Κλασσική Μηχανική Ενότητα 1: Εισαγωγικές Έννοιες-Ορισμοί Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Μονοδιάστατη κίνηση Επίπεδη κίνηση υλικού σημείου Ροπή δυνάμεως ως προς σημείο Α Στροφορμή υλικού σημείου P μάζας m ως προς σημείο A Σχέση στροφορμής και εμβαδικής ταχύτητας υλικού Μηχανική ενέργεια

Μονοδιάστατη κίνηση (1) Θεωρούμε κινητό μάζας το οποίο κινείται υπό την επίδραση δυνάμεως.Έστω το διάνυσμα θέσεως του υλικού σημείου ως προς την αρχή ακινήτου συστήματος αναφοράς. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του ως προς το δίδονται από τις σχέσεις: Η διαφορική εξίσωση της κινήσεως είναι:

Μονοδιάστατη κίνηση (2) Ως ορμή του υλικού σημείου ορίζεται το διάνυσμα: Επομένως, εφ’ όσον η μάζα του σώματος παραμένει σταθερή:

Μονοδιάστατη κίνηση (3) Χωρίς να χαθεί η γενικότητα, θεωρούμε εν συνεχεία ότι το κινητό εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση επί του άξονος, οπότε η διαφορική εξίσωση της κινήσεως γράφεται: η λύση της παραπάνω διαφορικής εξισώσεως θα είναι της μορφής:

Επίπεδη κίνηση υλικού σημείου (1) Θεωρούμε υλικό σημείο P, το οποίο κινείται επί της επιπέδου καμπύλης. Θα περιγράψουμε την κίνησή του σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες r, θ. Ορίζουμε το δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα Ο(rθz) με μοναδιαία διανύσματα τα οποία φαίνονται στην παρακάτω εικόνα:

Επίπεδη κίνηση υλικού σημείου (2)

Ροπή δυνάμεως ως προς σημείο A H ροπή της δυνάμεως F, ως προς το σημείο A γράφεται: Αν τα σημεία A και O ταυτίζονται, τότε:

Στροφορμή υλικού σημείου P μάζας m ως προς σημείο A Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο A ορίζεται ως το εξωτερικό γινόμενο:

Σχέση στροφορμής και εμβαδικής ταχύτητας υλικού (1) Έστω υλικό σημείο P(m) με διάνυσμα θέσεως r. Το υλικό σημείο κινείται επί καμπύλης C και κατά την στιγμή t έχει διάνυσμα θέσεως r(t), ενώ κατά την στιγμή t+δt έχει διάνυσμα θέσεως r(t+δt). Το εμβαδόν δ S της επιφάνειας ισούται με:

Σχέση στροφορμής και εμβαδικής ταχύτητας υλικού (2) Μετά από κατάλληλες πράξεις προκύπτει ότι το μέτρο της εμβαδικής ταχύτητας ισούται με:

Σχέση στροφορμής και εμβαδικής ταχύτητας υλικού (3) Επίσης η στροφορμή του υλικού σημείου P ως προς την αρχή O ορίζεται ως το: Κατά συνέπεια, η σχέση μεταξύ στροφορμής και εμβαδικής ταχύτητας υλικού σημείου, είναι:

Μηχανική ενέργεια (1) Θεωρούμε υλικό σημείο P(r) μάζας m το οποίο κινείται από την θέση 1 στην θέση 2 επί καμπύλης C υπό την επίδραση δυνάμεως F. Το έργο της δυνάμεως ορίζεται ως το ολοκλήρωμα: Όμως μέσω κατάλληλων πράξεων καταλήγουμε στο ότι το έργο W ισούται επίσης και με:

Μηχανική ενέργεια (2)

Μηχανική ενέργεια (3) Το έργο της δυνάμεως, η οποία απορρέει από δυναμική συνάρτηση ισούται με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής συναρτήσεως ή άλλως ισούται με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του υλικού σημείου. Επομένως από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει: Το πεδίο δυνάμεων αυτής της μορφής καλείται διατηρητικό. Το άθροισμα καλείται μηχανική ενέργεια του υλικού σημείου.

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από το βιβλίο: ‘ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Γεώργιος Καραχάλιος και Βασίλειος Λουκόπουλος, Πάτρα 2009’, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Βασίλειος Λουκόπουλος. «Κλασσική Μηχανική. Ενότητα 1». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

Τέλος Ενότητας