Εμβιομηχανική Γωνιακά δυναμικά μεγέθη Ενότητα 7: Γωνιακά δυναμικά μεγέθη Αθανάσιος Τσιόκανος, Γιάννης Γιάκας Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Θεσσαλίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η γνωριμία με τα αίτια πρόκλησης των περιστροφικών κινήσεων (ροπές), με τα γωνιακά δυναμικά χαρακτηριστικά και τους νόμους που διέπουν αυτού του είδους τις κινήσεις. 4

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή στην περιστροφική δυναμική Ροπή δύναμης - Ροπή ζεύγους Μοχλοί - Μοχλοί στο ανθρώπινο σώμα Ροπή αδράνειας Στροφορμή Αντιστοιχίες των νόμων του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση Κινήσεις στον αέρα χωρίς στροφορμή 5

Εισαγωγή στην περιστροφική δυναμική Η περιστροφική δυναμική (γωνιακά δυναμικά χαρακτηριστικά) ασχολείται με τα τεκταινόμενα κατά την περίπτωση που ένα σώμα υπό την επίδραση κάποιας δύναμης κινείται περιστροφικά. Στην ουσία όλες οι εκούσιες κινήσεις του ανθρώπινου σώματος είναι περιστροφικές, καθότι η ανάπτυξη μυϊκών δυνάμεων έχει ως αποτέλεσμα την περιστροφική κίνηση στις διάφορες αρθρώσεις. Η μεταφορική κίνηση κάποιου ανθρώπινου μέλους είναι αποτέλεσμα δύο ή περισσότερων περιστροφικών κινήσεων (η μεταφορική κίνηση του άκρου χεριού και η ώθηση της σφαίρας στη σφαιροβολία είναι αποτέλεσμα της έκτασης του αγκώνα λόγω της εφαρμοζόμενης δύναμης του τρικέφαλου βραχιόνιου μυός και της κάμψης του καρπού λόγω της δύναμης που αναπτύσσουν οι καμπτήρες της άρθρωσης αυτής). 6

Ροπή δύναμης 1 Όταν μια δύναμη F επιδρά σε ένα σώμα, χωρίς ο φορέας της δύναμης να περνά από το συμμετρικό κέντρο του σώματος, τότε το περιστρέφει με μια ροπή περιστροφής Μ. Ροπή περιστροφής είναι το γινόμενο της δύναμης F επί την κάθετη απόσταση r (μοχλοβραχίονας της δύναμης, κάθετη απόσταση του κέντρου περιστροφής από τον φορέα της δύναμης) (N.m). M = F. r Πολλές ροπές περιστροφής μπορούν να δρουν ταυτόχρονα σε ένα σώμα. Η συνισταμένη τους προκύπτει από το άθροισμά τους. Οι ροπές με φορά αντίθετη των δειχτών του ωρολογιού είναι θετικές (αριστερόστροφες). 7

Ροπή δύναμης 2 Η εφαρμογή των δύο δυνάμεων F1 και F2 έχει ως αποτέλεσμα την μεταφορική κίνηση του αναπηρικού καροτσιού. Η εφαρμογή μόνο της F1 έχει ως αποτέλεσμα, εκτός από την μεταφορική, και περιστροφική κίνηση του καροτσιού (ροπή περιστροφής). 8

Ροπή δύναμης 3 Η ροπή δύναμης είναι διανυσματικό μέγεθος και η διεύθυνσή της ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Έχει θετική φορά όταν αυτή είναι αντίθετη της κίνησης των δειχτών του ωρολογιού. Εδώ, παρουσιάζονται ο άξονας περιστροφής, ο μοχλοβραχίονας της δύναμης και ο φορέας της δύναμης. 9

Ροπή ζεύγους Μια ροπή F R *d R αναπτύσσεται από το δεξί άκρο πόδι, ενώ άλλη μια ροπή F L *d L αναπτύσσεται από το αριστερό άκρο πόδι. Αφού αυτές οι δύο ροπές είναι ίσες και με την ίδια γωνιακή κατεύθυνση, η ροπή ζεύγους (ζεύγος δυνάμεων) θα έχει ως αποτέλεσμα μια περιστροφή γύρω από τον επιμήκη άξονα τον διερχόμενο από το κέντρο μάζας του σώματος. 10

Μοχλοί 1 Οι μοχλοί είναι μηχανές που χρησιμοποιούνται: α) για την αλλαγή της διεύθυνσης ή και της φοράς της δύναμης, β) για τον πολλαπλασιασμό της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της δύναμης αντίστασης, γ) για τον πολλαπλασιασμό του αποτελέσματος της εφαρμοζόμενης δύναμης. 11

Μοχλοί 2 Ο μοχλός είναι μια άκαμπτη ράβδος που περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο ή έναν άξονα περιστροφής (υπομόχλιο) υπό την επίδραση δύο αντιμαχόμενων δυνάμεων (της εφαρμοζόμενης δύναμης και της δύναμης αντίστασης). Στο μοχλό διακρίνουμε και δύο μοχλοβραχίονες (της δύναμης και της αντίστασης), που είναι οι κάθετες αποστάσεις των φορέων των δυνάμεων από το υπομόχλιο. 12

Μοχλός περιστροφής Στο μοχλό με άξονα περιστροφής Α, ενεργούν οι δυνάμεις F 1 και F 2. M 1 = F 1. r 1 (δεξιόστροφη) M 2 = F 2. r 2 (αριστερόστροφη) Η συνολική ροπή Μ = Μ 1 + Μ 2 (αριστερόστροφη, θετική). 13

Μοχλοί Απλές μηχανές που είναι μοχλοί 14

Είδη μοχλών Διακρίνουμε τρία είδη μοχλών: Πρώτου είδους: το υπομόχλιο βρίσκεται μεταξύ του σημείου εφαρμογής της δύναμης και του σημείου εφαρμογής της αντίστασης. Δευτέρου είδους: το σημείο εφαρμογής της αντίστασης βρίσκεται μεταξύ του υπομοχλίου και του σημείου εφαρμογής της δύναμης. Τρίτου είδους: το σημείο εφαρμογής της δύναμης βρίσκεται μεταξύ του υπομοχλίου και του σημείου εφαρμογής της αντίστασης. 15

Μοχλοί στο ανθρώπινο σώμα 1 Μοχλός πρώτου είδους: Το βάρος της κεφαλής είναι η δύναμη αντίστασης. Οι σπληνοειδείς μύες εξασφαλίζουν την εφαρμοζόμενη δύναμη. Υπομόχλιο είναι η ατλαντοϊνιακή άρθρωση. Στον μοχλό πρώτου είδους καταβάλλουμε λιγότερη δύναμη (κέρδος), αλλά διανύουμε μεγαλύτερη απόσταση (απώλεια). 16

Μοχλοί στο ανθρώπινο σώμα 2 Μοχλός δευτέρου είδους: Η δύναμη αντίστασης (φορτίο του καροτσιού) είναι ανάμεσα στην εφαρμοζόμενη δύναμη (δύναμη του ανθρώπου στις χειρολαβές) και το υπομόχλιο (άξονας της ρόδας). Ο άνθρωπος θα καταβάλει μικρή δύναμη σε σχέση με το μέγεθος της αντίστασης, λόγω του μεγάλου μοχλοβραχίονα της δύναμης σε σχέση με το μοχλοβραχίονα της αντίστασης. 17

Μοχλοί στο ανθρώπινο σώμα 3 Μοχλός τρίτου είδους: Δύναμη αντίστασης είναι το βάρος του πήχη. Υπομόχλιο είναι ο αγκώνας Η εφαρμοζόμενη δύναμη εξασφαλίζεται από τους καμπτήρες της άρθρωσης του αγκώνα. Οι περισσότερες κινήσεις του ανθρώπινου κινητικού μηχανισμού γίνονται με μοχλούς τρίτου είδους (κερδίζονται μεγάλες μετατοπίσεις των μελών εφαρμόζοντας, σε αντιστάθμισμα, μεγάλες δυνάμεις). 18

Ροπή αδράνειας 1 Στη γραμμική κίνηση η ιδιότητα της ύλης να διατηρεί την κινητική της κατάσταση ονομάζεται αδράνεια και δείκτης της αδράνειας είναι η μάζα (ποσότητα της ύλης) του σώματος. Στην περιστροφική κίνηση η αντίστοιχη ιδιότητα ονομάζεται ροπή αδράνειας. Ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς ένα σημείο ή έναν άξονα περιστροφής, είναι η ιδιότητα της μάζας να διατηρεί την περιστροφική κινητική της κατάσταση, είτε αυτή είναι ομαλή περιστροφική κίνηση είτε ηρεμία. Η ροπή αδράνειας (Ι) ισούται: Ι = m * r 2 όπου m είναι η μάζα και r η απόσταση της μάζας από το σημείο περιστροφής Στο μέγεθος της ροπής αδράνειας συνεισφέρει περισσότερο η απόσταση της μάζας από το σημείο περιστροφής παρά η ίδια η μάζα του σώματος. 19

Ροπή αδράνειας 2 Η ροπή αδράνειας είναι το άθροισμα των γινομένων της κάθε επιμέρους μάζας επί την ακτίνα περιστροφής στο τετράγωνο. 20

Ροπή αδράνειας 3 Η κατανομή της μάζας γύρω από τον επιμήκη άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του σώματος (Α) και γύρω από τον εγκάρσιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του σώματος (Β). 21

Ροπή αδράνειας 4 Η γραφική παράσταση απεικονίζει τις μεταβολές της ροπής αδράνειας του ποδιού κατά τη διάρκεια του δρομικού διασκελισμού. 22

Ροπή αδράνειας 5 Η γωνία του γονάτου επιδρά στην τιμή της ροπής αδράνειας του αιωρούμενου ποδιού ως προς το ισχίο, λόγω των μεταβολών της ακτίνας περιστροφής (k) της κνήμης και του άκρου ποδιού. 23

Ροπή αδράνειας 6 Μεταβολές στη ροπή αδράνειας του ανθρώπινου σώματος ανάλογα με την πόζα του σώματος και αναφορικά με τους άξονες περιστροφής 24

Στροφορμή 1 Αν ένα σώμα περιστρέφεται με μια γωνιακή ταχύτητα ω, το αίτιο που μπορεί να αλλάξει την ορμή αυτού του σώματος είναι η ροπή μιας δύναμης. Στροφορμή (G) είναι η ορμή ενός περιστρεφόμενου σώματος και ισούται με τη ροπή αδράνειας επί την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής: G = I * ω Η στροφορμή είναι αποτέλεσμα εξωτερικών ροπών δύναμης που εφαρμόζονται πάνω σε ένα σώμα. 25

Στροφορμή 2 Η εξίσωση: M * dt = ΔG είναι η εξίσωση μεταβολής της στροφορμής (M * dt = περιστροφική ώθηση). Αρχή διατήρησης της στροφορμής Από την παραπάνω εξίσωση συνάγεται ότι αν δεν εφαρμοστεί καμιά εξωτερική ροπή (Μ = 0) η στροφορμή ενός σώματος παραμένει σταθερή (πτήση του σώματος στον αέρα). Επειδή ισχύει αυτό, σε πολλές περιπτώσεις, αυξάνοντας τη ροπή αδράνειας (Ι) μειώνεται ανάλογα η γωνιακή ταχύτητα (ω) του σώματος, ενώ μειώνοντας τη ροπή αδράνειας αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα. 26

Στροφορμή 3 Κατά την κίνηση του ανθρώπινου σώματος, περιστρέφονται πολλά μέλη του. Έτσι, κάθε σωματικό μέλος έχει μια στροφορμή γύρω από το κέντρο μάζας του μέλους, καθώς και μια στροφορμή γύρω από το συνολικό ΚΜΣ. Η στροφορμή του σωματικού μέλους γύρω από το ΚΜ του λέγεται τοπική στροφορμή (local angular momentum), ενώ η στροφορμή του μέλους γύρω από το συνολικό ΚΜΣ απομακρυσμένη στροφορμή (remote angular momentum). Η συνολική στροφορμή ενός σωματικού μέλους είναι το άθροισμα της τοπικής και της απομακρυσμένης στροφορμής: Η Total = H Local + H Remote 27

Στροφορμή 4 Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής των άνω άκρων, της κεφαλής και του κορμού, των κάτω άκρων, και ολόκληρου του σώματος δρομέα σε ταχύτητα αντιπροσωπευτική των μεσαίων αποστάσεων. 28

Στροφορμή 5 Όταν η στροφορμή του σώματος διατηρείται σταθερή, οι τυχόν μεταβολές στην πόζα του σώματος έχουν ως αποτέλεσμα την αύξηση ή μείωση της ροπής αδράνειας και αντισταθμιστικά αντίστοιχη μείωση ή αύξηση της γωνιακής ταχύτητας. 29

Στροφορμή 5 Κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης του καρφιού στο βόλεϊ, η αντισταθμιστική περιστροφική κίνηση των κάτω άκρων εξισορροπεί την ισχυρή αιώρηση του χεριού, με αποτέλεσμα τη διατήρηση της στροφορμής. 30

Αντιστοιχίες των νόμων του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση Οι νόμοι του Νεύτωνα θα μπορούσαν να διατυπωθούν ως εξής για την περιστροφική κίνηση: 1 ος νόμος: Ένα περιστρεφόμενο σώμα θα διατηρήσει την κατάσταση της ομαλής περιστροφικής κίνησης, εκτός και αν ασκηθεί πάνω του μια εξωτερική ροπή. 2 ος νόμος: Τ = Ι * α Μια ροπή (Τ) προκαλεί σε ένα σώμα γωνιακή επιτάχυνση (α), η οποία είναι ευθέως ανάλογη του μεγέθους της ροπής, έχει την ίδια κατεύθυνση με αυτή, και είναι αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας (Ι) του σώματος. 3 ος νόμος: Για κάθε ροπή ασκούμενη από ένα σώμα σε άλλο σώμα, υπάρχει μια ίση και αντίθετη ροπή ασκούμενη από το δεύτερο σώμα πάνω στο πρώτο. 31

Εφαρμογές 1 Κινήσεις στον αέρα χωρίς στροφορμή (ρίψη γάτας) Σώματα που βρίσκονται στον αέρα μπορούν να αρχίσουν περιστροφές ακόμα και αν η συνολική τους στροφορμή είναι μηδενική (περιστροφές με μηδενική στροφορμή). Η γάτα έχει μηδενική αρχική στροφορμή και πάντα προσγειώνεται με τα πόδια. Όταν αρχίζει να πέφτει κυρτώνει περισσότερο τη ράχη της (καμπουριάζει), ώστε να δημιουργήσει δύο τμήματα στο σώμα της, μπροστινό και πίσω, και δύο ξεχωριστούς άξονες περιστροφής (Α). 32

Εφαρμογές 2 Τα μπροστινά της πόδια έρχονται κοντά στο κεφάλι, μειώνοντας έτσι τη ροπή αδράνειας του μπροστινού τμήματος και το πάνω μέρος του κορμού περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του κορμού. Ως αντίδραση, το πίσω μέρος περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα προς την αντίθετη κατεύθυνση, με μικρότερη γωνιακή ταχύτητα λόγω της μεγαλύτερης ροπής αδράνειας (τα πίσω πόδια γωνία με τον κορμό). Στο τέλος της φάσης αν το μπροστινό μέρος έχει περιστραφεί 70 ο προς τα δεξιά, το πίσω έχει περιστραφεί 15 ο προς τα αριστερά (Β). 33

Εφαρμογές 3 Προεκτείνει τα μπροστινά πόδια και τεντώνει τα πίσω, με αποτέλεσμα την αύξηση της ροπής αδράνειας του μπροστινού μέρους και τη μείωση της αντίστοιχης του πίσω μέρους. Περιστρέφει το πίσω μέρος κατά ο προς τα δεξιά (αντίθετα από την περιστροφή που είχε πριν) και ως αντίδραση το μπροστινό μέρος περιστρέφεται κατά ο προς τα δεξιά (αντίθετα με την προηγούμενη περιστροφή). Στο τέλος αυτής της φάσης όλο το σώμα έχει περιστραφεί ο προς τα δεξιά (C). 34

Εφαρμογές 4 Στο τέλος της φάσης, η γάτα έχει περιστραφεί ικανοποιητικά, ώστε να προσγειωθεί στα τέσσερά της πόδια (D). Παρόμοιες ενέργειες έχουμε στις καταδύσεις, ενόργανη γυμναστική και σε αγωνίσματα στίβου. 35

Θέματα για συζήτηση ή μελέτη Αναφέρετε παραδείγματα από χρήσης μηχανών και αντικειμένων από τις καθημερινές ασχολίες αντιπροσωπευτικά των τριών ειδών μοχλών. Τι είδους κίνηση προκαλεί μια δύναμη που εφαρμόζεται στο ΚΜΣ. Αν η εφαρμοζόμενη δύναμη συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής του σώματος τι είδους κίνηση προκαλεί; Υπάρχουν διάφορες ασκήσεις για την εκγύμναση των κοιλιακών μυών. Με βάση την έννοια της ροπής δύναμης εξηγείστε πως μια τέτοια είδους άσκηση μπορεί να διαφοροποιηθεί ώστε να γίνει πιο δύσκολη. Αν μια δύναμη 200 Ν ασκείται σε μια ράβδο σε απόσταση 34 cm από τον άξονα περιστροφής της, σε τι απόσταση από τον ίδιο άξονα πρέπει να ασκηθεί δύναμη 185 Ν ώστε η ράβδος να ισορροπήσει; 36

Βιβλιογραφία Κόλλιας Η. (1997). Βιοκινητική της αθλητικής κίνησης. Θεσσαλονίκη. Τσαρούχας Λ. (1983) Βιομηχανική αθλητικών κινήσεων, Αθήνα. Φωτεινόπουλος Β. Μηχανική. Εκδόσεις Βλάσση, Αθήνα. Baumann W. (1996). Βασικές αρχές της βιομηχανικής των αθλητικών κινήσεων. Εκδόσεις Σάλτο, Θεσσαλονίκη. Abernethy B., Kippers V., Mackinnon L.T., Neal R.J., Hanrahan S. (1997). The Biophysical Foundations of Human Movement. Human Kinetics, Champaign, IL. Adrian M.J., Cooper J.M. (1995). Biomechanics of Human Movement. Brown & Benchmark Publishers, IA, USA. Cavanagh P.R. (1990). Biomechnics of Distance Running. Human Kinetics, Champaign, IL. Hall S.J. (1995). Basic Biomechanics. McGraw-Hill Companies, USA. Hamill J., Knutzen K.M. (1995). Biomechanical Basis of Human Movement. Williams & Wilkins, PA, USA. 37

Τέλος Ενότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ