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第六讲 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里 叶变换 2.4 离散时间信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系.

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2 第六讲 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里 叶变换 2.4 离散时间信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系

3 学习目标 了解傅里叶变换的几种形式 了解时域与频域信号特性的对偶关系 了解周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换 之间的关系 了解离散时间信号的傅里叶变换与模拟信 号傅里叶变换之间的关系

4 补充内容 :Fourier 变换的几种可能形式 时间函数 频率函数 连续非周期 非周期连续 — 傅里叶变换( FT ) 周期连续 离散非周期 — 傅里叶级数( FS ) 离散非周期 周期连续 — 序列的傅里叶变换 周期离散 离散周期 — 离散傅里叶变换

5 连续时间、连续频率 — 傅里叶变换 (FT) 时域连续函数造成频域是非周期的谱, 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。

6 连续时间、离散频率 — 傅里叶级数 (FS) 时域连续函数造成频域是非周期的谱, 时域周期函数造成频域的离散。

7 离散时间、连续频率 — 序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域 的周期延拓,而时域的 非周期对应于频域的连 续

8 离散时间、离散频率 — 离散傅里叶变换 一个域的离散造成另一个域的周期延拓, 因此离散周期序列的傅里叶变换的时域 和频域都是离散的和周期的

9 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数频率函数 连续和非周期非周期和连续 (FT) 连续和周期 (T 0 ) 非周期和离散 (Ω 0 =2π/T 0 ) (FS) 离散 (T) 和非周期周期 (Ωs=2π/T) 和连续 (DFS) 离散 (T) 和周期 (T 0 ) 周期 (Ωs=2π/T) 和离散 (Ω 0 =2π/T 0 ) (DFT)

10 § 周期序列的 DFS 一. 周期序列 DFS 的引入 对上式进行抽样,得: 导出周期序列 DFS 的传统方法是从连 续的周期信号的傅氏级数开始的:

11 因 是离散的,所以 应是周期的。 ,代入 而且,其周期为 ,因此 应是 N 点的周期序列。

12 又由于 所以求和可以在一个周期内进行,即 即,当在 k=0,1,..., N-1 求和与在 k=N,...,2N-1 求和所得的结果是一致的。

13 二 、周期序列的 DFS 及其性质

14 周期为 N 的正弦序列其基频成分为: K 次谐波序列为: 但离散级数所有谐波成分中只有 N 个是独立的, 这是与连续傅氏级数的不同之处, 即 因此

15 周期序列的特点 周期序列不能进行傅里叶变换,因为其在 n=-  到 +  都周而复始永不衰减,不满足 绝对可和条件。但是,正象连续时间周期 信号可用傅氏级数表达,周期序列也可用 离散的傅氏级数来表示,也即用周期为 N 的 正弦序列来表示。

16 将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取 k=0 到 (N-1) 这 N 个独立的谐波分量,所以一个周 期序列的离散傅里叶级数只需包含这 N 个复指数 J 加权的复指序列的线性组合。

17 二. 的 k 次谐波系数 的求法 1. 预备知识 注意:其他 r 时分子总是为零

18 2. 的表达式 将式 的两端乘 ,然后从 n=0 到 N-1 求和, 则:

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20 3. 离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入,则: 正变换: 反变换:

21 周期序列的 DFS 正变换和反变换: 其中:

22 1) 周期序列可展开为 N 次谐波的线性组合 2 )谐波系数 也是一个由 N 个独立谐波 分量组成的傅立叶级数 3 ) 为周期序列,周期为 N 。 周期序列的 DFS 小结

23 DFS 变换对公式表明,一个周期序列虽然 是无穷长序列,但是只要知道它一个周期 的内容(一个周期内信号的变化情况), 其它的内容也就都知道了,所以这种无穷 长序列实际上只有 N 个序列值的信息是有用 的,因此周期序列与有限长序列有着本质 的联系。

24 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中, 的傅里叶 变换是在 Ω=Ω o 处的单位冲激函数,强度 是 2π ,即 对于时域离散系统中 ,暂时假定其 FT 的形式与上式一样,也是在 ω=ω 0 处的单位 冲激函数,强度为 2π ,即

25 X(e jω ) 是在 ω=ω 0 +2πr(r 取整数 ) 处强度为 2π 的 单位冲激函数,这是因为 的周期性引起的。 的频谱如图 2-3 所示。 图 2-3 的傅里叶变换

26 逆变换计算如下 这是因为积分区间 (-π , π) 只包括一个单位冲激函 数。以上利用冲激函数表示序列 的傅里叶 变换,对于一般的周期序列 ,可以用 DFS 表 示为 N 次谐波叠加的形式,那么利用傅里叶变换 可以将按各次谐波表示如下 式中 k =0 , 1 , 2 , … , N-1 ,若让 k 在 ±∞ 之间变化,上式可简化为

27 其中 上式就是利用冲激函数,以及周期序列的离 散傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的 表达式。

28 例 设 x(n)=R4(n) ,将 x(n) 以 N=8 为周 期进行周期延拓得到的序列 ( 如图 2-4(a) 所 示 ) ,求序列的 DFS 与 FT 。 解: (1) 求 DFS

29 其幅度特性 如图 2-4(b) 所示。 (2) 求 FT

30 图 2-4 序列 x(n) 的幅频特性

31 序列 x(n) 的幅频特性 如图 2-4(c) 所示。 注意序列 x(n) 幅度特性 和幅频特性 | | 的相似性,它们都可以表示周期序 列的频谱分布,但周期序列的 | | 使用 冲激函数表示的。

32 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号 x a (t) 的一对傅里 叶变换式用下面公式描述

33 这里 t 与 Ω 的域均在 ±∞ 之间。 从模拟 信号幅度取值考虑, 在第一章中遇到两种信号, 即连续信号和采样信号, 它们之间的关系如下:

34 X(e jω ) 与 X a (jΩ) 之间有什么关系, 数字频率 ω 与 模拟频率 Ω(f) 之间有什么关系, 这在模拟信号数字处理中, 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题, 观察

35 令 , 代入上式后, 再将 Ω′ 用 Ω 代替

36 图 模拟频率与数字频率之间的定标关系

37 例 设 x a (t)=cos(2πf 0 t) , f 0 =50 Hz 以采 样频率 f s =200 Hz 对 x a (t) 进行采样得到采样信号 和时域离散信号 x(n) ,求 x a (t) 和 的傅里叶变换 以及 x(n) 的 FT 。 解:

38 X a (jΩ) 是 Ω=±2πf 0 处的单位冲激函数, 强度为 π , 如图 2.4.2(a) 所示。 以 f s =200 Hz 对 x a (t) 进行采样得到采样信号 , 其 与 x a (t) 的 关系式为

39 将采样信号转换成序列 x(n) , 用下式表示: x(n)=x a (nT)=cos(2πf 0 nT) 将 fs=200 Hz , f0=50 Hz , 代入上式, 求括弧中公 式为零时的 ω 值, ω=2πk±π/2 , 因此 X(ejω) 用下式 表示:

40 图 例 图

41 作业


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