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1 最新計算機概論 第 4 章 數位邏輯設計. 2 4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成,至 於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數 X 、 Y 進行相加的結果, SUM 代表和, CARRY 代表進位。

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1 1 最新計算機概論 第 4 章 數位邏輯設計

2 2 4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成,至 於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數 X 、 Y 進行相加的結果, SUM 代表和, CARRY 代表進位。

3 3 AND 運算子 OR 運算子 NOT 運算子

4 4

5 5 SUM = ((NOT X) AND Y) OR (X AND (NOT Y)) = (X ’ * Y) + (X * Y ’ ) CARRY = X AND Y = X * Y

6 6 4-2 布林代數 值為 0 或 1 的二元變數 (binary variable) 值為 0 或 1 的常數 (constant) AND 、 OR 、 NOT 運算子 (operator) ( 、 ) 、 [ 、 ] 、 { 、 } 等括號 = 等號

7 7 舉例來說,假設布林函數 F(X, Y, Z) = XYZ ’ + (X ’ Z ’ )(Y + Z) ,且 X = 1 、 Y = 1 、 Z = 0 , 則運算過程如下: F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) = X * Y * Z’ + (X’ * Z’) * (Y + Z) = 1 * 1 * 0’ + (1’ * 0’) * (1 + 0) = 1 * 1 * 1 + (0 * 1) * (1 + 0) = * 1 = = 1

8 真值表 F(X, Y, Z) = XYZ ’ + (X ’ Z ’ )(Y + Z) 的真值表如下:

9 文氏圖

10 10 以文氏圖表示 F(X, Y, Z) = X ’ Z ’ + XY

11 布林代數恆等式

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 邏輯閘 AND 閘

20 OR 閘

21 NOT 閘

22 XOR 閘

23 NAND 閘

24 24 使用 NAND 閘來模擬 AND 閘 使用 NAND 閘來模擬 OR 閘 使用 NAND 閘來模擬 NOT 閘

25 25 NAND 閘亦可以表示成如下的 邏輯符號

26 NOR 閘

27 27 使用 NOR 閘來模擬 AND 閘 使用 NOR 閘來模擬 OR 閘 使用 NOR 閘來模擬 NOT 閘

28 28 NOR 閘亦可以表示成如下的邏 輯符號

29 XNOR 閘

30 多重輸入邏輯閘

31 邏輯簡化 : 簡少電路邏輯閘之使用數目 之一種處理程序 標準形式 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 積項之和 (SOP) 和項之積 (POS) 最小項之和 (sum of miniterms) 最大項之積 (product of maxterms)

32 32 積項 (product terms) – 兩個或以上二元變數以 AND 運算子連接在一起,例如 XY, X’Y’Z’, Y’Z’ 均屬之,而 X+Y, X(Y+Z) 則不是 和項 (sum terms) – 兩個或以上二元變數以 OR 運算子連接在一起,例如 X+Y, X’+Y’, Y’+Z’ 均屬之,而 XY, X(Y+Z) 則不是 最小項 (miniterms) 積項中每個二元變數都要出現一次,不論是變數本身 或補數形式 ,例如 XYZ, X’Y’Z 屬之, XY, XZ’ 則不是 最大項 (maxiterms) 和項中每個二元變數都要出現一次,不論是變數本身 或補數形式 ,例如 X+Y+Z, X’+Y’+Z 屬之, X+Y, X+Z’ 則不 是

33 33 積項之和 (SOP) – 以 OR 運算子連接各個積項,例如 XY+ X’Y’Z’+ Y’Z’ 均屬之, 而 (X+Y)( X+Y+Z) 則不是 和項之積 (POS) – 以 AND 運算子連接各個和項,例如 (X+Y)(X’+Y’+Z’) 屬之, 而 XY+ XYZ+Y’Z’ 則不是 最小項之和 (sum of miniterms) – 與積項之和類似,但以 OR 運算子連接各個最小項,例如 XYZ+X’Y’Z+XYZ’ 屬之, XY+ XZ’ 則不是 最大項 之積 ((product of maxterms) – 與和項之積類似,但以 AND 運算子連接各個最小項,例 如 (X+Y+Z)( X’+Y’+Z)(X+Y+Z’) 屬之, (X+Y)( X+Z’) 則不是

34 34 包含 2 個及 3 個二元變數之布林函數的最小項 定義:

35 35 包含 2 個及 3 個二元變數之布林函數的最大 項定義:

36 36

37 37

38 38

39 卡諾圖 包含 2 個二元變數的卡諾圖

40 40 將 F(X, Y) = XY + XY ’ 簡化為積項之和: 1.F(X, Y) = m 3 + m 2 = Σm(2, 3) 。 XY ’ + XY = (X)(Y ’ + Y) = X 。

41 41 包含 3 個二元變數的卡諾圖

42 42 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 簡化為積 項之和: 1.F(X, Y, Z) = m 2 + m 3 + m 5 + m 7 = Σm(2, 3, 5, 7) 。 X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XY ’ Z + XYZ = (X ’ Y)(Z + Z ’ ) + XZ(Y ’ + Y) = X ’ Y + XZ 。

43 43 包含 4 個二元變數的卡諾圖

44 44 將 F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 2, 4, 6, 8, 10, 13, 15) 簡化為積項之和: W ’ Z ’ + WXZ + X ’ Z ’ 。

45 45 以卡諾圖將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 簡化為和項之積: 1.F(X, Y, Z) = Σm(2, 3, 5, 7) 。 X ’ Y ’ + XZ ‘ 。 5. 由於這個布林函數的補數為 X ’ Y ’ + XZ ’ ,故 F(X, Y, Z) = (X ’ Y ’ + XZ ’ ) ’ = (X + Y)(X ’ + Z) 。

46 46 將 F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 1, 5, 10, 14) + d(4, 7, 11, 15) 簡化為積項之和: W ’ Y ’ + WY 。

47 組合電路

48 分析組合電路 1. 將各個邏輯閘的輸出一一表示 成變數。 2. 由前往後推算各個變數的布林 函數,直到求出最後一個變數 的布林函數,即為整個邏輯電 路的布林函數。

49 49

50

51 51 根據前一個範例的組合電路,推算真值表: 1. 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數 F 1 、 F 2 、 F 3 、 F 。 2.

52 52 3.

53 設計組合電路 1. 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 2. 推算出真值表。 3. 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 4. 將布林函數繪製成邏輯電路。 邏輯電路又分成 AND-OR 、 NAND- NAND 、 OR-AND 、 NOR-NOR 等四種較 受歡迎的形式 。

54 54 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製 成 AND-OR 電路: 1.F(X, Y, Z) = X ’ Y + XZ 。 2.

55 55 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製成 OR-AND 電路: 1.F ’ (X, Y, Z) = X ’ Y ’ + XZ ’ ,故 F(X, Y, Z) = (X ’ Y ’ + XZ ’ ) ’ = (X ’ Y ’ ) ’ (XZ ’ ) ’ = (X + Y)(X ’ + Z) 。 2.

56 56 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪 製成 NAND-NAND 電路: 1. 2.

57 57 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製 成 NOR-NOR 電路: 1. 2.

58 58

59 59

60 60

61 常見的組合電路 半加法器

62 62 SUM = X ’ Y + XY ’ , CARRY = XY ,其邏輯 電路如下: 或 SUM = X ’ Y + XY ’ = X ⊕ Y , CARRY = XY , 其邏輯電路如下:

63 全加法器

64 64 SUM = C in ’ X ’ Y + C in ’ XY ’ + C in X ’ Y ’ + C in XY , CARRY-OUT = C in ’ XY + C in X ’ Y + C in XY ’ + C in XY = XY + C in Y + C in X ,其邏輯電路如下:

65 65 或 SUM = C in ’ X ’ Y + C in ’ XY ’ + C in X ’ Y ’ + C in XY = (C in ⊕ X)Y ’ + (C in ⊕ X) ’ Y = C in ⊕ X ⊕ Y , CARRY-OUT = C in ’ XY + C in X ’ Y + C in XY ’ + C in XY = (C in ⊕ X)Y + C in X ,其邏輯電路如下:

66 66

67 乘法器 2 x 2 乘法器

68 68 4 x 3 乘法器

69 解碼器 解碼器 將 n bits 輸入信號轉換成 2 n 個輸出

70 70

71 編碼器 編碼器將 2 n 個 bits 輸入信號轉換成 n 個輸出

72 72

73 多工器

74 74

75 75

76 76 習題 : 寫出真值表 X Y’ X’ Y A B XYXY Z A B 3. 將 F(X,Y,Z)=XY+X’Y+Y’Z 繪製成 AND-OR 電路 1 2


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