Ενότητα 13: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις E. Schrödinger ( documentary ) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) (documentary) Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia Πηγή: WikipediaWikipedia

6 Περιεχόμενα της ενότητας 12  Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις  Επέκταση της εξίσωσης του Schrödinger στις τρείς διαστάσεις.  Το κβαντικό σωμάτιο σε κυβικό κουτί δυναμικού.  Φυσικοί και μαθηματικοί περιορισμοί των λύσεων (οριακές συνθήκες).

7 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Την εξίσωση του Schrödinger σε τρεις διαστάσεις.  Τη συμπεριφορά κβαντικού σωματίου σε κυβικό κουτί δυναμικού.  Τη κβάντωση της ορμής και της ενέργειας του σωματίου.  Την έννοια του εκφυλισμού και την άρση του.  Την αναγκαιότητα εισαγωγής και τρίτου κύριου κβαντικού αριθμού.

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Μέχρι τώρα χρησιμοποιήσαμε την κβαντομηχανική για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματίου σε μία διάσταση. Θα επεκτείνουμε πλέον, τις έννοιες της κβαντομηχανικής σε τρεις διαστάσεις για να μπορέσουμε να αντιμετωπίσουμε τις εφαρμογές της ατομικής και πυρηνικής φυσικής καθώς και προβλήματα της φυσικής στερεάς κατάστασης. Με την εισαγωγή νέων βαθμών ελευθερίας σε τρεις διαστάσεις, υπεισέρχεται μια σημαντική αύξηση του βαθμού δυσκολίας των αναγκαίων μαθηματικών εργαλείων. Για το λόγο αυτό, θα συζητήσουμε τις προβλέψεις της θεωρίας για το απλούστερο των πραγματικών συστημάτων που είναι το άτομο του υδρογόνου. L E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις L Ας υποθέσουμε ότι ένα σωμάτιο κινείται μέσα σε ένα κυβικό «κουτί». Το κουτί έχει διαστάσεις μήκους L στην περιοχή 0<x,y,z<L. Εάν το σωμάτιο ήταν κλασικό τότε κινείται περιορισμένο στο κουτί και προσκρούει στα τοιχώματά του. Σε κάθε κρούση η συνιστώσα της ορμής η κάθετη στο τοίχωμα αλλάζει πρόσημο ενώ οι άλλες δύο συνιστώσες παραμένουν αμετάβλητες. Άρα οι κρούσεις διατηρούν το μέτρο κάθε μιας συνιστώσας της ορμής, πέρα από την ολική ενέργεια του σωματίου. Η κυματοσυνάρτηση Ψ που περιγράφει το σωμάτιο είναι μια συνάρτηση των r και t και η οποία θα μηδενίζεται έξω από τα τοιχώματα του κουτιού. Το κύμα μέσα στο κουτί προσδιορίζεται από την εξίσωση: όπου To ονομάζεται Λαπλασιανή. E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Εάν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας U είναι συνάρτηση μόνο θέσης, δηλαδή, U(r)=U(x,y,z) τότε οι στάσιμες καταστάσεις είναι λύσεις της εξίσωσης Schrödinger σε χωριζόμενη μορφή Το χωρικό μέρος ψ(r) της κυματοσυνάρτησης ικανοποιεί την χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger. L E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Αφού το σωμάτιο είναι ελεύθερο μέσα στο κουτί, παίρνουμε τη δυναμική ενέργεια ίση με το μηδέν, U(x)=0. Στην περίπτωση αυτή η ψ(r) είναι επίσης διαχωρίσιμη και γράφεται: Εισάγοντας την έκφραση αυτή στη χρονοανεξάρτητη εξίσωση και διαιρώντας κάθε όρο με το ψ(x,y,z) παίρνουμε: Για να ικανοποιείται η εξίσωση αυτή παντού μέσα στο κυβικό κουτί πρέπει: L E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Κάθε μια από τις εξισώσεις αυτές είναι ίδια με αυτή για το μονοδιάστατο φρέαρ απείρου βάθους. Επομένως προκύπτει: με L E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Για την ενέργεια προκύπτει επίσης: Καταλήγουμε δηλαδή, στην κβάντωση της ενέργειας και της ορμής του σωματίου. Είναι φανερό ότι για να προσδιορίσουμε τη συνθήκη κβάντωσης χρειάζονται τρεις κύριοι κβαντικοί αριθμοί. Για n 1 =n 2 =n 3 =1 έχουμε τη θεμελιώδη κατάσταση του σωματίου με ενέργεια: Αυξάνοντας τους κβαντικούς αριθμούς έχουμε τις διεγερμένες καταστάσεις: L E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Υπάρχουν τρεις πρώτες διεγερμένες καταστάσεις για τρεις διαφορετικούς συνδυασμούς των κβαντικών αριθμών. Παρόλο που οι 1 ες διεγερμένες καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια, χαρακτηρίζονται από διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις. με E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, όταν διαφορετικές καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια τότε η αντίστοιχη ενεργειακή στάθμη ονομάζεται εκφυλισμένη. Στο σωμάτιο μέσα σε κυβικό κουτί η 1 η διεγερμένη κατάσταση είναι τριπλά εκφυλισμένη. Ο εκφυλισμός οφείλεται στον υψηλό βαθμό συμμετρίας που υπάρχει λόγω του κυβικού σχήματος του κουτιού. Ο εκφυλισμός αίρεται εάν οι ακμές του κουτιού είχαν άνισα μήκη. Πράγματι ο βαθμός εκφυλισμού των ενεργειακών σταθμών μειώνεται όσο αυξάνεται ο βαθμός ασυμμετρίας του συστήματος. E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Συμπερασματικά, για ένα σωμάτιο εγκλωβισμένο σε κυβικό κουτί, η ενέργεια και η ορμή είναι κβαντισμένες ποσότητες. Η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το σωμάτιο μέσα σε κυβικό κουτί δίδεται από τη σχέση: O όρος Α=(2/L) 3/2 προκύπτει από την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης. Προκύπτει εκφυλισμός των ενεργειακών καταστάσεων που οφείλεται στον υψηλό βαθμό συμμετρίας του κυβικού κουτιού. E. Schrödinger

Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 13». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/ /PHY1961/

20 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας