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財務工程 呂瑞秋著 1 第三章 歐式股票選擇權的評價 Black and Scholes 的模型.

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1 財務工程 呂瑞秋著 1 第三章 歐式股票選擇權的評價 Black and Scholes 的模型

2 財務工程 呂瑞秋著 2 選擇權 選擇權有兩種:買權與賣權 賣權也是一種買賣契約,其擁有者 ( 買入歐式 股票賣權的人 ) 在未來該賣權到期時,有權利 以契約上約定的履約價格來賣出標的股票予發 行者 ( 賣出歐式股票賣權的人 ) 買權的到期價值為 Max(S T -K, 0) 賣權的到期價值為 Max(K-S T, 0) S T :標的股票到期價格

3 財務工程 呂瑞秋著 3 韋納過程 (Wiener process) dw t = w t+dt -w t =ε(dt) 1/2 dw t 表示韋納過程 在 t 時經過 dt 時間後的變化量或增量, ε 為 服從標準常態分配 (standard normal distribution) 的隨機變數 變化量或增量 dw t 與 t 時以前 ( 含 t 時點 ) 的韋 納過程是不相關 ( 馬可夫特性 ) w t 為平均數 (mean)w0 且變異數 (variance) 為 t 的常態分配

4 財務工程 呂瑞秋著 4 一般化韋納過程 (generalized wiener process) dx t = x t+dt -x t = μdt +σdw t x t 的分配為平均數 x 0 +μt ,變異數為 σ 2 t 的 常態分配

5 財務工程 呂瑞秋著 5 幾何布朗運動 dS t = S t+dt -S t = μS t dt +σS t dw t S t 服從對數常態分配 (lognormal distribution) 投資股票的平均報酬率與持有時間同步增 加,而投資風險,若以標準差來衡量,與 持有時間的平方根同步增加

6 財務工程 呂瑞秋著 6 伊藤過程 (Ito process) dy t = y t+dt -y t = μ(y t,t) dt +σ(y t,t) dw t 具有馬可夫特性 韋納過程、一般化韋納過程與幾何布朗運 動其實都是伊藤過程的特例 伊藤過程也常被稱為擴散過程 (diffusion process) 伊藤過程有一特性是,即使經某些特定條 件下的函數轉換,仍然維持著伊藤過程的 容貌。此即 Ito’s lemma

7 財務工程 呂瑞秋著 7 Ito ’ s lemma 若 y t 是一個伊藤過程,其隨機微分式為: dy t = μ(y t,t) dt +σ(y t,t) dw t 而且 F 是 y t 與 t 的可微分 (differentiable) 的函數, 則 F(y t,t) 也是一個伊藤過程,其隨機微分式 為:

8 財務工程 呂瑞秋著 8 Ito ’ s lemma 的應用 S t 服從幾何布朗運動

9 財務工程 呂瑞秋著 9 複製法 利用股票與買權 ( 兩種風險資產 ) 來合成銀 行帳戶 ( 無風險資產 ) 以完成評價工作 由買進一單位股票衍生性商品與賣出 單位的股票組合而成 組合的價值為

10 財務工程 呂瑞秋著 10 複製法 (Cont) 又 結合以上可導出著名的 Black-Scholes- Merton 微分方程式 此微分方程式加上買權的邊界條件可解出 著名的 Black-Scholes 公式 複製法在文獻上也稱為 PDE 法

11 財務工程 呂瑞秋著 11 Black-Scholes 買權公式

12 財務工程 呂瑞秋著 12 買賣權等價關係 (Put-Call Parity) C t 代表買權價格, P t 代表賣權價格

13 財務工程 呂瑞秋著 13 Black-Scholes 賣權公式

14 財務工程 呂瑞秋著 14 風險中立評價法 計算被評價資產在風險中立世界下未來現 金流量的期望值後,再以無風險利率折現 即得該資產之現值 風險中立評價法其實是平賭方法 (Martingale approach) 的一個特例

15 財務工程 呂瑞秋著 15 風險中立世界股價的隨機過程 運用 Girsanov 定理作機率測度的改變 (probability measure change) λ=(μ-r)/σ

16 財務工程 呂瑞秋著 16 買權的評價方程式

17 財務工程 呂瑞秋著 17 影響歐式選擇權價值的因素 買權賣權 標的資產價格+- 履約價格-+ 利率+- 波動率++ 時間-不確定

18 財務工程 呂瑞秋著 18 選擇權的財務特性 可由買進標的股票與賣出零息債券組合而成 若股價上漲 1% ,則買權價值會上漲超過 1% 標的股價與履約價格同時增加一倍,買權或賣 權價值也隨之增加一倍 當標的股價為 0 時,歐式買權的價值也是 0 歐式買權的價值不會超過標的股價 美式買權在股票無現金股利下,持有者是不會 提前執行。但是,美式賣權就有可能提前執行

19 財務工程 呂瑞秋著 19 Black and Scholes 模型後續的研究 資產價格服從其他隨機過程 隨機利率下的 Black and Scholes 模型 其他商品的選擇權 美式選擇權 數值方法 新奇選擇權


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