1 Μηχανικές Ταλαντώσεις

2 Μελέτη ελατηρίου Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) Θέση Ισορροπίας (ΘΙ) ΘΙ -Α +Α mg mg = F ελ mg = kℓ 0 F ελ = kℓ 0 mg = F ελ mg = kℓ 0 F ελ = kℓ 0 ℓ0ℓ0ℓ0ℓ0 Πάνω Ακραία Θέση Κάτω Ακραία Θέση Τυχαία θέση mg ελ y + +

3 Απλή Μηχανική Αρμονική Ταλάντωση.  Ταλάντωση λέγεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ευσταθούς ισορροπίας ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις.

4  Απλή Αρμονική Ταλάντωση (ΑΑΤ) ή Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (ΓΑΤ) ονομάζεται η ταλάντωση που κάνει ένα σώμα κατά μήκος μιας ευθείας, έτσι ώστε η απομάκρυνσή του x να είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή να περιγράφεται από μία σχέση της μορφής x =Aημ(ωt+φ 0 )

5 Σχέση Α.Α.Τ. με Ομαλή Κυκλική Κίνηση Σχέση Α.Α.Τ. με Ομαλή Κυκλική Κίνηση

6 Κ Β ΔΓΕ ωtωtωtωtΖ φ0φ0φ0φ0Η x ΣΑ υ0υ0υ0υ0 υ α0α0α0α0 α

7 Μελέτη «ελατηρίου – μάζας» σε οριζόντια κίνηση Μελέτη «ελατηρίου – μάζας» σε οριζόντια κίνηση

8 Α. Κινηματική προσέγγιση Αν φ 0 =0, τότε: x = Aημωt υ = υ max συνωt με υ max =ωΑ α =-α max ημωt =-ω 2 x με α max =ω 2 Α Αν φ 0 =0, τότε: x = Aημωt υ = υ max συνωt με υ max =ωΑ α =-α max ημωt =-ω 2 x με α max =ω 2 Α

9 x=Aημωt Γραφικές παραστάσεις Α. Απομάκρυνσης – χρόνου ( φ 0 =0 )

10 υ=ωΑσυνωt Β. Ταχύτητας - χρόνου (φ 0 =0)

11 α=-ω 2 Αημωt Γ. Επιτάχυνσης - χρόνου (φ 0 =0)

12 Β. Δυναμική προσέγγιση θέτουμε D =mω 2, οπότε  Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σύστημα Α.Α.Τ. είναι: F επ =-Dx  Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σύστημα Α.Α.Τ. είναι: F επ =-Dx

13 Γραφικές παραστάσεις δύναμης Σε συνάρτηση με το χρόνο (φ 0 =0)Σε συνάρτηση με το χρόνο (φ 0 =0)

14 Σε συνάρτηση με την απομάκρυνση (φ 0 =0)Σε συνάρτηση με την απομάκρυνση (φ 0 =0) -A+A

15 Υπολογισμός περιόδου στην ΑΑΤ Ειδικά για το σύστημα ελατήριο-μάζα: D K

16 Τυχαία θέση Ταλάντωση σώματος σε κατακόρυφο ελατήριο Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) Θέση Ισορροπίας (ΘΙ) ℓ0ℓ0 y mg = F ελ F ελ = kℓ 0 mg = kℓ 0 mg = F ελ F ελ = kℓ 0 mg = kℓ 0 mg + + ℓ0ℓ0 ℓ0ℓ0 ℓ0ℓ0 ℓ0ℓ0 ℓ0ℓ0 ℓ0ℓ0 ελ Συνεπώς D=k.

17 Γ. Ενεργειακή προσέγγιση Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης σε θέση που αντιστοιχεί σε απομάκρυνση x από τη Θ.Ι. ονομάζουμε την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο υλικό σημείο για να το απομακρύνουμε κατά x από τη Θ.Ι. με σταθερή και αμελητέα ταχύτητα.Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης σε θέση που αντιστοιχεί σε απομάκρυνση x από τη Θ.Ι. ονομάζουμε την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο υλικό σημείο για να το απομακρύνουμε κατά x από τη Θ.Ι. με σταθερή και αμελητέα ταχύτητα.

18 x DxDx x O A Υπολογισμός Ενέργειας Ταλάντωσης F Γ

19 Δυναμική Ενέργεια ταλάντωσης Κινητική Ενέργεια μάζας

20 Γραφικές παραστάσεις ενέργειας  Σε συνάρτηση με την απομάκρυνση (φ 0 =0) +Α-Α Ε Ε

21 +υ max Ε -υ max  Σε συνάρτηση με την ταχύτητα (φ 0 =0) Ε

22  Σε συνάρτηση με τον χρόνο (φ 0 =0) 0,250,75 Ε Ε

23 Σχέση ανάμεσα στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση και στην Κυκλική κίνηση Σχέση ανάμεσα στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση και στην Κυκλική κίνηση Αρμονικός ταλαντωτής Αρμονικός ταλαντωτής

24 Ερωτήσεις Θεωρίας

25 1.Ποια κίνηση ονομάζεται ταλάντωση; 2. Τι το ιδιαίτερο συμβαίνει στις ακραίες θέσεις μιας ταλάντωσης; Αν στις θέσεις αυτές μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος, γιατί δεν στέκεται εκεί; 3. Τι ονομάζουμε γραμμική ταλάντωση. Τι ονομάζουμε απομάκρυνση σε μια γραμμική ταλάντωση; Όταν το σώμα ταλαντώνεται παραμένει σταθερή η απομάκρυνσή του; Σε τι μας χρειάζεται να παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές; Η απομάκρυνση είναι τελικά διανυσματικό μέγεθος ή μονόμετρο; Αν είναι διανυσματικό τότε πού βρίσκεται η αρχή του και πού το τέλος του;

26 4.Τι είναι το πλάτος στη ΓΑΤ; Γνωρίζουμε ότι στις ακραίες θέσεις ισχύει x=+A ή x=−A. Δηλαδή μπορεί το πλάτος να πάρει και θετική και αρνητική τιμή; 5.Η γωνιακή συχνότητα πώς συνδέεται με την περίοδο και τη συχνότητα της ταλάντωσης και ποια είναι η μονάδα της στο S.I.; 6. Τι ονομάζουμε αρχική φάση της ΓΑΤ και σε μας τι χρησιμεύει;

27 Εφαρμογές στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση

28 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Στις παρακάτω ερωτήσεις μία μόνο απάντηση είναι σωστή σε κάθε ερώτηση. 1. Ένα υλικό σημείο που εκτελεί Α.Α.Τ. διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. Το μέγεθος που δεν αλλάζει πρόσημο είναι: α. η απομάκρυνσή του. β. η ταχύτητά του. γ. η επιτάχυνσή του. δ. η δύναμη επαναφοράς.

29 2. Ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί Α.Α.Τ. μεταβαίνει από τη θέση ισορροπίας του σε ακραία θέση σε χρόνο 0,25 s. Η περίοδος της κίνησης του είναι: α. 0,25 s. β. 0,5 s. γ. 1 s. δ. 0,75 s. 3. Στην Α.Α.Τ. στη διάρκεια μιας περιόδου α. η δυναμική ενέργεια γίνεται μέγιστη μόνο μια φορά. β. η δυναμική ενέργεια γίνεται ίση με την κινητική μόνο μια φορά. γ. η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με την ολική δύο φορές. δ. η κινητική ενέργεια παίρνει αρνητικές τιμές όταν - υ max υ 0.

30 4. Όταν ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ., τότε η δύναμη επαναφοράς: α. είναι η συνισταμένη δύναμη στη διεύθυνση της ταλάντωσης. β. έχει τη φορά της απομάκρυνσης. γ. έχει πάντα τη φορά της κίνησης. δ. γίνεται μέγιστη, όταν μεγιστοποιείται και η ταχύτητα του σώματος. 5. Σύστημα μάζας – ελατηρίου εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος ταλάντωσης, τότε: α. διπλασιάζεται η ενέργεια ταλάντωσης. β. διπλασιάζεται η περίοδος. γ. διπλασιάζεται η μέγιστη δύναμη επαναφοράς. δ. τετραπλασιάζεται η μέγιστη επιτάχυνση.

31 6. Σύστημα μάζας – ελατηρίου εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Διπλασιάζουμε τη μάζα του σώματος διατηρώντας το ίδιο πλάτος ταλάντωσης. Για τη νέα ταλάντωση ισχύει: α. η περίοδος διπλασιάζεται. β. η μέγιστη κινητική ενέργεια υποδιπλασιάζεται. γ. η μέγιστη ταχύτητα υποδιπλασιάζεται. δ. η μέγιστη ενέργεια της ταλάντωσης μένει ίδια.