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吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时: 64 ( 第三十六讲 ) 离散数学. 6.7.2 环 中 合 同 关 系 定义 6.7.3 设 R 是一个环, N 是一理想。对于 a , b ∈ R , 如果 a-b=n ∈ N ,或 a=b+n , n ∈ N , 则称 a 和 b 模 N 合同,记为.

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1 吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时: 64 ( 第三十六讲 ) 离散数学

2 6.7.2 环 中 合 同 关 系 定义 设 R 是一个环, N 是一理想。对于 a , b ∈ R , 如果 a-b=n ∈ N ,或 a=b+n , n ∈ N , 则称 a 和 b 模 N 合同,记为 a≡b ( mod N )。 这不过是加法群 R 中模加法子群 N 的合同关 系。所以可将 R 分为 N 的陪集, N 的一个 陪集叫 N 的一个剩余类。若 a 是 R 的任意 元素,则包含 a 的剩余类可以写成 a+N 的 形式, a 和 b 在同一剩余类,当且仅当 a 和 b 模 N 合同 。

3 如果 R 是有壹的交换环,而 N 是主理想, N= ( c ),则 a 和 b 模 N 合同也可以说是模 c 合同, 记为 a≡b ( mod c )。 例 设 R 为整数环 I , N= ( m ) =mI ,则 a≡b ( mod N ), 即 a-b ∈ mI 或 m ∣ a-b ,或 a≡b ( mod m )。 和在整数合同中讨论的一样,我们有

4 定理 在环 R 中,对于模 N , 有 ( 1 ) 反身性: a≡a; ( 2 ) 对称性:若 a≡b , 则 b≡a; ( 3 ) 传递性:若 a≡b , b≡c , 则 a≡c; ( 4 ) 加法同态性:若 a≡b , c≡d ,则 a±c≡b±d 。 ( 5 ) 乘法同态性:若 a≡b , c≡d ,则 ac≡bd 。

5 证明:( 1 )至( 4 )在群的 讨论中已证,这不过是加法 群 R 模加法子群 N 的合同性。 这里( 4 )是说, 若 a+N = b+N , c+N = d+N ,则 a±c+N = b±d+N 。 事实上, a±c+N = a+N± ( c+N ) = b+N± ( d+N ) = b±d+N 。 现证( 5 ),因为 a ≡ b , c≡d ,故 a = b+n 1 , c = d+n 2 , n 1 ∈ N , n 2 ∈ N 。于是 ac =bd+ bn 2 + n 1 d + n 1 n 2. 但 N 是一个理想, 故 bn 2 ∈ N , n 1 d ∈ N , n 1 n 2 ∈ N ,因而 bn 2 + n 1 d + n 1 n 2 ∈ N ,故 ac≡bd ,于是( 5 )得 证,这其实是乘法的同态性。

6 6.7.3 环 同 态 与 同 构 由于环是有加、乘两种运算 的代数系统,因此定义同态 映射时必须同时保持加、乘 的同态性。 定义 设 R 是一个环, S 是有加法和乘法两种运算的系统,称 R 到 S 中的一个映射 σ 是环 R 到 S 中的一个同 态映射,如果 σ ( a+b ) =σ ( a ) +σ ( b ), σ ( ab ) =σ ( a ) σ ( b )。 若 R 到 R′ 上有一个同态映射,则称 R 到 R′ 同 态,记为 R ~ R′ 。

7 定义 若 σ 是环 R 到系统 R′ 上的一个一对一的同态映射, 则称 σ 是 R 到 R′ 上的一个同构 映射或同构对应。若 R 到 R′ 上 有一个同构映射, 则称 R 与 R′ 同构, 记为 RR′ 。 象群同态一样,我们有以下一些事实。 定理 设 R 是一个环,S 是一个有加法和 乘法的运算系统. 若 σ 是 R 到 S 中的一个同 态映射, 则 R 到映象 R′=σ ( R )也是一个 环,σ ( 0 )就是 R′ 的零 0′, σ(-a)=-σ ( a )。若 R 有壹而 R′ 不只有一个 元素, 则 R′ 有壹而且 σ ( 1 )就是 R′ 的壹 1′; 若 a ∈ R 有逆, 则 σ ( a )在 R′ 中有逆而且 σ(a -1 ) 就是 σ(a) -1 。

8 设 σ 是 R 到 R′ 上的同态映射, R′ 的零 0′ 的逆映象 σ -1 (0′) 叫 σ 的核。 定理 同态映射 σ 的核 N 是 R 的一个理想. 设 a′ 是 R′ 的任意元素, 则 a′ 的逆映象 σ -1 (a′)={a ∈ R ∣ σ(a)=a′} 是 N 的一个剩余类。 证明: 因为 σ 是 R 的加法群到 R′ 的加法群上面 的一个同态映射, 所以 σ 的核 N=σ -1 (0′) 是 R 的 一个子群, 且 a′ 的逆映象 σ -1 ( a′ )是模 N 的一 个剩余类。现在再证 N 做成理想,即证:若 a ∈ N,х ∈ R, 则 aх ∈ N,χa ∈ N, 事实上 σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故 aχ ∈ N, 同样可证 χa ∈ N 。

9 同样,我们要问:对于 R 的任 意理想 N ,是否有一个环 R′ 而且有 R 到 R′ 的一个同态映 射 σ 使 N 刚好就是 σ 的核呢? 答案也是肯定的。 由群中已证的结果,模 N 的所 有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法 群,就是 R 对于 N 的商群 R∕N , 规定 σ ( a ) =a+N ,即 σ : a → a+N , 这样规定的 σ 便是群 R 到群 R∕N 上的一个同 态映射,其核为 N 。

10 为了回答上面的问题,我们规定剩 余类的一种乘法,以使 σ 成为环 R 到系统 R∕N 上的同态映射。设 A , B 是 N 的两个剩余类,任取 a ∈ A , b ∈ B ,规定包含 ab 的剩余类 C = ab+N 为 A , B 的积: C=AB , ab+N= ( a+N )( b+N )。由定理 之( 5 ),若另取 a′ ∈ A , b′ ∈ B , 则包含 a′b′ 的剩余类和包含 ab 的剩余类是一样的 ,可见上面的乘法规定由 A , B 完全确定,与 a , b 的选择无关。由 σ 的定义,σ ( a ) =a+N , σ ( b ) =b+N , σ ( ab ) = ab+N ,但由上面的剩 余类乘法的定义, ab+N = ( a+N )( b+N ), 故 σ ( ab ) =σ ( a ) σ ( b )。所以, σ 是环 R 到 运算系统 R∕N 上的一个同态映射。由定理 , R∕N 是一个环,这样,我们便得到:

11 定理 按照剩余类的加 法和乘法, R 对于理想 N 的所 有剩余类的集合 R∕N 是一个环, 规定 σ ( a ) = a+N ,则 σ 是 R 到 R∕N 上的一个同态映射, 其核为 N 。 R∕N 叫做 R 对于 N 的剩余环,前面定理 中( 4 ),( 5 )所说的加法和乘法的同 态性,其实是说剩余环 R∕N 中的加法和乘 法运算可由剩余类中的任意元素来确定 ,剩余类的运算与其中元素的特殊选择 无关。剩余环 R∕N 有了这加法和乘法两种 运算,就与环 R 同态。

12 定理 若 σ 是环 R 到 R′ 上的一个同态映射,其核为 N , 则 R′ 与 R∕N 同构: R′  R∕N 。 证明:设 a′ 是 R′ 的任意元 素,则 σ -1 ( a′ )是 N 的一个 剩余类 A 。规定 R′ 的 a′ 和这个 R∕N 的 A 对应。这样,我们规 定了 R′ 到 R∕N 上的一个一对一映射 τ , τ : a′  A 我们证明 τ 是一个同构对应,即证明:若 a′ , b′ ∈ R′ ,则 τ ( a′+b′ ) =τ ( a′ ) +τ ( b′ ), τ ( a′b′ ) =τ ( a′ ) τ ( b′ )。

13 事实上, 若 τ(a′)=A, τ(b′)=B, 即 σ -1 (a′)=A =a+N,σ -1 (b′)=B=b+N , 其中 a ∈ A , b ∈ B ,则因 σ(a+b)=a′+ b′,σ ( ab ) = a′b′, 故 σ -1 ( a′+b′ ) = a+b+N , σ -1 ( a′b′ ) = ab+N , 即 σ -1 ( a′+b′ ) = A+B , σ -1 ( a′b′ ) = AB 。 于是 τ(a′+b′)=A+B=τ(a′)+τ(b′) , τ(a′b′ ) =AB=τ ( a′ ) τ ( b′ )。 故 τ 是 R′ 到 R∕N 上的一个同构对应。


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