Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική

Παρουσίαση με θέμα: "Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική
4ο Μάθημα στα πλαίσια του σεμιναρίου Σύγχρονης Φυσικής «ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΑΙΓΗΙΣ» Ε.Χανιωτάκης, Ελληνογερμανική Αγωγή

2 Ανεξήγητα φαινόμενα στις αρχές του 20ου αιώνα
Ανεξήγητα φαινόμενα στις αρχές του 20ου αιώνα

3 Διακριτές γραμμές από φώς
Γνωρίζουμε οτι διαφορετικές χημικές ουσίες όταν καούν βγάζουν διαφορετικό χρώμα φλόγας. Αναρρωτηθήκατε ποτέ γιατί;;;

4 Το φώς το οποίο παράγουν συγκεκριμένες πηγές, αν αναλυθεί με ένα πρίσμα ή ένα διάφραγμα θα μας δώσει διακριτές γραμμές διαφορετικού χρώματος (μήκους κύματος). Η Κλασσική Φυσική ΔΕΝ μπορεί να εξηγήσει αυτό το σχετικά απλό και γνωστό φαινόμενο !!

5 Το πείραμα της διπλής οπής
Το πείραμα της διπλής οπής Όλοι κάποια στιγμή στη ζωή μας ακούσαμε για το πείραμα της διπλής οπής. Τι μας λέει όμως αυτό για την φύση της ύλης; Αν έχουμε μια πηγή από μπαλάκια τα οποία εκτοξεύουμε προς έναν τοίχο και ενδιάμεσα βάλουμε ένα πέτασμα με δύο σχισμές, περιμένουμε να δούμε κάτι τέτοιο:

6 Πείραμα διπλής οπής για θαλάσσια κύματα Το ίδιο πείραμα για φώς
Αν αντί για μπαλάκια βάλουμε το πέτασμα μπροστά σε μια πηγή κυμάτων θα δούμε το παρακάτω φαινόμενο λόγω του φαινομένου της συμβολής : 3 2 1 Πείραμα διπλής οπής για θαλάσσια κύματα Το ίδιο πείραμα για φώς

7 Τι περιμένετε να συμβεί αν αντί για κύματα ή μπαλάκια εκτοξεύσουμε ηλεκτρόνια;

8 Oι ερευνητές στα εργαστήρια της Hitachi πέτυχαν να εκτελέσουν το πείραμα της διπλής οπής με ηλεκτρόνια το Δίπλα βλέπετε μια φωτογραφία της οθόνης στην οποία έπεφταν τα ηλεκτρόνια ένα-ένα: Τι παρατηρείτε; Ας δούμε το βίντεο από τον Dr Quantum! :

9 Τα ηλεκτρόνια ενώ τα γνωρίζουμε σαν σωματίδια, με βάση το πείραμα της διπλής οπής φέρονται να συμπεριφέρονται και σαν κύματα!!!!!! Πράγματι, στο πείραμα της διπλής οπής, το κάθε ηλεκτρόνιο όταν φθάνει μπροστά από τις δύο σχισμές συμβάλλει με τον εαυτό του και περνάει και από τις δύο οπές ταυτόχρονα δίνοντας διαμόρφωμα συμβολής! Αν βάλουμε έναν ανιχνευτή πίσω από τη μία οπή, τότε το ηλεκτρονιο παύει να «φέρεται» σαν κύμα και περνάει από μία οπή κάθε φορά, συμπεριφερόμενο σαν σωματίδιο! Με βάση αυτό το εμπειρικό γεγονός, η έννοια της τροχιάς ενός σωματιδίου χάνει την αξία της στον μικρόκοσμο.

10 To Μέλαν Σώμα: Το πρώτο μαθηματικό βήμα

11 Ορισμός: Μέλαν σώμα ονομάζεται το υλικό το οποίο απορροφά τέλεια κάθε ακτινοβολία που προσπίπτει σε αυτό Ακτινοβολία Μέλανος σώματος: Ακτινοβολία που είναι «θερμοποιημένη» που έχει αλληλεπιδράσει δηλαδή πολλές φορές με το σώμα από το οποίο εκπέμπεται ώστε να βρίσκεται σε θερμική ισορροπία μαζί του

12 Παραδείγματα μέλανος σώματος
Ως μέλαν σώμα μπορεί να θεωρηθεί μία κοιλότητα Με μία μόνο μικρή οπή στην οποία έχει παγιδευθεί ακτινοβολία. Όταν η ακτινοβολία εξέλθει από την οπή έχει την χαρακτηριστική κατανομή ενέργειας που αντιστοιχεί σε ένα μέλαν σώμα Όλα τα πυκνά σώματα που βρίσκονται σε θερμοκρασία μεγαλύτερη του μηδενός εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία και μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση μέλανα σώματα Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου (CMB) μπορεί να θεωρηθεί ως ακτινοβολία μέλανος σώματος με θερμοκρασία 2.73 ºΚ

13 Εμπειρικά δεδομένα Είναι γνωστό ότι σε μία πυρακτωμένη εστία φωτός, όλα τα σώματα μέσα σε αυτήν εκπέμπουν φως με το ίδιο χαρακτηριστικό χρώμα Όλα τα πυρακτωμένα αντικείμενα με την ίδια θερμοκρασία εκπέμπουν την ίδια ακριβώς ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ανεξάρτητα από την χημική τους σύσταση

14 Χρήσιμοι Ορισμοί Φασματική ένταση ακτινοβολίας Ισχύς ακτινοβολίας
f : συχνότητα ακτινοβολίας (Hz) c: ταχύτητα του φωτός (m/s) λ: μήκος κύματος (m) Φασματική ένταση ακτινοβολίας Ισχύς ακτινοβολίας

15 Οι πειραματικοί νόμοι Ο νόμος της παγκοσμιότητας του φάσματος: Όλα τα σώματα με την ίδια θερμοκρασία εκπέμπουν την ίδια θερμική ακτινοβολία ανεξάρτητα από την χημική τους σύσταση O νόμος των Stefan- Boltzmann: Η ολική ένταση της θερμικής ακτινοβολίας ενός σώματος είναι ανάλογη με την τέταρτη δύναμη της θερμοκρασίας του

16 Ο νόμος της μετατόπισης του Wien: Το μήκος κύματος στο οποίο η ακτινοβολία γίνεται μέγιστη μετατοπίζεται αντιστρόφως ανάλογα με την θερμοκρασία Ο ασυμπτωτικός νόμος του Wien: Στις υψηλές συχνότητες (χαμηλά μήκη κύματος) τα πειραματικά δεδομένα περιγράφονται πολύ καλά από την διπλανή ασυμπτωτική σχέση Ο εμπειρικός τύπος του Planck: Λαμβάνοντας υπ’όψιν τους παραπάνω πειραματικούς νόμους, ο Planck κατέληξε σε μία εμπειρική σχέση που αναπαριστούσε πλήρως τα πειραματικά δεδομένα

17 Απόπειρα κλασσικής ερμηνείας (Rayleigh – Jeans)
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα που αποτελείται από Ν- ανεξάρτητους ταλαντωτές. Οι ταλαντωτές έχουν ηλεκτρικό φορτίο, ίδιες μάζες αλλά διαφορετικές φυσικές συχνότητες ταλάντωσης (ω). Το σώμα βρίσκεται σε ένα λουτρό θερμοκρασίας Τ . Οι ταλαντωτές κατά συνέπεια βρίσκονται σε θερμική ισορροπία . Οι ενέργειες των ταλαντωτών είναι μεταξύ τους ίσες, με Ε= kT/2 k : σταθερά Boltzman βάσει του θεωρήματος ισοκατανομής της ενέργειας στους βαθμούς ελευθερίας

18 Από τα παραπάνω, δύο φορτισμένοι ταλαντωτές με ίσες μάζες , διαφορετικές φυσικές συχνότητες και ίσες ενέργειες αποδεικνύεται ότι έχουν διαφορετικές επιταχύνσεις. Απόδειξη:

19 H κλασσική ηλεκτροδυναμική μας λέει ότι ένα επιταχυνόμενο φορτίο εκπέμπει ακτινοβολία. Η σχέση που διέπει αυτήν την διαδικασία βρέθηκε από τον Larmor ότι είναι: Αν το φορτίο ταλαντώνεται ή περιστρέφεται με συχνότητα ω τότε η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας είναι και αυτή ίση με ω Η κλασσική φυσική υπαγορεύει ότι ένα μέταλλο το οποίο πυρακτώνεται εκπέμπει ακτινοβολία υψηλής συχνότητας (μπλέ), η οποία ΔΕΝ αλλάζει με την θερμοκρασία Η ένταση θα αυξάνει όσο αυξάνεται η θερμοκρασία.

20 Εδώ βλέπουμε την κλασσική πρόβλεψη σε σχέση με τα πειραματικά δεδομένα

21 O Planck υπέθεσε, βασιζόμενος στον εμπειρικό τύπο του ότι κάθε ταλαντωτής που βρίσκεται μέσα στο υπο εξέτασιν σώμα ταλαντώνεται με την φυσική του συχνότητα f0 Κατά συνέπεια μπορεί να εκπέμψει ή να απορροφήσει ακτινοβολία συχνότητας f0 . Η εκπεμπόμενη (απορροφώμενη) ενέργεια θα είναι ανάλογη της συχνότητας αυτής: Η ερμηνεία του Planck Όσο το σώμα βρίσκεται σε χαμηλή θερμοκρασία, η μέση ενέργεια είναι χαμηλή. Κατά συνέπεια μόνο οι ταλαντωτές με χαμηλές φυσικές συχνότητες f0 μπορούν να διεγερθούν. Επομένως η εκπεμπόμενη ακτινοβολία θα έχει μέγιστο σε χαμηλές συχνότητες Όσο η θερμοκρασία ανεβαίνει, αρχίζουν να διεγείρονται και οι ταλαντωτές με μεγαλύτερες συχνότητες το μέγιστο της ακτινοβολίας μετατοπίζεται προς υψηλότερες συχνότητες

22 Λίγα μαθηματικά Ξεκινάμε από τον εμπειρικό νόμο του Planck για την φασματική ένταση ακτινοβολίας: Θα ασχοληθούμε με τον παρονομαστή της σχέσης: Γνωρίζουμε ότι: Άρα: Η ενέργεια της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα Μέλαν σώμα είναι κβαντωμένη. Οι επιτρεπόμενες τιμές της είναι ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας hf (h: σταθερά Planck, f: συχνότητα ακτινοβολίας

23 Πειραματικά αποτελέσματα
Μέτρηση της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου με τον δορυφόρο COBE – απόλυτη συμφωνία με την υπόθεση ότι η ακτινοβολία συμπεριφέρεται σαν ακτινοβολία μέλανος σώματος

24 Εφαρμογή Δείξτε ότι στο όριο των χαμηλών συχνοτήτων η κατανομή του Planck συμπίπτει με την αντίστοιχη κλασσική Λύση Κατανομή Planck Υπενθυμίζουμε: Κλασσική κατανομή (Rayleigh-Jeans) Αναπτύσσουμε το της κατανομής Planck κατά Τaylor ως προς Γνωρίζουμε ότι:

25 Για μικρές τιμές της συχνότητας είναι αρκετό να κρατήσουμε τον πρώτο και τον δεύτερο όρο. Επομένως:
Άρα Rayleigh - Jeans

26 Άρα η ενέργεια μεταδίδεται σε «πακέτα», ή. αλλιώς κβάντα
Άρα η ενέργεια μεταδίδεται σε «πακέτα», ή αλλιώς κβάντα! Η σχέση που συνδέει την ενέργεια με την συχνότητα είναι η περίφημη σχέση του Planck:

27 Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο Το φώς συμπεριφέρεται και σαν σωματίδιο
Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο Το φώς συμπεριφέρεται και σαν σωματίδιο

28 Γνωρίζουμε οτι το φώς συμπεριφέρεται σαν κύμα
Γνωρίζουμε οτι το φώς συμπεριφέρεται σαν κύμα ! Τόσο τα πειράματα που έγιναν πάνω στην συμβολή του φωτός, το πείραμα της διπλής οπής καθώς και το πείραμα του Φουκώ για την μέτρηση της ταχύτητας του φωτός το επιβεβαιώνουν αυτό.

29 Όμως.... Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο είναι η εκπομπή ηλεκτρονίων από την επιφάνεια μετάλλων, όταν σε αυτήν πέσει ορατή ή υπεριώδης ακτινοβολία. Στην πραγματικότητα ο όρος έχει ευρύτεροπεριεχόμενο: Αφορά στην απόσπαση ισχυρά δεσμίων ηλεκτρονίων από οποιοδήποτε φυσικό σύστημα όταν σε αυτό πέσει φώς από μία συχνότητα και πάνω Ανακαλύφθηκε το 1887 από τον Hertzκαι διερευνήθηκε πειραματικά από τους Hallwacks & Lennard στα τέλη του 19ου αιώνα Το 1905 ο Albert Einstein πρότεινε την θεωρητική εξήγηση του φαινομένου η οποία είχε δραματικές επιπτώσεις για την επιστήμη 2

30 Πειραματικά αποτελέσματα
Οι μετρήσεις που έγιναν στα τέλη του 19ου αιώνα έδειξαν ότι όταν πέσει φως σε μια μεταλλική επιφάνεια παράγεται ηλεκτρικό ρεύμα: Αποσπώνται ηλεκτρόνια Το ηλεκτρικό ρεύμα εμφανίζεται όταν η συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός είναι μεγαλύτερη από μια οριακή τιμή fmin. Αυξάνοντας την συχνότητα, αυξάνει και η κινητική ενέργεια των ηλ/νίων Όσο μεγαλύτερη η ένταση του προσπίπτοντος φωτός, τόσο περισσότερα ηλεκτρόνια αποσπώνται Το φαινόμενο είναι ακαριαίο 3

31 Σχηματική αναπαράσταση
4

32 Απόπειρα κλασσικής ερμηνείας
Mε βάση την κλασσική φυσική, ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να αλληλεπιδράσει με φώς και να κερδίσει ενέργεια . Στην κλασσική εικόνα, η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτός είναι ανάλογη της έντασης του φωτός. Γνωρίζουμε ότι ένα ηλεκτρόνιο για να αποσπαστεί από την επιφάνεια ενός μετάλλου πρέπει να έχει ενέργεια μεγαλύτερη ή ίση από το δυναμικό εξαγωγής, W. Βάζοντας όλα τα παραπάνω μαζί, όταν φως προσπέσει σε μία επιφάνεια, θα αποσπάσει ηλεκτρόνια από αυτήν όταν η έντασή του, είναι αρκετή ώστε το ηλεκτρόνιο να ξεπεράσει το δυναμικό διαφυγής. Όσο αυξάνουμε την ένταση του φωτός, τόσο πιο μεγάλη κινητική ενέργεια έχουν τα ηλεκτρόνια που αποσπώνται ΄- ανεξαρτήτως του χρώματος (συχνότητας) του φωτός. Το φαινόμενο δεν θα είναι ακαριαίο, αλλά το μετρούμενο ηλεκτρικό ρεύμα θα εμφανίζεται ~1min μετά την πρόσπτωση φωτός στο μέταλλο.. 5

33 Η κλασσική περιγραφή αδυνατούσε να περιγράψει τα πειραματικά δεδομένα
Η ενέργεια των ηλεκτρονίων θα έπρεπε να εξαρτάται από την ένταση του φωτός και όχι από τη συχνότητά του Με βάση την κλασσική ερμηνεία η ύπαρξη κατωφλίου συχνότητας στην απόσπαση ηλεκτρονίων είναι ΑΝΕΞΗΓΗΤΗ Εδώ έρχεται να μας λύσει τα χέρια η ερμηνεία του Einstein: « Η ενέργεια μιας φωτεινής ακτίνας που εκπέμπεται από μια σημειακή πηγή δεν είναι συνεχώς κατανεμημένη στο χώρο αλλά αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό ενεργειακών κβάντων, εντοπισμένων στο χώρο, αδιαίρετων και που απορροφούνται ή παράγονται μόνο ως ολόκληρες μονάδες» Α.Einstein (1905) 6

34 Το φώς εκπέμπεται σε κβάντα (πακέτα) ενέργειας, τα φωτόνια Η ενέργεια κάθε φωτονίου είναι ανάλογη της συχνότητάς του Κβαντική Ερμηνεία Τα φωτόνια αλληλεπιδρούν με τα ηλεκτρόνια της μεταλλικής επιφάνειας. Μέρος της ενέργειάς τους δαπανάται για να υπερνικηθεί το δυναμικό εξαγωγής W και η υπόλοιπη μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του εξερχόμενου ηλεκτρονίου. Η συχνότητα κατωφλίου f0 προκύπτει αν θεωρήσουμε Εξαρτάται από το υλικό και την σταθερά του Planck

35 Εξάρτηση της ταχύτητας (κινητικής ενέργειας) των ηλεκτρονίων από την συχνότητα του φωτός
Εξάρτηση της συχνότητας κατωφλίου από το υλικό

36 Άρα το φως συμπεριφέρεται και σαν κύμα και σαν σωματίδιο!!!!!

37 H ύλη και το φως στον μικρόκοσμο δείχνουν να έχουν «περίεργη» συμπεριφορά. Συμπεριφέρονται τόσο σαν κύματα όσο και σαν σωματίδια! Το πείραμα της διπλής οπής μαρτυρά την κυματοσωματιδιακή φύση του ηλεκτρονίου – και κατ’επέκταση και άλλων μικροσκοπικών σωματιδίων. Η έννοια της τροχιάς δεν έχει πλέον εφαρμογή όπως την ξέραμε από την κλασσική φυσική! Διαφορετικές ουσίες εκπέμπουν διακριτές ‘’γραμμές΄΄ φωτός σε συγκεκριμμένα χρώματα. Αυτό το γεγονός είναι ανεξήγητο από την κλασσική φυσική Στο επόμενο σεμινάριο θα μιλήσουμε για το μυστήριο της ατομικής σταθερότητας και θα λύσουμε το ‘παράδοξο’ των διακριτών φασματικών γραμμών χρησιμοποιώντας το μοντέλο του Bohr. Θα μιλήσουμε για το κυματοσωματιδιακό μοντέλο του De Broglie και θα μιλήσουμε για τον χαρακτήρα της κβαντικής μηχανικής όπως αυτή διαμορφώθηκε από τον Schrodinger και τον Heisenberg.