Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A.

Παρουσίαση με θέμα: "Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A

2 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα y t s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής

3 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα y t s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής

4 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα y t s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής

5 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα 5 y 3 t 0 11 9 s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο

6 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα 5 y 3 t 0 11 9 s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο

7 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Βέλτιστη υποδομή Έστω p μία ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v. Έστω x και y δύο οποιοιδήποτε κόμβοι πάνω στο p και q η υποδιαδρομή του p από το x στο y. H q είναι μια ελαφρύτατη διαδρομή από το x στο y.

8 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A ab cd Ακμές αρνητικού βάρους Η ελαφρύτατη διαδρομή από ένα κόμβο u προς ένα κόμβο v είναι καλά καθορισμένη όταν δεν υπάρχει διαδρομή από το u στο v που να περιέχει κύκλο αρνητικού βάρους. 10-7-5 abc d 10 -7 -5 6

9 Ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κύκλοι Αν η ελαφρύτατη διαδρομή από ένα κόμβο u προς ένα κόμβο v είναι καλά καθορισμένη τότε υπάρχει ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v που είναι άκυκλη. u x v u x v c p q

10 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Προκάτοχος Γράφημα προκατόχων Αποτελείται από τους κόμβους v για τους οποίους υπάρχει μονοπάτι από το s και από τις ακμές 5 y 3 t 0 11 9 s x z 3 5 3 4 6 6 2721 ο κόμβος που προηγείται του v στην ελαφρύτατη διαδρομή από το s

11 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Προκάτοχος Γράφημα προκατόχων Αποτελείται από τους κόμβους v για τους οποίους υπάρχει μονοπάτι από το s και από τις ακμές 5 y 3 t 0 11 9 s x z 3 5 3 4 6 6 2721 Το γράφημα είναι δένδρο με ρίζα το s Το μονοπάτι του από το s στο v είναι ελαφρύτατη διαδρομή στο από το s στο v ο κόμβος που προηγείται του v στην ελαφρύτατη διαδρομή από το s

12 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Προκάτοχος ο κόμβος που προηγείται του v στην ελαφρύτατη διαδρομή από το s Προεκτίμηση ελαφρύτατης διαδρομής άνω φράγμα του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το s στο v ΚΕΝΟ,Αρχικοποίηση : 59 2 57 2 ΧΑΛΑΡΩΣΗ ( u, v, w ) 56 2 56 2 Χαλάρωση αν τότε ΧΑΛΑΡΩΣΗ ( u, v, w ) Μετά την αρχικοποίηση πραγματοποιούμε μια αλληλουχία πράξεων χαλάρωσης.

13 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A για οποιαδήποτε ακμή Τριγωνική ανισότητα για οποιοδήποτε κόμβο. Από τη στιγμή που Άνω φράγμα το δεν μεταβάλλεται ποτέ. Σύγκλιση Εάν υπάρχει ελαφρύτατη διαδρομή από το στο με τελική ακμή τη, και έχουμε πριν τη χαλάρωση της τότε μετά τη χαλάρωση. Ιδιότητες ελαφρύτατων διαδρομών και χαλάρωσης

14 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπογράφημα προκατόχων Εάν για όλους του κόμβους τότε το υπογράφημα Ιδιότητες ελαφρύτατων διαδρομών και χαλάρωσης Χαλάρωση διαδρομής Έστωμια ελαφρύτατη διαδρομή από το στο. Αν οι ακμές της υποστούν χαλάρωση με τη σειρά τότε των προκατόχων αποτελεί δένδρο ελαφρύτατων διαδρομών με ριζικό κόμβο το.

15 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές Αν το έχει κύκλο τότε το περιέχει κύκλο αρνητικού βάρους TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπογράφημα προκατόχων Εάν για όλους του κόμβους τότε το υπογράφημα των προκατόχων αποτελεί δένδρο ελαφρύτατων διαδρομών με ριζικό κόμβο το. Λήμμα Έστω ότι στο υπάρχει κύκλος όπου Δίχως απώλεια της γενικότητας υποθέτουμε ότι ο κύκλος δημιουργήθηκε από τη χαλάρωση της. Ακριβώς πριν από αυτή τη χαλάρωση έχουμε και

16 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπογράφημα προκατόχων Εάν για όλους του κόμβους τότε το υπογράφημα των προκατόχων αποτελεί δένδρο ελαφρύτατων διαδρομών με ριζικό κόμβο το. Tο είναι δένδρο με ρίζα Έστω ότι για κάποιο υπάρχουν οι διαδρομές στο και Τότε Λήμμα

17 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπογράφημα προκατόχων Εάν για όλους του κόμβους τότε το υπογράφημα των προκατόχων αποτελεί δένδρο ελαφρύτατων διαδρομών με ριζικό κόμβο το. Έστωη μοναδική διαδρομή στο από το στο. Έχουμε και για. Τότε

18 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και για έως για κάθε ακμή αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος ΧΑΛΑΡΩΣΗ για κάθε ακμή

19 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

20 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και για έως για κάθε ακμή αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 ΧΑΛΑΡΩΣΗ

21 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

22 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

23 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

24 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

25 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

26 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

27 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

28 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

29 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

30 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

31 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

32 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

33 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

34 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

35 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

36 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

37 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

38 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

39 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

40 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 11 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

41 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

42 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

43 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

44 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

45 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

46 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

47 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 2 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

48 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή 7 2 0 -2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Σειρά επεξεργασίας για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

49 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford σε κάθε επανάληψη αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

50 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος για κάθε ακμή σε κάθε επανάληψη Συνολικός χρόνος εκτέλεσης για έως για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ

51 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford Ιδιότητα Έστωμια ελαφρύτατη διαδρομή από το στο. Τότε, μετά από το πολύ k επαναλήψεις Προκύπτει άμεσα από την ιδιότητα χαλάρωσης διαδρομής

52 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford Θεώρημα Μετά το πέρας των πράξεων χαλάρωσης του αλγόριθμου Bellman-Ford τέτοια ώστε υπάρχει ακμή εάν και μόνο εάν υπάρχει αρνητικός κύκλος στο. Έστω ότι στο υπάρχει κύκλος όπου Εάν Τότε

53 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θα εκμεταλλευτούμε τη δομή των κατευθυνόμενων άκυκλων γραφημάτων (ΚΑΓ) για να υπολογίσουμε ταχύτερα τις ελαφρύτατες διαδρομές από το 3 6 2 4 1 -2 7 -1 52

54 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θα εκμεταλλευτούμε τη δομή των κατευθυνόμενων άκυκλων γραφημάτων (ΚΑΓ) για να υπολογίσουμε ταχύτερα τις ελαφρύτατες διαδρομές από το 3 6 2 4 1 -2 7 -1 52 3 5 27-2 6 1 4 2 Τοπολογική διάταξη: Εάν υπάρχει ακμή τότε το προηγείται του

55 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 3 6 2 4 1 -2 7 -1 52 3 5 27-2 6 1 4 2 Τοπολογική διάταξη: Εάν υπάρχει ακμή τότε το προηγείται του Θεώρημα Ένα οποιοδήποτε ΚΑΓ έχει τουλάχιστον μία τοπολογική διάταξη. Επιπλέον μπορούμε να βρούμε μία τοπολογική διάταξη σε γραμμικό χρόνο.

56 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

57 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

58 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

59 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

60 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

61 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 026 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

62 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 026 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

63 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02664 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

64 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02664 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

65 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02654 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

66 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02654 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

67 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02653 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

68 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02653 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του

69 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές σε άκυκλα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 02653 3 5 27-2 6 1 4 2 Αλγόριθμος για ΚΑΓ αρχικοποίηση των και για κάθε κόμβο σε τοπολογική διάταξη για κάθε ακμή ΧΑΛΑΡΩΣΗ τοπολογική διάταξη του Συνολικός χρόνος εκτέλεσης

70 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και για έως για κάθε ακμή αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος ΧΑΛΑΡΩΣΗ για κάθε ακμή

71 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και για έως για κάθε ακμή αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος ΧΑΛΑΡΩΣΗ για κάθε ακμή Ο αλγόριθμος των Bellman- Ford στη βασική του έκδοση μπορεί να κάνει πολλές περιττές πράξεις Παρατήρηση

72 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και για έως για κάθε ακμή αν τότε υπάρχει αρνητικός κύκλος ΧΑΛΑΡΩΣΗ για κάθε ακμή Ο αλγόριθμος των Bellman- Ford στη βασική του έκδοση μπορεί να κάνει πολλές περιττές πράξεις Παρατήρηση Αν η απόσταση δεν άλλαξε από την τελευταία διέλευση των ακμών τότε δε χρειάζεται να εξετάσουμε τις ακμές που εξέρχονται από το

73 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford Βελτιωμένη υλοποίηση Κάθε κορυφή μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις ακόλουθες 3 καταστάσεις: απρόσιτη, μεταβλημένη ή ανιχνευμένη Αρχικά η s είναι μεταβλημένη και όλες οι υπόλοιπες κορυφές είναι απρόσιτες Οι μεταβλημένες κορυφές τοποθετούνται σε μία (FIFO – first in first out) ουρά Q Σε κάθε βήμα ο αλγόριθμος βγάζει την πρώτη κορυφή u από την Q και εκτελεί μία πράξη ανίχνευσης (στη θέση της χαλάρωσης) Συμβολίζουμε με S(v) την κατάσταση της κορυφής v ΚΕΝΟ,Αρχικοποίηση :

74 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αν τότε ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ για κάθε ακμή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βελτιωμένη υλοποίηση

75 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αν τότε ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ για κάθε ακμή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τοποθετεί την κορυφή στην ουρά αν δε βρίσκεται ήδη εκεί Βελτιωμένη υλοποίηση

76 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ Επιστρέφει την πρώτη κορυφή της ουράς Βελτιωμένη υλοποίηση

77 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

78 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

79 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

80 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

81 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

82 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 16 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

83 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 16 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

84 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

85 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 6 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

86 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

87 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

88 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

89 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

90 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 -2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

91 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 -2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

92 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ 7 2 0 -2 4 6 7 2 -4-4 5 9 7 8 -3 -2 Βελτιωμένη υλοποίηση

93 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ Βελτιωμένη υλοποίηση Πέρασμα (αναδρομικός ορισμός): Η τοποθέτηση του s στην Q κατά την αρχικοποίηση αποτελεί το πέρασμα 0. Το i- οστό (i>0) πέρασμα αποτελείται από την ανίχνευση των κορυφών που προστέθηκαν στην Q κατά το (i-1)- οστό πέρασμα.

94 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ Αν το γράφημα δεν έχει αρνητικούς κύκλους τότε ο αλγόριθμος τερματίζει σε περάσματα. Βελτιωμένη υλοποίηση Πέρασμα (αναδρομικός ορισμός): Η τοποθέτηση του s στην Q κατά την αρχικοποίηση αποτελεί το πέρασμα 0. Το i- οστό (i>0) πέρασμα αποτελείται από την ανίχνευση των κορυφών που προστέθηκαν στην Q κατά το (i-1)- οστό πέρασμα.

95 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Bellman-Ford αρχικοποίηση των και όσο η ουρά Q δεν είναι άδεια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ Τι γίνεται όμως με την ανίχνευση αρνητικών κύκλων; Βελτιωμένη υλοποίηση

96 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Μέθοδος κατωφλίου Εξετάζουμε αν κάποια απόσταση για κάποια απόσταση προς ή αν Συνήθως αργεί πολύ να ανακαλύψει την ύπαρξη αρνητικού κύκλου

97 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Γράφημα προκατόχων

98 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Γράφημα προκατόχων

99 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Γράφημα προκατόχων

100 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Γράφημα προκατόχων

101 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Γράφημα προκατόχων Έστω P το κόστος του μονοπατιού από το x στο v. Έστω Έχουμε

102 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν ο είναι πρόγονος του Ανεβαίνουμε από το στο δένδρο προς τη ρίζα Αν βρούμε το υπάρχει κύκλος

103 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Ανάβαση προς τη ρίζα Ισχύει ότι αν το γράφημα εισόδου έχει αρνητικό κύκλο τότε το γράφημα των προκατόχων κάποια στιγμή θα έχει (κατευθυνόμενο) κύκλο. Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν ο είναι πρόγονος του Ανεβαίνουμε από το στο δένδρο προς τη ρίζα Αν βρούμε το υπάρχει κύκλος Βρίσκει τον κύκλο αμέσως μόλις εμφανιστεί στο αλλά απαιτεί χρόνο

104 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αντισταθμιστική αναζήτηση Εκτελεί την «ανάβαση προς τη ρίζα» ανά πράξεις χαλάρωσης ακμής ανά πράξεις ανά πράξη Αποδίδει καλύτερα από τη μέθοδο «κατωφλίου» αλλά δεν ανακαλύπτει την ύπαρξη αρνητικού κύκλου αμέσως μόλις εμφανιστεί στο

105 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα

106 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα Αν υπάρχει κύκλος

107 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα Αντότε θέτουμε αν τότε ΔΙΑΓΡΑΦΗ

108 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα Αντότε θέτουμε αν τότε ΔΙΑΓΡΑΦΗ

109 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα Αντότε θέτουμε αν τότε ΔΙΑΓΡΑΦΗ

110 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανίχνευση αρνητικών κύκλων Αποσυναρμολόγηση υποδένδρου Όταν η ακμή βελτιώνει την απόσταση ελέγχουμε αν o είναι απόγονος του εξετάζοντας το υποδένδρο με ρίζα Αντότε θέτουμε αν τότε ΔΙΑΓΡΑΦΗ Παρατήρησεις:η απόσταση θα βελτιωθεί αντισταθμιστικό κόστος για την αποσυναρμολόγηση

111 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra Χρησιμοποιείται όταν τα βάρη είναι μη αρνητικά : Διατηρούμε σύνολο κόμβων για τους οποίους έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Σε κάθε επανάληψη επιλέγουμε έναν κόμβο που να έχει την στο και χαλαρώνουμε τις ακμές που εκκινούν από αυτόν. ελάχιστη προεκτίμηση ελαφρύτατης διαδρομής, προσθέτουμε το Χρησιμοποιούμε μια ουρά προτεραιότητας με κλειδιά τις τιμές

112 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ

113 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 10 5 7 9 1 2 4623

114 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 0 10 5 7 9 1 2 4623

115 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 5 10 0 5 7 9 1 2 4623

116 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 5 8 0 7 14 10 5 7 9 1 2 4623

117 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 5 8 0 7 13 10 5 7 9 1 2 4623

118 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 5 8 0 7 9 10 5 7 9 1 2 4623

119 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ 5 8 0 7 9 10 5 7 9 1 2 4623

120 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra Θεώρημα Ο αλγόριθμος Dijkstra είναι ορθός. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τη στιγμή που τοποθετούμε τον κόμβο στο ισχύει Έστω ότι ο είναι ο πρώτος κόμβος για τον οποίο όταν τοποθετείται στο και έστω μια ελαφρύτατη διαδρομή από το στο Ορίζουμε ακόμα ο πρώτος κόμβος της για τον οποίο ο προκάτοχος του στην υποδιαδρομή από το στο

121 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra Από τον ορισμούς προκύπτει ότι τη στιγμή που το προστίθεται στο. Παρατηρούμε ότι, επομένως μετά τη χαλάρωση της έχουμε Επειδή το προηγείται του στην ελαφρύτατη διαδρομή Όμως το επιλέχθηκε πριν από το, επομένως Άτοπο! Θεώρημα Ο αλγόριθμος Dijkstra είναι ορθός.

122 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ επαναλήψεις πράξεις

123 Ομοαφετηριακές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος Dijkstra αρχικοποίηση των και για κάθε ακμή Χ ΑΛΑΡΩΣΗ ενόσω Ε ΞΑΓΩΓΗ Ε ΛΑΧΙΣΤΟΥ επαναλήψεις πράξεις αν τότε Χ ΑΛΑΡΩΣΗ Μ ΕΙΩΣΗ Κ ΛΕΙΔΙΟΥ πίνακας δυαδικός σωρός σωρός Fibonacci δομή χρόνος εκτέλεσης

124 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση βάρους Κατευθυνόμενο γράφημα 3 5 -3-3 4 6 6 -272 Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές για κάθε ζεύγος κόμβων

125 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A εκτελέσεις του Bellman-Ford εκτελέσεις του Dijkstra (μη αρνητικά βάρη) Floyd-Warshall Johnson (1 εκτέλεση του Bellman-Ford και εκτελέσεις του Dijkstra) ΑλγόριθμοςΧρόνος

126 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A βάρος ελαφρύτατης διαδρομής από το στο που περνά μόνο από κόμβους στο Έχουμε την αναδρομική σχέση Υποθέτουμε ότι Floyd-Warshall

127 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A βάρος ελαφρύτατης διαδρομής από το στο που περνά μόνο από κόμβους στο Floyd-Warshall

128 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρόνος = βάρος ελαφρύτατης διαδρομής από το στο που περνά μόνο από κόμβους στο Floyd-Warshall

129 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Johnson Μετατρέπει τα βάρη του γραφήματος σε μη αρνητικά. Στη συνέχεια μπορεί να εκτελέσει τον αλγόριθμο του Dijkstra από κάθε κορυφή. Βάρη κορυφών Συνάρτηση αναστάθμισης Έστω μονοπάτι Έχουμε

130 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Johnson Μετατρέπει τα βάρη του γραφήματος σε μη αρνητικά. Στη συνέχεια μπορεί να εκτελέσει τον αλγόριθμο του Dijkstra από κάθε κορυφή. Επομένως η αναστάθμιση δεν επηρεάζει τις ελαφρύτατες διαδρομές : Αν το είναι ελαφρύτατη διαδρομή ως προς τα βάρη τότε είναι και ελαφρύτατη διαδρομή ως προς τα βάρη Βάρη κορυφών Συνάρτηση αναστάθμισης Έστω μονοπάτι Έχουμε

131 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Johnson Μετατρέπει τα βάρη του γραφήματος σε μη αρνητικά. Στη συνέχεια μπορεί να εκτελέσει τον αλγόριθμο του Dijkstra από κάθε κορυφή. Βάρη κορυφών Συνάρτηση αναστάθμισης Επομένως η αναστάθμιση δεν επηρεάζει την ύπαρξη ή μη κύκλων αρνητικού βάρους Έστω κύκλος Έχουμε

132 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Johnson Μετατρέπει τα βάρη του γραφήματος σε μη αρνητικά. Στη συνέχεια μπορεί να εκτελέσει τον αλγόριθμο του Dijkstra από κάθε κορυφή. Άρα αρκεί να υπολογίσουμε κατάλληλα βάρη κορυφών έτσι ώστε Βάρη κορυφών Συνάρτηση αναστάθμισης Τέτοια βάρη μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια του Bellman-Ford!

133 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 3 5 -3-3 4 6 6 -272 Κατασκευάζουμε ένα νέο γράφημα όπουκαι Johnson : Αναστάθμιση μέσω Bellman-Ford

134 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 3 5 -3-3 4 6 6 -272 Κατασκευάζουμε ένα νέο γράφημα όπουκαι 0 0 0 0 0 Johnson : Αναστάθμιση μέσω Bellman-Ford

135 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 -2 -5 -2 0 3 5 -3-3 4 6 6 72 0 Κατασκευάζουμε ένα νέο γράφημα όπουκαι 0 0 0 0 0 Υπολογίζουμε με τον Bellman-Ford τα βάρη των ελαφρύτατων διαδρομών από το Johnson : Αναστάθμιση μέσω Bellman-Ford

136 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 -2 -5 -2 0 3 5 -3-3 4 6 6 72 0 Κατασκευάζουμε ένα νέο γράφημα όπουκαι 0 0 0 0 0 Υπολογίζουμε με τον Bellman-Ford τα βάρη των ελαφρύτατων διαδρομών από το Johnson : Αναστάθμιση μέσω Bellman-Ford Αν δεν υπάρχει αρνητικός κύκλος τότε θέτουμε

137 Πανζευκτικές ελαφρύτατες διαδρομές TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 0 -2 -5 -2 0 0 0 0 4 4 4 050 1 Κατασκευάζουμε ένα νέο γράφημα όπουκαι Υπολογίζουμε με τον Bellman-Ford τα βάρη των ελαφρύτατων διαδρομών από το Αν δεν υπάρχει αρνητικός κύκλος τότε θέτουμε Johnson : Αναστάθμιση μέσω Bellman-Ford Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε για κάθε ακμή