Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY COURSE NOTES 6 Συνόρθωση Τοπογραφικών Δικτύων

2 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Η πορεία προς την συνόρθωση... Ν -Τοπογραφικό δίκτυο Ν σημείων. n -Υπάρχουν n διαθέσιμες παρατηρήσεις που θα χρησιμοποιηθούν για την τελική του συνόρθωση. -Έχει εκτελεστεί όλη η διαδικασία προ-επεξεργασίας των πρωτογενών παρατηρήσεων (συνορθώσεις σταθμού, υπολογισμός προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων και των παρατηρουμένων μεγεθών, υπολογισμός πίνακα βάρους, κλπ.) -Τελικά έχουμε καταλήξει στο γραμμικοποιημένο σύστημα των εξισώσεων παρατήρησης: Διαστάσεις πινάκων (?)

3 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση μέσω ΜΕΤ άγνωστα Σύστημα κανονικών εξισώσεων Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) Τι βέλτιστες ιδιότητες θα έχει αυτή η λύση ?  άπειρες λύσεις

4 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Τρία “διαφορετικά δίκτυα” -Γεωμετρική πληροφορία για το σχήμα/μέγεθος του τοπογραφικού δικτύου (μέσω των παρατηρήσεων) -Σχήμα/μέγεθος του τοπογραφικού δικτύου (όπως ορίζεται από τις επιλεγμένες προσεγγιστικές συντεταγμένες των σημείων του) -Σχήμα/μέγεθος του τοπογραφικού δικτύου (όπως ορίζεται από τις τελικές συνορθωμένες συντεταγμένες των σημείων του)

5 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Δύο “διαφορετικά δίκτυα” x y x y Πριν τη συνόρθωση...Μετά τη συνόρθωση... Βέλτιστη προσαρμογή του δικτύου στις διαθέσιμες παρατηρήσεις

6 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία επίλυσης δικτύου  Αδυναμία “γεωμετρικής μορφής” του δικτύου  Ανεπαρκής αριθμός συνολικών παρατηρήσεων  Ανεπαρκής τύπος παρατηρήσεων  Αδυναμία ορισμού του συστήματος αναφοράς για τις τελικές συντεταγμένες των σημείων του δικτύου, από τις διαθέσιμες (γεωμετρικού-τύπου) παρατηρήσεις

7 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Αδυναμία βαθμού” δικτύου  Ο πίνακας Ν έχει αδυναμία βαθμού Στη γλώσσα της Άλγεβρας....  Ο πίνακας σχεδιασμού Α δεν έχει πλήρη βαθμό στηλών  Υπάρχουν άπειρες λύσεις που ικανοποιούν το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων

8 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Απαλοιφή “αδιάφορων” παραμέτρων Εξισώσεις παρατηρήσεων Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων Σύστημα κανονικών εξισώσεων

9 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Απαλοιφή “αδιάφορων” παραμέτρων Διαδικασία απαλοιφής

10 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Που οφείλεται η “αδυναμία βαθμού” ενός δικτύου ?

11 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα αδυναμίας βαθμού Το σημείο Α του παρακάτω δικτύου δεν μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της συνόρθωσης, λόγω “γεωμετρικής ανεπάρκειας” των διαθέσιμων παρατηρήσεων (*) Κάθε κορυφή σε ένα οριζόντιο δίκτυο πρέπει να «συνδέεται» με γειτονικά σημεία μέσω τουλάχιστον 2 παρατηρήσεων Α

12 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα αδυναμίας βαθμού - οριζόντιο δίκτυο 5 σημείων (2 γνωστά) - 5 πλευρομετρήσεις - κάθε κορυφή συνδέεται με το υπόλοιπο δίκτυο μέσω 2 παρατηρήσεων f = 5 – (2  3) =  Μη ικανός (συνολικά) αριθμός παρατηρήσεων... Αλλά:    S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5

13 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα αδυναμίας βαθμού Τρισδιάστατο δίκτυο (xyz) (η διεύθυνση της τοπικής κατακορύφου σε όλα τα σημεία του δικτύου είναι η ίδια) μόνο Αν οι παρατηρήσεις περιέχουν μόνο ζενίθειες γωνίες, έχω αδυναμία προσδιορισμού της οριζόντιας γεωμετρίας του δικτύου ζ ij = f (x i, y i, z i, x j, y j, z j ) ζ ij x-y : οριζόντιο επίπεδο z : διεύθυνση της τοπικής κατακορύφου

14 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα αδυναμίας βαθμού x y Ελευθερία “χωροθέτησης” του τελικού δικτύου ώστε να προκύψει το βέλτιστα προσαρμοσμένο γεωμετρικό σχήμα/μέγεθος στις διαθέσιμες παρατηρήσεις... ? ?

15 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα αδυναμίας βαθμού x y ΔxΔx ΔyΔy Το «βέλτιστο δίκτυο» δηλ. αυτό που προσαρμόζεται καλύτερα ως σχήμα/μέγεθος στις διαθέσιμες παρατηρήσεις θ Οι διαθέσιμες παρατηρήσεις σε ένα δίκτυο δεν περιέχουν καμία πληροφορία για τις “παραμέτρους του συστήματος αναφοράς” (Δx, Δy, θ)

16 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία ορισμού του ΣΑ Παραμετρικός βαθμός οριζόντιου δικτύου Ν σημείων ως προς τη γνώση της θέσης (περιλαμβάνει το σχήμα και την κλίμακα) Παραμετρικός βαθμός οριζόντιου δικτύου Ν σημείων ως προς τη γνώση του σχήματος και του μεγέθους (κλίμακας) Αδυναμία βαθμού  k Σχετίζεται με την ελευθερία κίνησης του ΣΑ ως προς το δίκτυο (“ορίζεται” από τις διαθέσιμες παρατηρήσεις)

17 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία ορισμού του ΣΑ Παραμετρικός βαθμός κατακόρυφου δικτύου Ν σημείων ως προς τη γνώση της θέσης (περιλαμβάνει το σχήμα και την κλίμακα) Παραμετρικός βαθμός οριζόντιου δικτύου Ν σημείων ως προς τη γνώση του σχήματος και του μεγέθους (κλίμακας) Αδυναμία βαθμού  1 Σχετίζεται με την ελευθερία κίνησης του ΣΑ ως προς το δίκτυο (“ορίζεται” από τις διαθέσιμες παρατηρήσεις)

18 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Τι είναι τελικά η “αδυναμία βαθμού” ενός δικτύου ? (*) στο εξής θα θεωρούμε ότι το υπό ανάλυση δίκτυο δεν έχει καμία αδυναμία “γεωμετρικής μορφής”...

19 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία βαθμού δικτύου θέση  Η αδυναμία βαθμού ενός δικτύου σχετίζεται με την «αδυναμία» των τοπογραφικών παρατηρήσεων να προσδιορίσουν την θέση του δικτύου ως προς κάποιο ΣΑ εσωτερική γεωμετρία του  Οι διαθέσιμες παρατηρήσεις σε ένα δίκτυο περιέχουν πληροφορία μόνο για την εσωτερική γεωμετρία του (σχήμα, μέγεθος)  Η αδυναμία βαθμού ενός δικτύου είναι ίση με τους βαθμούς ελευθερίας του ΣΑ (*)

20 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Προσοχή..! δεν συνιστά εισαγωγή πληροφορίας για το σύστημα αναφοράς του τελικού συνορθωμένου δικτύου  Η χρήση προσεγγιστικών συντεταγμένων για όλες τις κορυφές του δικτύου δεν συνιστά (από μόνη της) εισαγωγή πληροφορίας για το σύστημα αναφοράς του τελικού συνορθωμένου δικτύου. συνιστά απλά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα προκειμένου να πάρουμε μια αρχική πληροφορία για την εσωτερική γεωμετρία του δικτύου  Η χρήση προσεγγιστικών συντεταγμένων για όλες τις κορυφές του δικτύου συνιστά απλά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα προκειμένου να πάρουμε μια αρχική πληροφορία για την εσωτερική γεωμετρία του δικτύου, προκειμένου να προσεγγίσουμε/εκτιμήσουμε καλύτερα τα αληθινά γεωμετρικά χαρακτηριστικά του μέσω ενός γραμμικοποιημένου (επαναληπτικού) αλγορίθμου...

21 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία βαθμού δικτύου ΑΖΙΜΟΥΘΙΑ → διεύθυνση του άξονα y (*) Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι παρατηρήσεις σε ένα δίκτυο μπορούν εκ των προτέρων να “δεσμεύσουν” ορισμένα χαρακτηριστικά του συστήματος αναφοράς (xyz) ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΒΑΣΕΩΝ GPS (Δx, Δy, Δz) → διευθύνσεις των αξόνων x, y, z (*) ΖΕΝΙΘΕΙΕΣ ΓΩΝΙΕΣ → διεύθυνση του άξονα z (*) ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ → κλίμακα του ΣΑ

22 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αδυναμία βαθμού δικτύου Οριζόντιες διευθύνσεις και γωνίες (σχήμα) Αποστάσεις (σχήμα+κλίμακα) Οι παραπάνω τύποι παρατηρήσεων δεν εξαρτώνται από την θέση και τον προσανατολισμό του ΣΑ Υψομετρική διαφορά (κλίμακα) Τι πληροφορία περιέχουν οι κλασσικές παρατηρήσεις σε ένα τοπογραφικό δίκτυο;

23 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερωτήσεις…

24 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερώτηση Αν σε ένα οριζόντιο τοπογραφικό δίκτυο Ν κορυφών έχω μετρήσει: οριζόντιες γωνίες αποστάσεις τις συντεταγμένες ‘x’ σε 2 διαφορετικά σημεία ποιά είναι η αδυναμία βαθμού του; (απάντηση: 1) x y

25 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερώτηση Αν σε ένα οριζόντιο τοπογραφικό δίκτυο Ν κορυφών έχω μετρήσει: οριζόντιες γωνίες τις συντεταγμένες ‘y’ σε 2 διαφορετικά σημεία την συντεταγμένη ‘x’ σε 1 σημείο ποιά είναι η αδυναμία βαθμού του; (απάντηση: 1) x y

26 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερώτηση Αν σε ένα οριζόντιο τοπογραφικό δίκτυο Ν κορυφών έχω μετρήσει: οριζόντιες γωνίες Αζιμούθιο για 2 πλευρές την συντεταγμένη ‘x’ και ‘y’ σε 1 σημείο ποιά είναι η αδυναμία βαθμού του; (απάντηση: 1) x y

27 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερώτηση Αν σε ένα οριζόντιο τοπογραφικό δίκτυο Ν κορυφών έχω μετρήσει: διαφορές συντεταγμένων, δηλαδή τις ‘συνιστώσες βάσης’ Δx=(x j -x i ) & Δy=(y j -y i ), για όλες τις πλευρές ποιά είναι η αδυναμία βαθμού του; (απάντηση: 2) x y

28 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ερώτηση Αν σε ένα κατακόρυφο τοπογραφικό δίκτυο Ν κορυφών έχω μετρήσει: ποιά είναι η αδυναμία βαθμού του; (απάντηση: 0) x y το απόλυτο υψόμετρο σε 4 κορυφές υψομετρικές διαφορές

29 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Η έννοια και ο ρόλος των δεσμεύσεων στην συνόρθωση δικτύων

30 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ο ρόλος των “δεσμεύσεων” Λόγω της αδυναμίας βαθμού του δικτύου: Το σύστημα των κανονικών εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Η επιλογή μίας βέλτιστης λύσης γίνεται έτσι ώστε να ικανοποιείται ένα επιπλέον σύνολο ανεξάρτητων εξισώσεων-δεσμεύσεων για τις τελικές συντεταγμένες του συνορθωμένου δικτύου: σχέσεις που “δεσμεύουν” την λύση των κανονικών εξισώσεων

31 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ο ρόλος των “δεσμεύσεων” Οι εξισώσεις δεσμεύσεων είναι απαραίτητες για την υλοποίηση της συνόρθωσης ενός δικτύου και ο βασικός τους ρόλος είναι ο ορισμός του ΣΑ για τις τελικές συντεταγμένες των σημείων του δικτύου γραμμικοποίηση “δεσμεύσεις” που πρέπει να ικανοποιεί η λύση των κανονικών εξισώσεων

32 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Γενική μορφή “δεσμεύσεων” Παραδείγματα

33 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ο αριθμός των “δεσμεύσεων” Ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός των δεσμεύσεων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την υλοποίηση της συνόρθωσης ενός δικτύου (προκειμένου να οριστεί μονοσήμαντα το ΣΑ για τις συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου), είναι ίσος με την αδυναμία βαθμού του πίνακα Ν.

34 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παραδείγματα…

35 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Aς υποθέσουμε ότι για την συνόρθωση ενός οριζόντιου τοπογραφικού δικτύου Ν σημείων, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής εξισώσεις δεσμεύσεων: Ποιά θα είναι η μορφή του γραμμικοποιημένου συστήματος Hx = z; Παράδειγμα 1

36 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα 1 (συνέχ.)

37 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα 2 Aς υποθέσουμε ότι για την συνόρθωση ενός οριζόντιου τοπογραφικού δικτύου Ν σημείων, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής εξισώσεις δεσμεύσεων: Ποιά θα είναι η μορφή του γραμμικοποιημένου συστήματος Hx = z;

38 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα 2 (συνέχ.)

39 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα 2 (συνέχ.)

40 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Aς υποθέσουμε ότι για την συνόρθωση ενός κατακόρυφου τοπογραφικού δικτύου Ν σημείων, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής εξισώσεις δεσμεύσεων: Ποιά θα είναι η μορφή του γραμμικοποιημένου συστήματος Hx = z; Παράδειγμα 3

41 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα 3 (συνέχ.)

42 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Εποπτική αντίληψη των δεσμεύσεων

43 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Κλασσικές” δεσμεύσεις... x y Χρήση δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ (σημεία σταθερών συντεταγμένων) Τα στοιχεία που αντιστοιχούν στα σημεία 1 και 2 είναι μηδέν

44 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Κλασσικές” δεσμεύσεις... x y Χρήση δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ (κατάλληλες γεωμετρικές συνθήκες) Τα στοιχεία που αντιστοιχούν στα σημεία 1, 2 και 3 είναι τέτοια ώστε να ικανοποιούνται οι γεωμετρικές συνθήκες 3 3

45 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Άλλου είδους δεσμεύσεις...? x y ? ? Εκτός από κορυφές και γεωμετρικά μεγέθη του δικτύου, τι άλλο μπορώ να κρατήσω “σταθερό” για τον ορισμό του ΣΑ κατά την συνόρθωση ενός δικτύου;

46 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Εσωτερικές” δεσμεύσεις x y «Κέντρο βάρους» του δικτύου i ● Με βάση τις διαθέσιμες προσεγγιστικές τιμές για τις συντεταγμένες όλων των κορυφών του δικτύου, μπορούμε να ορίσουμε διάφορα «βοηθητικά μεγέθη» που περιγράφουν την μέση θέση του δικτύου σε σχέση με ένα αρχικό ΣΑ

47 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Εσωτερικές” δεσμεύσεις x y «Μέσος προσανατολισμός» δικτύου i Με βάση τις διαθέσιμες προσεγγιστικές τιμές για τις συντεταγμένες όλων των κορυφών του δικτύου, μπορούμε να ορίσουμε διάφορα «βοηθητικά μεγέθη» που περιγράφουν την μέση θέση του δικτύου σε σχέση με ένα αρχικό ΣΑ aiai

48 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Εσωτερικές” δεσμεύσεις x y Χρήση δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ (διατήρηση της «μέσης θέσης» του δικτύου) Οι διορθώσεις των προσεγγιστικών συντεταγμένων είναι τέτοιες ώστε να ικανοποιούνται οι «εσωτερικές» δεσμεύσεις 3 3 ● ●

49 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Εσωτερικές” δεσμεύσεις Αναλυτική μορφή των εσωτερικών δεσμεύσεων Δεσμεύσεις ορισμού της αρχής του ΣΑ Δέσμευση ορισμού του προσανατολισμού του ΣΑ Δέσμευση ορισμού της κλίμακας του ΣΑ

50 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Ελεύθερα δίκτυα” Δίκτυα που συνορθώνονται με τη χρήση εσωτερικών δεσμεύσεων. Στα δίκτυα αυτά το ΣΑ ορίζεται έτσι ώστε να προσαρμόζεται βέλτιστα στη «μέση θέση» του δικτύου, όπως αυτή προκύπτει από τις γνωστές προσεγγιστικές συντεταγμένες των κορυφών του Διατήρηση του -Κέντρου βάρους του δικτύου -Μέσου προσανατολισμού του δικτύου -Μέσης κλίμακας του δικτύου (σε περίπτωση που δεν έχουν παρατηρήσεις αποστάσεων στο δίκτυο)

51 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Ελεύθερα δίκτυα” Οι εσωτερικές δεσμεύσεις σε μορφή πινάκων

52 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας “Ελεύθερα δίκτυα” Πρόσθετες ιδιότητες και χαρακτηριστικά των λύσεων ελευθέρων δικτύων: Μέγιστη ακρίβεια για τις συντεταγμένες Βέλτιστη προσαρμογή στις προσεγγιστικές συντεταγμένες σε σχέση με άλλες ελάχιστες δεσμεύσεις

53 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Εναλλακτική θεώρηση δεσμεύσεων Ένας χρήσιμος εναλλακτικός τρόπος για να κατανοήσουμε τον ρόλο και τον “τρόπο λειτουργίας” των δεσμεύσεων κατά την συνόρθωση ενός δικτύου, είναι να τις αντιλαμβανόμαστε ως πρόσθετες “παρατηρήσεις” με άπειρο βάρος ή, ισοδύναμα, με μηδενικές μεταβλητότητες π.χ.

54 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Προσοχή..!! ανεξάρτητες μεταξύ τους κατάλληλα επιλεγμένες  Οι δεσμεύσεις που πρόκειται να επιλεγούν για να ορίσουν το σύστημα αναφοράς κατά την συνόρθωση ενός τοπογραφικού δικτύου, πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και κατάλληλα επιλεγμένες.  Δηλαδή, δεν αρκεί απλά να είναι ο αριθμός τους ίσος ή μεγαλύτερος από την αδυναμία βαθμού του πίνακα Ν (ή του βαθμούς ελευθερίας κίνησης του δικτύου ως προς το ΣΑ)

55 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Κατηγορίες δεσμεύσεων Οι δεσμεύσεις που μπορούν να επιλεγούν για να ορίσουν το σύστημα αναφοράς είναι δυνατόν να ανήκουν σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες: Μη-ουσιαστικές δεσμεύσεις δεν αλλοιώνουν τη γεωμετρική μορφή του δικτύου Ουσιαστικές δεσμεύσεις αλλοιώνουν τη γεωμετρική μορφή του δικτύου

56 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Κατηγορίες δεσμεύσεων Εκτός από τις δεσμεύσεις που χρησιμοποιούνται αποκλειστικά για τον ορισμό του ΣΑ του δικτύου, στη συνόρθωση ενός δικτύου μπορούν να εισαχθούν και άλλες επιπλέον δεσμεύσεις προκειμένου να μελετηθούν και να ελεγχθούν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάποιου φαινομένου ή αντικειμένου. Οι επιπλέον αυτές δεσμεύσεις είναι πάντα: Ουσιαστικές δεσμεύσεις Δηλ., αλλοιώνουν τη γεωμετρική μορφή του δικτύου

57 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Τι σημαίνει ότι “οι δεσμεύσεις αλλοιώνουν τη γεωμετρική μορφή του δικτύου” ?

58 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ας υποθέσουμε ότι σε ένα οριζόντιο δίκτυο έχουμε μετρήσει ένα ικανό αριθμό αποστάσεων και γωνιών χωρίς καθόλου σφάλματα. Οι μετρήσεις αυτές, από μόνες τους, προσδιορίζουν το (αληθινό) γεωμετρικό σχήμα και μέγεθος του δικτύου. Ο ορισμός του ΣΑ απαιτεί τον καθορισμό (αυθαίρετο ή μη) των συντεταγμένων για κάθε κορυφή του δικτύου (στην προκειμένη περίπτωση χρειάζεται να καθορίσω εκ των προτέρων τις συντεταγμένες τουλάχιστον 1½ σημείου). Το σχήμα και μέγεθος του δικτύου που προκύπτει μέσω αυτών των (“εξωτερικά καθορισμένων”) συντεταγμένων μπορεί να ταυτίζεται ή να μην ταυτίζεται με το αρχικό σχήμα και μέγεθος του δικτύου που προέκυψε από τις μετρήσεις..!!

59 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Παράδειγμα ουσιαστικών δεσμεύσεων           (x,y) (y) Αστικό δίκτυο Μεικτό δίκτυο (γωνίες + αποστάσεις) x = 1000 m, y = 600 m, y = 2  m (!) Αδυναμία βαθμού: 3

60 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Κατηγορίες δεσμεύσεων Ελάχιστες δεσμεύσεις (ο αριθμός τους είναι ίσος με την αδυναμία βαθμού του δικτύου) Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος από την αδυναμία βαθμού του δικτύου) μη-ουσιαστικές ουσιαστικές

61 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Τύποι δεσμεύσεων Οι παρακάτω τύποι δεσμεύσεων αποτελούν τις πιο συνηθισμένες επιλογές ορισμού του ΣΑ αναφοράς κατά τη συνόρθωση ενός δικτύου Μέσω γνωστών σημείων (σταθερές συντεταγμένες) Εσωτερικές δεσμεύσεις Μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις Μέσω κατάλληλα επιλεγμένων γεωμετρικών συνθηκών

62 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Κατηγορίες δικτύων Ανάλογα με τον τύπο των δεσμεύσεων που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό του ΣΑ, έχουμε Ανεξάρτητα δίκτυα (ελάχιστες δεσμεύσεις ‘αυθαίρετου’ χαρακτήρα) Εξαρτημένα δίκτυα (ελάχιστες δεσμεύσεις μέσω γνωστών σταθερών συντεταγμένων) Ενταγμένα δίκτυα (πλεονάζουσες δεσμεύσεις μέσω γνωστών σταθερών συντεταγμένων) Ελεύθερα δίκτυα (εσωτερικές - ελάχιστες δεσμεύσεις)

63 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Βαθμοί ελευθερίας συνόρθωσης Εκφράζουν τον πλεονασμό πληροφορίας για την βέλτιστη εκτίμηση των αγνώστων συντεταγμένων στις κορυφές του δικτύου (καθώς και όλων των υπολοίπων άγνωστων παραμέτρων που εμπλέκονται στην συνόρθωση του δικτύου) f = n – m’ + k n: αριθμός παρατηρήσεων m’: συνολικός αριθμός παραμέτρων (π.χ. 2Ν+d) k: αριθμός χρησιμοποιούμενων δεσμεύσεων

64 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ελάχιστες vs. Πλεονάζουσες Δεσμεύσεις

65 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις Βασικό χαρακτηριστικό Η “εσωτερική γεωμετρία” του συνορθωμένου δικτύου θα είναι η ίδια, ανεξάρτητα από το είδος των ελαχίστων δεσμεύσεων Αναλλοίωτα μεγέθη: - συνορθωμένες παρατηρήσεις & σφάλματα - πίνακες μεταβλ/συμμεταβλ. των παραπάνω - κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων - βαθμοί ελευθερίας - a-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς

66 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις δεν Ενώ η γεωμετρική μορφή (και η ακρίβεια του γεωμετρικού προσδιορισμού) ενός δικτύου δεν επηρεάζεται από την χρήση των ελαχίστων δεσμεύσεων, οι παρακάτω ποσότητες επηρεάζονται άμεσα από την επιλογή του συγκεκριμένου τύπου ελαχίστων δεσμεύσεων: οι τελικές συντεταγμένες των σημείων η ακρίβεια των τελικών συντεταγμένων

67 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις Η “εσωτερική γεωμετρία” του συνορθωμένου δικτύου επηρεάζεται άμεσα από τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις “παραμόρφωση” του δικτύου”

68 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με διαφορετικές ελάχιστες δεσμεύσεις (x)         (x,y) (x)         (x,y) Μέσω τριγωνομετ. σημείων

69 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με ελάχιστες και πλεονάζουσες δεσμεύσεις         (x,y) (x)                    (x,y) Μέσω τριγωνομετ. σημείων

70 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συγκριτική ανάλυση Ο μοναδικός τους ρόλος είναι ο ορισμός του ΣΑ για τις συντεταγμένες του δικτύου Ο αριθμός τους είναι ίσος με την αδυναμία βαθμού του δικτύου ΕΛΑΧ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ Εκτός από δεσμεύσεις ορισμού του ΣΑ για το δίκτυο, μπορεί να περιέχουν και δεσμεύσεις καθαρά “γεωμετρικού” χαρακτήρα Ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος από την αδυναμία βαθμού του δικτύου ΠΛΕΟΝ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ

71 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συγκριτική ανάλυση (συνέχ.) ΕΛΑΧ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣΠΛΕΟΝ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ Δεν επηρεάζουν τον γεωμετρικό προσδιορισμό και την γεωμετρική ακρίβεια του συνορθωμέ- νου δικτύου Επηρεάζουν την ακρίβεια των τελικών συντεταγμέ- νων στο δίκτυο Επηρεάζουν τον γεωμετρικό προσδιορισμό και την γεωμετρική ακρίβεια του συνορθωμένου δικτύου (“παραμόρφωση” δικτύου) Επηρεάζουν την ακρίβεια των τελικών συντεταγμένων στο δίκτυο

72 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις Γιατί να κάνω συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις; - Μπορεί να επιβάλλεται από τις προδιαγραφές επίλυσης του δικτύου (ΟΚΧΕ) - Για να εφαρμόσω στατιστικούς ελέγχους για τις διαθέσιμες τιμές των γνωστών συντεταγμένων - Για να εφαρμόσω στατιστικούς ελέγχους γεωμετρικών συνθηκών στο δίκτυο - Για να βελτιώσω την ακρίβεια/αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης από τις ελάχιστες δεσμεύσεις (*)

73 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις Πότε είναι θεμιτή η χρήση των πλεοναζουσών δεσμεύσεων; Όταν η επιπλέον “πληροφορία” που περιέχεται σε αυτές, ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα (τουλάχιστον, μέσα στα όρια της ακρίβειας των διαθέσιμων μετρήσεων) (x, y) S' από παρατήρηση S από δέσμευση

74 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις Πότε είναι θεμιτή η χρήση των πλεοναζουσών δεσμεύσεων; S' από παρατήρηση S από δέσμευση Α Α Β Β Διαφορά S' -S “κακή” δέσμευση Ακρίβεια παρατήρησης S'

75 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Εξαρτήσεις – Εντάξεις Τοπογραφικών Δικτύων

76 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας     Συνόρθωση με ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ Συνόρθωση με ΠΛΕΟΝΑΖΟΥΣΕΣ ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ Απλή εξάρτηση δικτύου Πλήρης ένταξη δικτύου ?   

77 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Προβλήματα που μπορεί να προκύψουν κατά την ένταξη ενός δικτύου Αν η ακρίβεια των γνωστών συντεταγμένων είναι χειρότερη από την ακρίβεια των παρατηρήσεων στο νέο δίκτυο (και από τις προδιαγραφές ακρίβειας για την επίλυση του) τότε η συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις θα υποβαθμίσει την ποιότητα του νέου δικτύου ΛΥΣΗ: απλή εξάρτηση

78 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων

79 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας ελαχίστων Χρήση ελαχίστων δεσμεύσεων (1)

80 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας ελαχίστων Χρήση ελαχίστων δεσμεύσεων (2)

81 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Χρήση πλεοναζουσών δεσμεύσεων

82 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Χρήση πλεοναζουσών δεσμεύσεων Διαχωρισμένος αλγόριθμος συνόρθωσης (βλέπε σελ. 245 του βιβλίου) Ενιαίος αλγόριθμος συνόρθωσης (βλέπε προηγούμενη διαφάνεια) Χρήσιμος για τον αυτοματοποιημένο διαδοχικό στατιστικό έλεγχο των επιπλέον δεσμεύσεων

83 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας εσωτερικών Χρήση εσωτερικών δεσμεύσεων

84 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου με «σταθερά σημεία»

85 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Δεσμεύσεις μέσω σταθερών σημείων Γνωστά σημεία

86 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Δεσμεύσεις μέσω σταθερών σημείων Ένας ισοδύναμος τρόπος για να πραγματοποιηθεί η συνόρθωση ενός δικτύου με την αποκλειστική χρήση δεσμεύσεων «σταθερών σημείων-συντεταγμένων» είναι να απαλειφούν από τον πίνακα σχεδιασμού Α όι στήλες που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες εκείνες που θα διατηρηθούν σταθερές κατά τη συνόρθωση (και ίσες με τις αρχικές προσεγγιστικές τους τιμές που χρησιμοποιήθηκαν για τον αριθμητικό υπολογισμό του Α, b, …

87 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Πως επηρεάζονται (και γιατί) τα αποτελέσματα της συνόρθωσης ενός δικτύου, όταν χρησιμοποιούνται πλεονάζουσες δεσμεύσεις; ?

88 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Ποιός είναι ο πιο “στατιστικά βέλτιστος” τρόπος για την εισαγωγή δεσμεύσεων μέσω γνωστών συντεταγμένων;

89 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5 ο εξάμηνο) ΤΑΤΜ  ΑΠΘ Τομέας Γεωδαισίας & Τοπογραφίας Επαναληπτική διαδικασία της συνόρθωσης... Πως ; Γιατί ;


Κατέβασμα ppt "Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί SUPPLEMENTARY."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google