Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας
Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Χειμερινό Εξάμηνο 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 1

Ποιότητα  1 / Μεταβλητότητα
Ανακεφαλαίωση Ποιότητα  1 / Μεταβλητότητα Βελτίωση Ποιότητας (Quality Improvement) > Υπάρχοντα προϊόντα Ποιότητα από Σχεδιασμό (Quality by Design) > Νέα προΪοντα Βελτίωση Ποιότητας (QI) Αναγνώριση προβλήματος (Problem Definition) Μέτρηση (Measurement) Ανάλυση (Analysis) Βελτίωση (Improvement) Έλεγχος (Control) Αναγνώριση προβλήματος (D) Υ  y  x (κοινωνική ή μετρήσιμο παράμετροι καταναλωτική μέγεθος / απόκριση ανάγκη) (society or (measurable (factor) consumer need) quantity / response) 18/12/2012 ΔΧ

Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Κατανομές x  Ν(μ , σ2)
Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Κατανομές Η μεταβλητή x έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2 γράφεται x  Ν(μ , σ2) Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική, και έχει σχήμα καμπάνας (bell shape) Διάστημα Ποσοστό Πληθυσμού μ + 1σ % μ + 2σ % μ + 3σ % Δειγματοληψία Το δείγμα {xi | i = 1 ,…,n} είναι τυχαίο: Eαν ο πληθυσμός είναι απείρου μεγέθους ή πεπερασμένου μεγέθους και δειγματοληψία με αντικατάσταση, και τα xi , i = 1,…,n, έχουν ανεξάρτητες και ίδιες κατανομές, ή Εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένου μεγέθους καί δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση, και το δείγμα έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής 18/12/2012 ΔΧ

Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων
Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Για το μέσο και διασπορά δείγματος {xi | i = 1 ,…,n} , ανεξάρτητα από την κατανομή του πληθυσμού, Έλεγχος Υπόθεσης για το Μέσο Μονόπλευρος Ηο: μ = μο Η1: μ > μο ή μ > μο Δίπλευρος Ηο: μ = μο ή μ1 = μ2 Η1: μ ≠ μο μ1 ≠ μ2 18/12/2012 ΔΧ

Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Λάθη στον Έλεγχο Υπόθεσης
Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Λάθη στον Έλεγχο Υπόθεσης Αληθινή Κατάσταση Ηο Η1 Ηο Σωστό Λάθος τύπου IΙ Συμπέρασμα Η1 Λάθος τύπου Ι Σωστό Λάθος τύπου Ι , α = ρίσκο του παραγωγού Λάθος τύπου ΙΙ , β = ρίσκο του καταναλωτή 18/12/2012 ΔΧ

Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσο
Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσο σ γνωστό Μονόπλευρο Δίπλευρο Ζα Ζα/2 18/12/2012 ΔΧ

Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσο
Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσο σ άγνωστό Μονόπλευρο Δίπλευρο Ζα Ζα/2 18/12/2012 ΔΧ

Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Έλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων) Μονόπλευρη Δίπλευρη Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Η1: μ > μο ή x̄1 > x̄2 Η1: μ ≠ μο ή x̄1 ≠ x̄2 ή μ < μο ή x̄1 < x̄2 Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x̄1 - x̄2| σ γνωστά Απορρίπτουμε Ηο αν Ζο > Ζα Ζο > Ζα/2 18/12/2012 ΔΧ

Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Έλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων) Μονόπλευρη Δίπλευρη Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Ηο: μ1 = μ2 ή x̄1 = x̄2 Η1: μ > μο ή x̄1 > x̄2 Η1: μ ≠ μο ή x̄1 ≠ x̄2 ή μ < μο ή x̄1 < x̄2 Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x̄1 - x̄2| σ άγνωστα Απορρίπτουμε Ηο αν tο > tα,ν tο > tα/2, ν 18/12/2012 ΔΧ

Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Ανάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysis Of VAriance) Xρησιμοποιείται για εκτίμηση του πως επιρρεάζουν : Οι τιμές των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου (critical factors) τη μέση απόκριση των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου (response), και Οι μεταβλητότητες των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου την μεταβλητότητα των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου Κυκλωμένη (nested) ANOVA Παρτίδες  Δείγματα (από κάθε παρτίδα)  Ανάλυση/Μέτρηση (κάθε δείγματος) ε = y - ỹ ολικό λάθος y: απόκριση ỹ : προσέγγιση απόκρισης ε = εt + εs + εb εt: λάθος από ανάλυση/μέτρηση εs: λάθος από δείγμα εb: λάθος από παρτίδα εi  N(0, σi2) i = t, s, b Έλεγχος υπόθεσης ANOVA Γραμμικό μοντέλο yij = μ + τi + εij i: δείγμα j: μέτρηση Ηο: τ1 = τ2 = ... = τΝ ή Ηο: σ1 = σ2 = ... = σΝ Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i Η1: σi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i 18/12/2012 ΔΧ

Ανακεφαλαίωση Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων Ανάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysis Of VAriance) Ηο: τ1 = τ2 = ... = τΝ Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i Έλεγχος Υπόθεσης ANOVA SSΤ = SSM SSE Ολικό Άθροισμα Άθροισμα ‘Αθροισμα Τετραγώνων Τετραγώνων Τετραγώνων Μετρήσεων Λάθους Fo = (SSM /(a-1))/(SSE /a(n-1)) Aν Fo > Fα, a-1, n-1 , η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται 18/12/2012 ΔΧ

Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας
Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αναφέρεται στην ομοιομορφία του αποτελέσματος της διεργασίας, το μέτρο του οποίου είναι η μεταβλητότητα των Κρίσιμων Για Ποιότητα, ΚΓΠ, (Critical To Quality, CTQ) xαρακτηριστικών. Η μεταβλητότητα αυτή μπορεί να κατανοηθή ως: (1) Στιγμιαία, και (2) Διαχρονική (over time) Άν η διεργασία έχει ένα ΚΓΠ (CTQ) που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, τα φυσικά όρια ανοχής (Natural Tolerance Limits) της διεργασίας ορίζονται ως UNTL = μ + 3σ (ανώτερο) LNTL = μ – 3σ (κατώτερο) που σημαίνει ότι 0.27% των τιμών του συγκεκριμένου ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού είναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής. Άν η κατανομή δεν είναι κανονική, το ποσοστό των τιμών του αποτελέσματος της διεργασιας ή των τιμών του ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού που είναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είναι σημαντικά διαφορετικό από το 0.27% Στην Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας (Process Capability Analysis), η ικανότητα της διεργασίας υπολογίζεται είτε σαν ποσοστό αποτελέσματος εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είτε σαν κατανομή πιθανότητας με ωρισμένο σχήμα, κέντρο (μέσο), και εύρος (τυπική απόκλιση). Και στις δυο περιπτώσεις, δεν χρειάζονται προδιαγραφές για το ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικό 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 12

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Για μελέτη της ικανότητας διεργασιας, συνήθως μετρώνται λειτουργικές παράμετροι ή ΚΓΠ (CTQ) στο προϊόν και όχι στη διεργασία. Μόνο αν η διεργασία παρακολουθείται άμεσα και τα δεδομένα συλλέγονται με συνεχή αυτόματο έλεγχο (controlled and monitored), έχουμε πραγματική μελέτη ικανότητας διεργασιας. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η συλλογή των δεδομένων γίνεται με αυτόματο έλεγχο, και επειδή η χρονική σειρά των δεδομένων είναι γνωστή, μπορεί κανείς να αποφανθή για τη χρονική σταθερότητα της διεργασίας Όταν δεν γίνεται άμεση παρακολούθηση της διεργασίας ή δεν καταγράφεται η ιστορία παραγωγής, η μελέτη ονομάζεται, πιο σωστά, χαρακτηρισμός προϊόντος (product characterization). Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να υπολογίσει την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας του προϊόντος ή την απόδοση της διεργασίας (process yield), δηλ., ποσοστό προϊόντων για τα οποία τηρούνται οι προδιαγραφές, αλλά όχι τη δυναμική της διεργασίας ή την κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου της Διεργασίας (Statistical Process Control) 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 13

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Τα δεδομένα από την Ανάλυση Ικανότητας Διαδικασίας χρησιμοποιούνται στα aκόλουθα: Πρόβλεψη σχετική με το πόσο εύκολο θα είναι για τη διεργασία να μην παραβιασθούν τα όρια ανοχής, Βοήθεια στους σχεδιαστές/υπεύθυνους για ανάπτυξη στην επιλογή ή τροποποίηση της διεργασίας, Βοήθεια στον προσδιορισμό συχνότητας της δειγματοληψίας για λόγους συνεχούς παρακολούθησης της διεργασίας, Ορισμό απαιτήσεων λειτουργίας για νέα μηχανήματα, Επιλογή μεταξύ ανταγωνιστικών προμηθευτών και για άλλα θέματα της αλυσίδας ανεφοδιασμού (supply chain), και Προγραμματισμό σειράς διεργασιών παραγωγής, αν υπάρχει αλληλοεπίδραση των διεργασιών στα όρια ανοχής Κύριες τεχνικές για Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας: (1) Iστόγραμμο ή διάγραμμα πιθανότητας (histogram or probability plot), (2) Χάρτες ελέγχου (control charts), και (3) Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 14

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Η ικανότητα διεργασίας εκφράζεται με διάφορους τρόπους. Παράδειγμα, ο λόγος ικανότητας διεργασίας (process capability ratio, PCR), Cp ανώτερο και κατώτερο όριο μόνο ανώτερο όριο μόνο κατώτερο όριο Στις περισσότερες περιπτώσεις, η τυπική απόκλιση (του πληθυσμού), σ, είναι άγνωστη, και πρέπει να αντικατασταθεί από την αναμενόμενη τιμή (estimate) του, , έτσι ώστε το «^» δηλώνει αναμενόμενη τιμή μεγέθους Σαν εκτιμητέα τιμή του μπορεί να ληφθεί η τυπική απόκλιση (δείγματος), s, ή το μέγεθος από χάρτη ελέγχου* Ο λόγος PCR,Cp , έχει μια χρήσιμη πρακτική ερμηνεία, δηλ., Ρ = (1/Cp )100 είναι το ποσοστό του διαστήματος προδιαγραφών που χρησιμοποιήθηκε από τη διεργασία 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 15

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αν έχουμε m δείγματα με ίσο αριθμό στοιχείων n , {xij / i = 1,…,m; j=1,…,n}, ο μέσος και το εύρος (range) του i δείγματος, και Ri είναι Η τυχαία μεταβλητή W = R /σ ονομάζεται σχετικό εύρος του δείγματος, είναι συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος n, και έχει μέσο d2 . Η τυπική απόκλιση, σ, προσεγγίζεται από το 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 16

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 17

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο λόγος ικανότητας διεργασίας, Cp , είναι μέτρο της ικανότητας διεργασίας να παράγει προϊόντα που πληρούν τις προδιαγραφές Προαπαιτούμενα για τον υπολογισμό του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι τα ακόλουθα: Το χαρακτηριστικό ποιότητας που μετράται έχει κανονική κατανομή, Η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο, και Στην περίπτωση προδιαγραφών κι από τις δυο πλευρές, ο μέσος είναι στο κέντρο του διαστήματος που ορίζεται από το κατώτερο και το ανώτερο όριο προδιαγραφής Οι παραπάνω υποθέσεις είναι κρίσιμες για την ορθότητα (accuracy) και εγκυρότητα (validity)των τιμών του Cp Μη κανονικότητα (normality) των μετρήσεων οδηγεί σε λάθη μεγάλης τάξης στον υπολογισμό του λόγου ικανότητας της διεργασίας Αρκετά συνηθισμένη τακτική είναι να υπολογίζεται το Cp από δείγμα των ιστορικών δεδομένων χωρίς να εξετάζεται αν η διεργασία ηταν ή είναι υπό στατιστικό έλεγχο. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, οι μετρήσεις γίνονται σε ασταθές περιβάλλον, και η αξία τους για πρόβλεψη των μεταβλητών της διεργασίας στο μέλλον είναι αβέβαιη. Αυτό που υπολογίζεται απο το δείγμα των δεδομένων δεν είναι το Cp αλλά η εκτιμητέα τιμή του. Αντί γι αυτή, προτιμάται το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 18

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ελάχιστο των τιμών του λόγου ικανότητας διεργασίας _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Δίπλευρες Μονόπλευρες Προδιαγραφές Προδιαγραφές ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Υπάρχουσες διεργασίες Νέες διεργασίες Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή υπάρχουσας διεργασίας Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή νέας διεργασίας ________________________________________________________________________ Το «Έξι Σίγμα (Six Sigma)» πρόγραμμα της Motorola απαιτεί, αν ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, να μην είναι λιγότερο από έξι τυπικές αποκλίσεις από το κοντινότερο όριο προδιαγραφών. Στην ουσία, το πρόγραμμα «Έξι Σίγμα» απαιτεί ο λόγος ικανότητας διεργασίας να είναι το λιγότερο 2.0 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 19

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ο λόγος ικανότητας διεργασίας δεν λαμβάνει υπ όψη τη θέση του μέσου της διεργασίας σε σχέση με τις προδιαγραφές. Γι αυτό το λόγο, ένας καινούργιος λόγος ικανότητας διεργασίας ορίζεται ως Ο νέος λόγος Cpk , απλά, είναι ο μονόπλευρος λόγος Cp για το όριο των προδιαγραφών που είναι πιο κοντά στο μέσο της διεργασίας Γενικά, αν Cp = Cpk η διεργασία είναι επικεντρωμένη (centered) στο κέντρο του διαστήματος προδιαγραφών, και αν Cpk < Cp η διαδικασία είναι αποκεντρωμένη (οff- center). Η αποκεντρωμένη διεργασία έχει μικρότερη ικανότητα από την επικεντρωμένη. To μέγεθος του Cpk σε σχέση με το Cp είναι άμεσο μέτρο του πόσο αποκεντρωμένη είναι η διεργασία με τον τρόπο που εκτελείται Το Cp μετράει τή δυνητική ικανότητα (potential capability) ενώ το Cpk μετράει την πραγματική ικανότητα (actual capability) Η εικόνα που ακολουθεί δίχνει την κατανομή των μετρήσεων για διάφορες τιμές των Cpk και Cp 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 20

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Στην περίπτωση (d), ο μέσος της διεργασίας είναι ακριβώς ίσος με ένα από τα όρια των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = 0. H περίπτωση (e) δείχνει ότι όταν το Cpk < 0, ο μέσος της διεργασίας βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = Είναι φανερό ότι άν Cpk < -1, όλη η διεργασία βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών. Μερικοί ορίζουν το Cpk ως μη αρνητικό, και όλες τις τιμές που είναι μικρότερες του μηδενός ως μηδέν 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 21

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Πολλοί που είναι αυθεντίες στή Μηχανική της Ποιότητας έχουν κατά καιρούς συμβουλέψει τη μη χρήση λόγων ικανότητας διεργασίας, Cp και Cpk ,με το αιτιολογικό ότι είναι υπεραπλούστευση ενός πολύπλοκου φαινομένου. Ασφαλώς κάθε στατιστικό μέγεθος που συνδυάζει πληροφορίες για τη θέση του μέσου και το κέντρο της διεργασίας και της μεταβλητότητας, και που απαιτεί κανονικότητα (normality) για να ερμηνευθεί σωστά, είναι πιθανό να χρησιμοποιηθεί λανθασμένα ή άσκοπα. Εκτιμήσεις από σημείο σε σημείο (point estimates) του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι σχεδόν άχρηστες, αν προέρχονται από μικρά δείγματα Επειδή ο ορισμός των Cp και Cpk βασίζεται στην κανονικότητα, αν το αποτέλεσμα της διεργασίας δεν ακολουθεί κανονική κατανομή, τα δεδομένα από τις μετρήσεις υποβάλλονται σε μετασχηματισμό (transformation) έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να ακολουθούν κατανομή που προσεγγίζει την κανονική Για δεδομένα που δεν έχουν κανονικότητα (normality) έχει προταθεί το PCR Cpc όπου Τ είναι η τιμή του στόχου της διεργασίας. Ο δείκτης c υποδηλώνει ότι τα διαστήματα εμπιστοσύνης που βασίζονται στο Cpc είναι αξιόπιστα 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 22

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Ένας άλλος λόγος που έχει προταθεί για διεργασίες που περιγράφονται από τις δυο οικογένειες κατανομών, Pearson και Johnson, δηλαδή για κανονικές και μη κανονικές κατανομές είναι το PCR που βασίζεται σε ποσοστά δεδομένων, Cp(q) Επειδή για την κανονική κατανομή x = μ – 3σ και x = μ + 3σ, στην περίπτωση αυτής της κατανομής Cp(q) = Cp Το PCR Cpm που είναι δείκτης της επικέντρωσης της διεργασίας ορίζεται ως όπου τ είναι η τετραγωνική ρίζα της αναμενόμενης διασποράς από το στοχο Τ=1/2(USL+LSL) Mε αυτό τον ορισμό του τ, το Cpm δίνεται από τη σχέση και σε προσέγγιση 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 23

Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Cpk = Cpm= Cp όταν μ = Τ
Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Cpk = Cpm= Cp όταν μ = Τ Cpk και Cpm μειώνονται καθώς το μ μετακινείται μακρυά από το Τ Cpk < 0 για μ > USL και μ < LSL Cpm  0 όταν |μ – Τ|  ∞ |μ – Τ| = Δ > 0 και σ = Δ Αναγκαία (αλλά όχι ικανή) συνθήκη για τη σχέση Cpm > 1 είναι η σχέση Αυτό λέγει ότι, αν η τιμή του Τ είναι το μέσο του διαστήματος των προδιαγραφών, Cpm > 1  ο μέσος μ βρίσκεται στό μεσαίο 1/3 του διαστήματος των προδιαγραφών, δηλ., η συγκεκριμένη τιμή του Cpm θέτει ένα περιορισμό στη διαφορά μεταξύ του μ και του Τ Τα Cp και Cpm ονομάζονται λόγος «πρώτης γενιάς» και «δεύτερης γενιάς», αντίστοιχα. Ο λόγος «τρίτης γενιάς», Cpkm , που έχει μεγαλύτερη ευαισθησία στην απομάκρυνση του μέσου της διεργασίας μ από τον επιθυμητό στόχο Τ 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 24

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το μεγαλύτερο μέρος της βιομηχανικής χρήσης των PCR λόγων έχει να κάνη με τον υπολογισμό και την ερμηνεία προσεγγίσεων σε σημεία (point estimates) του μεγέθους που έχει ενδιαφέρον, αν και είναι γνωστό ότι οι προσεγγίσεις σε σημεία, π.χ., , υπόκεινται σε στατιστικές διακυμάνσεις Μια εναλλακτική λύση που πρέπει να γίνη τυποποιημένη πρακτική είναι τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους λόγους ικανότητας διεργασίας Αν το χαρακτηριστικό ποιότητας ακολουθεί κανονική κατανομή, το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Cp είναι όπου χ21-α/2,n-1 και χ2α/2,n-1 είναι το κάτω και άνω α/2 ποσοστό της χι τετράγωνο κατανομής με n-1 βαθμούς ελευθερίας Ας σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση s αντί για το λόγο από τον χάρτη ελέγχου Αυτό τονίζει ότι η διεργασία πρέπει να είναι υπό στατιστικό έλεγχο για να έχουν οι λόγοι PCR κάποια σημασία. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, τα s και μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά και να οδηγούν σε πολύ διαφορετικές τιμές για τα PCR 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 25

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp είναι ευρύ, άν το δείγμα που χρησιμοποιείται είναι μικρό Για δεδομένα που δέν έχουν κανονικότητα (normality), ο λόγος PCR, Cpc , είναι Η αναμενόμενη μέση τιμή του |x – T| είναι και ο εκτιμητής (estimator) του Cpc είναι Το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Ε|x – T| είναι όπου το sc ορίζεται ως 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 26

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cpc είναι Μια πολύ συνηθισμένη πρακτική στη βιομηχανία είναι να απαιτείται από τον προμηθευτή να αποδείξει ότι η τιμή του λόγου ικανότητας διεργασίας Cp ικανοποιεί τη συνθήκη να είναι ίση ή μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής Cp0 Αυτό το πρόβλημα διαμορφώνεται ως υπόθεση Η0 : Cp = Cp0 διεργασία δεν είναι ικανή Η1 : Cp > Cp0 διεργασία είναι ικανή Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Η0 αν το υπερβαίνει μια κριτική τιμή Cp0 Ορίζουμε το Cp (high) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να αποδεχθούμε με πιθανότητα 1 - α Ορίζουμε το Cp (low) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να απορρίψουμε με πιθανότητα 1 – β Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τιμές για Cp (high)/Cp (low) και C /Cp (low) για διαφορετικά μεγέθη δείγματος και α = β = 0.10 και α = β = 0.05 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 27

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας ΑΑΙG (American Automotive Industry Group) συνιστά τη χρήση των λόγων ικανότητας διεργασίας Cp και Cpk όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, με τυπική απόκλιση να προσεγγίζεται από 2 / ˆ d R = s 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 28

Μέτρηση Λόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας Αν η διεργασία δεν είναι υπό έλεγχο, ΑIAG (American Automotive Industry Group) και ANSI (American National Standards Institute) συνιστά τη χρήση των δεικτών εκτέλεσης διεργασίας Pp και Ppk O δείκτης Pp προσεγγίζεται από τη σχέση Είναι φανερό ότι στην πραγματικότητα Oι ειδήμονες της ποιότητας αποφαίνονται ότι τα Pp και Ppk είναι χάσιμο χρόνου και δεν σημαίνουν τίποτε 18/12/2012 ΔΧ ΔΧ 29

Οι μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης έχουν σκοπό να:
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Οι μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης έχουν σκοπό να: Aπαντήσουν στο ερώτημα τι μέρος της μεταβλητότητας οφείλεται στον αναλυτή ή το όργανο, Διαχωρίσουν τις συνιστώσες της μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης, Αξιολογήσουν την ικανότητα του οργάνου ή του αναλυτή Ένα λογικό μοντέλο για μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης είναι y = x + ε όπου y είναι η τιμή του μεγέθους από τη μέτρηση , x είναι η πραγματική τιμή του μεγέθους και ε το λάθος της μέτρησης Αν υποθέσουμε ότι τα x και ε είναι τυχαίες μεταβλητές με ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σΡ2 και σ2Gauge , αντίστοιχα, η ολική διασπορά τιμής του μεγέθους από τη μέτρηση, σ2Total , είναι σ2Total = σΡ2 + σ2Gauge Οι διασπορές σ2Total , σΡ2 και σ2Gauge ονομάζονται ολική μεταβλητότητα, μεταβλητότητα προϊόντος ή διεργασίας, και μεταβλητότητα μετρητή, αντίστοιχα 18/12/2012 ΔΧ 30

Ο λόγος ακρίβεια/ανοχή (Ρrecision/Τolerance) ορίζεται ως
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Διακριτική ικανότητα του οργάνου είναι η ικανότητα του αναλυτή να διακρίνει μεταξύ μονάδων του προϊόντος Oι τιμές του R αντιπροσωπεύουν διαφορά μεταξύ μετρήσεων της ίδιας μονάδας προϊόντος με τη χρήση του ιδίου οργάνου Ο λόγος ακρίβεια/ανοχή (Ρrecision/Τolerance) ορίζεται ως Δημοφιλείς τιμές για την σταθερά k είναι 5.15 (αντιστοιχεί σε 95% δεδομένων κανονικής κατανομής) και 6 (αντιστοιχεί σε 99...% δεδομένων κανονικής κατανομής) Τιμές του Ρ/Τ ίσες ή μικρότερες του 0.1, χωρίς αυτό να είναι πάντα σωστό, θεωρείται ότι υπαινίσονται επαρκή ικανότητα του μετρητή Άλλα μέτρα της ικανότητος του αναλυτή είναι ο λόγος της μεταβλητότητας του προϊόντος ή διεργασίας προς την ολική μεταβλητότητα, ρp , και ο λόγος της μεταβλητότητας του συστήματος μέτρησης προς την ολική μεταβλητότητα, ρΜ , που ορίζονται ως Το AΑΙG καθόρισε τό λόγο σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio) ως 18/12/2012 ΔΧ 31

Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Άλλο μέτρο της ικανότητας του μετρητή είναι ο λόγος διάκρισης, DR, που ορίζεται ως Μια διάκριση χρειάζεται να γίνη μεταξύ ορθότητας (accuracy) και ακρίβειας (precision) του μετρητη. H oρθότητα αναφέρεται στην ικανότητα του οργάνου να μετρήση σωστά τη μέση πραγματική τιμή, ενώ η ακρίβεια είναι μέτρο της εγγενούς μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης. Οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στην ακόλουθη εικόνα 18/12/2012 ΔΧ 32

Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Δυο συνιστώσες του λάθους μέτρησης είναι η επαναληπτικότητα (repeatability) και η αναπαραγωγικότητα (reproducibility). H επαναληπτικότητα αναφέρεται στη βασική εγγενή ακρίβεια του ίδιου του μετρητή. Η αναπαραγωγιμότητα είναι η μεταβλητότητα που οφείλεται σε διαφορετικούς αναλυτές που χρησιμοποιούν τον ίδιο μετρητή (ή χρήση του ίδιου μετρητή υπό διαφορετικές συνθήκες) Το πείραμα που γίνεται για να μετρηθούν οι συνιστώσες του συνήθως ονομάζεται μελέτη επαναληπτικότητας & αναπαραγωγιμότητας του μετρητή (Gauge R & R study) 18/12/2012 ΔΧ 33

υπολογισμός των συνιστωσών της μεταβλητότητας στη διεργασία
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Μια από τίς κυριότερες χρήσεις των D(esign) O(f) E(xperiments) είναι ο διαχωρισμός και υπολογισμός των συνιστωσών της μεταβλητότητας στη διεργασία Παράδειγμα – Το περιεχόμενο σε σιρόπι (Brix) φιαλών αναψυκτικού, που γεμίζονται από μηχανές με μεγάλο αριθμό κεφαλών για γέμισμα, μετράται και η μεταβλητότητα του είναι, σΒ2. Ένα μέρος της μεταβλητότητας σΒ2 οφείλεται στις μηχανές, σΜ2, ένα άλλο μέρος στις κεφαλές, σΗ2 , και ένα τρίτο στην αναλυτική μέθοδο προσδιορισμού του περιεχομένου του σιροπιού, σΑ2 , δηλ., σΒ2 = σΜ2 + σΗ2 + σΑ2 Το πείραμα σχεδιάζεται έτσι ώστε να λαμβάνονται δείγματα φιαλών από διαφορετικές μηχανές και διαφορετικές κεφαλές στην ίδια μηχανή, και να μετρώνται περισσότερες από μια φορές το κάθε δείγμα για να υπολογισθούν η μεταβλητότητα και οι συνιστώσες της. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη διπλανή εικόνα. Είναι φανερό ότι η διεργασία μπορεί να βελτιωθεί, αν μειωθεί η μεταβλητότητα από κεφαλή σε κεφαλή 18/12/2012 ΔΧ 34

σχεδιασμένο πείραμα (designed experiment). Ένα παράδειγμα σχεδιασμένου
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Η μελέτη ΕΠαναληπτικότητας & ΑΝαπαραγωγικότητας Μετρητή (Gauge R & R) είναι ένα σχεδιασμένο πείραμα (designed experiment). Ένα παράδειγμα σχεδιασμένου πειράματος είναι οι μετρήσεις θερμικής αντίστασης σε οC /(100 x Watt) για επαγωγικό κινητήρα (motor starter), στον πίνακα που ακολουθεί. ΄Εχουμε 10 τεμάχια, 3 αναλυτές (operators), και 3 μετρήσεις ανά τεμάχιο. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα παραγοντικό πείραμα (factorial experiment), κάθε αναλυτής μετράει όλα τα τεμάχια. 18/12/2012 ΔΧ 35

Η μέτρηση, δηλ., η aπόκριση (response) παριστάνεται από το μοντέλο
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) ΑΝΟVΑ Η μέτρηση, δηλ., η aπόκριση (response) παριστάνεται από το μοντέλο yijk = μ + Ρi + Oj + (PO)ij + εijk i = 1, 2, …, p; j = 1, 2, …, o; k = 1, 2, …, n Οι παράγοντες (factors) Ρi , Oj , (PO)ij , και εijk είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις επιδράσεις των τεμαχίων και αναλυτών, τις αλληλοεπιδράσεις τεμαχίων και αναλυτών, και του τυχαίου σφάλματος, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Ρi , Oj , (PO)ij , και εijk ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο το μηδέν και διασπορές V(Pi ) = σΡ2, V(Oj ) = σO2, V(POjj ) = σOP2, και V(εjjk ) = σ2. Γι αυτό η διασπορά της μέτρησης είναι V(yjjk ) = σΡ2 + σO2 + σOP2 + σ2 Eπίσης τα αθροίσματα των τετραγώνων ικανοποιούν τη σχέση SSTotal= SSParts + SSOperators + SSPxO + SSError O μέσος των τετραγώνων είναι ο λόγος του αθροίσματος των τετραγώνων με τούς βαθμούς ελευθερίας, δηλ., 18/12/2012 ΔΧ 36

Οι αναμενόμενες τιμές τών μέσων των τετραγώνων είναι
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Οι αναμενόμενες τιμές τών μέσων των τετραγώνων είναι όπου b είναι ο αριθμός των αναλυτών που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο, και a ο αριθμός των τεμαχίων που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο. Από αυτή τη σχέση 2 ) ( s = + E PO O P MS n an bn 18/12/2012 ΔΧ 37

Με βάση τίς τιμές του Ρ, η επίδραση στη μεταβλητότητα
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα Βalanced ANOVA από το Μinitab Με βάση τίς τιμές του Ρ, η επίδραση στη μεταβλητότητα Από τα τεμάχια είναι μεγάλη, Από τούς αναλυτές είναι μικρή, και Απο το συνδυασμό τεμαχίων-αναλυτών δεν είναι σημαντική 18/12/2012 ΔΧ 38

αναλυτή. Γι αυτό το λόγο, θεωρούμε το ελλειπές (reduced) μοντέλο
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Από καιρού σε καιρό, βρίσκουμε από την ΑΝΟVΑ μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας να είναι αρνητική, πράγμα που δεν είναι λογικό γιατί, λόγω ορισμού τους, οι μεταβλητότητες είναι πάντα θετικές. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να διορθωθεί αυτό: Αν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, εξισώνουμε την τιμή της με μηδέν και αφήνουμε τις υπόλοιπες όπως είναι, Όταν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, συνήθως έχουμε γι αυτή τη συνιστώσα όχι σημαντική επίδραση από την αντίστοιχη αιτία. Μπορούμε να θεωρήσουμε, χωρίς μεγάλο λάθος, ότι η τιμή της συνιστώσας αυτής είναι μηδέν, και να επαναλάβουμε τόν υπολογισμό των συνιστωσών της μεταβλητότητας με μέθοδο διαφορετική από την ΑΝΟVΑ που εξασφαλίζει θετικές συνιστώσες μεταβλητότητας Στο παραπάνω παράδειγμα, σΡΟ2 ≈ 0, δηλ., δεν υπάρχει συνδυασμένη επίδραση τεμαχίου- αναλυτή. Γι αυτό το λόγο, θεωρούμε το ελλειπές (reduced) μοντέλο yijk = μ + Ρi + Oj + εijk Συνήθως θεωρούμε το σ2 σαν επαναληπτικότητα (repeatability) και το άθροισμα των συνιστωσών της μεταβλητότητας εξ αιτίας των αναλυτών και του συνδυασμού τεμαχίου- αναλυτή σαν aναπαραγωγιμότητα (reproducibility) σ2reproducibility = σΟ2 + σΡΟ2 σ2repeatability = σ2 18/12/2012 ΔΧ 39

σ2Gauge = σ2reproducibility + σ2repeatability Για το παράδειγμα
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) σ2Gauge = σ2reproducibility + σ2repeatability Για το παράδειγμα Ο λόγος Ρ/Τ του αναλυτή υπολογίζεται από τη σχέση Ο αναλυτής δεν θεωρείται ικανός αν Ρ/Τ > 0.10 Λανθασμένα και αποδεχθέντα ελαττωματικά Η πραγματική ικανότητα του συστήματος μέτρησης να διαχωρίζει μεταξύ απορριπτέων και αποδεκτών προϊόντων δεν μπορεί να εκφρασθεί από τους λόγους ικανότητας Ρ/Τ, SNR και DR που δεν είναι άμεσα μεταφράσιμοι Ας θεωρήσουμε το μοντέλλο y = x + ε όπου y είναι η μετρηθείσα τιμή, x η πραγματική τιμή, και ε το λάθος μέτρησης. Οι τυχαίες μεταβλητές x και ε έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σ2Ρ και σ2Gauge αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f(x,y),ειναι κανονική με δυο μεταβλητές, διάνυσμα μέσου [μx , μy]Τ και πίνακα συνδυακύμανσης (covariance matrix) 18/12/2012 ΔΧ 40

To προϊόν (τεμάχιο) είναι αποδεκτό, αν LSL < x < USL (1)
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) y = x + ε To προϊόν (τεμάχιο) είναι αποδεκτό, αν LSL < x < USL (1) To σύστημα μέτρησης θα χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, αν LSL < y < USL (2) Aν η σχέση (1)ισχύει και η σχέση (2) δεν ισχύει, ένα αποδεκτό προϊόν (τεμάχιο) έχει αποτύχει κατά λάθος (κίνδυνος για τον παραγωγό, producer’s risk) Αν η σχέση (1) δεν ισχύει και η σχέση (2) ισχύει, ένα απορριπτέο προϊόν (τεμάχιο) έχει γίνει αποδεκτό κατά λάθος (κίνδυνος για τον καταναλωτή, consumer’s risk) O κίνδυνος για τον παραγωγό (producer’s risk), α, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να αποτύχει για ένα προϊόν (τεμάχιο), όταν το προϊόν (τεμάχιο) ικανοποιεί τις προδιαγραφές (ψεύτικη αποτυχία,False Failure ) O κίνδυνος για τον καταναλωτή (consumer’s risk), β, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, όταν το προϊόν (τεμάχιο) δεν ικανοποιεί τις προδιαγραφές (λανθασμένη αποτυχία, Missed Fault) Τα α και β υπολογίζονται από τις σχέσεις 18/12/2012 ΔΧ 41

με την καλλίτερη ικανότητα του συστήματος μέτρησης
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Οι περιοχές ψεύτικη αποτυχία (False Failure), και λανθασμένη αποτυχία (Missed Fault), ενός συστήματος ελέγχου δείχνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί, και οριοθετούνται από κλειστές καμπύλες (contours). Στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουμε τα μ, σΡ2 και σ 2Τοταl, και οι προσεγγιστικές τιμές τους, δεν λένε τίποτε για την αβεβαιότητα στις τιμές. Αντί γι αυτό χρησιμοποιούμε διαστήματα εμπιστοσύνης για τις συνιστώσες της μεταβλητότητας Τα β και α υπολογίζονται για διάφορα σενάρια που υποδεικνύονται από τα διαστήματα εμπιστοσύνης των συνιστωσών της μεταβλητότητας. Για παράδειγμα, ένα απαισιόδοξο (pessimistic) σενάριο είναι να θεωρήσουμε την χειρότερη απόδοση (performance) για το σύστημα μέτρησης και χειρότερη ικανότητα για την διεργασία. Για να γινει αυτό, δίνουμε στο σΡ2 την τιμή του άνω ορίου του διaστήματος εμπιστοσύνης (για σΡ2) και βρίσκουμε την τιμή του σ 2Τοταl που παρέχει το κατώτερο όριο για το ρΡ . Αντίστροφα, ένα αισιόδοξο (οptimistic) σενάριο συνδυάζει την καλλίτερη δυνατή απόδοση για το σύστημα ελέγχου με την καλλίτερη ικανότητα του συστήματος μέτρησης 18/12/2012 ΔΧ 42

χρησιμοποιούμε το κάτω όριο για το σΡ2 και το άνω όριο για το ρΡ
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Ο πίνακας παρακάτω δείχνει υπολογισμό των κινδύνων για τον παραγωγό και τον καταναλωτή, α και β, αντίστοιχα, για τα δυο σενάρια που εξετάστηκαν πιο πάνω, απαισιόδοχο (pessimistic), για την χειρότερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας, και αισιόδοξο (οptimistic), για την καλλίτερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας. Για το απαισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το άνω όριο για το σΡ2 και το κάτω όριο για το ρΡ . Για το αισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το κάτω όριο για το σΡ2 και το άνω όριο για το ρΡ 18/12/2012 ΔΧ 43

διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = a1x1 + a2x2 +…+anxn
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Το πρόβλημα έχει να κάνει με τη χρήση πληροφοριών από την ανάλυση ικανότητας της διεργασίας για την οριοθέτηση των προδιαγραφών σε διακριτά συνιστώντα μέρη που αλληλοεπιδρούν με άλλα συνιστώντα μέρη για να σχηματίσουν το τελικό προϊόν Παρουσιάζεται ιδιαίτερα σε πολύπλοκα συστήματα ή για να αποφευχθεί σχηματισμός σωρού ανοχής (tolerance stack-up) όπου υπάρχουν πολλές αλληλοεπιδρώσες διαστάσεις Σε πολλές περιπτώσεις, η διάσταση ενός στοιχείου είναι γραμμικός συνδυασμός των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = a1x1 + a2x2 +…+anxn Αν τα xi έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσο μi και διασπορά σi2, το y κατανέμεται κανονικά με μέσο μy = Σi=1nai μi και διασπορά σy2 = Σi=1nai2 σi2 . Aν τα μi και σi2 είναι γνωστά, το ποσοστό των στοιχείων εκτός των ορίων των προδιαγραφών μπορεί να υπολογισθεί. Αν το στοιχείο αποτελείται από n μέρη με κοινή διασπορά σ2, και τα φυσικά όρια ανοχής του στοιχείου ορίζονται έτσι ώστε α% των στοιχείων να είναι εκτός των ορίων αυτών, τότε η μέγιστη δυνατή τιμή της διασποράς του στοιχείου, σy2*, που επιτρέπει τα φυσικά όρια ανοχής και τα όρια των προδιαγραφών να συμπίπτουν, είναι όπου 2W είναι τό εύρος του διαστήματος των προδιαγραφών 18/12/2012 ΔΧ 44

διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = g(x1, x2 ,…, xn )
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Συνεπώς, η μέγιστη επιτρεπτή τιμή της διασποράς για τα επί μέρους συνιστώντα μέρη είναι Σε μερικά προβλήματα, η διάσταση του στοιχείου είναι μή γραμμική συνάρτηση των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ., y = g(x1, x2 ,…, xn ) Αναπτύσσουμε το δεξιό μέρος της παραπάνω εξίσωσης σε σειρά Τaylor όπου R αντιπροσωπεύει όρους υψηλότερης τάξης. Αν αγνοήσουμε τους όρους υψηλότερης τάξης, έχουμε Η μέθοδος της προσέγγισης μέσου και διασποράς μη γραμμικού συνδυασμού τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται μέθοδος δέλτα (delta method). H σχέση για τον υπολογισμό της διασποράς του στοιχείου από τις διασπορές των συνιστώντων μερών ονομάζεται τύπος για μετάδοση λάθους (transmission of error formula) 18/12/2012 ΔΧ 45

Τα όρια εμπιστοσύνης είναι διαφορετικά από τα όρια ανοχής
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Τα όρια εμπιστοσύνης είναι διαφορετικά από τα όρια ανοχής Όρια εμπιστοσύνης: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο κυμαίνεται η τιμή της παραμέτρου μιας κατανομής Όρια ανοχής: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο αναμένεται να βρίσκεται συγκεκριμένο ποσοστό του πληθυσμού Τα όρια και των δυο τύπων προσδιορίζονται από δείγμα του πληθυσμού, μεγέθους n Για τον προσδιορισμό αυτών των ορίων, χρειάζεται να είναι γνωστά η κατανομή και οι παράμετροι του χαρακτηριστικού της ποιότητας, που στα περισσότερα πραγματικά προβλήματα δεν είναι γνωστά Όταν n ∞ , το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης τείνει στο 0, και τα όρια ανοχής που προσδιορίσθηκαν από τό δείγμα μεγέθους n πλησιάζουν τα αντίστοιχα του πληθυσμού Αν μια τυχαία μεταβλητή x έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2, και μ και σ2 είναι άγνωστα, από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n προσδιορίζεται ο μέσος x̅ και διασπορά s2. Είναι λογικό να προσεγγίσουμε τα φυσικά όρια ανοχής με x̅ + Ζα/2 s, όμως, επειδή x̅ και s δεν είναι πραγματικός μέσος και τυπική απόκλιση, το διάστημα που ορίζεται από τα φυσικά όρια ανοχής δεν περιλαμβάνει πάντοτε 100(1-α)% των τιμών της κατανομής. Μπορεί, όμως, να προσδιορισθεί μια σταθερά Κ, έτσι ώστε για ένα μεγάλο αριθμό δειγμάτων, ποσοστό γ του διαστήματος x̅ + Κs να περιλαμβάνει τουλάχιστον 100(1-α)% των τιμών της κατανομής 18/12/2012 ΔΧ 46

Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Tιμές του Κ για 2 < n < 1000, γ = 0.90, 0.95, 0.99, και α = 0.10, 0.05, 0.01 στόν πίνακα που ακολουθεί 18/12/2012 ΔΧ 47

τιμές (μέγιστο και ελάχιστο) μετρήσεων δείγματος
Μέτρηση Δεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity) Μη παραμετρικά ή ανεξάρτητα-από-κατανομή (nonparametric ή distribution-free) όρια ανοχής, που ισχύουν για κάθε συνεχή κατανομή πιθανότητας, βασίζονται στις ακραίες τιμές (μέγιστο και ελάχιστο) μετρήσεων δείγματος Για όρια ανοχής κι από τις δυο πλευρές της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, έτσι ώστε, με πιθανότητα γ, 100(1-α)% της κατανομής να βρίσκονται μεταξύ του μεγίστου και ελαχίστου των τιμών των μετρήσεων στο δείγμα, είναι κατά προσέγιση Για όρια ανοχής από τη μια πλευρά της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, με πιθανότητα γ, 100(1-α)% της κατανομής να έχουν τιμές μεγαλύτερες από τη μικρότερη τιμή μέτρησης του δείγματος ή τιμές μικρότερες από τη μεγαλύτερη τιμή μέτρησης του δείγματος, είναι Γενικά τα μη παραμετρικά όρια ανοχής έχουν μικρή πρακτική αξία γιατί το να κατασκευάσει κανείς κατάλληλα διαστήματα που, με μεγάλη πιθανότητα, περιέχουν σχετικά μεγάλο ποσοστό των τιμών της κατανομής, πρέπει να ληφθούν μεγάλα δείγματα. Σε μερικές περιπτώσεις, αυτά τα διαστήματα είναι τόσο μεγάλα που η χρήση τους είναι ανεπίτρεπτη 18/12/2012 ΔΧ 48

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) Διεργασία: Συνδυασμός μηχανών, μεθόδων, και ανθρώπων που μετατρέπει εισερχόμενο υλικό σε εξερχόμενο προϊόν Σχεδιασμένο πείραμα: ένα πείραμα ή μια σειρά πειραμάτων στα οποία γίνονται αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου έτσι ώστε να παρατηρηθούν και να εντοπισθούν αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου (response) Οι στόχοι του πειράματος περιλαμβάνουν: Προσδιορισμό των τιμών των ελεγχομένων μεταβλητών x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η απόκριση y να είναι στην περιοχή των απαιτουμένων, Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η μεταβλητότητα της απόκρισης y να είναι μικρή, Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου, έτσι ώστε η επίδραση των μη ελεγχομένων μεταβλητών z να ελαχιστοποιηθεί 18/12/2012 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) βρίσκουν εφαρμογή στον Σχεδιασμό και Ανάπτυξη Διεργασιών και Προϊόντων (Process & Product Design & Development), για να: Βελτιωθεί η απόδοση (yield), Eλαττωθεί η μεταβλητότητα στην απόκριση και να είναι η απόκριση πιό κοντά στις προδιαγραφές, 3. Ελαττωθούν ο χρόνος και τα έξοδα ανάπτυξης, Βελτιωθεί ο τρόπος εκτέλεσης (performance) της διεργασίας, και Γίνει η διεργασία σταθερή (robust) ώστε να μην επιρρεάζεται από εξωτερικές αιτίες που προκαλούν μεταβλητότητα (διακύμανση) Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) είναι στενά συνδεδεμένες με τίς μεθόδους Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (Statistical Process Control). Για παράδειγμα, αν μια διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο αλλά εξακολουθεί να έχει χαμηλή ικανότητα, είναι αναγκαίο να μειωθεί η μεταβλητότητα Το DΟΕ προσφέρει ένα πιο αποτελεσματικό τρόπο από το SPC για να γίνει ακριβώς αυτό Το SPC είναι στατική μέθοδος, γιατί παρατηρούμε τη διεργασία και περιμένουμε για πληροφορία που θα οδηγήσει σε χρήσιμη αλλαγή. Το DΟΕ είναι ενεργή μέθοδος, γιατί κάνουμε μια σειρά από πειράματα, κάνουμε αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου και παρατηρούμε τις αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου, και αυτό θα παράγει πληροφορία που θα οδηγήσει σε βελτίωση της διεργασίας 18/12/2012 ΔΧ

μηχανή αυτή έχει τις εξής ελέγξιμες μεταβλητές:
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Παραγοντικά Πειράματα (Factorial DOE) Γίνονται για να προσδιορισθούν οι παράγοντες (factors), ελέγξιμοι και μη, που επηρεάζουν σημαντικά την απόκριση (response). Βοηθούν να προσδιορισθεί το μέγεθος και η διεύθυνση της επίδρασης κάθε παράγοντα. Τα πειράματα αυτά γίνονται με αλλαγές σε όλους τους παράγοντες ταυτόχρονα, και ονομάζονται παραγοντικά (factorial) Παράδειγμα - Ένας μηχανικός με εφαρμογή SPC κατάφερε να θέσει υπό στατιστικό έλεγχο μια διεργασία συγκόλλησης ηλεκτρονικών στοιχείων σε εκτυπωμένους πίνακες κυκλωμάτων. Ο πίνακας κυκλωμάτων περιέχει κατά μέσο όρο 2000 σημεία συγκόλλησης και, παρόλο που η διεργασία είναι υπό έλεγχο, ο αριθμός των πινάκων με ελαττωματικές συγκολλήσεις είναι μεγάλος και πρέπει να μειωθεί. Σ’ αυτό το σημείο δεν είναι φανερό τι τροποποιήσεις χρειάζεται να γίνουν στη μηχανή ροής της συγκολλητικής ύλης. Η μηχανή αυτή έχει τις εξής ελέγξιμες μεταβλητές: Θερμοκρασία συγκόλλησης, Θερμοκρασία προθέρμανσης, Ταχύτητα μεταφορέα, Ρυθμός ροής, Ειδικό βάρος υγρού ροής, Βάθος στρώματος συγκολλητικής ύλης, και Γωνία μεταφορέα 18/12/2012 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα διαλογής ή
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού (screening οr characterizing experiments) Εκτός από τις ελέγξιμες μεταβλητές, υπάρχουν κι άλλες που δέν μπορούν να ελέγχονται κατά τη διάρκεια στερεότυπης παραγωγής, αλλά μπορούν να ελεγχθούν για το σκοπό πειραμάτων διαλογής ή χαρακτηρισμού, όπως Πάχος του τυπωμένου πίνακα κυκλωμάτων, Είδη στοιχείων που χρησιμοποιούνται για τον πίνακα, Διάταξη των στοιχείων στον πίνακα, Χειριστής, και Ρυθμός παραγωγής Πειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού (screening οr characterizing experiments)γίνονται για να προσδιορισθούν οι κρίσιμοι παράγοντες της διεργασίας και η διεύθυνση των ρυθμίσεων αυτών των παραγόντων για να ελαττωθεί ο αριθμός ελαττωμάτων ανά πίνακα. Τα πειράματα αυτά μπορούν επίσης να βοηθήσουν στόν προσδιορισμό των μεταβλητών που πρέπει να ελέγχονται με περισσότερη προσοχή ώστε να μειωθεί ο αριθός των ελαττωμάτων ανά πίνακα και να αποτραπεί ο ανεξέλεγκτος τρόπος λειτουργίας (erratic performance) της διεργασίας. To αποτέλεσμα των πειραμάτων μπορεί να είναι εφαρμογή χαρτών ελέγχου σε μια ή περισσότερες ελεγχόμενες μεταβλητές, όπως η θερμοκρασία συγκόλλησης, επί πλέον του χάρτη ελέγχου που χρησιμοποιείται για τη μεταβλητή εξόδου ή απόκριση (response). Με τον καιρό κι αν η διεργασία βελτιωθεί σε ικανοποιητικό βαθμό, μπορεί το σχέδιο ελέγχου να βασιστεί στον έλέγχο μεταβλητών εισόδου και όχι στη χαρτογράφηση ελέγχου για τη μεταβλητή εξόδου 18/12/2012 ΔΧ

(optimization experiments)
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα αριστοποίησης (optimization experiments) Γίνονται για να προσδιορισθεί η περιοχή του πεδίου ορισμού των σημαντικών παραγόντων (factors) που οδηγεί στην καλλίτερη δυνατή απόκριση (response). Aν απόκριση είναι η απόδοση, ψάχνουμε για την περιοχή που οδηγεί στη μέγιστη απόδοση, αν το κρίσιμο χαρακτηριστικό του προϊόντος είναι η μεταβλητότητα, ψάχνουμε για την περιοχή που οδηγεί στην ελάχιστη μεταβλητότητα Παράδειγμα – Επιθυμούμε να βελτιώσουμε την απόδοση μιας χημικής διεργασίας. Γνωρίζουμε από τα πειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού ότι οι δυο σημαντικότερες μεταβλητές της διεργασίας που επιρρεάζουν την απόδοση της είναι η θερμοκρασία λειτουργίας και ο χρόνος της χημικής αντίδρασης. Η διεργασία αυτή την περίοδο γίνεται στους 155οF με χρόνο χημικής αντίδρασης 1.7 h, και η απόδοση είναι 75%. Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει την περιοχή θερμοκρασίας-χρόνου αντίδρασης και τις καμπύλες (contours) με σταθερή τιμή απόδοσης, 60, 70, 80, 90, και 95%. 18/12/2012 ΔΧ

(optimization experiments)
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα αριστοποίησης (optimization experiments) Τα πειράματα αυτά ονομάζονται παραγοντικά (factorial), γιατί όλες οι τιμές των παραγόντων αλλάζουν ταυτόχρονα. Oι τιμές της απόκρισης που παρατηρούνται στις τέσσερεις γωνίες του τετραγώνου (προηγούμενη εικόνα) δείχνουν ότι πρέπει κανείς να κινηθεί πρός τη γενική κατεύθυνση αυξημένης θερμκρασίας και μειωμένου χρόνου αντίδρασης για να αυξηθή η απόδοση. Μερικά επί πλέον πειράματα μπορεί να γίνουν σ’ αυτή την κατεύθυνση κι αυτό είναι αρκετό για να προσδιορισθεί η περιοχή μεγίστης απόδοσης. Όταν βρεθεί κανείς στήν περιοχή του αρίστου, ένα πιο επιμελημένο πείραμα μπορεί να γίνει για να προσδιορισθεί με ακρίβεια η περιοχή των βέλτιστων συνθηκών λειτουργίας (optimum operating conditions) Για το σχεδιασμό πειραμάτων είναι βασικό όλοι αυτοί που συμμετέχουν στην εκτέλεση του πειράματος να έχουν σαφή ιδέα πρίν την εκτέλεση του ποιοί είναι οι στόχοι του πειράματος, ποιά είναι η απόκριση και οι παράγοντες που θα μελετηθούν, πώς θα εκτελεσθεί το πείραμα και πώς θα αναλυθούν τα αποτελέσματα. Η διαδικασία που ακολουθείται έχει τα εξής στάδια: Αναγνώριση και έκφραση του προβλήματος, Εκλογή μεταβλητής απόκρισης (Κριτικό Γιά Ποιότητα χαρακτηριστικό, Critical To Quality characteristic), Εκλογή τρόπου σχεδιασμού του πειράματος, Εκτέλεση του πειράματος, Ανάλυση αποτελεσμάτων, συμπεράσματα και συστάσεις 18/12/2012 ΔΧ

επανάληψη του πειράματος (replicate) περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Παραγοντικά (factorial) πειράματα Όταν υπάρχουν περισσότεροι από ένα παράγοντα, οι τιμές των παραγόντων πρέπει να αλλάζονται ταυτόχρονα (παραγοντικά πειράματα, factorial experiments). Κάθε επανάληψη του πειράματος (replicate) περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών (επιπέδων - levels) των παραγόντων που μελετώνται Η επίδραση (effect) ενός παράγοντα ορίζεται ως η μεταβολή στην τιμή της απόκρισης που παράγεται από μεταβολή της τιμής του παράγοντα αυτού. Ονομάζεται κύρια επίδραση (main effect) αν αναφέρεται στους πρωταρχικούς παράγοντες στη μελέτη. Στο πείραμα που παρουσιάζεται στην παράπλευρη εικόνα, και οι δυο παράγοντες Α και Β έχουν δυο επίπεδα τιμών, που ονομάζονται «χαμηλό» και «υψηλό» και συμβολίζονται με «-» και «+», αντίστοιχα. Η κύρια επίδραση του παράγοντα Α είναι η διαφορά μεταξύ της μέσης απόκρισης στο υψηλό επίπεδο του Α και της μέσης απόκρισης στο χαμηλό επίπεδο του Α, Α = y̅Α+ - y̅Α-= (30+40)/2 – (10+20)/2 = 20 Mε άλλα λόγια, μεταβολή της τιμής του παράγοντα Α από το χαμηλό (-) στο υψηλό (+) επίπεδο προκαλεί αύξηση της απόκρισης κατά 20 μονάδες. Παρόμοια για τον παράγοντα Β Β = y̅Β+ - y̅Β-= (20+40)/2 – (10+30)/2 = 10 18/12/2012 ΔΧ

εικόνα δεξιά και κάτω. Στο χαμηλό επίπεδο του
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματα Σε μερικά πειράματα, η διαφορά στην απόκριση μεταξύ των δυο επιπέδων ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια για όλα τα είπεδα των άλλων παραγόντων. Παράδειγμα η εικόνα δεξιά και κάτω. Στο χαμηλό επίπεδο του παράγοντα Β, η επίδραση του Α είναι Α = = 20, και στο υψηλό επίπεδο του παράγοντα Β, η επίδραση του Α είναι Α = 0 – 20 = -20 Επειδή η επίδραση του Α εξαρτάται από το επίπεδο του παράγοντα Β, υπάρχει αλληλεπίδραση (interaction) των παραγόντων Α και Β Όταν η αλληλεπίδραση είναι μεγάλη, οι κύριες επιδράσεις, αλληλοαναιρούνται, π.χ., στην εικόνα δεξιά και κάτω, η κύρια επίδραση του Α είναι Α = (30+0)/2 – (10+20)/2 = 0, πράγμα που μπορεί να εξαπατήσει κάποιον στο να συμπεράνει ότι δεν υπάρχει επίδραση του Α Όταν όμως εξετασθεί η κύρια επίδραση του Α για δυο διαφορετικά επίπεδα του Β, βλέπουμε ότι αυτό δέν συμβαίνει. Έτσι, γνώση της αλληλεπίδρασης ΑΒ είναι πιο χρήσιμη από τή γνώση της κύριας επίδρασης. 18/12/2012 ΔΧ

περίπου παράλληλες, δηλαδή η περίπτωση που οι παράγοντες Α και Β
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματα Η έννοια της αλληλεπίδρασης γίνεται κατανοητή από τις προηγούμενες εικόνες όταν τα δεδομένα παριστάνονται έναντι των επιπέδων του Α για τα δύο επίπεδα του Β. Στην πρώτη εικόνα (προκύπτει από την εικόνα άνω και δεξιά), οι γραμμές Β- και Β+ είναι περίπου παράλληλες, δηλαδή η περίπτωση που οι παράγοντες Α και Β δεν αλληλοεπιδρούν Στη δεύτερη εικόνα (προκύπτει από την εικόνα άνω και δεξιά), οι γραμμές Β- και Β+ δεν είναι παράλληλες, δηλαδή η περίπτωση που οι παράγοντες Α και Β αλληλοεπιδρούν Μια εναλλακτική μέθοδος στον παραγοντικό σχεδιασμό πειραμάτων, που δυστυχώς εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην πράξη, είναι η μέθοδος στην οποία οι παράγοντες μεταβάλλονται ένας σε κάθε επανάληψη του πειράματος αντι να μεταβάλλονται όλοι ταυτόχρονα. Για να δείξουμε τήν «ένας-παράγοντας-κάθε-φορά» μέθοδο, θεωρούμε το πρόβλημα της χημικής διεργασίας που μελετήσαμε πρίν 18/12/2012 ΔΧ

αντίδρασης που μεγιστοποιούν την απόδοση.
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματα Ο μηχανικός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τις τιμές θερμοκρασίας και χρόνου αντίδρασης που μεγιστοποιούν την απόδοση. Θεωρείστε ότι η θερμοκρασία κρατείται σταθερή στους 155οF (την πρόσφατη θερμοκρασία λειτουργίας) και το πείραμα επαναλαμβάνεται σε διαφορετικά επίπεδα του χρόνου αντίδρασης, 0.5, , 1.5, 2.0 και 2.5 h. Ta αποτελέσματα δείχνονται στην πρώτη από τις εικόνες παρακάτω που δείχνει ότι η απόδοση έχει μέγιστο για χρόνο αντίδρασης ~1.7 h. Για αριστοποίηση της θερμοκρασίας, ο μηχανικός κρατάει σταθερό το χρόνο αντίδρασης στο 1.7 h και επαναλαμβάνει το πείραμα σε διαφορετικές θερμοκρασίες, 140, 150, 160, , 180ο F. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη δεύτερη εικόνα, που δείχνει ότι η απόδοση έχει μέγιστο περίπου στούς 155ο F. Αν η χημική διεργασία εκτελείται με τις καλλίτερες συνθήκες που βρέθηκαν, η απόδοση της είναι 75%. Η τρίτη εικόνα δείχνει τις καμπύλες (contours) σταθερών τιμών απόδοσης που δείχνει ότι η «ένας-παράγοντας-κάθε-φορά» μέθοδος απέτυχε να βρή το πραγματικό μέγιστο απόδοσης,95%, που επιτυγχάνεται σε υψηλότερες θερμοκρασίες και χαμηλότερους χρόνους αντίδρασης 18/12/2012 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) –
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Υποτίθεται ότι έχουμε δυό παράγοντες, Α και Β, με επίπεδα τιμών a για τον πρώτο και b για τον δεύτερο. Το πείραμα επαναλαμβάνεται n φορές και η διάταξη των δεδομένων είναι η ακόλουθη H μέτρηση στο ij κελί στην k επανάληψη του πειράματος παριστάνεται από την τιμή yijk. Όπως και στην περίπτωση του ενός παράγοντα, οι abn μετρήσεις έχουν τελείως τυχαία σειρά. Υποτίθεται ότι και οι δυό παράγοντες έχουν σταθερή επίδραση (fixed effect). Oι μετρήσεις από ένα παραγοντικό, διπλής κατεύθυνσης πείραμα, περιγράφονται από τη σχέση όπου μ είναι η ολική μέση επίδραση, τi η επίδραση του i επιπέδου τιμής του παράγοντα Α, βj η επίδραση του j επιπέδου τιμής του παράγοντα Β, (τβ)ij το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των Α και Β στα επίπεδα τιμών i και j, αντίστοιχα, και εijk το τυχαίο σφάλμα που ακολουθεί κανονική κατανομή με ολικό μέσο 0 και ολική διασπορά σ2 18/12/2012 ΔΧ

διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Αν παρασταθεί με:
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Αν παρασταθεί με: yi++ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο i επίπεδο τιμών του παράγοντα Α y+j+ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο j επίπεδο τιμών του παράγοντα B yij+ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο ij κελί y+++ το άθροισμα όλων των παρατηρήσεων και y̅i++ ο μέσος της i σειράς y̅+j+ ο μέσος της j στήλης y̅ij+ ο μέσος του ij κελιού y̅+++ ο μέσος όλων των παρατηρήσεων, συνάγεται ότι : 18/12/2012 ΔΧ

κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Το ολικό άθροισμα τετραγώνων SST αποσυντίθεται με τον ακόλουθο τρόπο: ή SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Oι βαθμοί ελευθερίας που συνδέονται με αυτή την αποσύνθεση είναι: abn – 1 = (a – 1) + (b – 1) + (a – 1)(b – 1) + ab(n – 1) 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσος Τετραγώνων F0 Μεταβλητ. Τετραγώνων Ελευθερίας 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Για να εξετάση κανείς αν δεν υπάρχει επίδραση από σειρά ή στήλη, και αποτέλεσμα αλληλοεπίδρασης, χρειάζεται να διαιρέσει το αντίστοιχο μέσο τετράγωνο με το μέσο τετραγώνο του σφάλματος. Κάθε ένας από αυτούς τους λόγους ακολουθεί F κατανομή, με βαθμούς ελευθερίας για τον αριθμητή ίσο με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του αριθμητή του αντίστοιχου μέσου τετραγώνου και βαθμούς ελυθερίας για τον παρονομαστή ab(n – 1), όταν η μηδενική υπόθεση για επίδραση από παράγοντα είναι αληθής. Η υπόθεση αυτή απορρίπτεται αν η υπολογιζόμενη τιμή του F υπερβαίνει την αντίστοιχη τιμή από πίνακες για κάποιο επίπεδο σημαντικότητας, ή αλλοιώς, αν η P τιμή είναι μικρότερη από το προσδιορισμένο επίπεδο σημαντικότητας Η ANOVA συνήθως γίνεται με λογισμικό, παρόλο που απλοί τύποι για τον υπολογισμό των τετραγώνων, σαν αυτούς που ακολουθούν, μπορούν να χρησιμοποιηθούν Παράδειγμα Ουσία συγκόλλησης που χρησιμοποιείται για βαφή αεροσκαφών έφαρμόζεται, πριν από τη βαφή, σε επιφάνειες απο αλουμίνιο με δυο μεθόδους, εμβάπτιση και ψεκασμό. Ο σκοπός της ουσίας αυτής είναι να βελτιώσει την προσκόλληση της βαφής. ΄Ενας μηχανικός πραγματοποίησε παραγοντικό πείραμα για να εξετάσει την επίδραση του τύπου της ουσίας που βελτιώνει προσκόλληση και τη μέθοδο εφαρμογής στην προσκόλληση της βαφής. Οι διαφόρου-τύπου ουσίες εφαρμόστηκαν σε τρία δείγματα επιφάνειας αλουμινίου, και μετά τη βαφή των δειγμάτων, μετρήθηκε η δύναμη συγκόλλησης (adhesion force) 18/12/2012 ΔΧ

κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Παράδειγμα
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Παράδειγμα Τα αποτελέσματα 18 δοκιμών του πειράματος πού έγιναν με τυχαία σειρά δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Μέθοδος Εφαρμογής Τύπος ουσίας Εμβάπτιση Ψεκασμός yi++ y+j = 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Παράδειγμα Το άθροισμα τετραγώνων των δυνάμεων συγκόλλησης είναι 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA) Παράδειγμα Τα αποτελέσματα της ΑΝΟVA δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσο Τετράγωνο F0 P-τιμή Μεταβλητότητας Τετραγώνων Ελευθερίας Τύπος ουσίας x10-5 Mέθοδος εφαρμογής x10-6 Αλληλεπίδραση Σφάλμα Ολικό Οι Ρ-τιμές για τους δυο κύριους παράγοντες είναι πολύ μικρές και δείχνουν ότι ο τύπος της συγκολλητικής ουσίας και η μέθοδος εφαρμογής έχουν σημαντική επίδραση στη δύναμη συγκόλλησης. Το ίδιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί απο σύγκριση του F με 5% σημαντικότητα με την άνω κρίσιμη τιμή της F κατανομής. Επειδή > F0.05,2,12 = 3.89 και > F0.05,1,12 = 4.75, η επίδραση και του τύπου ουσίας και της μεθόδου εφαρμογής στη δύναμη συγκόλλησης είναι σημαντική. Στην πράξη, η ΑΝΟVA γίνεται με λογισμικό. Όπως και στην περίπτωση ΑΝΟVA με ένα παράγοντα, τα υπόλοιπα (residuals) παίζουν σπουδαίο ρόλο στην αξιολόγηση της επάρκειας της μεθόδου 18/12/2012 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Με k παράγοντες και 2 επίπεδα τιμών. Το απλούστερο σχέδιο 22 , δηλ., δυο παράγοντες Α και Β, ο καθένας με δυο επίπεδα τιμών, «χαμηλό» και «υψηλό» ή «+» και «-». Το σχέδιο αυτό παριστάνεται από ένα τετράγωνο με 22 = 4 δοκιμές πειράματος/μέτρησης στις γωνίες του τετραγώνου. Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το τετράγωνο και τον πίνακα δοκιμής (test matrix) Κάθε δοκιμή παριστάνεται από ένα μικρό χαρακτήρα (όχι κεφαλαίο), π.χ., a, b Άν ένα γράμμα είναι σε συγκεκριμένη γωνία, ο αντίστοιχος παράγοντας έχει την «υψηλή» του τιμή για τη δοκιμή που παριστάνεται από το γράμμα αυτό. Αν το γράμμα λείπει από τη γωνία, ο παράγοντας έχει «χαμηλή» τιμή για τη συγκεκριμμένη δοκιμή, π.χ., για τη δοκιμή a οι παράγοντας Α και Β είναι στό «υψηλό» και «χαμηλό» επίπεδο, αντίστοιχα Η δοκιμή με τους δυο παράγοντες σε χαμηλό επίπεδο παριστάνεται από το (1) Η σημειολογία αυτή ισχύει για κάθε 2k σχεδιασμό, π.χ.,για το 24 σχέδιο, η δοκιμή με Α και C στο «υψηλό» επίπεδο και Β και D στο «χαμηλό» επίπεδο, παριστάνεται από το αc Οι χαρακτήρες (1), a, b, και ab παριστούν επίσης τα αθροίσματα όλων των n δοκιμών στα συγκεκριμένα σημεία του σχεδίου Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Β Α b a ab (1) 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Για να υπολογίσουμε τήν κύρια επίδραση Α, υπολογίζουμε το μέσο των μετρήσεων στη δεξιά πλευρά του τετραγώνου, όταν το Α είναι σε «υψηλό» επίπεδο, και αφαιρούμε απ αυτό το μέσο των μετρήσεων στην αριστερή πλευρά του τετραγώνου όπου το Α είναι σε «χαμηλό» επίπεδο, δηλ Παρόμοια για τήν κύρια επίδραση Β Για την αλληλεπίδραση ΑΒ, παίρνουμε τη διαφορά των μέσων στις διαγώνιες Οι ποσότητες που περικλείονται στις αγκύλες λέγονται αντιθέσεις (contrasts). Για πάραδειγμα, η αντίθεση του Α είναι: ΑντίθεσηΑ = a + ab – b – (1) Ο πίνακας με «συν» και «πλην» που ακολουθεί, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορισθεί το πρόσημο σε κάθε δοκιμή για συγκεκριμένη αντίθεση. Οι ονομασίες των στηλών στον πίνακα αυτό είναι οι κύριες επιδράσεις Α και Β, η αλληλεπίδραση ΑΒ, και η στήλη ταυτότητας, Ι. Οι ονομασίες των σειρών είναι οι δοκιμές. Να σημειωθεί ότι τα πρόσημα στην ΑΒ στήλη είναι γινόμενα των προσήμων από τις στήλες Α και Β Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Β Α b a ab (1) 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Επίδραση Παραγόντων Για να παραχθεί μια αντίθεση Δοκιμή Ι Α Β ΑΒ από αυτό τον πίνακα, πολλα- 1 (1) πλασιάζονται τα πρόσημα στην 2 a κατάλληλη στήλη του πίνακα με 3 b τις δοκιμές (μικρά γράμματα) 4 ab που απαριθμούνται στις σειρές και προσθέτονται Για τα αθροίσματα τετραγώνων χρησιμοποιούμε την ακόλουθη σχέση SSΚ = (αντίθεσηΚ )2/[n (αριθμός συντελεστών αντίθεσης)] Κ= Α, Β, ΑΒ Γι αυτό Η ΑΝΟVΑ ολοκληρώνεται με τον υπολογισμό του ολικού αθροίσματος τετραγώνων SST με 4n – 1 βαθμούς ελευθερίας ως συνήθως, και με τον υπολογισμό τού αθροίσματος των τετραγώνων του σφάλματος με 4(n –1) βαθμούς ελευθερίας, με αφαίρεση Παράδειγμα Ο δρομολογητής (router) χρησιμοποιείται για να κάνουμε εγκοπές εγγραφής σε τυπωμένους πίνακες κυκλωμάτων. Η μέση διάσταση της εγκοπής είναι ικανοποιητική και η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο (τα x̅ και R διαγράμματα ελέγχου), αλλά υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στην διεργασία, που (η μεταβλητότητα) δημιουργεί προβλήματα στη συναρμολόγηση πινάκων 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Τα διάφορα κομμάτια εισάγονται στον πίνακα με αυτόματο μηχανισμό, και η μεταβλητότητα στο μεγέθος της εγκοπής προκαλεί εσφαλμένη εγγραφή στον πίνακα. Σαν αποτέλεσμα, ο αυτόματος μηχανισμός εισαγωγής δεν λειτουργεί σωστά Σχεδιάζεται ένα 22 πείραμα για να μελετηθεί η διεργασία, με δυο παράγοντες, μέγεθος τρυπανιού (Α), και ταχύτητα (Β). Δυο επίπεδα τιμών επιλέγονται για κάθε παράγοντα, μέγεθος τρυπανιού (Α) 1”/16 και 1”/8, και ταχύτητα (Β) 40 και 80 rpm. To μέγεθος της εγκοπής είναι δύσκολο να μετρηθεί. Αντί γι αυτό, οι πίνακες υπόκεινται σε τρισδιάστατη δόνηση (Χ, Υ, Ζ) που μετράται με επιταχυνσιόμετρα (accelerometers). Το τρισδιάστατο διάνυσμα της δόνησης ορίζεται ως απόκριση (response). Επειδή η δόνηση στην επιφάνεια του πίνακα, όταν κοπεί, συνδέεται άμεσα με τη μεταβλητότητα στο μέγεθος της εγκοπής, μείωση του επιπέδου δόνησης σχετίζεται με μείωση της μεταβλητότητας στις διαστάσεις εγκοπής. Τέσσερεις πίνακες εξετάστηκαν σε κάθε μια από τις τέσσερεις δοκιμές και τα αποτελέσματα δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Παράγοντες Δοκιμή Α Β Δόνηση Άθροισμα (1) a b ab 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Κατά προσέγγιση υπολογισμός των επιδράσεων των διαφόρων παραγόντων δίνει τα ακόλουθα: Όλες οι προσεγγίσεις των επιδράσεων φαίνεται να είναι μεγάλου μεγέθους. Για παράδειγμα, όταν αλλάζει ο παράγοντας Α από το χαμηλό στο υψηλό επίπεδο (μέγεθος τρυπανιού από 1”/16 σε 1”/8), το μέσο επίπεδο δόνησης αυξάνεται κατά cps To μέγεθος αυτών των επιδράσεων μπορεί να επιβεβαιωθεί με ΑΝΟVΑ και τα αποτελέσματα δίνονται στον πινακα που ακολουθεί 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα ΑN(alysis) O(f) VA(riance) Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μεταβλητότητας Τετραγώνων Ελευθερίας Μεσο Τετράγωνο F0 Ρ-τιμή Μέγεθος τρυπανιού(A) x10-8 Ταχύτητα (Β) x10-5 ΑΒ x10-5 Σφάλμα Ολικό Η ΑNOVA επιβεβαιώνει τα συμπεράσματά μας που αποκτήθηκαν με την εξέταση του μεγέθους και τη διεύθυνση των επιδράσεων των παραγόντων. Το μέγεθος του τρυπανιού και η ταχύτητα είναι σημαντικά, και υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δυο μεταβλητών 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Μοντέλο Παλινδρόμησης Είναι εύκολο να ανακτήσει κανείς τα υπόλοιπα από ένα 2k σχεδιασμό με προσαρμογή μοντέλου παλινδρόμησης στα δεδομένα. Για το παράδειγμα του δρομολογητή, το μοντέλο παλινδρόμησης είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + ε όπου οι παράγοντες Α και Β αντιπροσωπεύονται από τις μεταβλητές x1 και x2 , και η αλληλεπίδραση ΑΒ αντιπροσωπεύεται από τον όρο x1x2 Στην παραπάνω εξίσωση, οι μεταβλητές x1 και x2 παίρνουν είτε τις φυσικές του τιμές είτε κωδικοποιημένες. Αν οι φυσικές τιμές παριστάνονται με Χ (κεφαλαίο) και οι κωδικοποιημένες με x (μικρό), ο μετασχηματισμός από τη μία κατηγορία στην άλλη γίνεται με βάση τη σχέση x = [Χ – (Χ+ + Χ-)/2] / [ (Χ+ - Χ-)/2] όπου Χ+ και Χ- είναι οι επιλεγμένες υψηλή και χαμηλή φυσικές τιμές (με μονάδες για το φυσικό μέγεθος), αντίστοιχα, και οι επιλεγμένες υψηλή και χαμηλή κωδικοποιημένες τιμές είναι x+ = & x- = -1 Για το Σχεδιασμό Πειραμάτων (DOE), προτιμάται η χρήση κωδικοποιημένων τιμών για τους παράγοντες γιατί το μοντέλο που προκύπτει είναι ακριβές. Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους : (α) οι παράγοντες σε κωδικοποιημένες τιμές είναι ορθογώνιοι, και (β) οι επιδράσεις των διαφόρων παραγόντων (συντελεστές του μοντέλου) είναι συγκρίσιμες 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Στα σχεδιασμένα πειράματα, για τον προσδιορισμό της εξίσωσης παλινδρόμησης, οι παράγοντες, xi , μπορεί να χρησιμοποιηθούν με τις τιμές των επιπέδων x- και x+ ή με τις κωδικοποιημένες (codified) τιμές -1, +1 Παράδειγμα Το χαμηλό και υψηλό επίπεδο κάθε παράγοντα ορίζονται από τις τιμές xj = - 1 και xj =1, αντίστοιχα. Οι συντελεστές β0 , β1 , β2 και β12 ονομάζονται συντελεστές παλινδρόμησης (regression coefficients), και ε είναι ο όρος του τυχαίου σφάλματος, ίδιος με τόν όρο σφάλματος στο μοντέλο της ΑΝΟVA Το προσαρμοσμένο στα δεδομένα μοντέλο (παλινδρόμησης) είναι όπου η προσεγγιστική τιμή (ˆ) της διατέμνουσας, βο , είναι υπέρτατος μέσος όλων των 16 μετρήσεων, y̅ , και οι προσεγγιστικές τιμές των άλλων συντελεστών, βi , είναι το ήμισυ της προσεγγιστικής τιμής του συγκεκριμένου παράγοντα (γιατί οι συντελεστές του μοντέλου μετρούν την επίδραση της μονάδας αλλαγής στο xj και ο υπολογισμός της επίδρασης βασίζεται σε αλλαγή, από το -1 στο +1 ). Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιείται για να υπολογισθεί το επίπεδο δόνησης σε όλα τα σημεία της περιοχής που πειραματιζόμαστε, περιλαμβανόμενων και των τεσσάρων σημείων του σχεδίου πειραμάτων. Στο σημείο με μικρό μέγεθος τρυπανιού (x1 = -1) και χαμηλή ταχύτητα (x2 = -1) το προβλεπόμενο επίπεδο δόνησης είναι 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Τα τέσσερα υπόλοιπα που αντιστοιχούν στις μετρήσεις σε αυτό το σημείο (x1 = -1, x2 = -1) είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής και προβλεπόμενης τιμής ως εξής: e1 = 18.2 – 16.1 = 2.1 e3 = 12.9 – 16.1 = -3.2 e2 = 18.9 – 16.1 = e4 = 14.4 – 16.1 = -1.7 Ta υπόλοιπα στις τρείς άλλες δοκιμές υπολογίζονται παρόμοια Οι παρακάτω εικόνες δείχνουν το διάγραμμα πιθανότητας για κανονική κατανομή και το διάγραμμα υπολοίπων σαν συνάρτηση του προβλεπόμενου επιπέδου δόνησης, αντίστοιχα 1 . 16 ) )( ( 2 71 8 54 7 64 83 23 ˆ = - ÷ ø ö ç è æ + y 18/12/2012 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Επειδή και οι δύο παράγοντες, Α (μέγεθος τρυπανιού) και Β (ταχύτητα), έχουν μεγάλες θετικές επιδράσεις, μπορεί κανείς να μειώσει το επίπεδο δόνησης με δοκιμή όπου και οι δυο παράγοντες είναι σε χαμηλό επίπεδο. Όταν όμως το μέγεθος του τρυπανιού και η ταχύτητα είναι σε χαμηλό επίπεδο, ο ρυθμός παραγωγής είναι απαράδεκτα χαμηλός. Η αλληλεπίδραση ΑΒ δίνει τη λύση σε αυτό το δίλημμα. Η προηγούμενη εικόνα δείχνει το διάγραμμα της ΑΒ αλληλεπίδρασης Η μεγάλη θετική επίδραση της ταχύτητας παρουσιάζεται συνήθως όταν το μέγεθος του τρυπανιού είναι σε υψηλό είπεδο Άν χρησιμοποιηθεί μικρό τρυπάνι, τότε είτε υψηλή είτε χαμηλή ταχύτητα οδηγεί σε χαμηλότερα επίπεδα δόνησης Με υψηλή ταχύτητα και μικρό τρυπάνι, ο ρυθμός παραγωγής είναι ικανοποιητικός Για την ανάλυση παραγοντικών πειραμάτων , ακολουθείται η εξής μεθοδολογία: Υπολογισμός επιδράσεων παραγόντων Δημιουργία προκαταρκτικού μοντέλου Εξέταση για σημαντικότητα επιδράσεων παραγόντων Ανάλυση υπολοίπων Τελειοποήση του μοντέλου, αν χρειαστεί Ερμηνεία αποτελεσμάτων 18/12/2012 ΔΧ

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια