Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΖΑΝΤΖΙΔΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΒΑΡΔΟΥΛΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ - ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007

2 Βασικές έννοιες Smith - McMillan μορφήSmith - McMillan μορφή Θεώρημα RosenbrockΘεώρημα Rosenbrock Τοπικοί δείκτες ελεγξιμότηταςΤοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας Feedback / output - injection ισοδυναμίαFeedback / output - injection ισοδυναμία Wiener – Hopf παραγοντοποίηση και αντίστοιχοι δείκτες, τοπικοί Wiener – Hopf δείκτες Αλγόριθμοι υπολογισμού Wiener – Hopf δεικτών και των πινάκων της παραγοντοποίησης Σχέση των Wiener – Hopf δεικτών παραγοντοποίησης με τους βαθμούς των αναλλοίωτων παραγόντων πολυωνυμικού τετραγωνικού πίνακα (Smith-McMillan μορφή, πεπερασμένη και άπειρη) Εφαρμογές στην θεωρία ελέγχου Feedback / output - injection ισοδυναμίαFeedback / output - injection ισοδυναμία Δείκτες ελεγξιμότηταςΔείκτες ελεγξιμότητας Δείκτες παρατηρησιμότηταςΔείκτες παρατηρησιμότητας Τοπικοί δείκτες ελεγξιμότηταςΤοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) (V)

3 (I) ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

4 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ SMITH-McMILLAN ΜΟΡΦΗ SMITH - McMILLAN ΜΟΡΦΗ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

5 ΘΕΩΡΗΜΑ [Rosenbrock, 1970] Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος. Υπάρχει πίνακας τέτοιος ώστε ο πίνακας να έχει τα πολυώνυμα ως αναλλοίωτους παράγοντες αν και μόνο αν όπου οι δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β).

6 Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος με δείκτες ελεγξιμότητας. Υπάρχει πίνακας : ο sI n -(Α+ΒF) να έχει τα πολυώνυμα ως αναλλοίωτους παράγοντες αν και μόνο αν : Άρα ο sI n -(Α+ΒF) θα έχει αναλλοίωτους παράγοντες, ενώ οι βαθμοί των μπορούν να πάρουν τις εξής τιμές : ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

7 ΤΟΠΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑΣ Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος : όπου π(s) κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο, ΜΚΔ (π(s),β(s)) = 1,. Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι. τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας Οι αριθμοί αυτοί καλούνται τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) ως προς το πολυώνυμο π(s) αν : (i)το ζεύγος (Α,Β) είναι όμοιο με το, όπου ελέγξιμα ζεύγη (ii)οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι δυνάμεις του π(s). (iii)οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι πρώτοι προς το πολυώνυμο π(s). (iv) οι αριθμοί είναι οι δείκτες ελεγξιμότητας του ζεύγους (Α 1,Β 1 ).

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και είναι όμοιο με το όπου k 1 = k 2 = 1 Ο πίνακας sI 2 -Α 1 έχει αναλλοίωτους παράγοντες τα πολυώνυμα α 1 (s)=1, α 2 (s)=(s-1) 2 που είναι δυνάμεις του π(s), ενώ ο sI 2 -Α 2 έχει αναλλοίωτο παράγοντα α(s)= s+1 που είναι πρώτος προς το π(s). Οι τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του ( Α, Β ) είναι οι δείκτες ελεγξιμότητας του ( Α 1, Β 1 ) που είναι k 1 = k 2 = 1.

9 FEEDBACK / OUTPUT – INJECTION ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ feedback ισοδύναμο Έστω. Το ζεύγος (Α,Β) είναι feedback ισοδύναμο ( feedback equivalent ) με το ζεύγος αν υπάρχουν non - singular πίνακες : output-injection ισοδύναμο Έστω. Το ζεύγος (Α,C) είναι output-injection ισοδύναμο με το ζεύγος αν υπάρχουν non - singular πίνακες : Οι δείκτες ελεγξιμότητας / παρατηρησιμότητας του (Α,Β) / (Α,C) αποτελούν ένα πλήρες σύνολο αναλλοιώτων για την feedback / output - injection ισοδυναμία.

10 (II) WIENER – HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

11 Έστω. Αριστερή Wiener - Hopf παραγοντοποίηση του Τ(s) παραγοντοποίηση του Τ(s) biproper unimodular unimodular αριστεροί Wiener - Hopf δείκτες Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης παραγοντοποίησης ( left Wiener - Hopf factorization indices ) Δεξιά Wiener - Hopf Δεξιά Wiener - Hopf παραγοντοποίηση του Τ(s) παραγοντοποίηση του Τ(s) unimodular biproper biproper δεξιοί δεξιοί Wiener - Hopf δείκτες Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πίνακας. k 1 = -1, k 2 = 1 Αριστεροί Wiener-Hopf δείκτες παραγοντοποίησης : k 1 = -1, k 2 = 1 l 1 = -1, l 2 = 1 Δεξιοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης : l 1 = -1, l 2 = 1

13 ΤΟΠΙΚΟΙ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Έστω non - singular και κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο. Έστω τέτοιοι ώστε : (i) P(s) = A(s)B(s) (ii) οι αναλλοίωτοι παράγοντες του Α(s) είναι δυνάμεις του πολυωνύμου π(s). (iii) οι αναλλοίωτοι παράγοντες του Β(s) είναι πρώτοι προς το πολυώνυμο π(s). τότε οι Wiener – Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Α(s) τοπικοί Wiener-Hopf δείκτες παραγοντοποίησης καλούνται τοπικοί Wiener-Hopf δείκτες παραγοντοποίησης ως προς το πολυώνυμο π(s) του Ρ(s) ως προς το πολυώνυμο π(s).

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας κ 1 = 1, κ 2 = 2 Άρα, οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Ρ(s) ως προς το ανάγωγο πολυώνυμο π(s) = s+1 είναι οι Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Α(s), που είναι οι k 1 = 1, k 2 = 2. Επομένως, οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Ρ(s) ως προς το πολυώνυμο π(s) = s +1 είναι οι κ 1 = 1, κ 2 = 2.

15 (III) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

16 1. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΕΡΗΣ WIENER - HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Έστω. Βήμα 1 : Μετατρέπουμε τον πίνακα Τ(s) σε column proper με βαθμούς στηλών k i, i = 1,..., r, r = min{m,n} σε αύξουσα διάταξη. Οι k 1,..., k r είναι οι αριστεροί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Τ(s). Αυτό γίνεται με πολλαπλασιασμό του από δεξιά με κατάλληλο unimodular πίνακα V(s). Βήμα 2 : Αν m = n T(s) = B l (s)D l (s)U l (s), όπου

17 Βήμα 3 : αλλιώς, αν m < n T(s) = B l (s)D l (s)U l (s), όπου Βήμα 4 : αλλιώς Βήμα 5 : Προσθέτουμε m-n στήλες στον έτσι ώστε να γίνει mxm non-singular unimodular. Βήμα 6 : T(s) = B l (s)D l (s)U l (s), όπου

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τ(s) = k 1 = 2, k 2 = 4 k 1 = 2, k 2 = 4, αφού ο Τ(s) είναι column proper. Ο Τ(s) γράφεται ως ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη δεξιά Wiener-Hopf παραγοντοποίηση και τους αντίστοιχους δείκτες παίρνουμε τον ανάστροφο του Τ(s) και εφαρμόζουμε τον ίδιο αλγόριθμο.

19 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΕΡΗΣ WIENER - HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΡΗΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Βήμα 1 :, d(s) : ελάχιστος κοινός παρονομαστής των στοιχείων του Τ(s) Βήμα 2 : d(s) = s d δ(s), d = deg(d(s)), δ(s) πολυώνυμο Βήμα 3 : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 1 για τον Ν(s) Αριστεροί W-H δ.π. του Ν(s) κ 1,...,κ r, r = min{m,n} Βήμα 4 : Αριστεροί W-H δ.π. του Τ(s) k 1 = κ 1 -d,..., k r = κ r -d

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω k 1 = -1, k 2 = 1 k 1 = -1, k 2 = 1

21 3. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΠΙΚΩΝ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 3. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΠΙΚΩΝ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Έστω. Βήμα 1 : Υπολογίζουμε τη Smith κανονική μορφή του Ρ(s) Βήμα 2 : Αναλύουμε τον Ρ(s) στο γινόμενο Ρ(s) = Α(s) Β(s), όπου Βήμα 3 : Υπολογίζουμε τους Wiener–Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Α(s). Οι τοπικοί Wiener–Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του P(s) ως προς το π(s) είναι οι W-H δ.π. του πίνακα Α(s).

22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας Smith κανονική μορφή του Ρ(s) : κ 1 = 1, κ 2 = 2 Άρα, οι τοπικοί W-H δ.π. του Ρ(s) ως προς το ανάγωγο πολυώνυμο π(s) = s+1 είναι οι W - H δ. π. του Α(s), που είναι οι k 1 = 1, k 2 = 2. Επομένως, οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Ρ(s) ως προς το π(s) = s +1 είναι οι κ 1 = 1, κ 2 = 2.

23 (IV) ΣΧΕΣΗ ΜΕ SMITH – McMILLAN ΜΟΡΦΗ

24 ΘΕΩΡΗΜΑ [Amparan et al., 2004 (II)] Έστω ακέραιοι και, i = 1,...,m ανάγωγες ρητές συναρτήσεις, όπου ε i (s), ψ i (s), i = 1,..., m κανονικά και ξένα μεταξύ τους πολυώνυμα τέτοια ώστε ε i (s)|ε i+1 (s),ψ i+1 (s)|ψ i (s), i = 1,...,m-1.Τότε υπάρχει non-singular με W-H δ.π. k 1,...,k m, αναλλοίωτους παράγοντες στο άπειρο και αναλλοίωτες ρητές συναρτήσεις τα, i = 1,...,m αν και μόνο αν

25

26 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο ρητός πίνακας Άρα ισχύει

27 ΘΕΩΡΗΜΑ [Amparan et al., 2006] Έστω κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο. Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι και κανονικά πολυώνυμα με ΜΚΔ(π(s),β i (s)) = 1 για i = 1,...,m τέτοια ώστε ε i (s)|ε i+1 (s), i=1,…,m-1. Αν υπάρχει πίνακας με W-H δ.π. k 1,...,k m, αναλλοίωτους παράγοντες ε 1 (s),...,ε m (s) και τοπικούς W - H δ.π. c 1,...,c m ως προς το πολυώνυμο π(s), τότε ισχύουν οι εξής συνθήκες :

28

29 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ε 1 (s) = π(s) 1 β 1 (s) = (s+1)1, ε 2 (s) = π(s) 2 β 2 (s) = (s+1) 2 (s 3 +3s-0.5) deg β 1 (s) = 0, deg β 2 (s) = 3, Τοπικοί W-H δ.π. του P(s) ως προς το π(s) = s + 1 : c 1 = 1, c 2 = 2 W-H δ.π. του P(s) : k 1 = 2, k 2 = 4 Ισχύουν τα εξής :

30 (V) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

31 ΘΕΩΡΗΜΑ [Zaballa, 1997] Έστω ελέγξιμα ζεύγη / παρατηρήσιμα ζεύγη και αναπαραστάσεις μέσω πολυωνυμικών πινάκων των (Α 1,Β 1 ), (Α 2,Β 2 ) / (Α 1,C 1 ), (Α 2,C 2 ) αντίστοιχα. Τότε τα ζεύγη (Α 1, Β 1 ) - (Α 2, Β 2 ) / (Α 1, C 1 ) - (Α 2, C 2 ) είναι feedback / output - injection ισοδύναμα αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες biproper και unimodular, τέτοιοι ώστε P 1 (s) = B(s)P 2 (s)U(s) / P 1 (s) = U(s)P 2 (s)B(s)

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ελέγξιμα ζεύγη όπου Άρα, τα ζεύγη (Α 1,Β 1 ), (Α 2,Β 2 ) είναι feedback ισοδύναμα.

33 Έστω (Α,Β) ελέγξιμο / (Α,C) παρατηρήσιμο ζεύγος και (sI n - A) -1 B = N(s)P(s) -1 / C(sI n - A) -1 = P(s) -1 N(s), όπου οι P(s), N(s) είναι δεξιά / δείκτες ελεγξιμότητας αριστερά πρώτοι. Τότε οι δείκτες ελεγξιμότητας / παρατηρησιμότητας(Α,Β)(Α,C) παρατηρησιμότητας του (Α,Β) / (Α,C) είναι ίσοι με αριστερούςδεξιούςW-H δ.π. του P(s) τους αριστερούς / δεξιούς W-H δ.π. του P(s). Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος, η αναπαράσταση μέσω πολυωνυμικού πίνακα του (Α,Β) και κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο. τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας Τότε οι τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) ως τοπικοί W - H δ.π. του P(s) ως προς το π(s) είναι οι τοπικοί W - H δ.π. του P(s) ως προς το π(s).

34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω οι πίνακες O πίνακας ελεγξιμότητας έχει πλήρη τάξη (Α,Β) ελέγξιμο. P(s) column proper, άρα k 1 = 1, k 2 = 2 k 1 = 1, k 2 = 2 Δείκτες ελεγξιμότητας : k 1 = 1, k 2 = 2

35 O πίνακας παρατηρησιμότητας έχει πλήρη τάξη (Α,C) παρατηρήσιμο. P(s) row proper, άρα l 1 = 1, l 2 = 2 l 1 = 1, l 2 = 2 Δείκτες παρατηρησιμότητας : l 1 = 1, l 2 = 2

36 O P(s) έχει Smith κανονική μορφή : Θεωρούμε π(s) = s-1. Ο πίνακας P(s) γράφεται ως : κ 1 = 0, κ 2 = 1 Ο Α(s) έχει W-H δ.π. k 1 = 0, k 2 = 1, δηλαδή κ 1 = 0, κ 2 = 1 είναι οι τοπικοί W - H δ.π. του P(s) ως προς π(s) = s -1, που είναι ίσοι με τους τοπικούς δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β).

37


Κατέβασμα ppt "ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google