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삼축 응력 가공 공정에서 소재는 일반적으로 삼축 응력상태 (triaxial stress state) 에 있음 예 : 내압을 받는 구형용기 -2 축 인장 인발, 압축, 디이프드로잉 등 가공공정시⇒일반화된 탄성변형 및 항복거동 필요 탄성영역 - 일축 응력 ε X = σ X.

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1 삼축 응력 가공 공정에서 소재는 일반적으로 삼축 응력상태 (triaxial stress state) 에 있음 예 : 내압을 받는 구형용기 -2 축 인장 인발, 압축, 디이프드로잉 등 가공공정시⇒일반화된 탄성변형 및 항복거동 필요 탄성영역 - 일축 응력 ε X = σ X / E, ε Y = ε Z =-υε X =-υσ X / E ; υ: Poisson's ratio, E: elastic modulus - 삼축응력 ( 일반화된 Hook ’ s law) ε X = σ X / E - υσ Y / E - υσ Z / E ε Y = σ Y / E - υσ Z / E - υσ X / E ε Z = σ Z / E - υσ X / E - υσ Y / E - 전단응력 γ XY = τ xy / G, γ YZ = τ YZ / G, γ ZX = τ xy / G, G = E/2(1+υ) G:Shear Modulus( or Modulus of rigidity) - Bulk Modulus, B: 물체에 균일한 응력을 가할 경우 부피변화에 대한 비례상수 x,y,z 방향으로 균일한 응력 σ 가 가해진다면  σ X = σ Y = σ Z = σ Hook's law 로부터, ε X = ε y = ε Z = σ(1-2υ)/E 단위부피에서의 부피변화 ΔV/V =(1 + ε X )(1 + ε Y )(1 + ε Z ) -1  ε X + ε Y + ε Z = -3σ(1-2υ)/E = σ/B B: Bulk Modulus = σ /(ΔV/V) = E/3(1-2υ)

2 항복조건 (Yield Criteria) 소재의 탄성 영역을 넘어 영구 변형 ( 소성변형 ) 을 일으키는 응력조건 1) 최대 전단응력 조건 (Maximum shear stress criterion 혹은 Tresca ‘ s criterion) - 최대 전단응력이 재료의 임계 값에 도달 할 때 항복이 시작된다는 조건, 즉 어떤 재료의 전단 항복응력 (shear yield stress) 를 k 라 하면 ; τ max = k 2) 전단변형 에너지조건 (Distortion-energy criterion 혹은 Von Mises criterion) - 재료에 가해진 전단 변형에너지가 그 재료의 항복 에너지보다 크면 소성변형을 일으킨 다는 개념. 즉 (  1 -  2 ) 2 + (  2 -  3 ) 2 + (  3 -  1 ) 2 =2Y 2 =6k 2 - 주응력 (principal stress): 전단 응력들은 없고 수직 응력 (normal stress) 으로만 존재할 때 이 수직 응력들을 말함 * 수직응력과 전단응력이 같이 존재 할 경우 직교변환에 의해 주응력 상태로 변환 가능 - Mohr 응력원 (Mohr circle) * x 축에 주응력을, Y 축에 전단응력을 표시하고 이를 직경으로 하는 원을 그려 응력상태 를 나타내며 이 경우 y 축상의 최대치 ( 반경 ) 가 τmax 임. 예 : 그림 2.36 * 항복이 일어나려면 가장 큰 원이 재료의 전단항복응력 k 에 접해야 함. * 단순인장 시험으로부터, k=Y/2 * 최대 전단응력 항복조건, τ max -τ min =Y * Tresca 의 조건은 가장 간단한 항복조건 개념이나 연속 함수가 아님 → 계산에 부적합.

3 평면응력 (Plane stress) 과 평면변형율 (Plane strain) 평면응력 (Plane stress): 직교좌표계에서 최소 한 방향의 면에 응력이 작용 하지 않는 ( 응력이 0) 응력 상태 예 : 원통이 비틀리는 경우 - 반경 방향 응력이 없음 ; 그림 2.39(a)2 축 인장 (b)2 축 압축 (c) 인장 평면변형 (Plane strain): 직교 좌표계에서 최소 한 방향의 면에 수직 및 전 단변형율이 모두 0 인 응력 상태 예 : 그림 2.39(c),(d) 얇은 원통이 비틀리는 경우 벽두께 방향으로 변형이 없음 - 평면응력이면 서 평면변형 평면응력상태 ( ) 에서 항복조건 : 그림 최대 전단응력조건 - 육각형 제 1 사분면 :  1 >0,  3 >0   max =Y 제 3 사분면 :  1 <0,  3 <0   max =-Y 제 2 사분면 :  3 -  1 =Y 제 4 사분면 :  1 -  3 =Y - 전단변형 에너지 조건 when  2 = 0    1 2  3 2 = Y 2 =3k 2

4 유동법칙 (Flow rule) 혹은 Lēvy-Mises 방정식 일반화된 Hook's 법칙과 유사. - 소성 변형시 응력과 변형율 증분과의 관계 d  i = (d  e /  e )[  i – 1/2(  j +  k )] σ e,d  e :equivalent flow stress & strain - 평면 변형율의 경우  2 = 0, →  2 =1/2(  3 +  1 ) * 이 경우 전단변형 에너지 조건식은 (  1 -  3 )= 2/  3 Y = 1.15Y = Y ’, k=Y/  3 * 최대 전단응력 조건에서는  1 -  3 = Y= 2k, k=Y/2 체적 변형율 - 후크의 법칙에서 ( 탄성 영역 )  1 +  2 +  3 = ln(v/v o )= [(1-2 )/E](  1 +  1 +  3 )=3[(1-2 )/E]  m - 탄성영역에서는 0 0; 부피 팽창,  m <0; 부피 수축 - 일반적으로 소성변형에서는 체적변화가 없음  ln(v/v o ) =0   1 +  2 +  3 = 0, = 0.5

5 유효응력, 유효변형율 (effective stress & strain) 유효응력 : 어떤 일반적인 응력 상태에서의 응력값들을 일축응력상태에 상 당되는 값으로 나타낸 응력. 상당응력 (equivalent stress) 혹은 대표응력 (representative stress) 이라고도 함. 예 : 최대 전단 응력 조건의 경우.  e =  1 -  3 전단변형 에너지 조건의 경우  e = 1/  2[(  1 -  3 ) 2 + (  1 -  3 ) 2 + (  1 -  3 ) 2 ] 1/2 → 일축 인장시 σ e =  1 유효 변형율 : 유효응력에 대응하는 변형율 예 : 최대 전단응력 조건의 경우  e = 2/3(  1 -  3 ) 전단 변형 에너지 조건의 경우  e =  2/3[(  1 -  2 ) 2 + (  2 -  3 ) 2 + (  3 -  1 ) 2 ] 1/2 → 일축 인장시  e =  1 수직응력 - 수직 변형율 곡선과 전단 응력 - 전단 변형율 곡선의 관계 : 숙제 전단응력조건, 변형에너지 조건에서 비교하고 graph 상에서 예시

6 변형일과 열 변형일 : 단위 체적당 변형에 소요되는 일 = 응력 × 변형율 - 진응력 - 진변형율 곡선 ( 그림 2.42) 에서 빗금친 면적 u =   d  = Y f , Y f 는 소재의 평균 유동응력 - 일반적으로 임의의 응력 상태에서는 변형에 소요되는 총 일은 일 =(u)( 체적 ): 균일 변형에 소요되는 최소에너지 혹은 이상적 에너지 (ideal energy) - 실제 변형시 소요되는 에너지 마찰 에너지와 비균일 변형에 의한 과잉일 (redundaut work) 가 더 소 요 됨, 예 ) 그림 어떤 소성 가공공정의 효율은  = u(ideal)/u(total) 로 정의 예 : 압출 : 30~60%, 압연 : 75~95% 일과 열 : 소성가공시 변형에 소요된 기계적 일의 대부분은 열로 변환함. -100% 가 전환된다고 가정하면  T = u(total)/  c, c: 비열 - 실제 작업에서는 외부로 발산하나 빠른 속도로 수행되는 공정이나 단열 상황에서는 온도상승유발, 예 : Hot coil 압연, 대형괴 단조등


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