ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΙΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΙ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καζάκης Γεώργιος Επιβλέπων Λαγαρός Νικόλαος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Συνεπιβλέπωντες Μιχαηλίδης Γεώργιος, SIMaP, INP Grenoble Καλλιώρας Νικόλαος, ΥΔ ΕΜΠ

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Στόχος διπλωματικής εργασίας Μόρφωση Δενδροειδών κατασκευών σε δύο και τρεις διαστάσεις Ελαχιστοποίηση Χρόνου Υλοποίησης Αλγορίθμου Βελτιστοποίησης με Χρήση της Κάρτας Επεξεργασίας Γραφικών

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Στη Βελτιστοποίηση τοπολογίας επιθυμούμε να βρούμε το σχήμα της κατασκευής το οποίο παραλαμβάνει τα φορτία που δέχεται με βέλτιστο τρόπο.

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Το συνηθέστερο κριτήριο βελτιστοποίησης είναι η ελαχιστοποίηση του έργου. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η κατασκευή να διακριτοποιηθεί με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Σε κάθε στοιχείο ορίζεται ένα μέγεθος που δείχνει αν το στοιχείο έχει υλικό η όχι. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται πυκνότητα και συμβολίζεται με x.

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Ο μαθηματικός ορισμός του προβλήματος είναι ο εξής: Οι τιμές τις πυκνότητας του κάθε στοιχείου έχουν τη δυνατότητα να κυμαίνονται ανάμεσα στο 0 και 1. Το 0 σημάνει πως το στοιχείο δεν περιέχει υλικό ενώ το 1 ότι είναι πλήρες. Το σύνολο των πυκνοτήτων δεν μπορεί να ξεπεράσει ένα ποσοστό του όγκου ή της επιφάνειας της κατασκευής το οποίο ορίζεται από το χρήστη.

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Η επίλυση του προβλήματος γίνεται με τη μέθοδο Optimality Criteria Η κάθε πυκνότητα x αυξάνεται η μειώνεται ανάλογα με σχέση ανισότητας που έχουν η παράγωγος της αντικειμενικής συνάρτησης με το γινόμενο της παραγώγου του όγκου ή επιφάνειας με τον αριθμό λ ο οποίος προσαρμόζεται έτσι ώστε να ικανοποιείτε το κριτήριο περιορισμού του όγκου

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Optimality Criteria Γραμμικοποίηση συνάρτησης έργου κοντά στο x Μεταβλητός όρος είναι θετικός, επομένως προκειμένου να μειώσουμε τη συνάρτηση C θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το θετικό μεταβλητό όρο. Έτσι το πρόβλημα που λύνουμε είναι > 0 < 0 Η επίλυση του γίνεται με τη μέθοδο Lagrangian Duality

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Για να ληφθούν υπόψη οι πυκνότητες στο πρόβλημα βελτιστοποίησης γίνεται χρήση της μεθόδου SIMP Η μέθοδος αυτή λαμβάνει υπόψη τις πυκνότητες με τροποποίηση του μέτρου ελαστικότητας μέσω της σχέσης

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Η διαδικασίας του αλγόριθμου βελτιστοποίησης είναι: Ορισμός αρχικής τιμής πυκνοτήτων x Επίλυση εξίσωσης ισορροπίας για τον υπολογισμό των μετακινήσεων Υπολογισμός αντικειμενικής συνάρτησης και της παραγώγου της από τις σχέσεις Υπολογισμός καινούριου x μέσω της Optimality Criteria. Έλεγχος της συνθήκης

Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Ως βάση για τους κώδικες βελτιστοποίησης που αναπτύξαμε χρησιμοποιήσαμε τους ήδη υπάρχον κώδικες Top88 για εφαρμογή σε δύο διαστάσεις Top3D για εφαρμογή σε τρεις διαστάσεις

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Έμπνευση δενδροειδής μορφής και προσομοίωση στο κώδικα top88

Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Αποτελέσματα κώδικα top88 Για να λάβουμε αποτελέσματα που προσομοιάζουν το στέγαστρο στο Qatar θεωρούμε και την εφαρμογή βέλτιστης μεταφοράς της θερμότητας, που δέχεται η κατασκευή, στο έδαφος.

Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Ορισμός Θερμικού προβλήματος Εφαρμογή Μεθόδου SIMP

Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Στο θερμικό πρόβλημα ο κάθε κόμβος έχει ένα βαθμό ελευθερίας που είναι η θερμοκρασία Τ. Η κατασκευή δέχεται από το πάνω μέρος και επιφανειακά ροή θερμότητας. Η θερμότητα αυτή μεταφέρεται στο έδαφος με αγωγή. Για να συνδυαστεί το βέλτιστο σχήμα του θερμικού και στατικού προβλήματος θεωρείται ένας δείκτης που εκφράζει το ποσοστό που λαμβάνεται υπόψη το κάθε ένα.

Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Weight = 0.5 Για την αποφυγή των κλαδιών που δημιουργούνται από τις επιφανειακές θερμικές δυνάμεις επιλέγεται η εφαρμογή δυνάμεων εξαρτώμενων από τη πυκνότητα του κάθε στοιχείου.

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Η εφαρμογή δυνάμεων που εξαρτώνται από τη μάζα γίνεται και για τις στατικές (βάρος) και για τις θερμικές (επιφανειακή ροή θερμότητας). Για τη σωστή λειτουργία της Optimality Criteria θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω αλλαγές Τροποποίηση της SIMP για πυκνότητες κάτω του 0,2 έτσι ώστε ο λόγος δύναμης προς δυσκαμψία να μην απειρίζεται. Τροποποίηση του τύπου ανανέωσης των πυκνοτήτων x της μεθόδου OC

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Τροποποίηση της SIMP

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Τροποποίηση του τύπου ανανέωσης των πυκνοτήτων x της μεθόδου OC Στη περίπτωση δυνάμεων ανεξάρτητων από τη μάζα η παράγωγος της αντικειμενικής συνάρτησης είναι πάντα αρνητική. Όταν οι δυνάμεις εξαρτηθούν από τη μάζα (πυκνότητα x) τότε προστίθεται ένας ακόμα όρος και η παράγωγος της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να πάρει και θετικές τιμές. Για τα x τα οποία οι τιμές της παραγώγου γίνονται θετικές αυτό σημαίνει ότι για να μειωθεί η αντικειμενική συνάρτηση θα πρέπει η πυκνότητα x να μειωθεί. Σε αυτή την περίπτωση επειδή η OC αδυνατεί να κάνει τη μείωση αυτή επιλέγουμε να μειώσουμε το x και να το κάνουμε 0.

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Weight = 0.8 Weight = 0.5

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση με χρήση της μεθόδου Gradient Descent Weight = 0.8 Weight = 0.5

Εφαρμογή Θερμικών και μαζικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Αποτελέσματα σε 3D μέσο του κώδικα top3D Εφαρμογή μόνο στατικών δυνάμεων και βάρους Εφαρμογή μόνο στατικών και θερμικών δυνάμεων κατά 50%.

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού- Αποτελέσματα Προκειμένου να έχουμε τη δυνατότητα να ορίσουμε τις περιοχές που θέλουμε να μην τοποθετηθεί υλικό κατά τη βελτιστοποίηση μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση αποφυγής υλικού. Η συνάρτηση αυτή παίρνει πολύ μεγάλες τιμές σε μια ακτίνα στοιχείων που έχουμε επιλέξει. Η συνάρτηση αυτή πολλαπλασιάζεται με τη παράγωγο του όγκου ή επιφάνειας dv. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ο παρονομαστής της σχέσης ανανέωσης πυκνοτήτων της OC να είναι συνεχώς μεγαλύτερος από τον αριθμητή και επομένως να μειώνει τις αντίστοιχες πυκνότητες μέχρι να μηδενιστούν.

Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού- Αποτελέσματα Η συνάρτηση αποφυγής υλικού δεν επιτρέπει να τοποθετηθεί υλικό δίπλα από τη στήριξη της κατασκευής. Η συνάρτηση αποφυγής υλικού δεν επιτρέπει να τοποθετηθεί υλικό στα σημεία τα οποία η κατασκευή διακλαδίζεται.

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Βελτιστοποίηση Χρόνου Το υπολογιστικό κόστος της βελτιστοποίησης τοπολογίας προσδιορίζεται στην επίλυση της εξίσωσης ισορροπίας. Η μείωση του χρόνου επίλυσης της μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση επαναληπτικών μεθόδων. Η μέθοδος που υιοθετείται είναι η Preconditioned Conjugated Gradient Η μέθοδος υπάρχει στη βιβλιοθήκη της matlab. Όμως για να έχουμε τη δυνατότητα να επέμβουμε σε αυτή δημιουργούμε τη δικιά μας συνάρτηση PCG.

Βελτιστοποίηση Χρόνου Preconditioned Conjugated Gradient Επαναληπτική μέθοδος επίλυσης γραμμικής εξίσωσης F = K U H PCG επιλύει την εξίσωση ισορροπίας F = K U ελαχιστοποιώντας τη παράγουσα αυτής. Η ελαχιστοποίηση γίνεται μέσω της σχέσης α : το βήμα με το οποίο κινούμαστε στη διεύθυνση d. Το βήμα θέλουμε να είναι Α-ορθογωνικό με την απόκλιση e από τη λύση. d : η κατεύθυνση κίνησης. Οι κατευθύνσεις προκύπτουν αν από την παράγωγο της συνάρτησης κρατήσουμε μόνο τα Α-ορθογωνικά στοιχεία.

Βελτιστοποίηση Χρόνου Μεταφορά υπολογιστικού όγκου στη κάρτα γραφικών Πλεονεκτήματα Μεγαλύτερη υπολογιστική δυνατότητα Μειονεκτήματα Αργή μεταφορά δεδομένων CPU-GPU Περιορισμένη μνήμη Το πρόβλημα που δημιουργείται είναι η αποθήκευση του μητρώου δυσκαμψίας στη μνήμη της GPU. H matlab δίνει τη δυνατότητα της αποθήκευσης μητρώων σε μορφή sparse στη GPU, όμως ακόμα δεν υποστηρίζει αρκετές διαδικασίες υπολογισμού με τα μητρώα αυτά. Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα η δημιουργία και ανανέωση των τιμών του μητρώου K γίνεται στη CPU σε όλες τις παρακάτω εφαρμογές που έγιναν.

Βελτιστοποίηση Χρόνου Εφαρμογές Εντός της PCG υπολογίζεται το γινόμενο του μητρώου δυσκαμψίας Κ με τις διευθύνσεις κίνησης d. Το γινόμενο αυτό μεταφέρεται στην κάρτα γραφικών. Πλεονεκτήματα Μείωση υπολογιστικού κόστους του γινομένου K*d Μικρές απαιτήσεις μνήμης της GPU Μειονεκτήματα Συνεχή μεταφορά δεδομένων μεταξύ CPU-GPU Μεταφορά ολόκληρης της διαδικασίας PCG στην κάρτα γραφικών Μείωση υπολογιστικού κόστους PCG Μεταφορά δεδομένων μεταξύ CPU-GPU για κάθε χρήση της PCG Μεταφορά της επανάληψης βελτιστοποίησης στην κάρτα γραφικών Μείωση υπολογιστικού κόστους επανάληψης βελτιστοποίησης Μικρή μεταφορά δεδομένων μεταξύ CPU- GPU Αυξημένες απαιτήσεις μνήμης

Βελτιστοποίηση Χρόνου Αποτελέσματα Παραδείγματα Στατικών και βαριτικών δυνάμεων 8000 στοιχεία 54000 στοιχεία 83200 στοιχεία

Βελτιστοποίηση Χρόνου Αποτελέσματα

Βελτιστοποίηση Χρόνου Αποτελέσματα Παραδείγματα Στατικών και θερμικών δυνάμεων 5850 στοιχεία 17500 στοιχεία 31850 στοιχεία

Βελτιστοποίηση Χρόνου Αποτελέσματα

Περιεχόμενα Στόχος διπλωματικής εργασίας Ορισμός Προβλήματος Βελτιστοποίησης Τοπολογίας στις Κατασκευές Εφαρμογή Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή Μαζικών Δυνάμεων και Θερμικών Δυνάμεων - Αποτελέσματα Εφαρμογή συνάρτησης αποφυγής υλικού - Αποτελέσματα Βελτιστοποίηση Χρόνου Συμπεράσματα

Συμπεράσματα Η εφαρμογή προβλήματος ροής θερμότητας σε συνδυασμό με το στατικό πρόβλημα δίνει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία μελών μεγάλης διατομής στην τελική κατασκευή αλλά δημιουργεί κλαδιά για να παραλάβει την επιφανειακή ροή θερμότητας. Η εφαρμογή δυνάμεων εξαρτώμενων από τη μάζα λύνει το πρόβλημα των κλαδιών διατηρώντας παρόμοια μορφή στην κατασκτευή. Η εισαγωγή συνάρτησης αποφυγής υλικού μπορεί να καθοδηγήσει τη κατασκευή να πάρει το σχήμα που εμείς θέλουμε. Τα αποτελέσματα του αλγορίθμου βελτιστοποίησης σταθεροποιούνται από έναν αριθμό στοιχείων και πάνω. Η χρήση της υπολογιστικής δυνατότητας της κάρτας γραφικής επεξεργασίας μπορεί να μειώσει το χρόνο όμως περιορίζεται από την αδυναμία αποθήκευσης του μητρώου δυσκαμψίας.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ