Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε

2 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο2 Μείωσε και Βασίλευε Μειώνουμε το στιγμιότυπο του προβλήματος σε ένα μικρότερο στιγμιότυπο του ιδίου προβλήματος Επιλύουμε το μικρότερο στιγμιότυπο Επεκτείνουμε τη λύση του μικρότερου προβλήματος για να λύσουμε το αρχικό πρόβλημα b b Συναντάται και με τις δύο μορφές: «από κάτω προς τα πάνω (bottom-up» και «από πάνω προς τα κάτω (top- down)» b επαγωγική (inductive) επαυξητική (incremental) b Αναφέρεται επίσης και ως επαγωγική (inductive) ή επαυξητική (incremental) προσέγγιση

3 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο3 b Μείωση κατά ένα: Ταξινόμηση με εισαγωγή Αλγόριθμοι αναζήτησης σε γράφους: – –DFS, BFS, τοπολογική ταξινόμηση Αλγόριθμοι για τη δημιουργία διατάξεων, υποσυνόλων b Μείωση κατά ένα σταθερό όρο: Δυαδική αναζήτηση Προβλήματα κίβδηλων νομισμάτων Πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά Πρόβλημα του Josephus b Μείωση κατά μεταβλητό μέγεθος: Αλγόριθμος του Ευκλείδη Επιλογή με διαμέριση Παραδείγματα «Μείωσε και Βασίλευε»

4 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο4 Ποιά είναι η διαφορά? Έστω το πρόβλημα της ύψωσης σε δύναμη: a n  Ωμή Βία: a*a*a*a*...*a  Διαίρει και Βασίλευε: a n/2 * a n/2  Μείωσε κατά ένα: a n-1 * a  Μείωσε κατά ένα σταθερό όρο: (a n/2 ) 2

5 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο5 Ταξινόμηση με εισαγωγή b b Βελτιώσεις: κόμβος φρουρός, δυαδική εισαγωγή, ταξινόμηση του Shell b b Αποδοτικότητα ?

6 Ανάλυση της ταξινόμησης με εισαγωγή b Χρονική αποδοτικότητα C worst (n) = n(n-1)/2  Θ(n 2 ) C avg (n) ≈ n 2 /4  Θ(n 2 ) C best (n) = n - 1  Θ(n) (είναι γρήγορη και για σχεδόν ταξινομημένους πίνακες) b Χωρική αποδοτικότητα: επιτόπιος αλγόριθμος (in-place) b Ευστάθεια: ναι 6Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο

7 Ταξινόμηση με εισαγωγή - παράδειγμα Παράδειγμα: Ταξινόμησε τους αριθμούς 6, 4, 1, 8, 5 6 | | | | | | | Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο7

8 8 Διάσχιση γράφων b b Πολλά προβλήματα απαιτούν τη συστηματική επεξεργασία των κορυφών ενός γράφου b b Αλγόριθμοι διάσχισης γράφου: Αναζήτηση κατά βάθοςΑναζήτηση κατά βάθος (depth-first search - DFS) Αναζήτηση κατά πλάτοςΑναζήτηση κατά πλάτος (breadth-first search - BFS)

9 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο9 Αναζήτηση κατά βάθος (DFS) b b Εξερευνούμε το γράφο G=(V,E) κινούμενοι πάντοτε όσο το δυνατό μακρύτερα από την τελευταία επισκεφθείσα κορυφή b b Ομοιότητα με την προδιατεταγμένη διάσχιση δένδρου b Algorithm DFS(G) count :=0 mark each vertex with 0 (unvisited) for each vertex v ∈ V do if v is marked with 0 dfs(v) count  count + 1 mark v with count for each vertex w adjacent to v do if w is marked with 0 dfs(w)

10 Αναζήτηση κατά βάθος (συνέχεια) b Χρησιμοποιείται μία στοίβα Ένας κόμβος ωθείται στην στοίβα όταν επισκέπτεται για πρώτη φορά.Ένας κόμβος ωθείται στην στοίβα όταν επισκέπτεται για πρώτη φορά. Ένας κόμβος απωθείται από τη στοίβα όταν δεν υπάρχει γειτονικός κόμβος που δεν έχει επισκεπτεί, δηλ. απωθείται ένας κόμβος όταν καθίσταται αδιέξοδο.Ένας κόμβος απωθείται από τη στοίβα όταν δεν υπάρχει γειτονικός κόμβος που δεν έχει επισκεπτεί, δηλ. απωθείται ένας κόμβος όταν καθίσταται αδιέξοδο. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο10

11 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο11 Παράδειγμα – Μη κατευθυνόμενος γράφος b b Σειρά επίσκεψης με αναζήτηση κατά βάθος: ab ef cd gh

12 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο12 Τύποι ακμών σε ένα δάσος DFS b Δενδρικές ακμές b Δενδρικές ακμές (tree edges): ακμές που σχηματίζουν το δένδρο b Οπίσθιες ακμές b Οπίσθιες ακμές (back edges): ακμές προς κόμβους-προγόνους

13 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο13 Αναζήτηση κατά βάθος b b Η DFS μπορεί να υλοποιηθεί με γράφους που αναπαρίστανται: Πίνακα γειτνίασης: Θ(V 2 ) Συνδεδεμένες λίστες γειτνίασης: Θ(V+E) b b Δίνει δύο διακριτές διατάξεις κορυφών: καθώς οι κορυφές συναντώνται για πρώτη φορά (όταν ωθούνται σε μία στοίβα) καθώς οι κορυφές συναντώνται για δεύτερη φορά (όταν απωθούνται από τη στοίβα) b b Εφαρμογές (Hopcroft-Tarjan): Έλεγχος συνδεσιμότητας, εύρεση συνδεδεμένων συνιστωσών Έλεγχος κύκλων, σημεία συναρμογής Εύρεση του χώρου καταστάσεων του προβλήματος προς επίλυση (AI)

14 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο14 Αναζήτηση κατά πλάτος: σημειώσεις b b Εξερευνούμε το γράφο επισκεπτόμενοι όλους του γείτονες του τελευταίου επισκεφθέντος κόμβου b b Παρόμοια με τη διάσχιση κατά επίπεδα b ουράς b Χρήση ουράς (αντί στοίβα) b b Εφαρμογές: όπως DFS, αλλά επίσης μπορούμε να βρούμε μονοπάτια από κόμβο σε κόμβο με το μικρότερο αριθμό ακμών

15 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο15 Αλγόριθμος αναζήτησης κατά πλάτος

16 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο16 Παράδειγμα – Μη κατευθυνόμενης γράφος ab ef cd gh b Σειρά επίσκεψης με αναζήτηση κατά πλάτος:

17 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο17 b b Η BFS έχει την ίδια αποτελεσματικότητα με τη DFS αναλόγως αν ο γράφος υλοποιείται με: Πίνακες γειτνίασης: Θ(V 2 ) Συνδεδεμένες λίστες γειτνίασης: Θ(V+E) b b Δίνει μόνο μία διάταξη των κορυφών (η σειρά εισαγωγής/εξαγωγής από την ουρά είναι ίδια) Αναζήτηση κατά πλάτος: σημειώσεις

18 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο18 Κατευθυνόμενος άκυκλος γράφος (dag) b Dag είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος χωρίς κύκλους b Προκύπτουν σε πολλά προβλήματα όπως: Δομές με προαπαιτούμεναΔομές με προαπαιτούμενα Τροφικές αλυσίδεςΤροφικές αλυσίδες b Βασίζονται σε μερικές διατάξεις του πεδίου b Τοπολογική ταξινόμηση: να βρεθεί μία διάταξη κορυφών για την οποία κάθε ακμή να εξέρχεται από μία κορυφή που εμφανίζεται νωρίτερα από την κορυφή που εισέρχεται.

19 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο19 Παράδειγμα – κατευθυνόμενος γράφος ab ef cd gh b Σειρά επίσκεψης με αναζήτηση κατά βάθος:

20 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο20 Τύποι ακμών σε ένα δάσος DFS b Δενδρικές ακμές b Δενδρικές ακμές (tree edges): ακμές που σχηματίζουν το δένδρο b Οπίσθιες ακμές b Οπίσθιες ακμές (back edges): ακμές προς κόμβους-προγόνους b Εμπρόσθιες ακμές b Εμπρόσθιες ακμές (forward edges): ακμές προς κόμβους-απογόνους b Διασταυρούμενες ακμές b Διασταυρούμενες ακμές (cross edges): καμία περίπτωση από τις ανωτέρω

21 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο21 Παράδειγμα – Κατευθυνόμενος γράφος ab ef cd gh b Σειρά επίσκεψης με αναζήτηση κατά πλάτος:

22 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο22 fish human shrimp sheep wheatplankton tiger b b Nα βρεθεί μία συνολική διάταξη συμβατή με την τροφική αλυσίδα Το πρόβλημα επιλύεται αν και μόνο το αν ο γράφος είναι dag Τοπολογική ταξινόμηση

23 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο23 Αλγόριθμοι τοπολογικής ταξινόμησης 1. Αλγόριθμοι βασισμένοι σε DFS: Διασχίζουμε με DFS και καταγράφουμε τη διάταξη με την οποία οι κόμβοι απωθούνται από τη στοίβα Αναστρέφοντας τη διάταξη επιλύεται το πρόβλημα Αν συναντηθούν οπίσθιες ακμές  δεν είναι dag! 2. Αλγόριθμος με διαγραφή πηγής (source) Διαδοχικά βρίσκει και απομάκρυνει μία πηγή (ένας κόμβος χωρίς εισερχόμενες ακμές) μαζί με όλες τις εξερχόμενες ακμές της b b Κοινή επίδοση Θ(V+E) με συνδεδεμένες λίστες γειτνίασης

24 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο24 Δημιουργία μεταθέσεων b Χρήσιμη σε εξαντλητικούς αλγορίθμους αναζήτησης b Απαίτηση ελάχιστης μεταβολής (minimal-change requirement) b Δίνεται: ένα σύνολο μεταθέσεων k-1 αντικειμένων b Μέθοδος: Δημιουργία μίας νέας μετάθεσης εισάγοντας το k-οστό αντικείμενο σε όλες τις δυνατές θέσεις μετακινούμενοι κατά μία κατεύθυνση (από τα δεξιά προς τα αριστερά) για την 1 η από τις μεταθέσεις μεγέθους k-1. Στη συνέχεια, για την επόμενη μετάθεση μεγέθους k-1, εισάγουμε το k-οστό αντικείμενο εναλλάσσοντας την κατεύθυνση (από τα αριστερά προς τα δεξιά) b Παράδειγμα

25 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο25 Δημιουργία μεταθέσεων – Johnson-Trotter Τέχνασμα κινητό (mobile) Τέχνασμα: ένας βέλος δείχνει την κατεύθυνση ενός αντικειμένου. Ένα αντικείμενο ονομάζεται κινητό (mobile) αν δείχνει σε ένα μικρότερο αντικείμενο. Δεν δημιουργούνται στιγμιότυπα μικρότερου μεγέθους. Αλγόριθμος Johnson-Trotter Initialize the first permutation … n while there exist a mobile integer k do b b find the largest mobile integer k b b swap k and the adjacent integer its arrow points to b b reverse the direction of all integers that are larger than k Παράδειγμα 123, 132, 312, 321, 231, 213 Επίδοση

26 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο26 Ο αλγόριθμος Johnson-Trotter δεν παράγει μεταθέσεις σε λεξικογραφική διάταξη Παράδειγμα 123, 132, 213, 231, 312, 321 Λύση: b Σαρώνουμε από δεξιά προς τα αριστερά μέχρι να βρούμε ένα ζεύγος (a i, a i+1 ) που να ισχύει a i < a i +1. b Κατόπιν, βρίσκουμε το μικρότερο στοιχείο στις θέσεις i+1,…n που είναι μεγαλύτερο του a i και το τοποθετούμε στη θέση i. b Τα υπόλοιπα στοιχεία δεξιά από αυτή τη θέση μπαίνουν σε αύξουσα σειρά. Δημιουργία μεταθέσεων

27 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο27 Δημιουργία υποσυνόλων Χρήσιμη στο πρόβλημα του σάκου (εξαντλητική λύση). Δυναμοσύνολο : ένα σύνολο 2 n συνόλων Μείωση κατά ένα Ιδέα: δημιουργούμε ένα δυναμοσύνολο με τα αντικείμενα {1,2,…, n-1} και εισάγουμε το αντικείμενο n στο καθένα από αυτά. Παράδειγμα:

28 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο28 Χρησιμοποιούμε ένα bitstring για την αναπαράσταση των συνόλων: 101 ≈ {a 1, a 3 } Παράδειγμα: για 3 αντικείμενα έχουμε 8 σύνολα που αναπαρίστανται με 000, 001, 010, …, 110, 111. Επεκτάσεις b b Ταυτόχρονα λεξικογραφική διάταξη, συμπιεσμένη διάταξη (squashed order) b b Διάταξη με ελάχιστη αλλαγή (minimal change order) Gray code: 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100 Δημιουργία υποσυνόλων

29 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο29 b Μεταξύ n νομισμάτων με ίδια όψη, το ένα είναι κίβδηλο. Έστω ότι είναι ελαφρύτερο. b Χωρίζουμε τα νομίσματα σε δύο κατηγορίες από n/2 νομίσματα, συν 1 νόμισμα αν το n είναι περιττός αριθμός b Αναδρομική εξίσωση: b Τι θα συμβεί αν χωρίσουμε σε 3 κατηγορίες? Μείωση κατά σταθερό όρο: κίβδηλο νόμισμα

30 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο30 Πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά b Αλλιώς καλείται μέθοδος του ρώσου χωρικού b Έστω δύο θετικοί ακέραιοι n και m b Αν το n είναι άρτιο, τότε : n. m = n/2. 2m b Αν το n είναι περιττό, τότε : n. m = (n-1)/2. 2m + m Παράδειγμα : 20 * 26 n m n m

31 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο31 Το πρόβλημα του Josephus b Ιστορικό πρόβλημα b N αποκλεισμένοι άνδρες, για να μην παραδοθούν, θα σκοτώσουν διαδοχικά ο ένας τον άλλο. Να βρεθεί ο τελευταίος επιζών. b Παράδειγμα για N = 6, 7 b Αναδρομική εξίσωση για τη θέση του επιζώντα J(2k) = 2J(k)-1J(2k) = 2J(k)-1 J(2k+1) = 2J(k)+1J(2k+1) = 2J(k)+1

32 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο32 Μείωση κατά μεταβλητό μέγεθος: υπολογισμός μέσου b Στατιστικά διατάξεων: βρες τον k-οστό αριθμό b Μία λύση είναι να ταξινομήσουμε και να επιλέξουμε τον k-οστό b Καλύτερα να διαμερίσουμε όπως στη γρήγορη ταξινόμηση b Παράδειγμα : 4, 1, 10, 9, 7, 12, 8, 2, 15 b Επίδοση στην καλύτερη, χειρότερη και μέση περίπτωση

33 Παράδειγμα εύρεσης μέσου Παράδειγμα: n = 9, k =  9/2  = 5 array index s=3 < k= s=3 < k= s=6 > k= s=6 > k= s=k= s=k=5 Λύση: median = 8 33Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο

34 34 Αναζήτηση παρεμβολής b Η δυαδική αναζήτηση δεν είναι πανάκεια b Δοθέντος ενός ταξινομημένου πίνακα A, όπου το A[l] είναι το ελάχιστο και A[r] το μέγιστο, να βρεθεί η θέση της τιμής v. b Λύση : δοκίμασε τη θέση x = l + (v-A[l])(r-l)/(A[r]-A[l]) b Επίδοση της καλύτερης, χειρότερης και μέσης περίπτωσης: O(1), O(log logn), O(n)

35 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο35 Δυαδικά δένδρα αναζήτησης b b Τοποθέτηση κλειδιών σε ένα δυαδικό δένδρο με την ιδιότητα του δυαδικού δένδρου αναζήτησης: k k Παράδειγμα 1: 5, 10, 3, 1, 7, 12, 9 Παράδειγμα 2: 4, 5, 7, 2, 1, 3, 6

36 Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο36 Αναζήτηση και εισαγωγή σε δυαδικό δένδρο b Αναζήτηση – εύκολη δουλειά b Εισαγωγή – αναζήτηση κλειδιού και εισαγωγή στο φύλλο όπου καταλήγει η αναζήτηση b Στη χειρότερη περίπτωση: h+1 συγκρίσεις κλειδιών b lgn ≤ h ≤ n–1 b Κατά μέσο όρο για τυχαία αρχεία: h = 1.41 lg n b Άρα: Χειρότερη περίπτωση: Θ(n)Χειρότερη περίπτωση: Θ(n) Μέση περίπτωση: Θ(lgn)Μέση περίπτωση: Θ(lgn) b Πλεονέκτημα: η ενδοδιατεταγμένη διάσχιση παράγει ταξινομημένες λίστες


Κατέβασμα ppt "Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - 4ο εξάμηνο1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε"

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google