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2. 阿基米德的数学成就与数学方法 阿基米德 阿基米德Achimedes(287-212BC) 出生于西西里 (Sicily) 岛上的希腊古城锡 拉古 (Syracusa) 。

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1 2. 阿基米德的数学成就与数学方法 阿基米德 阿基米德Achimedes( BC) 出生于西西里 (Sicily) 岛上的希腊古城锡 拉古 (Syracusa) 。

2 阿基米德 — 富有传奇色彩的一生 Eureka( 我发现了! ) — 金冠之谜 Eureka( 我发现了! ) — 金冠之谜 给我一个支点,我就可以移动地球! 给我一个支点,我就可以移动地球! 锡拉古保卫战: “ 不要碰我的图! ” 锡拉古保卫战: “ 不要碰我的图! ”

3 TANGE, MOVEBIS! “ 给我一个支点,我就可以移动地球 ” “ 给我一个支点,我就可以移动地球 ” 为了撬动地球 1 厘米,要以光速另一端跑 6000 多年! 为了撬动地球 1 厘米,要以光速另一端跑 6000 多年!

4 第二次布匿战争 (罗马与迦太基 BC ) 锡拉古保卫战 锡拉古保卫战 — “ 聚光灯 ” 烧毁罗 马战船

5 “ 不要碰我的图! ”

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7 Cicero discovering Archimedes tomb ( Martin Knoller, )

8 Benjamin West( ) Benjamin West( )

9 V 球 : V 柱 V 球 : V 柱 =S 球 : S 柱 = 2 : 3

10 《阿基米德全集》 论球和圆柱 I 、 II 论球和圆柱 I 、 II 圆的度量 圆的度量 论劈锥曲面体与旋转椭圆体 论劈锥曲面体与旋转椭圆体 论螺线 论螺线 论平面图形的平衡 论平面图形的平衡 沙粒的计算 沙粒的计算 求抛物线弓形的面积 求抛物线弓形的面积 论浮体 I 、 II 论浮体 I 、 II 引理集 引理集 家畜问题 家畜问题 方法 方法

11 羊皮书中抢救阿基米德遗著

12 阿基米德的著作变成经书 从纸草书到羊皮书 从纸草书到羊皮书 — 阿斯卡隆的功绩( AD1000) 将阿基米德的书抄录在羊皮书上 从羊皮书到经书 从羊皮书到经书 — 一位虔诚的教士 (AD1204) 擦掉字迹翻新后抄写《圣经》 — 一位虔诚的教士 (AD1204) 擦掉字迹翻新后抄写《圣经》 千年的沉寂 千年的沉寂 — 1906 年丹麦学者海伯格的发现隐约可见的 “ 螺线 ” — 1906 年丹麦学者海伯格的发现隐约可见的 “ 螺线 ” 高科技的威力 高科技的威力 — 多谱技术、数码技术、共焦技术:阿基米德的 “ 方法 ” 重新发现! — 多谱技术、数码技术、共焦技术:阿基米德的 “ 方法 ” 重新发现!

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14 高科技的威力 斯坦福大学同步辐射实验室 的科学家伯格曼想到,既然 誊录阿基米德论文的墨水中 含有铁,因此可以用直线加 速器发出的高能 X 光,将墨 水中的铁原子激发出萤光, 从而让许多至今无法解读的 文字与图形一一现形。 华特斯美术馆善本书籍部主 任诺尔说: “ 这犹如从公元 前三世纪 ( 阿基米德的时代 ) 收到一份传真,真是令人兴 奋不已。 ”

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16 阿基米德的主要成就 数值计算 — 希腊数学传统的转变 数值计算 — 希腊数学传统的转变 1. 面积计算,如:圆面积、抛物线弓形的面积、螺线面积、球和球缺 的表面积 1. 面积计算,如:圆面积、抛物线弓形的面积、螺线面积、球和球缺 的表面积 2. 圆周率 ;大数平方根的近似值 2. 圆周率 ;大数平方根的近似值 三次方程 三次方程 求积方法 — 球体、劈锥曲面体、旋转椭圆体:微积分思想的萌芽 求积方法 — 球体、劈锥曲面体、旋转椭圆体:微积分思想的萌芽 球体体积公式:力学方法与数学智慧的完美结合 球体体积公式:力学方法与数学智慧的完美结合

17 如何计算球体体积? ?

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19 圆柱片= πr 2 △ x 圆锥片 ≈πx 2 △ x 球片 ≈πy 2 △ x = πx ( 2r-x )△ x O ΔxΔx x r y 2r

20 O ΔxΔx 以 O 为支点,在 OS 的反向延长线上取 ON=2r 。把球 片和圆锥片挂在 N 点,它们关于支点 O 的力矩为 依次切割,逐片悬挂 2r (球体+锥体)= 4r 柱体; (注意: r 为圆柱体的质心) 所以 球体= 2 柱体 - 锥体 S N x

21 “Transire suum pectus mundoque potiri” 超越人类的局限,做世界的主人! (正面) 费尔兹奖章 (背面) (正面) 费尔兹奖章 (背面)

22 古希腊的 “ 穷竭法 ” Antiphon (约前 480 一前 401 ) Antiphon (约前 480 一前 401 ) 希腊数学家、哲学家.有关安蒂丰的生平争论不 一,至今没有确切的定论,只知他在雅典从事学 术活动,是智人学派的代表人物. 安蒂丰在数学方面的突出成就是用穷竭法 ( the method of exhaustion) 讨论化圆为方 问题.据辛普利丘 (Simplicius) 记载:安蒂丰先 作圆内接正四边形,将其边数加倍,得到圆内接 正八边形,依次类推,直到正多边形的边长小到 恰与它们所在的圆周部分重合,就可以完成化圆 为方问题. 希腊数学家、哲学家.有关安蒂丰的生平争论不 一,至今没有确切的定论,只知他在雅典从事学 术活动,是智人学派的代表人物. 安蒂丰在数学方面的突出成就是用穷竭法 ( the method of exhaustion) 讨论化圆为方 问题.据辛普利丘 (Simplicius) 记载:安蒂丰先 作圆内接正四边形,将其边数加倍,得到圆内接 正八边形,依次类推,直到正多边形的边长小到 恰与它们所在的圆周部分重合,就可以完成化圆 为方问题.

23 欧多克斯原理:设给定两个不相等的量, 如果从其中较大的量减去比它的一半大的 量,再以所余的量减去比它的一半大的量, 继续重复这个过程,则所余的某个量将小 于给定的较小的量。(《原本》卷 10 命题 1 ) 欧多克斯原理:设给定两个不相等的量, 如果从其中较大的量减去比它的一半大的 量,再以所余的量减去比它的一半大的量, 继续重复这个过程,则所余的某个量将小 于给定的较小的量。(《原本》卷 10 命题 1 ) 数学语言:设 M 0 和 ε 是两个给定的量, M 0, M 1,…… , M n 是一个序列,满足 M 1 <1/2M 0, M 2 <1/2M 1 …… ,等等,则有:对于某个 n , M n < ε 。 数学语言:设 M 0 和 ε 是两个给定的量, M 0, M 1,…… , M n 是一个序列,满足 M 1 <1/2M 0, M 2 <1/2M 1 …… ,等等,则有:对于某个 n , M n < ε 。

24 欧几里得《原本》中的 “ 穷竭法 ” 《原本》卷 XII 命题 2 :圆与圆之比等于其直径平方之比。 (注:此处圆与圆的比,指两圆面积之比) 证明:首先证明圆可以被它的内接多边形 “ 穷竭 ” ,即,存在 一个圆内接多边形,它与圆的面积之差小于任意给定的量。 为利用欧多克斯原理,从内接正四边形 P 0 开始,构造 P 0 的倍 边正多边形 P 1 , P 2 , …… , P n ; 记 a(C) 表示圆 C 的面积, 下面证明 (说明:以下证明是《原本》方法的 “ 代数语言 ” 转述)

25 考虑 n=0, 这时 E F G H F’ E’ K 故,在一般情况下,我们得到:

26 如果 C 1 和 C 2 是半径分别为 r 和 R 的两个圆,命题 2 结论 是: 证明:记 A 1 =a(C 1 ), A 2 =a(C 2 ), 则有 《原本》卷 XII 命题 1 : 圆内接相似多边形之比等于其同圆直径平方之比。) 三者必居其一,且仅居其一。所用方法就是希腊数学 中著名的 “ 双归谬法 ” (reductio ad absurdum) – 证 明略(留作思考!证明中用到《原本》卷 XII 命题 1 : 圆内接相似多边形之比等于其同圆直径平方之比。)

27 如果我们把命题 2 的结论写成 如果我们把命题 2 的结论写成 并用 π 表示这两个比的共同比值,这样就得到熟知 的圆面积公式 然而,希腊人不愿意这么做,因为,他们只承认 两个面积之间有一个 “ 比例关系 ” ,而不是 “ 数值 等式 ” !因此,数 π 在欧几里得时代并未出现, 甚至在《原本》没有圆的面积计算公式!而圆 面积公式 “ 半周 × 半径 ” 是阿基米德给出的证明。

28 阿基米德:《圆的度量》 任何一个圆的面积等于一个直角三角形, 它的夹直角的一边等于圆的半径,而另一 边等于圆的周长。 任何一个圆的面积等于一个直角三角形, 它的夹直角的一边等于圆的半径,而另一 边等于圆的周长。

29 若 S 不等于 K , 或 S 小于 K ,或 S 大于 K 若 S 不等于 K , 或 S 小于 K ,或 S 大于 K ( 1 )设 S>K, 记 d=S-K; 作圆内接正四边形,并加倍,直至以 分点为顶点的弓形之和小于 d. 此时,这样的多边形面积大于 K 。 设 AE 是此多边形的任一边,由圆心 O 作 ON 垂直 AE ,则 ON 小于 圆的半径,且多边形周长小于圆的周长,所以多边形面积小 于 K 。矛盾 ( 2 )设 S

30 落日余辉 常言道 “ 谋事在人,成事在天 ” 。而对于希腊 文明来说,却是 “ 天成其事,人自毁之 ” 。 常言道 “ 谋事在人,成事在天 ” 。而对于希腊 文明来说,却是 “ 天成其事,人自毁之 ” 。 罗马帝国:大兴土木,骄奢淫逸,在理论 思维上毫无建树 罗马帝国:大兴土木,骄奢淫逸,在理论 思维上毫无建树 基督教:排斥异教,思想禁锢 基督教:排斥异教,思想禁锢 阿拉伯的最后一击:凡是《古兰经》中有 的,只要读《古兰经》就行了;《古兰经》 中没有的,就不需要读了! -- 把希腊神庙的 书籍拉到浴室烧洗澡水! 阿拉伯的最后一击:凡是《古兰经》中有 的,只要读《古兰经》就行了;《古兰经》 中没有的,就不需要读了! -- 把希腊神庙的 书籍拉到浴室烧洗澡水!

31 阿基米德之死

32 希西帕提亚之死

33 希腊思想的火种在阿拉伯世界中 得到了完好的保存!

34 今日论坛 1 为什么说希腊的 “ 穷竭法 ” 不是极限方法? 2 希腊人为什么回避 “ 极限过程 ” ?


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