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第八讲 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性.

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1 第八讲 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性

2 要点 离散系统的系统函数和频率响应,系统函数与差分方程的互求 系统频率响应的意义 由系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
由系统函数的零极点分析系统的频率特性----系统函数零极点的几何意义

3 第二章作业 2-1 (1)(3)(4)(6)(7), 2-2,2-3,2-4,2-5 (1)(3)(5),
2-6 (1)(3),2-10,2-12,2-13 2-14(2)(3)(6), 2-16,2-23,2-24,2-28

4 2.6.1离散系统的系统函数、 系统频率响应(传输函数)
2.6.1离散系统的系统函数、 系统频率响应(传输函数) 1. LSI系统的系统函数H(z): 单位抽样响应h(n)的z变换 常系数线性差分方程 其中:y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)

5 2. 系统的频率响应 : 单位圆上的系统函数(传输函数) 单位抽样响应h(n)的Fourier变换

6 3.系统频率响应的意义 1)LSI系统对复指数序列的稳态响应:

7 2)LSI系统对正弦序列的稳态响应 输出同频 正弦序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和

8 3)LSI系统对任意输入序列的稳态响应 其中: 微分增量(复指数):

9 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 1)因果: 2)稳定: 序列h(n)绝对可和,即 而h(n)的z变换的Roc: 稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆, 即频率响应存在且连续 3)因果稳定:Roc: H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内

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11 2.6.3 利用系统的零极点分析系统的频率特性 常系数线性差分方程: 取z变换 则系统函数

12 利用H(z)在z平面上的零极点分布 频率响应:

13 则频率响应的幅度: 幅角:

14 零点位置影响凹谷点的位置与深度 极点位置影响凸峰的位置和深度 零点在单位圆上,谷点为零 零点趋向于单位圆,谷点趋向于零
极点趋向于单位圆,峰值趋向于无穷 极点在单位圆外,系统不稳定

15 图 频响的几何表示法

16 例2.6.2 已知H(z)=z-1,分析其频率特性 解:由H(z)=z-1,极点为z=0, 幅度特性 |H(e jω)|=1
相位特性 φ(ω)=-ω 频响如图2.6.3所示。 用几何方法也容易确定,当ω=0转到ω=2π时,极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论,处于原点处的零点或极点,由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1,因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。

17 图 H(z)=z-1的频响

18 例 设一阶系统的差分方程为 y(n)=by(n-1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。 解:由系统差分方程得到系统函数为 系统极点z=b,零点z=0,当B点从ω=0逆时旋转时,在ω=0点由于极点矢量长度最短,形成波峰。在ω=π时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。

19 图 例2.6.3插图

20 例 2.6.4 已知H(z)=1-z-N,试定性画出系统的幅频特性。
解: H(z)的极点为z=0,这是一个N阶极点,它不影响系统的频响。零点有N个,由分子多项式的根决定

21 N个零点等间隔分布在单位圆上,设N=8,极零点分布如图2. 6
N个零点等间隔分布在单位圆上,设N=8,极零点分布如图2.6.5所示。当ω从零变化到2π时,每遇到一个零点,幅度为零,在两个零点的中间幅度最大,形成峰值。幅度谷值点频率为:ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般将具有如图2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。

22 图 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性

23 例 2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解: 零点: 极点:
阶零点 设N=8,z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图2.6.6所示。

24 图 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性

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30 补充:IIR系统和FIR系统 无限长单位冲激响应(IIR)系统: 单位冲激响应h(n)是无限长序列 有限长单位冲激响应(FIR)系统:

31 IIR系统:至少有一个 全极点系统:分子只有常数项 零极点系统:分子不止常数项 FIR系统:全部 收敛域 内无极点,是全零点系统

32 IIR系统:至少有一个 有反馈环路,采用递归型结构 FIR系统:全部 无反馈环路,多采用非递归结构

33 下一讲要点 DFT的定义 分析FT、DTFT、DFS的特点,思考为什么要引入DFT?意义何在? DFT的性质 频域采样理论
思考其与时域采样定理的对应关系?

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