h Μέθοδος του Steffensen f(x n ) f(x n +h) xnxn x n +h Προσέγγιση της f ’(x) με τη συνάρτηση g(x), όπου, g(x)= {f(x+h)-f(x)}/h

Μέθοδος του Steffensen f(x n ) f(x n +h) xnxn x n +h Προσέγγιση της f ’(x) με τη συνάρτηση g(x), όπου, g(x)= {f(x+h)-f(x)}/h Για ορίσματα ίσα με την τιμή της συνάρτησης στο x n ( f(x)=h )

Μέθοδος του Steffensen H g(x)= {f(x+h)-f(x)}/h στο σημείο x n γίνεται g(x n ) = {f((x n )+f(x n ))-f(x n )}/f(x n ) f(x n ) f(x n +h) xnxn x n +h

Μέθοδος του Steffensen f(x n ) f(x n +h) xnxn x n +h Τέλος, ο Steffensen αντικαθιστά στον τύπο των Newton – Raphson την κλίση της συνάρτησης στο x n x n+1 = x n – f(x n ) / {f((x n )+f(x n ))-f(x n )}/f(x n ) = x n – f 2 (x n ) / {f((x n )+f(x n ))-f(x n )}

Μέθοδος του Steffensen ΕΡΩΤΗΣΗ: 1.Η Μέθοδος Steffensen βελτιώνει τη μέθοδο Newton – Raphson; 2.Τι σφάλμα εισάγει η μέθοδος; 3.Πότε δεν συγκλίνει η μέθοδος; 4.Τι πρέπει να προσέξουμε για να αποφύγουμε σφάλματα; 5.Να εφαρμόσετε τις μεθόδους Steffensen και Newton – Raphson και να σημειώσετε τις παρατηρήσεις σας

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ..\EXAMPLES (version 1).xls The main advantage of Steffensen's method is that it has quadratic convergence like Newton's method – that is, both methods find roots to an equation just as 'quickly'. In this case quickly means that for both methods, the number of correct digits in the answer doubles with each step. But the formula for Newton's method requires a separate function for the derivative; Steffensen's method does not. So Steffensen's method can be programmed for a generic function, as long as that function meets the constraints mentioned above.quadratic convergenceNewton's method The price for the quick convergence is the double function evaluation: both and must be calculated, which might be time-consuming if is a complicated function. For comparison, the secant method needs only one function evaluation per step, so with two function evaluations the secant method can do two steps, and two steps of the secant method increase the number of correct digits by a factor of 1.6. The equally time-consuming single step of Steffensen's (or Newton's) method increases the correct digits by a factor of 2 – only slightly better.secant method Similar to Newton's method and most other quadratically convergent algorithms, the crucial weakness in Steffensen's method is the choice of the starting value. If the value of is not 'close enough' to the actual solution, the method may fail and the sequence of values may either flip flop between two extremes, or diverge to infinity (possibly both!).Newton's methodquadratically convergent

Διαίρεση Πολυωνύμων Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Δ(x) δ(x) π(x) + υ(x) Όπου degυ(x) ≤ degδ(x) Όταν το Δ(x) είναι πολυωνυμική συνάρτηση p=p(x) με degp(x)=n και δ(x) είναι διώνυμο με degδ(x)=1,

Όταν ο διαιρέτης είναι διώνυμο 1 ου βαθμού, η synthetic division καλείται σχήμα Horner Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Διαίρεση με Διαδικασία Σύνθεσης / Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner 3

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner 3-6

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner 3-64

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner 3-647

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x-3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x+3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x+3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x+3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x+3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Σχήμα Horner

Δίνεται το p(x)= 3x 4 - 6x 3 +4x 2 +7x-5 και ζητείται να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης με το δ(x)=x+3 Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετούνται οι συντελεστές στην πρώτη γραμμή Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Τοποθετείται ο σταθερός όρος του διαιρέτη στο τελευταίο κελί του πίνακα Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Σχήμα Horner x3=9

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner x3=9

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Επαναλάβετε τη διαδικασία στις λοιπές στήλες Σχήμα Horner

Στο πρώτο κελί της τρίτης γραμμής τοποθετείστε τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Τοποθετείστε το γινόμενο στο δεύτερο κελί της δεύτερης γραμμής Γράψτε το άθροισμα των δυο αριθμών της δεύτερης στήλης στο ελεύθερο κελί της τρίτης γραμμής Σχήμα Horner

Το πηλίκο είναι : P 3 (x)= 3x 3 +3x 2 +13x +46 Σχήμα Horner

Το πηλίκο είναι : P 3 (x)= 3x 3 +3x 2 +13x +46 To υπόλοιπο είναι: υ(x) = 133 Σχήμα Horner

ΕΡΩΤΗΣΗ Σχήμα Horner

ΕΡΩΤΗΣΗ Έστω διαιρετέος το p(x)= 3,23x 2 – 4,5x + 12,1 Σχήμα Horner

ΕΡΩΤΗΣΗ Έστω διαιρετέος το p(x)= 3,23x 2 – 4,5x + 12,1 Πώς εφαρμόζεται το σχήμα Horner όταν ο διαιρέτης είναι (2x-7) Σχήμα Horner

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ:..\EXAMPLES (version 1).xls d.html d.html Algorithm%20.pdf Algorithm%20.pdf Σχήμα Horner

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής.

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής. -42

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής. 0-42

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής. Οι αντίθετοι των συντελεστών των όρων του δ(x) τοποθετούνται με ως εξής:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή degδ(x) =2, κατασκευάζεται ο πίνακας Οι τέσσερεις συντελεστές του Δ(x) τοποθετούνται στο αριστερό της 1 ης γραμμής. Οι αντίθετοι των συντελεστών των όρων του δ(x) τοποθετούνται με ως εξής:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Εισάγεται ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του Δ(x) στο κελί της τελευταίας γραμμής (της ίδιας στήλης)

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Εισάγεται ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του Δ(x) στο κελί της τελευταίας γραμμής (της ίδιας στήλης). Εκτελούνται οι πολλαπλασιασμοί (όπως στο σχήμα Horner:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Εκτελούνται οι πολλαπλασιασμοί (όπως στο σχήμα Horner: Εκτελείται η πρόσθεση:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Εκτελείται η πρόσθεση: Επαναλαμβάνεται η διαδικασία:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Εκτελείται η πρόσθεση: Επαναλαμβάνεται η διαδικασία:

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή το πλήθος των αριθμών στα αριστερά της μαύρης γραμμής είναι 2, το υπόλοιπο είναι βαθμού

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή το πλήθος των αριθμών στα αριστερά της μαύρης γραμμής είναι 2, το υπόλοιπο είναι βαθμού

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή το πλήθος των αριθμών στα αριστερά της μαύρης γραμμής είναι 2, το υπόλοιπο είναι βαθμού 1. Από δεξιά χωρίζουμε δυο όρους οπότε το πηλίκο είναι π(x)=x

Επέκταση της Διαίρεσης με Σύνθεση Έστω ότι Δ(x) = x 3 -12x και δ(x)= x 2 +x -3 Επειδή το πλήθος των αριθμών στα αριστερά της μαύρης γραμμής είναι 2, το υπόλοιπο είναι βαθμού 1. Από δεξιά χωρίζουμε δυο όρους οπότε το πηλίκο είναι π(x)=x-13 To υπόλοιπο είναι υ(x) = (16x-81)/(x 2 +x-3)

Επέκταση της Διαίρεσης με τετραγωνικές μορφές

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ: Επέκταση της Διαίρεσης με τετραγωνικές μορφές Divide x 4 + 8x x 2 + 4x + 1 by x 2 + 3x + 2, using synthetic division:

Πηλίκο = x 2 + 5x - 2 υπόλοιπο = 0x + 5

Big Idea..... Gauss proved that all polynomials with real valued coefficients can be factored into a product of linear factors (like x-a) and irreducible quadratic factors (qudratics that don't have real roots, and hence can't be factored over the reals). So we can factor any real valued polynomial with nothing bigger than quadratic division....