Φυσική (Θ) Ενότητα : Διανύσματα – Newton Αικατερίνη Σκουρολιάκου, Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η μετατόπιση του καθενός; 1

Διανυσματικό μέγεθος Μέτρο Διεύθυνση Φορά Αρχική θέση Τελική θέση Μετατόπιση Σύμβολο μέτρου διανύσματος 2

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια φορά. Δύο διανύσματα είναι αντίθετα αν έχουν ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά. 3

Υπάρχουν ίσα διανύσματα στο διάγραμμα; Αν ναι ποιά; Τα διανύσματα τα σχεδιάζουμε υπό κλίμακα όσο αφορά το μέτρο τους. 4

Ποια από τις παραπάνω ισότητες ισχύει; 5

Πρόσθεση διανυσμάτων Μηδενικό διάνυσμα: Μηδενικό μέτρο Δεν έχει διεύθυνση 6

Αφαίρεση διανυσμάτων 7

8

Πώς εκφράζονται τα παραπάνω διανύσματα με τη χρήση συνιστωσών; i, j : μοναδιαία διανύσματα με φορά τη θετική των χ και ψ αξόνων αντίστοιχα, και μέτρο ίσο με μια μονάδα. 9

10

0 χ y φ 11

Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό: Πολλαπλασιάζεται το μέτρο του διανύσματος με τον αριθμό, η φορά παραμένει η ίδια. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων: Το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό μέγεθος. (φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων) Παράδειγμα: έργο δύναμης F για μετατόπιση χ. Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων: Το αποτέλεσμα είναι διάνυσμα. Το διάνυσμα C έχει κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν τα διανύσματα Α,Β Α Β C 12

Τρεις δυνάμεις ασκούνται σε ένα σώμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε μια τέταρτη δύναμη που θα τις εξισορροπεί. 13

Αεροπλάνο απογειώνεται και πετάει για 170km, 68 0 ανατολικά του Βορρά. Αλλάζει κατεύθυνση και πετάει 238km 48 0 νότια της Ανατολής. Λόγω βλάβης κάνει αναγκαστική προσγείωση. Σε ποια κατεύθυνση και σε πόση απόσταση από την αφετηρία του βρίσκεται; 170km, km 48 0 φ Α Β θ ΑχΑχ ΑyΑy BχBχ ByBy 14

Διάνυσμα θέσης Το κινούμενο σώμα βρίσκεται στη θέση P. Το διάνυσμα θέσης έχει αρχή την αρχή τών καρτεσιανών αξονων και τέλος το σημείο P. Αν οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου P είναι οι χ,y,z, τότε το διάνυσμα θέσης είναι: 15

Το σώμα μέσα σε χρονικό διάστημα Δt μετακινείται από το σημείο P 1 (όπου το διάνυσμα θέσης είναι το r 1 ), στο σημείο P 2 όπου το διάνυσμα θέσης είναι το r 2. Η μετατόπιση στο χρονικό διάστημα Δt. 16

Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα Το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στη διαδρομή. χ y u uxux uyuy 17

Διαστημικό όχημα εξερευνά την επιφάνεια του Αρη. Οι συντεταγμένες χ και y του οχήματος μεταβάλλονται χρονικά σύμφωνα με τις παρακάτω εξισώσεις. Βρείτε τις συντεταγμένες του οχήματος και την απόσταση από την αφετηρία τη στιγμή t=2s. Βρείτε τη μετατόπιση και τη μέση ταχύτητα του οχήματος μεταξύ 0 και 2s. Βρείτε την εξίσωση της στιγμιαίας ταχύτητας. Ποια η στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t=2s; 18

y(m) x(m) r0r0 r1r1 x(0)=2m x(2)=1m, y(2)=2,2m u0u0 u1u

u1u1 u2u2 Δu=u 2 -u 1 20

Φαίνονται τα διανύσματα της ταχύτητας σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Ποιο το διάνυσμα της επιτάχυνσης; 21 -v1-v1 α

Χτυπάτε μια μπάλα του μπιλιάρδου έτσι ώστε να αποκτήσει ταχύτητα 3,8m/s κατά μήκος του τραπεζιού. Όταν η μπάλα φτάσει στην άλλη άκρη (μήκος 1,75m), η ταχύτητα κατά μήκος παραμένει 3,8m/s αλλά η μπάλα έχει μετατοπιστεί 2,5cm προς τα δεξιά. Ποια είναι η γωνία κλίσης του τραπεζιού; (Θεωρήστε ότι δεν υπάρχουν τριβές και ότι η μπάλα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση). 22

Το διάνυσμα της επιτάχυνσης περιγράφει αλλαγή του μέτρου της φοράς του διανύσματος της ταχύτητας. α απαπ ακακ Η παράλληλη με την ταχύτητα συνιστώσα της επιτάχυνσης α π αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας, ενώ η κάθετη α κ τη φορά της. 23

Ομοιόμορφη κυκλική κίνηση u ακακ 24

Πετάτε μια πέτρα με κλίση πάνω από την οριζόντια. Ποιο από τα διαγράμματα αντιπροσωπεύει τη σχέση u=f(t); 25

Δύναμη: αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σωμάτων ή μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντός του (πεδίο δυνάμεων). Δυνάμεις επαφής. Τριβή. Τάσεις. Βάρος. Μέτρο και φορά. Συμβολίζεται με F, μονάδα μέτρησης Newton (N). Το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη δύναμη που αποτελεί το διανυσματικό άθροισμά τους. 26

Εργάτης σπρώχνει ένα κιβώτιο ασκώντας τη δύναμη F που φαίνεται στο σχήμα, βρείτε τις συνιστώσες της F 27

Δύο δυνάμεις F έχουν το ίδιο μέτρο. Ποια είναι η γωνία μεταξύ τους αν το άθροισμά τους είναι: 2F 0 28

Νόμοι του Newton 29 Οταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι μηδέν, αυτό κινείται με σταθερή ή μηδενική ταχύτητα και μηδενική επιτάχυνση. Κατάσταση ισορροπίας Αν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι μηδέν, το σώμα επιταχύνεται. Η φορά της επιτάχυνσης είναι ίδια με αυτή της συνισταμένης δύναμης. Αν ένα σώμα Α ασκεί δύναμη σε ένα σώμα Β (δράση) τότε και το Β ασκεί δύναμη στο Α (αντίδραση). Αυτές οι δύο δυνάμεις είναι ίσες σε μέτρο, έχουν αντίθετη φορά και ασκούνται σε διαφορετικά σώματα.

Αυτοκινητάκι μάζας 4,5 kg επιταχύνεται κατά μήκος του χ άξονα. Στο διάγραμμα φαίνεται η επιτάχυνση σε σχέση με το χρόνο. Ποια είναι η μέγιστη δύναμη που ασκείται στο αυτοικίνητο; Πότε ασκείται; Για ποιο χρονικό διάστημα η δύναμη που ασκείται είναι σταθερή; Πότε η δύναμη είναι ίση με το μηδέν; 30

Γάτα μάζας 2,75kg κινείται κατά τον χ-άξονα. Η ταχύτητά της σε σχέση με το χρόνο φαίνεται στο διάγραμμα. Ποια η μέγιστη δύναμη που ασκείται στη γάτα; Πότε ασκείται; Πότε η δύναμη είναι μηδέν; Πόση είναι η δύναμη στα 8,5s; 31

Πως αλλάζουν η ταχύτητα και η επιτάχυνση μετά από αυτό το σημείο; 32

Σφαίρα κινείται με ταχύτητα 250m/s. Η μάζα της είναι 1,8g. Χτυπάει σε κορμό δέντρου και καρφώνεται σε βάθος 0,130m. Εστω ότι η δύναμη επιβράδυνσης είναι σταθερή. Πόση ώρα χρειάζεται η σφαίρα για να σταματήσει; Πόση δύναμη της ασκεί το δέντρο; 33

Οι μηχανές ενός πετρελαιοφόρου έχουν χαλάσει και ο αέρας το σπρώχνει πάνω σε ύφαλο με σταθερή ταχύτητα 1,5m/s. Οταν το πλοίο είναι 500m από τοιν ύφαλο ο αέρας πέφτει και οι μηχανές επαναλειτουργούν. Η επιλογή είναι να επιταχύνει το πλοίο προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η μάζα του πλοίου είναι 3,6×10 7 kg και η δύναμη που ασκούν οι μηχανές είναι 8×10 4 Ν. Θα γλιτώσει το πλοίο; Εάν όχι το πετρέλαιο είναι ασφαλές; Το κύτος μπορεί να αντέξει σύγκρουση με ταχύτητα έως 0,2m/s. 34

Κουβάς 4,8 kg επιταχύνεται προς τα πάνω δεμένος με σκοινί, του οποίου η δύναμη θραύσης είναι 75Ν. Ποια η μέγιστη επιτάχυνση για να μη σπάσει το σκοινί; 35

Τέλος Ενότητας

Σημειώματα

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας, Αικατερίνη Σκουρολιάκου Αικατερίνη Σκουρολιάκου. «Φυσική (Θ). Ενότητα : Διανύσματα – Newton». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.ocp.teiath.gr

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί και δοθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. © διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανσηΣυνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.