) = C(17,10) = 17!/(10!*7!) = 19.448 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 25

Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; Η λέξη SUCCESS περιέχει 7 γράμματα  7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ – ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!!  ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω» 7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί» (αναγκαστικά) το Ε που μένει  οι διαφορετικές λέξεις είναι: Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 26

Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; Η λέξη SUCCESS περιέχει 7 γράμματα  7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ – ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!!  ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω» 7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί» (αναγκαστικά) το Ε που μένει  οι διαφορετικές λέξεις είναι: Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 27

Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Δεδομένο: Συλλογή n αντικειμένων όπου υπάρχουν n1 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 1 n2 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 2 … nk αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος k Ζητούμενο: Με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω τα n αντικείμενα αυτής της συλλογής; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 28

«Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Είδαμε ότι οι τρόποι να κατανείμουμε r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n κουτιά που ξεχωρίζουν είναι C(n+r-1,r) Τι γίνεται αν και οι μπάλες ξεχωρίζουν; Ποιο είναι τότε το πλήθος των τρόπων τοποθέτησής τους στα κουτιά; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 29

«Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω από 5 φύλλα σε 4 παίκτες από μια τράπουλα με 52 φύλλα; Και οι 4 παίκτες και τα 52 φύλλα ξεχωρίζουν … Φανταστείτε: Παίκτες & αχρησιμοποίητα φύλλα  κουτιά και Φύλλα  μπάλες  Μοιράζω φύλλα σε παίκτες  ρίχνω μπάλες σε κουτιά Ο πρώτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(52,5) τρόπους Ο δεύτερος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(47,5) τρόπους Ο τρίτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(42,5) τρόπους Ο τέταρτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(37,5) τρόπους και μένουν 32 φύλλα που δεν χρησιμοποιήθηκαν Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι: Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 30

«Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω από 5 φύλλα σε 4 παίκτες από μια τράπουλα με 52 φύλλα; Εναλλακτική θεώρηση Φανταστείτε ότι υπάρχει μια συλλογή 52 φύλλων όπου 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 1ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 2ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 3ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 4ου παίκτη» 32 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα που δεν χρησιμοποιήθηκαν» Σας θυμίζει κάτι;;; Δείτε την επόμενη διαφάνεια… Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 31

Διατάξεις με αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν Δεδομένο: Συλλογή n αντικειμένων όπου υπάρχουν n1 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 1 n2 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 2 … nk αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος k Ζητούμενο: Με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω τα n αντικείμενα αυτής της συλλογής; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 32

«Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορώ να κατανείμω n μπάλες που ξεχωρίζουν σε k κουτιά που ξεχωρίζουν έτσι ώστε το κουτί ni να λάβει τελικά i αντικείμενα (i=1,2,…,k) είναι: Ανακάτεψε και βάλε σε σειρά όλα τα φύλλα με όλους τους δυνατούς τρόπους έχοντας βάλει ένδειξη σε κάθε χαρτί για το σε ποιον «παίκτη» ανήκει… Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 33

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 34

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων; Συμβολίζω με S(n,j) τους τρόπους να τοποθετήσω n αντικείμενα που ξεχωρίζουν σε j κουτιά που δεν ξεχωρίζουν S(4,1): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 1 γραφείο ώστε να μη μείνει άδειο (1 τρόπος) S(4,2): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 2 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,3)+C(4,2)/2=4+3=7 τρόποι) S(4,3): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 3 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,2)=6 τρόποι) Συνολικά: S(4,1)+S(4,2)+S(4,3) =1+7+6=14 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 35

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων; Συμβολίζω με S(n,j) τους τρόπους να τοποθετήσω n αντικείμενα που ξεχωρίζουν σε j κουτιά που δεν ξεχωρίζουν S(4,1): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 1 γραφείο ώστε να μη μείνει άδειο (1 τρόπος) S(4,2): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 2 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,3)+C(4,2)/2=4+3=7 τρόποι) S(4,3): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 3 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,2)=6 τρόποι) Συνολικά: S(4,1)+S(4,2)+S(4,3) =1+7+6=14 τρόποι Αριθμός Stirling δεύτερης τάξης Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 36

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 6 αντίγραφα του ίδιου βιβλίου σε 4 ίδια πακέτα όταν κάθε πακέτο μπορεί να περιέχει το πολύ 6 βιβλία; Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 37

«Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 6 αντίγραφα του ίδιου βιβλίου σε 4 ίδια πακέτα όταν κάθε πακέτο μπορεί να περιέχει το πολύ 6 βιβλία; Με πόσους τρόπους μπορώ να «πακετάρω» τα 6 αντίγραφα όταν δεν θέλω να έχω άδειο πακέτο και χρησιμοποιώ: 1 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 1 τρόπο – όλα τα αντίγραφα στο 1 πακέτο 2 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 3 τρόπους – {5,1}, {4,2}, {3,3} 3 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 3 τρόπους – {1,1,4}, {1,2,3}, {2,2,2} 4 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 2 τρόπους – {1,1,1,3}, {1,1,2,2}  Συνολικά: 1+3+3+2=9 τρόποι Υπολόγισα το πλήθος των διαμερίσεων (partitions) του συνόλου των αντιγράφων του βιβλίου στα διαθέσιμα πακέτα Δεν υπάρχει γενικός τύπος για τον υπολογισμό αυτόν Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 38

Σύνοψη «Μπάλες σε κουτιά» Τα κουτιά ξεχωρίζουν Οι μπάλες δεν ξεχωρίζουν Οι μπάλες ξεχωρίζουν C(n+r-1,r) Τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Τύπος του Stirling Υπολογισμός διαμερίσεων Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 39

Ασκήσεις Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 40

Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 3 επιλογές 3 επιλογές … 3 επιλογές Συνολικά: 3*3*3*3*3=35 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 41

Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 5 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 5 επιλογές 5 επιλογές … 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5*5*5=55 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 42

Πόσες λέξεις των 6 γραμμάτων υπάρχουν (όταν χρησιμοποιούμε το λατινικό αλφάβητο); Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 Θέση 6 26 επιλογές 26 επιλογές … 26 επιλογές Συνολικά: 266 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 43

Κάθε μέρα διαλέγετε για φαγητό ένα σάντουιτς. Υπάρχουν 6 είδη σάντουιτς. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να διαλέξετε φαγητό για τις 7 μέρες της εβδομάδας, αν έχει σημασία η σειρά επιλογής των σάντουιτς; Μέρα 1 Μέρα 2 Μέρα 3 Μέρα 4 Μέρα 5 Μέρα 6 Μέρα 6 6 επιλογές 6 επιλογές … 6 επιλογές Συνολικά: 67 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 44

Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση 3 εργασιών σε 5 εργαζόμενους αν σε κάθε εργαζόμενο μπορούν να δοθούν περισσότερες από 1 εργασίες; Εργασία 1 Εργασία 2 Εργασία 3 5 επιλογές 5 επιλογές 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5=53 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 45

Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 3 από σύνολο με 5 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 5 τύπους στοιχείων δηλαδή 5 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Θέλουμε να διαλέξουμε 3 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 3 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 3 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,3)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,4)=C(7,3)=35 * * * Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 46

Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 5 από σύνολο με 3 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 3 τύπους στοιχείων δηλαδή 3 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα Θέλουμε να διαλέξουμε 5 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 5 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 5 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,5)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,2)=C(7,5)=21 * * * Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 47

Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 12 ντόνατς από τις 21 ποικιλίες ενός καταστήματος; Έχουμε 21 τύπους στοιχείων δηλαδή 21 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 20 χωρίσματα Θέλουμε να διαλέξουμε 12 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 12 * Έχουμε επομένως 32 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 20 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(32,20)) είτε (ισοδύναμα) τις 12 που θα φιλοξενήσουν * (C(32,12)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(32,20)=C(32,12) * * * Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 48

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 6 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 6 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+6 = 13 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(13,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(13,6)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(13,7)=C(13,6)=1.716 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 49

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 12 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+12 = 19 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(19,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 12 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(19,12)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(19,7)=C(19,12)=50.388 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 50

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 24 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 24 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+24 = 31 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(31,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 24 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(31,24)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(31,7)=C(31,24)=2.629.575 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 51

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, στα οποία υπάρχει τουλάχιστον 1 από κάθε είδος; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 1 σάντουιτς από κάθε είδος (λόγω του περιορισμού)  Μένουν 12-8=4 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 4 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+4 = 11 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(11,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(11, 4)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(11,7)=C(11,4)=330 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 52

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού)  Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 1: υπάρχουν 0 αλμυρά σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 9 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+9 = 15 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(15,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 9 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(15, 9)) Άρα για την Περίπτωση 1 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(15,6)=C(15,9)=5005 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 53

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού)  Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 2: υπάρχει μόνο 1 αλμυρό σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 8 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+8 = 14 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(14,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 8 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(14, 8)) Άρα για την Περίπτωση 2 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(14,6)=C(14,8)=3003 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 54

Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς – κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού)  Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 3: υπάρχουν μόνο 2 αλμυρά σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις – για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 7 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+7 = 13 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(13,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(13, 7)) Άρα για την Περίπτωση 3 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(13,6)=C(13,7)=1716 Συνολικά οι ζητούμενοι τρόποι είναι: 5005+3003+1716=9724 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 55

Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 8 κερμάτων από κουμπαρά που περιέχει 100 ίδια κέρματα του 1 λεπτού και 80 ίδια κέρματα των 5 λεπτών; Έχουμε 2 είδη κερμάτων δηλ. 2 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 1 χώρισμα Πρέπει να επιλέξουμε 8 κέρματα – φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 1+8=9 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τη 1 που θα φιλοξενήσει το χώρισμα (C(9,1)) είτε (ισοδύναμα) τις 8 που θα φιλοξενήσουν * (C(9,8)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(9,1)= C(9,8)=9 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 56

Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κερμάτων 1, 5, 10, 25, 50 λεπτών μπορεί να έχει ένας κουμπαράς αν περιέχει 20 κέρματα; Έχουμε 5 είδη κερμάτων δηλ. 5 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Πρέπει να επιλέξουμε 20 κέρματα – φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 4+20=24 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(24,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 20 που θα φιλοξενήσουν * (C(24,20)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(24,4)= C(24,20) Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 57

Ένας εκδότης έχει 3. 000 αντίγραφα ενός βιβλίου Ένας εκδότης έχει 3.000 αντίγραφα ενός βιβλίου. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για αποθήκευση αυτών των (ίδιων) βιβλίων σε 3 αποθήκες; Έχουμε 3 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα Έχουμε 3.000 ίδια αντίγραφα– φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 2+3000=3002 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα 2 χωρίσματα (C(3002,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 3000 που θα φιλοξενήσουν * (C(3002,3000)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(3002,2)= C(3002,3000)=3001*1501=4504501 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 58

Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4=17 υπάρχουν όπου xi, i=1,…,4 είναι μη αρνητικός ακέραιος; Έχουμε 4 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 17 μονάδες Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 4 θέσεις χρειαζόμαστε 3 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 17 μονάδες σαν 17 * Άρα έχουμε 3+17=20 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 3 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(20,3)) είτε (ισοδύναμα) τις 17 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(20,17)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(20,3)=C(20,17)=1140 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 59

Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4+x5=21 υπάρχουν όπου xi, i=1,…,5 είναι μη αρνητικός ακέραιος και x1≥1; Έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 21 μονάδες Υπάρχει ο περιορισμός η θέση x1 να περιέχει τουλάχιστον 1 μονάδα – της την αναθέτουμε Οπότε, πλέον, έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 20 μονάδες χωρίς περιορισμούς Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 5 θέσεις χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 20 μονάδες σαν 20 * Άρα έχουμε 4+20=24 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(24,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 20 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(24,20)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(24,4)=C(24,20)=10.626 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 60

Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4+x5=21 υπάρχουν όπου xi, i=1,…,5 είναι μη αρνητικός ακέραιος και xi≥2 για i=1,…,5; Έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 21 μονάδες Υπάρχει ο περιορισμός κάθε θέση να περιέχει τουλάχιστον 2 μονάδες – τις αναθέτουμε Οπότε, πλέον, έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 11 μονάδες χωρίς περιορισμούς Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 5 θέσεις χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 11 μονάδες σαν 11 * Άρα έχουμε 4+11=15 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(15,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 11 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(15,11)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(15,4)=C(15,11)=1.365 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 61

Πόσες λέξεις των 10 τριαδικών ψηφίων (0,1 ή 2) υπάρχουν που περιέχουν 2 «0», 3 «1» και 5 «2»; Διαλέγουμε τις 2 από τις 10 θέσεις που θα φιλοξενήσουν «0»: C(10,2) τρόποι Από τις 8 θέσεις που μένουν, διαλέγουμε τις 3 που θα φιλοξενήσουν «1»: C(8,3) τρόποι Οι 5 θέσεις που απομένουν αναγκαστικά θα φιλοξενήσουν τα «2» Άρα συνολικά μπορούμε να σχηματίσουμε C(10,2) * C(8,3) =2.520 λέξεις Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 62

Μια μεγάλη οικογένεια έχει 14 παιδιά μεταξύ των οποίων 2 ομάδες τριδύμων, 3 ομάδες διδύμων και 2 ακόμη παιδιά. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να κάτσουν τα παιδιά σε σειρά από καθίσματα, αν τα τρίδυμα ή τα δίδυμα δεν ξεχωρίζουν μεταξύ τους; Διαλέγουμε 3 από τα 14 καθίσματα για την πρώτη ομάδα τριδύμων: C(14,3) τρόποι Από τα 11 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 3 για την άλλη ομάδα τριδύμων: C(11,3) τρόποι Από τα 8 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για την πρώτη ομάδα διδύμων: C(8,2) τρόποι Από τα 6 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για τη δεύτερη ομάδα διδύμων: C(6,2) τρόποι Από τα 4 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για την τρίτη ομάδα διδύμων: C(4,2) τρόποι Από τα 2 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 1 για το ένα παιδί: C(2,1) τρόποι Το κάθισμα που μένει δίνεται αναγκαστικά στο παιδί που έμεινε Άρα συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(14,3)*C(11,3)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,1)= 14!/(3!*3!*2!*2!*2!*1!*1!)=302.702.400 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 63

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 6 ίδιες μπάλες σε 9 διαφορετικά κουτιά; Τα 9 κουτιά είναι 9 θέσεις που για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 8 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 6 ίδιες μπάλες σαν * Άρα έχουμε 8+6=14 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 8 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(14,8)) είτε (ισοδύναμα) τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(14,6)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(14,8)=C(14,6)=3.003 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 64

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 12 διαφορετικές μπάλες σε 6 διαφορετικά κουτιά ώστε σε κάθε κουτί να είναι τοποθετημένα 2 αντικείμενα; Διαλέγουμε τις 2 μπάλες για το πρώτο κουτί με C(12,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 10 μπάλες μου μένουν 2 για το δεύτερο κουτί με C(10,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 8 μπάλες μου μένουν 2 για το τρίτο κουτί με C(8,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 6 μπάλες μου μένουν 2 για το τέταρτο κουτί με C(6,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 4 μπάλες μου μένουν 2 για το πέμπτο κουτί με C(4,2) τρόπους Οι 2 μπάλες που μένουν τοποθετούνται αναγκαστικά στο έκτο κουτί Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(12,2)*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)=7484400 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 65

Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1. 000 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1.000.000 έχουν άθροισμα των ψηφίων τους ίσο με 19; (Ι) Αφού ασχολούμαστε με ακέραιους < 1.000.000  οι ακέραιοι αυτοί έχουν το πολύ 6 ψηφία: d1, d2, d3, d4, d5, d6 Επομένως, η ερώτηση της άσκησης μετατρέπεται στην ερώτηση: πόσες είναι οι λύσεις της εξίσωσης d1+d2+d3+d4+d5+d6=19 Έχουμε 6 θέσεις  χρειαζόμαστε 5 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 19 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 5+19 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 5 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(24,5)) είτε τις 19 που θα φιλοξενήσουν * (C(24,19)) C(24,5)=C(24,19)=42504 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στις παραπάνω λύσεις μπορεί το πολύ 1 μεταβλητή di να λάβει τιμή ≥ 10… Επειδή «10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19» ΔΕΝ είναι ψηφία, πρέπει να αποκλείσουμε από τη μέτρηση τις περιπτώσεις αυτές. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 66

Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1. 000 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1.000.000 έχουν άθροισμα των ψηφίων τους ίσο με 19; (ΙΙ) Υπάρχουν 6 τρόποι να επιλέξουμε ποιο ψηφίο (d1,…,d6) λαμβάνει τιμή ≥10 Για κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, η εξίσωση της οποίας ψάχνουμε το πλήθος των λύσεων είναι: d1+d2+d3+d4+d5+d6=9 Έχουμε 6 θέσεις  χρειαζόμαστε 5 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 9 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 5+9 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 5 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(14,5)) είτε τις 9 που θα φιλοξενήσουν * (C(14,9)) C(14,5)= C(14,9)=2002 Συνολικά: από τις 42504 συνολικά λύσεις αφαιρούμε τις 6*2002=12012 που παραβιάζουν τον περιορισμό  το ζητούμενο πλήθος ακεραίων είναι 30492 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 67

Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1. 000 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από 1.000.000 έχουν ένα ψηφίο 9 και άθροισμα ψηφίων ίσο με 13; Αφού ασχολούμαστε με ακέραιους < 1.000.000  οι ακέραιοι αυτοί έχουν το πολύ 6 ψηφία: d1, d2, d3, d4, d5, d6 Επομένως, η ερώτηση της άσκησης μετατρέπεται στην ερώτηση: πόσες είναι οι λύσεις της εξίσωσης d1+d2+d3+d4+d5+d6=13 όταν ένα από τα di είναι 9 Επιλέγουμε τον όρο που θα είναι 9 με 6 τρόπους Πλέον, έχουμε να λύσουμε την εξίσωση: d1+d2+d3+d4+d5=4 Έχουμε 5 θέσεις  χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 4 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 4+4 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(8,4)) είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν * (C(8,4)) C(8,4)=70 Άρα, συνολικά υπάρχουν 6*70=420 ακέραιοι με τις ζητούμενες ιδιότητες Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 68

Στο τελικό διαγώνισμα για τα μάθημα υπάρχουν 10 ερωτήσεις Στο τελικό διαγώνισμα για τα μάθημα υπάρχουν 10 ερωτήσεις. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση βαθμολογίας στις ερωτήσεις αν το άθροισμα της βαθμολογίας είναι 100 μονάδες και κάθε ερώτηση λαμβάνει τουλάχιστον 5 μονάδες; Σε κάθε ερώτηση i αναθέτουμε xi μονάδες όπου i=1,2,…,10 Πρέπει x1+x2+…+x10=100 με τον περιορισμό xi ≥ 5 Επομένως, για να ικανοποιήσουμε τον περιορισμό, αναθέτουμε 5 μονάδες σε κάθε μία από τις 10 ερωτήσεις και μένουν 100-50=50 μονάδες τις οποίες πρέπει να κατανείμουμε σε 10 ερωτήσεις Με πόσους τρόπους γίνεται αυτό; Φανταζόμαστε τις 10 ερωτήσεις σαν θέσεις – χρειαζόμαστε 9 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Φανταζόμαστε τις 50 μονάδες που μένουν σαν * Άρα έχουμε 9+50 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 9 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(59,9)) είτε τις 50 που θα φιλοξενήσουν * (C(59,50)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(59,9)=C(59,50) Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 69

Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να κατασκευαστούν από τα γράμματα της λέξης ABRACADABRA με χρήση όλων των γραμμάτων; Η λέξη έχει 11 θέσεις και περιέχει 5 Α 2 Β 2 R 1 C 1 D Για να βρούμε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να ανακατέψουμε (μεταθέσουμε) τα 11 γράμματα της λέξης επιλέγουμε 5 από τις 11 θέσεις για να φιλοξενήσουν τα Α με C(11,5) τρόπους, από τις 6 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 2 για να φιλοξενήσουν τα Β με C(6,2) τρόπους, από τις 4 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 2 για να φιλοξενήσουν τα R με C(4,2) τρόπους, από τις 2 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 1 για να φιλοξενήσει το C με C(2,1) τρόπους, το D τοποθετείται αναγκαστικά στη 1 θέση που μένει Άρα συνολικά οι ζητούμενες λέξεις είναι C(11,5) * C(6,2) * C(4,2) * C(2,1)=83.160 Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 70

Έχετε στο ψυγείο 3 πορτοκάλια, 2 μήλα και 2 αχλάδια Έχετε στο ψυγείο 3 πορτοκάλια, 2 μήλα και 2 αχλάδια. Αν πρέπει να τρώτε ένα φρούτο κάθε μέρα, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να καταναλώσετε τα φρούτα αυτά; Διαθέτετε συνολικά 7 φρούτα  αρκούν για 7 μέρες Επιλέγετε τις 3 από τις 7 μέρες για να καταναλώσετε πορτοκάλι με C(7,3) τρόπους Μετά, από τις 4 μέρες που μένουν επιλέγετε τις 2 για να καταναλώσετε μήλο με C(4,2) τρόπους Θα καταναλώσετε τα 2 αχλάδια αναγκαστικά στις 2 μέρες που απομένουν Άρα συνολικά C(7,3) * C(4,2) = 210 τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 71

Πόσοι τρόποι υπάρχουν να μοιραστούν από 7 φύλλα σε καθέναν από 5 παίκτες από μια συνηθισμένη τράπουλα των 52 φύλλων; Δίνουμε 7 φύλλα στον πρώτο παίκτη με C(52,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 45 φύλλα δίνουμε 7 στο δεύτερο παίκτη με C(45,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 38 φύλλα δίνουμε 7 στον τρίτο παίκτη με C(38,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 31 φύλλα δίνουμε 7 στον τέταρτο παίκτη με C(31,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 24 φύλλα δίνουμε 7 στον πέμπτο παίκτη με C(24,7) τρόπους Άρα συνολικά, υπάρχουν C(52,7)*C(45,7)*C(38,7)*C(31,7)*C(24,7)= 52!/(7!5*17!) τρόποι Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί 72

Τέλος Ενότητας 73

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 74

Σημειώματα 75

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 76

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Εύη Παπαϊωάννου. «Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/CULTURE159/index.php. 77

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 78

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εκφωνήσεις ασκήσεων Kenneth H. Rosen. Διακριτά μαθηματικά και εφαρμογές τους, 7η Έκδοση, 2014. Εκδόσεις Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε, ISBN: 978-960-418-394-4, κωδικός βιβλίου στον Εύδοξο: 41954922. 79