Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους φυσικούς αριθμούς. Αν ➢ 1. ➢

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους φυσικούς αριθμούς. Αν ➢ 1. ➢"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους φυσικούς αριθμούς. Αν ➢ 1. ➢ Ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον ακέραιο 1 δηλαδή ο Ρ(1) είναι αληθής. ➢ 2. ➢ Η αλήθεια του Ρ(ν) συνεπάγεται την αλήθεια του Ρ(ν+1) για κάθε ν, ● Τότε ● ο ισχυρισμός αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν.

2 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction ➢ Το πρώτο βήμα της παραπάνω μεθόδου καλείται και βάση της επαγωγής. Η βάση μπορεί να ξεκινήσει σε κάποιες περιπτώσεις και με κάποιον άλλον φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδας. ➢ Το δεύτερο βήμα της μεθόδου καλείται και βήμα της επαγωγής. (υπάρχουν παραλλαγές της μεθόδου όπου μπορεί το βήμα της επαγωγής να είναι διαφορετικό)

3 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Γιατί είναι σωστή η μέθοδος; Από τη λογική γνωρίζουμε ότι (κανόνας απόσπασης – modus ponens) αν οι προτάσεις Α και Α=>Β είναι αληθείς, τότε επίσης αληθής θα είναι και η πρόταση Β. ● Η επαγωγή τώρα περιγράφεται με τα εξής βήματα: ● Ρ(1) αληθής ● και για κάθε φυσικό ν, Ρ(ν)=>Ρ(ν+1) αληθής, Τότε Ρ(ν) αληθής για κάθε φυσικό αριθμό ν.

4 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Γιατί είναι σωστή η μέθοδος; ● Αφού Ρ(1) αληθής και επίσης Ρ(1)=>Ρ(2) αληθής, από τον modus ponens θα έχουμε ότι και Ρ(2) αληθής. ● Αφού Ρ(2) αληθής και Ρ(2)=>Ρ(3) αληθής από τον modus ponens θα είναι και Ρ(3) αληθής. ● Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι η αρχική δήλωση Ρ(ν) θα είναι αληθής για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ν>1.

5 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction

6 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 1 Μαθηματική Επαγωγή Να αποδειχτεί ότι 2 ν >ν για κάθε φυσικό αριθμό ν>0.(Ρ(ν) είναι η ανίσωση 2 ν >ν) απόδειξη ● (η βάση της επαγωγής) για ν=1, 2 1 =2>1 δηλαδή η πρόταση Ρ(1) είναι αληθής. ● (το βήμα της επαγωγής) Έστω ότι η πρόταση Ρ(ν) αληθεύει για τον αριθμό ν, δηλ. 2 ν >ν. Παρατηρούμε ότι 2 ν+1 =2 2 ν >2ν=ν+ν>ν+1. Δηλαδή 2 ν+1 >ν+1, οπότε θα αληθεύει και η πρόταση Ρ(ν+1). ➢ Σύμφωνα με την αρχή της επαγωγής η 2 ν >ν θα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό ν.

7 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 2 Μαθηματική Επαγωγή Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό ν>0 ισχύει (2ν-1)=ν 2 ● (βάση) Για ν=1 έχουμε 1=1 2 που είναι αληθής. ● (επαγωγικό βήμα) Έστω ότι η παραπάνω ισότητα είναι αληθής για τον φυσικό αριθμό ν. ● Δηλαδή (2ν-1)=ν 2. Προσθέτοντας και στα δυο μέλη της ισότητας αυτής τον επόμενο περιττό 2ν+1 θα έχουμε:

8 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 2 Μαθηματική Επαγωγή ● (2ν-1)+(2ν+1)=ν 2 +2ν+1=(ν+1) 2 δηλαδή η ισότητα ισχύει και για τον φυσικό ν+1. ● Επομένως σύμφωνα με την αρχή της επαγωγής η ισότητα θα ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν>0.

9 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή

10 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή

11 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Παράδειγμα 3 Μαθηματική Επαγωγή

12 Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction


Κατέβασμα ppt "Κασαπίδης Γεώργιος - Μαθηματικός Μαθηματική Επαγωγή Mathematical induction Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους φυσικούς αριθμούς. Αν ➢ 1. ➢"

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google