Χρησιμοποιώντας τους γεωμετρικούς χώρους εργασίας για τον προγραμματισμό της διδασκαλίας της γεωμετρίας

Στοιχεία που χρειάζονται οι δάσκαλοι για να δουν σε τι συνίσταται συνολικά η διδασκαλία της γεωμετρίας. Αναλύουμε μια διδακτική σειρά γεωμετρίας για μαθητές. Η ανάλυση βασίζεται στους ΓΧΕ οι οποίοι χρησιμοποιούνται ως εργαλείο για να διευκρινιστεί και να δομηθεί μια διδασκαλία στη γεωμετρία με συνοχή.

Θα παρουσιάσουμε το μοντέλο των ΓΧΕ και την έννοια των γεωμετρικών παραδειγμάτων, και στη συνέχεια την ανάλυση μιας σύνθετης και μακράς σειράς δραστηριοτήτων στην έννοια του κύκλου

Διδακτική ανάλυση μιας διδακτικής σειράς μέσω του ΓΧΕ πρίσματος Ο ΓΧΕ θα χαρακτηριστεί και θα χρησιμοποιηθεί για να σκεφθούμε την γενική ερώτηση της συνολικής οργάνωσης της διδασκαλίας της γεωμετρίας.

Η σειρά που επιλέχθηκε ο κύκλος, το συνολικό πρόγραμμα είναι εξαιρετικά φιλόδοξο και περιλαμβάνει 8 μαθήματα-από μισή ώρα στη μία ώρα- τα οποία μπορούν να διαμοιραστούν στη διάρκεια 3 μηνών. Ο κύριος στόχος της σειράς είναι να εισάγει την γενική έννοια του κύκλου ως ένα σύνολο όλων των σημείων σε ίση απόσταση από ένα δοθέν σημείο, το κέντρο. Τη χρήση αυτής της ιδιότητας για την επίλυση προβλημάτων απόστασης, να τη συσχετίσει στην κατασκευή με διαβήτη ο οποίος χρησιμοποιείται επίσης για την μεταφορά αποστάσεων.

Σύμφωνα με το επιστημολογικό επίπεδο, ο κύκλος θεωρείται ως μια τριάδα (σημείο, τεχνούργημα, ιδιότητα) και σε αυτή την περίπτωση η ακόλουθη οντότητα (κύκλος ως σχέδιο, διαβήτης, ίση απόσταση) είναι το γεωμετρικό εργαλείο που σκοπεύεται από την σειρά.

Για εμάς, Γεωμετρία Ι είναι το παράδειγμα που σκοπεύεται από την διδασκαλία της γεωμετρίας στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση και αυτή η διδασκαλία πρέπει να προάγει τη βάση αυτής της πρώτης γεωμετρίας βασιζόμενη στην μελέτη χειραπτικών και κατασκευάσιμων αντικειμένων η οποία χρειάζεται την συντονισμένη χρήση των γνωστικών συστατικών του ΓΧΕ, δηλ. οπτικοποίηση, κατασκευή και συλλογιστική με λόγο (λεκτική – αποδεικτική).

Από αυτή την άποψη, οι στόχοι της επιλεγμένης σειράς συγχρονίζονται με τη δική μας σύλληψη σχετικά με το τι θα πρέπει να περιλαμβάνει μια γεωμετρική εργασία για να θεωρηθεί πλήρης σε αυτό το σχολικό επίπεδο. Αρχικά παίζει στην οπτική αναγνώριση και τεχνουργήματα χρησιμοποιούνται για να διαμορφώσουν την ανάδυση της μαθηματικής έννοιας του κύκλου ως ένα θεωρητικό εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να λυθούν γεωμετρικά προβλήματα που σχετίζονται με την απόσταση. Θα αναφερθούμε μόνο στα μαθήματα 1, 2, 3, 4 και 7.

Κάθε ένα από τα 5 μαθήματα θα αναλυθεί κάνοντας χρήση του μοντέλου ΓΧΕ. Οι συμμετέχοντες ερωτήθηκαν να προσδιορίσουν, αν είναι δυνατόν, τις διαφορετικές εισαχθείσες διαστάσεις στην εργασία – σημειωτική, εργαλειακή, λεκτική – και τα ευνοούμενα επίπεδα με συνδυασμούς των παραπάνω. Αυτή η ταυτοποίηση υπογραμμίζει τις δυναμικές της γεωμετρικής εργασίας κατά τη διάρκεια των διαφορετικών μαθημάτων και επιτρέπει να χαρακτηριστεί ο συνολικός κατάλληλος και προσωπικός ΓΧΕ.

ΜάθημαΕισαγωγή στην γεωμετρική εργασία Διάγραμμα ΓΧΕ Μάθημα 1Η γεωμετρική εργασία ξεκινά στο επίπεδο [Σημειωτική – Εργαλειακή] και συμπεραίνεται με την εκφώνηση της χαρακτηριστικής ιδιότητας του κύκλου η οποία εμπλουτίζει το θεωρητικό πλαίσιο αναφοράς στους ΓΧΕ

Μάθημα 2Η νέα θεωρητική ιδιότητα χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί στην επίλυση ενός προβλήματος. Η εισαγωγή στην εργασία είναι αρχικά μάλλον σημειωτική αλλά η χρήση απόδειξης με λόγο απαιτείται για την επικύρωση της λύσης. Η χρήση σχεδιαστικών εργαλείων εξαρτάται πολύ στην ταυτοποίηση της χαρακτηριστικής ιδιότητας του κύκλου που δόθηκε προηγούμενα. Τεχνουργήματα προτείνονται, κατ’επιλογή, ως εργαλεία επαλήθευσης μετά την εργασία στο επίπεδο [Σημειωτική-Λεκτική]

Μάθημα 3 Η γεωμετρική εργασία αυτή τη φορά είναι στο επίπεδο [Σημειωτική – Λεκτική] αλλά με μια ξεκάθαρη συλλογιστική εισαγωγή διότι το ελεύθερο σχέδιο χρησιμοποιείται και μπορεί να θεωρηθεί ως συμβολικό σημείο. Τα σχεδιαστικά εργαλεία σχεδόν αφήνονται πέρα και ο μόνος αποδεκτός τρόπος για την επαλήθευση μιας λύσης περνάει μέσω της συλλογιστικής διάστασης. Η ιδέα είναι να δειχθεί ότι ο κύκλος είναι ένα θεωρητικό αντικείμενο που βασίζεται στην χαρακτηριστική ιδιότητα και όχι μόνο ένα εμπειρικό αντικείμενο αντιληπτό (αισθητηριακά) και εργαλειακά συνδεόμενο σε μια ζωγραφιά. Η επικύρωση βασίζεται σε μια συλλογιστική με λόγο απόδειξη στην γεωμετρία Ι και κατάλληλη για το επίπεδο του δημοτικού αλλά προετοιμάζει την γεωμετρία ΙΙ που θα αποτελέσει την πρόκληση της δευτεροβάθμιας. Όπως πριν ανοίχθηκε η πιθανότητα στους μαθητές να γυρίσουν στην πειραματική επικύρωση αν είναι αναγκαία για την δική τους κατανόηση.

Μάθημα 4Αυτή τη φορά, η δραστηριότητα υποθέτει μια κατασκευή μετά την μοντελοποίηση του προβλήματος. Αφού η εργασία ερμηνεύτηκε, η γεωμετρική εργασία τοποθετείται κύρια στο επίπεδο [Λεκτική – Εργαλειακή] κάνοντας χρήση του θεωρητικού συστήματος αναφοράς, την χαρακτηριστική ιδιότητα του κύκλου που εμφανίζεται ως ένα θεωρητικό εργαλείο για να χτιστεί η λύση. Τα δεδομένα δίνονται στο σημειωτικό μητρώο και η ιδιότητα του κύκλου εξασφαλίζει την επικύρωση της λύσης

Μάθημα 7Ο διαβήτης θα αποκτήσει μια νέα λειτουργία. Αρχικά, θεωρείται ένα εργαλείο που προορίζεται για την κατασκευή κύκλων, ο διαβήτης χρησιμοποιείται για την μεταφορά μηκών και την κατασκευή άλλων γεωμετρικών σχημάτων όπως τα τρίγωνα. Η μεγέθυνση της χρήσης του τεχνουργήματος σκοπεύεται και σχετίζεται με το θεωρητικό σύστημα αναφοράς και το σχήμα κύκλος. Η γεωμετρική εργασία ξεκινά στο επίπεδο [Σημειωτική – Λεκτική] για να θρέψει τότε την εργαλειακή διάσταση

Όπως σημειώθηκε, η γεωμετρική εργασία επικεντρώνεται στην ανάπτυξη της έννοιας του κύκλου ειδωθέν ως ένα σύνολο όλων των σημείων με ίση απόσταση από ένα δοθέν σημείο και συνδέεται στενά με τη χρήση διαβήτη. Το επιστημολογικό επίπεδο στον κατάλληλο ΓΧΕ μπορεί να οριστεί από την τριάδα [κύκλος ως σχέδιο, διαβήτης, ίση απόσταση]. Η γεωμετρική εργασία που διαμορφώθηκε από τους σχεδιαστές της σειράς βασίζεται, αρχικά, από το τεχνούργημα – υλικό να αναδείξει-αναδύσει μια ιδιότητα και να εμπλουτίσει το σύνολο των θεωρητικών εργαλείων.

Τότε το τεχνούργημα – υλικό αφέθηκε για να προωθήσει μια συλλογιστική με λόγο χρησιμοποιώντας την θεωρητική έννοια του κύκλου σχετιζόμενη με την έννοια της ίσης απόστασης. Στο τέλος της σειράς, μια επιστροφή στο τεχνούργημα – υλικό έγινε για την εισαγωγή μιας νέας χρήσης του διαβήτη και να ξεκινήσει ξανά η κίνηση της γεωμετρικής εργασίας μέσω των διαφορετικών κάθετων επιπέδων. Συνολικά η εργασία μένει στη Γεωμετρία Ι αλλά θέτει ξεκάθαρα κάποιες βάσεις για μια επόμενη προσδοκώμενη εργασία στην Γεωμετρία ΙΙ στη δευτεροβάθμια.

Πίσω στην ερώτηση της ανάπτυξης Στο αναλυτικό πρόγραμμα η γεωμετρική εργασία επικεντρώνεται και δομείται γύρω από την μελέτη ορισμένων συγκεκριμένων γεωμετρικών αντικειμένων και σε κάποιες σχέσεις ανάμεσα σε αυτά τα αντικείμενα. Επίσης σχετίζεται με την περιοχή Μεγέθη – μέτρηση.

Σε αυτό θα πρέπει να προσθέσουμε την ακριβή και προσεκτική χρήση σχεδιαστικών εργαλείων που παραμένει ένας από τους στόχους της γεωμετρικής εργασίας ο οποίος προσανατολίζεται στην κατασκευή χειραπτικών αντικειμένων (Γεωμετρία Ι). Αυτό μας οδήγησε να θεωρήσουμε την εργασία προσέγγισης ως μέρος του αναλυτικού της γεωμετρίας. Στην πρωτοβάθμια, η γεωμετρική προσέγγιση θεωρείται γενικά ως μια προσαρμογή σχετιζόμενη με εργαλεία (εργαλειακή προσέγγιση) ή μόνο ελεγχόμενη με χέρια και μάτια (απτική - οπτική προσέγγιση).

Εδώ, θα συνδέσουμε την προηγούμενη ανάλυση, μέσω της οπτικής του ΓΧΕ, της σειράς που αφιερώθηκε στην μελέτη της τριάδας (κύκλος, διαβήτης, ίση απόσταση) με τις οδηγίες του αναλυτικού. Η εργασία γύρω από την οντότητα [κύκλος, διαβήτης, ίση απόσταση] παρουσιάζεται συνοπτικά με τον επόμενο πίνακα.

Διαστάσεις της γεωμετρικής εργασίας Επίσημο αναλυτικό ΣημειωτικήΕργαλειακήΛεκτική Γεωμετρικό αντικείμενο Ο κύκλος ως 0D και 1D αντικείμενο Διπλή λειτουργία του διαβήτη για σχεδιασμό ενός κύκλου και τη μεταφορά μηκών Ένας κύκλος ως το σύνολο όλων των σημείων που είναι σε ίση απόσταση από ένα δοθέν σημείο, το κέντρο (και το αντίστροφο της).

Σχέσεις μεταξύ αντικειμένων Σημεία που βρίσκονται πάνω στον κύκλο είναι σε ίση απόσταση από το κέντρο Χάρακας και διαβήτης ως εργαλεία για την μεταφορά μηκών Ίση απόσταση μεταξύ σημείων Σύνδεση με μέγεθος Σύγκριση μηκώνΧάρακας και διαβήτης ως εργαλεία για την μεταφορά μηκών Μήκος ενός τμήματος και απόσταση των άκρων ενός τμήματος ΠροσέγγισηΠροσαρμογή Οπτική και εργαλειακή προσέγγιση Προσαρμογή Οπτική και εργαλειακή προσέγγιση Έμμεση στον λόγο στην ακρίβεια ενός σχεδίου

Σημειώνουμε ως αρχή ότι η γεωμετρική εργασία μπορεί να θεωρηθεί ως πληρης όταν η γεωμετρική οντότητα [σημείο, τεχνούργημα, ιδιότητα] οργανώνεται και λειτουργεί τις τρεις εισαγωγές στις διαστάσεις σημειωτική, εργαλειακή και συλλογιστική. Ως ένα αποτέλεσμα, για το χτίσιμο μιας ανάπτυξης στη γεωμετρία υποθέτει πρώτα την αναγνώριση των σημαντικών γεωμετρικών οντοτήτων του αναλυτικού και στη συνέχεια μια ανάλυση της εργασίας που σχετίζεται με αυτές τις οντότητες με όρους ΓΧΕ διαστάσεων.

Σε κάποιο βαθμό, αυτή η άποψη αναφέρεται στην ανάπτυξη ενός εννοιολογικού πεδίου γύρω από αυτές τις έννοιες υπό την έννοια του Vergnaud. Ορισμένες κύριες οντότητες [ευθείες, χάρακας και γνώμονας, ορθογωνιότητα και ορθές γωνίες], [σημεία, χάρακας, ευθυγράμμιση], [τετράπλευρο, χάρακας και γνώμονας και διαβήτης, παραλληλία και γωνίες και μήκη].

Η αρχική μας ερώτηση ήταν πώς να σκεφθούμε μια συνολική ανάπτυξη στην διδασκαλία της γεωμετρίας στην πρωτοβάθμια. Για να ασχοληθούμε με αυτό το πρόβλημα, κάναμε εισαγωγή μιας διπλής προσέγγισης. Βασικές μαθηματικές οντότητες στο αναλυτικό πρέπει να αναγνωριστούν και δραστηριότητες και εργασίες σχετιζόμενες με μια συγκεκριμένη οντότητα μπορούν να αναλυθούν σύμφωνα με το ΓΧΕ μοντέλο ώστε να διασφαλιστεί μια συνολική συνοχή.