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吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时: 64 ( 第二十八讲 ) 离散数学. 定理 6.3.4 设 M 的元数为 n, 若 n>1 , 则奇置换的个数和偶置换的个数相 等,因而都等于 n!/2 。 证明:命 τ 1,τ 2, …,τ m ( 5 ) 为 M 的所有偶置换, 由于 n>1,

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1 吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时: 64 ( 第二十八讲 ) 离散数学

2 定理 设 M 的元数为 n, 若 n>1 , 则奇置换的个数和偶置换的个数相 等,因而都等于 n!/2 。 证明:命 τ 1,τ 2, …,τ m ( 5 ) 为 M 的所有偶置换, 由于 n>1, 故我们 可以取一个对换 ρ ,而作下列乘积: ρτ 1 , ρτ 2 , … , ρτ m ( 6 ) 显然 ρτ i 是奇置换, 而且诸 ρτ i 互不相同, 即 (6) 中无重 复元素。事实上, 当 i≠j 时 τ i ≠τ j, 故倘若 ρτ i =ρτ j, 则 以 ρ -1 左乘得 τ i =τ j 将导出矛盾, 这说明 M 的奇置换 不少于偶置换. 反之, 若 σ 为 M 的任意奇置换, 则 ρ - 1 σ 为偶置换, 故必等于某一个 τ i,ρ -1 σ=τ i ,因而 σ=ρτ i, 这说明 M 的任意奇置换必在 (6) 中, (6) 就是 M 的所有奇置换,M 的奇置换不多于偶置 换. 于是奇置换的个数和偶置换的个数相等, 各 占置换总数 n! 的一半, 这就证明了定理 。

3 §6.4 子 群 及 其 陪 集 子 群 的 定 义 定义 设 (G , · ) 是一个群, H 是 G 的一个子集,如果按照 G 中 的乘法运算 · , H 仍是一个群,则 ( H , · )叫做( G , · )的子群。 如果 G 的一个子群 H 不等于 G ,即 H  G , 则( H , · )叫做( G , · )的真子群。 例 所有整数按照加法作成一个群。对 于任意整数 m , m 的所有倍数在加法下 作成整数加法群的一个子群。 例 复数加群以实数加群、有理数加 群以及整数加群为其真子群。

4 例 所有非零复数作成的乘法 群以所有非零实数作成的乘法群、 所有非零有理数作成的乘法群为其 真子群。 例 行列式等于 1 的所有 n 阶 矩阵作成所有 n 阶非奇异矩阵的乘 法群的一个子群。 例 n 次交代群是 n 次对称群的 一个真子群。 例 任一群 G 都有两个明显的子群,一个是 由其单位元素组成的子群 {1} ,称为 G 的单位子 群;还有一个就是 G 本身。这两个子群称为 G 的平凡子群,其余的子群(如果有的话)称为 非平凡子群。 注意: G 的子群 H 不只是一个包含在 G 中的群, 而 且 H 的运算必须与 G 的运算一样, 比如 m, 非零实 数作成的乘法群不是所有实数作成的加法群的 子群。

5 6.4.2 子群的判别条件 定理 (判别条件一) 群 G 的一个子集 H 是 G 的一个子群 的充分必要条件是: (1) 若 a ∈ H , b ∈ H ,则 ab ∈ H ; (2) 若 a ∈ H ,则 a -1 ∈ H ; (3) H 非空。 证明: 必要性。 设 H 是 G 的子群,于是按 照 G 中的乘法, H 是一个群, 由群的定义 , H 中的两个元素 a , b 应该可以按照 G 中 的乘法在 H 内相乘, 故 ab ∈ H, 即 (1) 成立。 由群的定义要求,( 3 )也必然成立。

6 现要证( 2 ),先证 G 中的单位元 就是 H 中的单位元,设 1 是 G 中的 单位元, 1 ˊ是 H 中的单位元。 取任意 a ∈ H ,则 1 ˊ a=a ,此式在 H 中成立,故在 G 中也成立。以 a -1 右乘得 1 ˊ( aa -1 ) = aa -1 即 1 ˊ =1 , 故 G 中的单位元就是 H 的单位元,由群的 定义,对于 H 中的 a ,应有 b ∈ H 使 ab=1 , 此式在 G 中亦成立,以 a -1 左乘得 b=a -1 , 因而 a -1 ∈ H ,即( 2 )成立。

7 充分性 今设 (1),(2),(3) 成立,由 (3)H 非空。由 (1),H 中的两个元素 a , b 可以在 H 内相乘。设 a,b,c 是 H 的任意 三个元素, 在 G 中有 (ab)c = a(bc) , 此式在 H 中自然也对, 即结合律成立。 今证 H 中有单位元。取任意 a ∈ H, 由 (2) a -1 ∈ H, 由 (1),aa -1 ∈ H, 即 1 ∈ H ; 1 在 G 中适合 1a=a, 故在 H 中亦有此性质。最后,H 中任 意 a 有逆,因由( 2 ), a -1 ∈ H ,但是 G 中, a - 1 a=1 ,此式在 H 中亦应成立,故 a -1 即 a 在 H 中 之逆,群的条件已经全部适合,故按照 G 中的 乘法, H 是一个群,它是 G 的一个子群。 由该定理的证明可推出子群 H 与大群 G 的关系: H 的单位元素就是 G 的单位元素, H 中任一元 素 a 在 H 中的逆元素也就是 a 在 G 中的逆元素。

8 定理 (判别条件二) 定理 中的两个条件 (1), (2) 可以换成下面一个条件 (*) 若 a ∈ H,b ∈ H, 则 ab -1 ∈ H 。 证明:设 (1),(2) 成立,往证 (*) 成立。设 a ∈ H,b ∈ H, 由 (2),b -1 ∈ H, 故由 (1), ab -1 ∈ H ,因而( * )成立。 设( * )成立,往证( 1 ),( 2 )成立。 设 a ∈ H ,由( * )可推得,a ∈ H,a ∈ H ,故 aa -1 ∈ H, 即 1 ∈ H 。又由( * )可推得, 1 ∈ H , a ∈ H ,故 1a -1 ∈ H ,即 a -1 ∈ H ,因而( 2 )成立。设 a ∈ H , b ∈ H ,因为( 2 )已证 ,故 b -1 ∈ H 。再由( * )推知, a ∈ H , b - 1 ∈ H ,故 a ( b -1 ) -1 ∈ H ,即 ab ∈ H ,故( 1 )成立。

9 定理 (判别条件三) 群 G 的一个有限非空子集 H 是 G 的一个子群的充分必要条件是 H 对 G 的运算是封闭的,即若 a ∈ H , b ∈ H ,则 ab ∈ H 。 该定理的证明作为习题留给读者。 如果 G 是有限群,那么 G 的子集都是有限 集,因此总可以应用判别条件三来判断 G 的非空子集是否是一个子群。

10 6.4.3 循 环 群 定理 设 a 是群 G 的一个元 素。于是 a 的所有幂的集合 a n , n=0 , ±1 , ±2 , … 做成 G 的一个子群,记为( a )。 此群称为由 a 生成的子群。 证明: (1)(a) 非空,例如 a 0 =1 ∈( a )。 (2) 任取( a )中二元素 a m , a n , 有 a m ( a n ) -1 =a m a -n =a m-n ∈( a )。故由定 理 ,( a )做成 G 的一个子群。 定义 群 G 叫做一个循环群,或巡回 群,如果 G 可以由它的某元素 a 生成,即 有 a ∈ G 使 G= ( a )。于是定理 中的 子群( a )可称为由 a 生成的循环子群。

11 例 整数加法群( Z , + ) 是由 1 生成的循环群。( nZ , + ) 是由 n 生成的循环群。 兹试看群 G 的一个元素 a 所生成 的循环群( a ): …,a -2,a -1,a 0,a,a 2, … 其中 a 0 =1 (1) 有两种情形: 情形 1 0 如果( 1 )中所有元素都彼此不同 ,则称 a 的周期为无穷大或 0 。此时,对 任意两个不同的整数 s 与 t , a s ≠a t 。 情形 2 0 如果( 1 )中出现重复的元素,即 有整数 s≠t 使 a s =a t 。不妨设 s>t ,于是 s- t>0 而 a s-t =1, 即有正整数 m 使 a m =1 。若 n 为适合 a n =1 的最小正整数,则称 a 的周期 为 n 。


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