Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας
Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Χειμερινό Εξάμηνο 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 1

Ανάλυση - Σχεδιασμός Πειραμάτων
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Ανάλυση - Σχεδιασμός Πειραμάτων y = y(x1, x2, …) – y: απόκριση (response), xi , i=1, 2, …: παράγοντες (factors) Παραδοσιακός σχεδιασμός: ομάδες πειραμάτων (αριθμ. ομάδων > αριθμός παραγόντων) στα οποία ένας μόνο παράγοντας, ο ίδιος για κάθε ομάδα, μεταβάλλεται DOE: όλοι οι παράγοντες μεταβάλλονται συγχρόνως σε κάθε πείραμα. Μόνο το DOE δίνει όρους αλληλεπίδρασης, xi xj , i ≠ j. Παράδειγμα: y = y(x1 , x2) = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2 8/1/13 ΔΧ

Μόνο το DOE και όχι ο παραδοσιακός σχεδιασμός οδηγεί στη σωστή βελτιστοποίηση
Το DOE επιλογής (screening DOE) είναι DOE δύο επιπέδων: ο κάθε παράγοντας, xi , i=1, 2, …, παίρνει 2 τιμές, μια χαμηλή, Xi- ή xi- = -1, και μια υψηλή, Xi+ ή xi+= +1. Xi-, Xi+ : φυσικές ή μη κωδικοποιημένες τιμές, xi-, xi+: κωδικοποιημένες τιμές Αν οι φυσικές τιμές παριστάνονται με Χ (κεφαλαίο) και οι κωδικοποιημένες με x (μικρό), ο μετασχηματισμός από τη μία κατηγορία στην άλλη γίνεται με βάση τη σχέση x = [Χ – (Χ+ + Χ-)/2] / [ (Χ+ - Χ-)/2] Για το Σχεδιασμό Πειραμάτων (DOE), προτιμάται η χρήση κωδικοποιημένων τιμών για τους παράγοντες γιατί το μοντέλο που προκύπτει είναι ακριβές. Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους : (α) οι παράγοντες σε κωδικοποιημένες τιμές είναι ορθογώνιοι, και (β) οι επιδράσεις των διαφόρων παραγόντων (συντελεστές του μοντέλου) είναι συγκρίσιμες 8/1/13 ΔΧ

Μοντέλο Παλινδρόμησης
Είναι εύκολο να ανακτήσει κανείς τα υπόλοιπα από ένα 2k σχεδιασμό με προσαρμογή μοντέλου παλινδρόμησης στα δεδομένα. To μοντέλο παλινδρόμησης είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + ε όπου οι παράγοντες Α και Β αντιπροσωπεύονται από τις μεταβλητές x1 και x2 , και η αλληλεπίδραση ΑΒ αντιπροσωπεύεται από τον όρο x1x2 Για τους συντελεστές ισχύει β0 = μέσος όλων των μετρήσεων βi , i=1,2 = (Επίδραση του όρου xi)/2 β12 = (Αλληλεπίδραση του όρου x1x2)/2 8/1/13 ΔΧ

παράγοντες και 2 επίπεδα τιμών
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο, Με k παράγοντες και 2 επίπεδα τιμών Με δυο παράγοντες, Α και Β, τον καθένα σε δυο επίπεδα τιμών, «χαμηλό» και «υψηλό» ή «+» και «-», το σχέδιο αυτό παριστάνεται από ένα τετράγωνο με 22 = 4 δοκιμές (trials) πειράματος/μέτρησης στις γωνίες του τετραγώνου. Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το τετράγωνο και τον πίνακα δοκιμής (test matrix) Κάθε δοκιμή παριστάνεται από ένα μικρό χαρακτήρα (όχι κεφαλαίο), π.χ., a, b Άν ένα γράμμα είναι σε συγκεκριμένη γωνία, ο αντίστοιχος παράγοντας έχει την «υψηλή» του τιμή για τη δοκιμή που παριστάνεται από το γράμμα αυτό. Αν το γράμμα λείπει από τη γωνία, ο παράγοντας έχει «χαμηλή» τιμή για τη συγκεκριμμένη δοκιμή, π.χ., για τη δοκιμή a οι παράγοντες Α και Β είναι στό «υψηλό» και «χαμηλό» επίπεδο, αντίστοιχα Η δοκιμή με τους δυο παράγοντες σε χαμηλό επίπεδο παριστάνεται από το (1) Η σημειολογία αυτή ισχύει για κάθε 2k σχεδιασμό, π.χ.,για το 24 σχέδιο, η δοκιμή με Α και C στο «υψηλό» επίπεδο και Β και D στο «χαμηλό» επίπεδο, παριστάνεται από το αc Οι χαρακτήρες (1), a, b, και ab παριστούν επίσης τα αθροίσματα όλων των n δοκιμών στα συγκεκριμένα σημεία του σχεδίου Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Β Α b a ab (1) 8/1/13 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Για να υπολογίσουμε τήν κύρια επίδραση Α, υπολογίζουμε το μέσο των μετρήσεων στη δεξιά πλευρά του τετραγώνου, όταν το Α είναι σε «υψηλό» επίπεδο, και αφαιρούμε απ αυτό το μέσο των μετρήσεων στην αριστερή πλευρά του τετραγώνου όπου το Α είναι σε «χαμηλό» επίπεδο, δηλ Παρόμοια για τήν κύρια επίδραση Β Για την αλληλεπίδραση ΑΒ, παίρνουμε τη διαφορά των μέσων στις διαγώνιες n = αριθμός δοκιμών πειράματος/μέτρησης Οι ποσότητες που περικλείονται στις αγκύλες λέγονται αντιθέσεις (contrasts). Για πάραδειγμα, η αντίθεση του Α είναι: ΑντίθεσηΑ = a + ab – b – (1) Ο πίνακας με «συν» και «πλην» που ακολουθεί, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορισθεί το πρόσημο σε κάθε δοκιμή για συγκεκριμένη αντίθεση. Οι ονομασίες των στηλών στον πίνακα αυτό είναι οι κύριες επιδράσεις Α και Β, η αλληλεπίδραση ΑΒ, και η στήλη ταυτότητας, Ι. Οι ονομασίες των σειρών είναι οι δοκιμές. Να σημειωθεί ότι τα πρόσημα στην ΑΒ στήλη είναι γινόμενα των προσήμων από τις στήλες Α και Β Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Β Α b a ab (1) 8/1/13 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Επίδραση Παραγόντων Για να παραχθεί μια αντίθεση Δοκιμή Ι Α Β ΑΒ από αυτό τον πίνακα, πολλα- 1 (1) πλασιάζονται τα πρόσημα στην 2 a κατάλληλη στήλη του πίνακα με 3 b τις δοκιμές (μικρά γράμματα) 4 ab που απαριθμούνται στις σειρές και προσθέτονται 8/1/13 ΔΧ

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Το παραγοντικό σχέδιο με k = 2 παράγοντες και κάθε παράγοντα για 2 επίπεδα τιμών μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερους απο 2 παράγοντες. Για παράδειγμα, όταν k = 3, το σχέδιο για το πείραμα περιλαμβάνει 8 δοκιμές (του πειράματος) που σχηματίζουν τις γωνίες κύβου. Η επόμενη εικόνα, εκτός από τον κύβο, δείχνει και τον πίνακα δοκιμών (test matrix). 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 8

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Υπενθυμίζεται ότι τα μικρά γράμματα (1), α, b, αb, c, αc, bc και αbc παριστάνουν το άθροισμα των n μετρήσεων για καθεμιά από τις 8 δοκιμές του πειράματος. Από τον κύβο, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη μέση επίδραση του Α, με υπολογισμό του μέσου των 4 δοκιμών (του πειράματος) στη δεξιά και 4 δοκιμών στην αριστερή πλευρά του κύβου, όπου το Α είναι σε υψηλό και χαμηλό επίπεδο, αντίστοιχα, και αφαίρεση των 2 μέσων Το ίδιο γίνεται και με τόν άλλο παράγοντα Β που είναι η μέση διαφορά των 4 δοκιμών στην πίσω και 4 δοκιμών στη μπροστινή όψη του κύβου καθώς καί τον παράγοντα C που είναι η μέση διαφορά μεταξύ των 4 δοκιμών στην πάνω και 4 δοκιμών στην κάτω όψη του κύβου Η πρώτη σειρά της εικόνας που ακολουθεί δείχνει τις κύριες επιδράσεις των τριών παραγόντων 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 9

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 10

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Όταν το C είναι σε χαμηλό επίπεδο, η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι απλά η μέση διαφορά της επίδρασης Α στα δυο επίπεδα τιμών του Β, Όταν το C είναι σε υψηλό επίπεδο, η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι Η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι απλά η διαφορά των μέσων στα δυο διαγώνια επίπεδα του κύβου ( αριστερός κύβος στη μεσαία σειρά της εικόνας) Με παρόμοιο τρόπο, βλέπουμε από τη μεσαία σειρά της εικόνας ότι 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 11

«πλην» με το χαμηλό. Τα πρόσημα για τις υπόλοιπες στήλες ανακτώνται με
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Η αλληλεπίδραση ΑΒC είναι η μέση διαφορά μεταξύ της ΑΒ αλληλεπίδρασης στα δυο επίπεδα τιμών του C Oι ποσότητες στίς αγγύλες των διαφόρων εξισώσεων είναι οι αντιθέσεις στους 8 συνδυασμούς παράγοντα και επιπέδου τιμών. Τα πρόσημα για τις κύριες επιδράσεις, στήλες Α, Β, και C, ανακτώνται αν το «συν» συνδεθεί με το υψηλό επίπεδο και το «πλην» με το χαμηλό. Τα πρόσημα για τις υπόλοιπες στήλες ανακτώνται με πολλαπλασιασμό των προσήμων των κατάλληλων στηλών που προηγούνται, ανά σειρά Συνδυασμός Παραγοντικές Επιδράσεις Επεξεργασίας Ι Α Β ΑΒ C ΑC ΒC ΑΒC (1) a b ab c ac bc abc 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 12

O παραπάνω πίνακας έχει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες:
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 O παραπάνω πίνακας έχει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Eκτός από τη στήλη ταυτότητας Ι, κάθε στήλη έχει ίδιο αριθμό «συν» και «πλην», Το άθροισμα των γινομένων των προσήμων σε οποιεσδήποτε δυό στήλες είναι μηδέν, δηλ., οι στήλες είναι ορθογώνιες, Πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε στήλης με τη στήλη Ι αφήνει την πολλαπλασιαζόμενη στήλη αμετάβλητη, δηλ., Ι είναι στοιχείο ταυτότητας, Το γινόμενο δυο οποιονδήποτε στηλών παράγει μια στήλη του πίνακα, π.χ., Α x B = AB, και ΑΒ x ΑΒC = A2B2C = C, γιατί κάθε στήλη που πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της είναι στήλη ταυτότητας ( Ι ) Ο υπολογισμός οποιασδήποτε κύριας επίδρασης ή αλληλεπίδρασης γίνεται με πολλαπλασιασμό των συνδυασμών παράγοντα και επιπέδου στην πρώτη στήλη του πίνακα με τα πρόσημα στην αντίστοιχη στήλη κύριας επίδρασης ή αλληλεπίδρασης, άθροιση των αποτελεσμάτων για να δημιουργηθεί η αντίθεση, και διαίρεση της αντίθεσης με το μισό του ολικού αριθμού δοκιμών του πειράματος. Με αυτό τον τρόπο Επίδραση = Αντίθεση / (n2k-1) SS = (Αντίθεση)2/(n2k) 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 13

Επανάληψη Α Β C Eπιφανειακή Επίστρωση Άθροισμα 1 (1) -1 -1 -1 9, 7 16
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Γίνεται ένα πείραμα για να μελετηθεί η επιφανειακή επίστρωση ενός μεταλλικού αντικειμένου. Το πείραμα είναι 23 παραγοντικός σχεδιασμός με παράγοντες Το ρυθμό τροφοδοσίας (Α), το βάθος περικοπής (Β), και τη γωνία (κλίση) του εργαλείου (C), με n = 2 μετρήσεις. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τα δεδομένα της επιφανειακής επίστρωσης για το πείραμα, και το σχέδιο φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί Παράγοντες σχεδίου Επανάληψη Α Β C Eπιφανειακή Επίστρωση Άθροισμα 1 (1) , 2 a , 3 b , 4 ab , 5 c , 6 ac , 7 bc , 8 abc , 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 14

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 15

Παράδειγμα Η κύρια επίδραση και το άθροισμα τετραγώνων του Α είναι
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Η κύρια επίδραση και το άθροισμα τετραγώνων του Α είναι Οι άλλες επιδράσεις και αθροίσματα τετραγώνων είναι: Β = SSB = C = SSC = AB = SSAB = AC = SSAC = BC = SSBC = ABC = SSABC = Aπό την εξέταση του μεγέθους των επιδράσεων, ο ρυθμός τροφοδοσίας (Α) είναι καθαρά η πιο σημαντική, ακολουθούμενη από το βάθος περικοπής (Β) και την ΑΒ αλληλεπίδραση, αν και η αλληλεπίδραση είναι σχετικά μικρή. Η ανάλυση μεταβλητότητας για το πλήρες παραγοντικό μοντέλο δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Με βάση τις Ρ-τιμές, είναι προφανές ότι ο ρυθμός τροφοδοσίας (Α) είναι πολύ σημαντικός. 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 16

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Η ΑΝΟVΑ που παρουσιάζεται στον παραπάνω πίνακα δίνει F-λόγους που υπολογίζονται από σημαντικούς όρους του μοντέλου, κύριες επιδράσεις, αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων, και αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων. Το ίδιο σχέδιο αναλύεται από το λογισμικό ΜΙΝΙΤΑΒ και τα αποτελέσματα δίνονται στην επόμενη διαφάνεια. Αν και οι δυο πίνακες, ο ένας από την ΑΝΟVΑ κι ο άλλος από το λογισμικό ΜΙΝΙΤΑΒ φαίνονται να είναι κάπως διαφορετικοί, δίνουν τις ίδιες πληροφορίες. Το μέσο τετράγωνο για κάθε ομάδα όρων ανακτάται με συνδυασμό των αθροισμάτων των τετραγώνων για κάθε μεταβλητή στο μοντέλο και διαίρεση με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας που συνδέονται με αυτή την ομάδα όρων του μοντέλου. ΄Ενα t-τέστ χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η σημαντικότητα κάθε όρου στο μοντέλο, ξεχωριστά. Υπολογισμός των συντελεστών στο μοντέλο παλινδρόμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει την επιφανειακή επίστρωση σαν συνάρτηση των μεταβλητών στο πλήρες παραγοντικό μοντέλο 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 17

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 18

Η t-τιμή υπολογίζεται από τη σχέση t0 = β̂ / s.e. (β̂ )
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Η t-τιμή υπολογίζεται από τη σχέση t0 = β̂ / s.e. (β̂ ) όπου β̂ είναι η προσέγιση του συντελεστή και s.e. (β̂ ) το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα του συντελεστή. Για το 2k παραγοντικό σχέδιο, το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα του συντελεστή είναι s.e. (β̂ )= √[σ̂2/(n2k)] Στο παράδειγμα μας s.e. (β̂ )= √2.4375/(2(23)) = Αν οποιαδήποτε προσέγγιση συντελεστή διαιρεθεί με το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα, το αποτέλεσμα είναι η t-τιμή για να εξεταστεί αν ο αντίστοιχος συντελεστής παλινδρόμησης είναι μηδέν. Τα t-τεστ της παλινδρόμησης είναι ισοδύναμα με τα F-τέστ της ΑΝΟVA. Αυτό δείχνουν και οι Ρ τιμές στους δυο πίνακες που είναι σχεδόν ίδιες Επίσης, το τετράγωνο οποιασδήποτε t-τιμής παράγει την τιμή του αντίστοιχου F-λόγου. Γενικά, το τετράγωνο μιας τυχαίας t μεταβλητής με ν βαθμούς ελευθερίας καταλήγει σε μια τυχαία μεταβλητή F με ένα βαθμό ελευθερίας στον αριθμητή και ν βαθμούς ελευθερίας στον παρονομαστή Με βάση τα αποτελέσματα της ΑΝΟVA για το πείραμα της επιφανειακής επίστρωσης, συμπεραίνεται ότι το πλήρες παραγοντικό μοντέλο με όλους τους όρους δεν είναι απαραίτητο. Ένα μοντέλο με λιγότερες μεταβλητές είναι επαρκές. Οι κύριες επιδράσεις Α και Β έχουν και οι δύο μικρές σχετικά Ρ-τιμές (< 0.10) 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 19

συντελεστές παλινδρόμησης είναι ο ολικός μέσος και το ήμισυ των
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι είναι η αμέσως επόμενη σημαντικότερη επίδραση (Ρ-τιμή = 0.12). Το μοντέλο παλινδρόμησης που χρησιμοποιούμε για αυτή τη διεργασία είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12 x1x2 + ε όπου x1 παριστάνει το Α, x2 παριστάνει το Β, και x1 x2 την αλληλεπίδραση ΑΒ. Οι συντελεστές παλινδρόμησης είναι ο ολικός μέσος και το ήμισυ των προσεγγιστικών τιμών των αντιστοίχων επιδράσεων. Κατ’ αυτό τόν τρόπο ŷ = (3.375/2)x1 + (1.625/2)x2+ (1.375/2)x1x2 = x x x1x2 Οι τιμές των μπορούν να βρεθούν απευθείας από τον πίνακα με τα αποτελέσματα του ΜΙΝΙΤΑΒ. Το μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για υπολογισμό της επίστρωσης της επιφάνειας σε κάθε σημείο του σχεδίου, π.χ., για x1 = x2 = -1, η υπολογισθείσα τιμή είναι ŷ = (-1) (-1) (-1) (-1) = 9.25 Τα υπόλοιπα μπορεί να ανακτηθούν σαν διαφορές μεταξύ μετρηθέντων και υπολογισθέντων τιμών της επίστρωσης επιφανείας σε κάποιο σημείο του σχεδίου. Στο σημείο όπου και οι τρείς παράγοντες, Α, Β, και C είναι σε χαμηλό επίπεδο,οι τιμές της επιφανειακής επίστρωσης είναι 9 και 7, και τα υπόλοιπα 9 – 9.25 = και 7 – 9.25 = Ένα διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για τα υπόλοιπα δίνεται στην διαφάνεια που ακολουθεί. Επειδή τα υπόλοιπα, κατά προσέγγιση, είναι πάνω σε μια ευθεία γραμμή, θεωρείται ότι υπάρχει κανονικότητα στα δεδομένα. Δεν υπάρχουν ενδείξεις για τιμές που δεν ανήκουν στην ίδια ομάδα (outliers) 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 20

Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Παράδειγμα Είναι χρήσιμο να παρασταθούν τα υπόλοιπα σαν συνάρτηση των προβλεπόμενων τιμών ή των παραγόντων Α, Β και C. Αυτά τα διαγράμματα δεν δείχνουν πιθανά προβλήματα Eπειδή οι κύριες επιδράσεις Α και Β είναι θετικές, και επειδή μικρές τιμές της απόκρισης (επιφανειακή επίστρωση) είναι προτιμητέες, οι τιμές των Α (ρυθμός τροφοδοσίας) και Β (βάθος εγκοπής) πρέπει να καθοριστούν σε χαμηλό επίπεδο. Επειδή όμως το μοντέλο έχει μια αλληλεπίδραση, πρέπει η αλληλεπίδραση να ληφθεί υπ όψιν όταν συνάγονται συμπεράσματα. Ο κύβος στο παράπανω διάγραμμα δείχνει ότι η επιφανειακή επίστρωση παίρνει τις χαμηλότερες τιμές όταν Α και Β είναι στο χαμηλό τους επίπεδο 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 21

(regression model). Γενικά, το μοντέλο παλινδρόμησης έχει τη μορφή
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Στο παράδειγμα της επιφανειακής επίστρωσης χρησιμοποιήθηκε μοντέλο παλινδρόμησης (regression model). Γενικά, το μοντέλο παλινδρόμησης έχει τη μορφή y = β0 + β1x1 + β2x βkxk + ε όπου y είναι η μεταβλητή απόκρισης, {x1 , x2 ,...., xk} είναι το σύνολο των μεταβλητών παλινδρόμησης ή πρόβλεψης (regressor or predictor variables), β0 , β1 ,...,βk είναι οι συντελεστές παλινδρόμησης, και ε το σφάλμα που έχει κανονική κατανομή με μέσο 0 και διασπορά σ2 Στο παράδειγμα με k = 2, συμπεριλήφθηκε και ο όρος της αλληλεπίδρασης y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1 x2 + ε Στη γενική περίπτωση οι συντελεστές παλινδρόμησης υπολογίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, δηλ., τη μέθοδο στην οποία οι συντελεστές παλινδρόμησης επιλέγονται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων των λαθών ε. Στην ειδική περίπτωση του 2k σχεδίου, είναι πολύ εύκολο να βρή κανείς τους συντελεστές βk , γιατί απλά ο κάθε συντελεστής είναι το ήμισυ της προσεγγιστικής τιμής της επίδρασης του αντίστοιχου παράγοντα. Αυτό προϋποθέτει ότι οι παράγοντες x παίρνουν κωδικοποιημένες τιμές -1 και +1 Το διάγραμμα του κύβου με τις προβλεφθείσες τιμές της απόκρισης χρησιμοποιείται για να βρεθούν οι κατάλληλες ρυθμίσεις για το ρυθμό τροφοδοσίας και το βάθος της εγκοπης στο παράδειγμα επιφανειακής επίστρωσης. Το μοντέλο παλινδρόμησης που περιγράφει την επίστρωση, αν ο όρος αλληλεπίδρασης παραλειφθεί, είναι ŷ = x x2 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 22

πειραμάτων είναι ορθογώνιες, όπως είναι στο 2k σχέδιο
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Η αλληλεπίδραση μπορεί να παραλειφθεί μόνον αν οι μεταβλητές στο σχεδιασμό πειραμάτων είναι ορθογώνιες, όπως είναι στο 2k σχέδιο Τα διαγράμματα στο πάνω μέρος της εικόνας που ακολουθεί δείχνουν την προβλεφθείσα τιμή της επίστρωσης σαν συνάρτηση των δυο μεταβλητών, x1 (ρυθμός τροφοδοσίας) και x2 (βάθος εγκοπής). Τα άνω διαγράμματα είναι τρισδιάστατα και δείχνουν τα επίπεδα τιμών της απόκρισης που προβλέπονται από το μοντέλο παλινδρόμησης. Αυτά τα διαγράμματα ονομάζονται διαγράμματα επιφάνειας απόκρισης (response surface plots) 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 23

(curvature) στην προβολή της επιφάνειας απόκρισης
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για να κατασκευαστεί το δεξιό διάγραμμα ονομάζεται μοντέλο επιφάνειας απόκρισης πρώτου βαθμού (first-order response surface model). Tα κάτω διαγράμματα είναι διδιάστατα διαγράμματα ισοϋψών καμπύλων (contour plot) που δημιουργήθηκαν όταν η τριδιάστατη επιφάνεια απόκρισης από τα αντίστοιχα ‘ανω διαγράμματα προβάλλεται στο x1 - x2 επίπεδο και σημεία με την ίδια τιμή επίστρωσης (απόκρισης) ενώνονται. Στο κάτω αριστερό διάγραμμα, οι γραμμές με την ίδια τιμή απόκρισης (ισοϋψεις καμπύλες ή contours) είναι ευθείες γιατί η επιφάνεια απόκρισης είναι πρώτου βαθμού, δηλ., περιέχει μόνο τις κύριες επιδράσεις x1 και x2 Το μοντέλο ŷ = x x x1x2 είναι η αρχή της δημιουργίας της τρισδιάστατης επιφάνειας απόκρισης που απεικονίζεται στο άνω δεξιό διάγραμμα της ίδιας εικόνας. Το κάτω δεξιό διάγραμμα είναι η προβολή της τρισδιάστατης επιφάνειας απόκρισης στο επίπεδο x1 - x2 . Ας σημειωθεί ότι η προσθήκη του όρου αλληλεπίδρασης έχει σαν αποτέλεσμα την εισαγωγή καμπυλότητας (curvature) στην προβολή της επιφάνειας απόκρισης Η μελέτη της επιφάνειας απόκρισης κάνει την ερμηνεία των αποτελεσμάτων του πειράματος πολύ εύκολη. Μοντέλα επιφάνειας απόκρισης έχουν πολλές χρήσεις στη βελτίωση και αριστοποίηση διεργασιών Αν κανείς θέλει να ελαχιστοποιήσει την απόκριση, από την επιφάνεια απόκρισης φαίνεται ότι χρειάζεται να ρυθμίσει τις τιμές των x1 και x2 να ειναι στο ή κοντά στο χαμηλό τους επίπεδο 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 24

παράγοντες απαλειφθούν, κι αυτό προσθέτει στην κατανόηση των υπολοίπων
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Αν κανείς θέλει να έχει συγκεκριμένη τιμή για την επίστρωση (απόκριση), ας υποτεθεί επίστρωση 10.25, μελέτη της επιφάνειας απόκρισης δείχνει ότι μπορεί να διαλέξει από πολλούς συνδυασμούς των συνθηκών λειτουργίας x1 και x2 για να έχει η διεργασία σαν αποτέλεσμα απόκριση στην καμπύλη (contour) ŷ = O πειραματιστής μπορεί να διαλέξει συνθήκες λειτουργίας που δίνουν την επιθυμητή απόκριση και συγχρόνως να κάνει το ρυθμό τροφοδοσίας x1 όσο γίνεται μεγάλος για να μεγιστοποιήσει το ρυθμό παραγωγής Οποιοδήποτε 2k σχέδιο καταλήγει ή έχει προβολή σε ένα άλλο παραγοντικό σχέδιο με δυο επιπέδα τιμών και λιγότερες μεταβλητές αν ένας ή περισσότεροι από τους αρχικούς παράγοντες απαλειφθούν, κι αυτό προσθέτει στην κατανόηση των υπολοίπων παραγόντων. Στο παράδειγμα της επίστρωσης αν απαλειφθεί ο παράγοντας C (γωνία ή κλίση του εργαλείου), ο κύβος εκφυλίζεται σε τετράγωνο στο επίπεδο Α-Β. ΄Ομως, για καθεμιά από τις τέσσερεις επαναλήψεις του πειράματος (δοκιμές) γίνονται τέσσερεις μετρήσεις Γενικά, αν κανείς απαλείψει h από τους k παράγοντες, το αρχικό 2k σχέδιο με n μετρήσεις ανά δοκιμή (επανάληψη πειράματος με διαφορετικές συνθήκες) έχει προβολή σε 2r σχέδιο (r = k – h) με 2h μετρήσεις Η ΑΝΟVA είναι μια μέθοδος που προσδιορίζει ποιές επιδράσεις είναι αμελητέες Υπάρχουν δυο ακόμη μέθοδοι που κάνουν τό ίδιο Στην πρώτη, υπολογίζονται τα τυπικά σφάλματα των επιδράσεων και συγκρίνονται με τα μεγέθη των αντίστοιχων επιδράσεων 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 25

Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Στη δεύτερη, χρησιμοποιούνται διαγράμματα κανονικής πιθανότητας για να εκτιμηθεί η σπουδαιότητα των επιδράσεων Το τυπικό σφάλμα κάθε επίδρασης σε ένα 2k σχέδιο είναι όπου το σ̂2 είναι προσέγγιση της διασποράς σ2 του πειραματικού λάθους, ίσο με τό μέσο τετράγωνο σφάλματος, ΜSE Στο παράδειγμα της επίστρωσης σ̂2 = ΜSE = και Δυο τυπικές αποκλίσεις οριοθετούν τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τις προσεγγίσεις των επιδράσεων Α: Β: C: AB: AC: BC: ABC: 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 26

Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης
Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k > 3 Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Τα διαστήματα είναι κατά προσέγγιση διαστήματα εμπιστοσύνης με (βεβαιότητα) 95%. Επειδή, με εξαίρεση τις κύριες επιδράσεις Α και Β, τα διαστήματα αυτά περιέχουν το μηδέν, μόνο οι κύριες επιδράσεις Α και Β είναι σημαντικές 24 πείραμα: 4 κύριες επιδράσεις, 6 αλληλεπιδράσεις 2 παραγόντων, 4 αλληλεπιδράσεις 3 παραγόντων, και 1 αλληλεπίδραση 4 παραγόντων 26 πείραμα: 6 κύριες επιδράσεις, 15 αλληλεπιδράσεις 2 παραγόντων, 20 αλληλεπιδράσεις 3 παραγόντων, και 15 αλληλεπιδράσεις 4 παραγόντων, 6 αλληλεπιδράσεις 5 παραγόντων, και 1 αλληλεπίδραση 6 παραγόντων Αρχή της ανεπάρκειας των επιπτώσεων: το σύστημα κυριαρχείται συνήθως από κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις χαμηλής τάξης (αλληλεπιδράσεις με 3 ή περισσότερους παράγοντες είναι συνήθως αμελητέες). Για k > 4, είναι συνηθισμένο να έχει κανείς μόνο μια μέτρηση ανά δοκιμή (επανάληψη πειράματος) και να συγκεντώσει τις αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης σαν προσέγγιση του σφάλματος 8/1/13 ΔΧ ΔΧ 27

είναι η υπόθεση γραμμικότητας στις επιδράσεις των παραγόντων
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Προσθήκη σημείων στο κέντρο σε 2k σχεδιασμό Μια πιθανή αιτία ανησυχίας στη χρήση του παραγοντικού σχεδίου με δυο επίπεδα τιμών είναι η υπόθεση γραμμικότητας στις επιδράσεις των παραγόντων Όταν ο όρος της αλληλεπίδρασης προστίθεται στο μοντέλο με τις κύριες επιδράσεις, εμφανίζεται καμπυλότητα στην επιφάνεια απόκρισης (response surface) Σε μερικά συστήματα ή διεργασίες, είναι απαραίτητο να ενσωματώσει κανείς επιδράσεις δευτέρας τάξης για να έχει ένα επαρκές μοντέλο Στην περίπτωση k = 2, το μοντέλο που περιέχει επιδράσεις δευτέρας τάξης είναι: y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β12x1 x2 + β11x12 + β22 x22 + ε όπου οι συντελεστές β11 και β22 είναι για όρους με τετράγωνα μεταβλητών, δηλ., μοντέλο (επιφάνειας απόκρισης) δευτέρου βαθμού. Το μοντέλο με όρους δευτέρου βαθμού είναι επαρκές όταν όλοι οι παράγοντες έχουν τρία επίπεδα τιμών. Όταν όλοι οι παράγοντες έχουν δύο επίπεδα τιμών, για έχουμε μοντέλο με όρους δευτέρου βαθμού, προστίθενται κεντρικά σημεία. Τα κεντρικά σημεία απαιτούν nC μετρήσεις στα σημεία xi = 0 (i = 1,2,…,k ), και δεν επηρεάζουν τις προσεγγίσεις των επιδράσεων σε ένα 2k σχέδιο. Αν τα κεντρικά σημεία επαναληφθούν, γεννάται μια άλλη ανεξάρτητη προσέγγιση του σφάλματος. Ας θεωρηθεί ένα 22 σχέδιο με μια μέτρηση σε κάθε παραγοντικό σημείο (- , -), (+ , -), (- , +) και (+ , +), και nC μετρήσεις στo κεντρικό σημείο (0 , 0) 8/1/13 ΔΧ

όπου βjj είναι αυτούσιες τετραγωνικές επιδράσεις. Το τέστ για
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Προσθήκη σημείων στο κέντρο σε 2k σχεδιασμό Αν η διαφορά y̅F - y̅C , όπου y̅F είναι ο μέσος των τεσσάρων μετρήσεων στα τέσσερα παραγοντικά σημεία, και y̅C ο μέσος των nC μετρήσεων στα κεντρικά σημεία, είναι μικρή, τα κεντρικά σημεία βρίσκονται στο ή κοντά στο επίπεδο που περνάει από τα παραγοντικά σημεία και δεν υπάρχει καμπυλότητα. Αν η διαφορά y̅F - y̅C είναι μεγάλη, υπάρχει καμπυλότητα Το άθροισμα των τετραγώνων με ένα βαθμό ελευθερίας για αυτούσια τετραγωνική καμπυλότητα είναι όπου nF είναι ο αριθμός των σημείων του παραγοντικού σχεδίου. Αυτό το μέγεθος μπορεί να συγκριθεί με το μέσο τετράγωνο σφάλματος για να εξεταστεί η καμπυλότητα Γενικά, όταν σημεία προστίθενται στό κέντρο του 2k σχεδίου, το κατάλληλο μοντέλο είναι όπου βjj είναι αυτούσιες τετραγωνικές επιδράσεις. Το τέστ για Αν τα παραγοντικά σημεία στο σχέδιο δεν επαναλαμβάνονται, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τα nC σημεία για να βρεί προσέγγιση του σφάλματος με nC – 1 βαθμούς ελευθερίας ΔΧ 29 8/1/13 ΔΧ

Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Μερικές φορές είναι αδύνατο να κάνει κανείς όλες τις μετρήσεις σε 2k παραγοντικό σχέδιο κάτω από σταθερές ή ομογενείς συνθήκες. Για παράδειγμα, μπορεί να μην είναι δυνατό να κάνει κανείς όλες τις δοκιμές με μια ομάδα (εργατών) ή με μια παρτίδα (πρώτης ύλης). Στην περίπτωση αυτή, η ομαδοποίηση (blocking) είναι μια άριστη τεχνική για να εξαλείψει κανείς την ανεπιθύμητη μεταβλητότητα που προκαλείται από τις μη ομογενείς συνθήκες Εάν το σχέδιο αναπαράγεται (is replicated), και αν το κομμάτι που αποκλείστηκε (blocked) είναι αρκετού μεγέθους, τότε μια από τις τεχνικές είναι να περιλάβει κανείς κάθε επανάληψη του πειράματος (replicate)σε μία ομάδα ή σύνολο ομογενών συνθηκών (block). Για παράδειγμα, ας θεωρηθεί ένα 23 σχέδιο με δυο εκτελέσεις του πειράματος, (replicates) , όπου το πείραμα περιλαμβάνει όλες τις δοκιμές, δηλ., όλους τους συνδυασμούς των επιπέδων τιμών των παραγόντων . Ας υποτεθεί ότι παίρνει 1 h για να τελειώσει μια δοκιμή . Κάνοντας τις 8 δοκιμές με την πρώτη εκτέλεση του πειράματος σε μια ημέρα και τις άλλες 8 δοκιμές με την δεύτερη εκτέλεση μια άλλη ημέρα, κάθε επίδραση του χρόνου ή η διαφορά του πώς η διεργασία λαμβάνει χώρα τις δυό ημέρες, μπορεί να απαλειφθεί. Οι δυο ημέρες γίνονται οι δύο ομάδες(blocks) στο σχέδιο. Η διαφορά στις αποκρίσεις των δυο ημερών είναι η επίδραση των ομάδων (block effect). 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Επειδή οι δυο δοκιμές (του πειράματος) με το «σύν» πρόσημο, ab και (1), είναι στην ομάδα (block)1, και οι δύο με το «πλήν» πρόσημο, a και b, είναι στην ομάδα (block) 2 , η επίδραση των ομάδων (block) και η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι αδύνατο να διακριθούν, δηλ., η αλληλεπίδραση ΑΒ συγχέεται (is confounded) με τις επιδράσεις των ομάδων (blocks) Η αιτία γι αυτό (δηλ., ΑΒ συγχέεται με τις επιδράσεις των ομάδων) φαίνεται από τα «συν» και «πλην» πρόσημα του προηγούμενου πίνακα. Από τον πίνακα αυτό φαίνεται ότι όλες οι δοκιμές (του πειράματος) που έχουν πρόσημο «συν» στο ΑΒ εκχωρούνται στην ομάδα (block) 1, και όλες οι δοκιμές που έχουν πρόσημο «πλην» στο ΑΒ εκχωρούνται στην ομάδα (block) 2. Αυτό το σχέδιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ανακατέψει (confound) κάθε 2k σχέδιο σε δυο ομάδες (blocks) ΔΧ 31 8/1/13 ΔΧ

(Confounding) σε 2k Σχέδιο
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Aς θεωρήσουμε ένα 2k σχέδιο που διακρίνεται σε δυό ομάδες (blocks), και ας υποτεθεί ότι συγχέεται η αλληλεπίδραση τριών όρων ΑΒC με τις ομάδες (blocks). Aπό τον πίνακα με τα πρόσημα, εγχωρούνται οι δοκιμές (πειράματος) με το «πλην» πρόσημο στο ΑΒC στο κομμάτι (block) 1 και αυτές με «συν» πρόσημο στο ΑΒC στο κομμάτι (block) 2, όπως στην παρακάτω εικόνα Κλασματική Αναπαραγωγή (Factorial Replication) 2k Σχεδίου Καθώς ο αριθμός των παραγόντων σε ένα 2k σχέδιο αυξάνεται, ο αριθμός των δοκιμών που απαιτούνται αυξάνεται ταχέως. Για παράδειγμα, ένα 25 σχέδιο απαιτεί 32 δοκιμές. Στο σχέδιο αυτό, μόνο 5 βαθμοί ελυθερίας αντιστοιχούν στις κύριες επιδράσεις και 10 βαθμοί ελευθερίας αντιστοιχούν στις επιδράσεις δυο παραγόντων 8/1/13 ΔΧ

Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Κλασματική Αναπαραγωγή 2k Σχεδίου Αν υποτεθεί ότι ωρισμένες αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης είναι αμελητέες, ένα κλασματικό παραγοντικό σχέδιο με λιγότερες από 2k δοκιμές μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποκτήσει κανείς πληροφορίες για τις κύριες επιδράσεις και τις αλληλεπιδράσεις χαμηλής τάξης Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Έχει 2k-1 δοκιμές και συχνά ονομάζεται 2k-1 σχέδιο. Για παράδειγμα, το 23-1 σχέδιο είναι το μισό κλάσμα του 23 σχεδίου. Ο πίνακας των προσήμων για το 23 σχέδιο είναι ο ακόλουθος Ας θεωρηθεί ότι οι 4 δοκιμές (πειράματος) a, b, c, και abc αποτελούν το μισό κλάσμα. 8/1/13 ΔΧ

Το γεωμετρικό σχέδιο φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Το γεωμετρικό σχέδιο φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί Το 23-1 σχέδιο αποτελείται μονάχα από τις δοκιμές που έχουν «συν» πρόσημο για την επίδραση ΑΒC. Η ΑΒC ονομάζεται γεννήτρια (generator)αυτού του συγκεκριμένου κλάσματος. Το στοιχείο ταυτότητας Ι είναι επίσης «συν» για τις τέσσερεις δοκιμές, και η ισότητα Ι = ΑΒC είναι η καθοριστική σχέση (defining relation) για το σχέδιο. Oι δοκιμές στα 23-1 σχέδια έχουν 3 βαθμούς ελευθερίας για τις κύριες επιδράσεις. Από τον προηγούμενο πίνακα, οι προσεγγίσεις των κυρίων επιδράσεων είναι Α = ½[a – b – c + abc] B = ½[-a + b – c + abc] C = ½[-a - b + c + abc] 8/1/13 ΔΧ

Oι προσεγγίσεις των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων είναι
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Oι προσεγγίσεις των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων είναι ΒC = ½[a – b – c + abc] AC = ½[-a + b – c + abc] AB = ½[-a - b + c + abc] Ο γραμμικός συνδυασμός των παρατηρήσεων στη στήλη Α, που παριστάνεται ως [Α] προσεγγίζει το άθροισμα Α + ΒC, ενώ το [C] προσεγγίζει το άθροισμα C + ΑΒ. Δυο η περισσότερες επιδράσεις που εμπίπτουν σ’ αυτή την κατηγορία λέγονται ψευδομοιογενείς (aliases). Στο 23-1 σχέδιο, Α και ΒC είναι ψευδομοιογενή, όπως ακριβώς είναι και C και ΑΒ . Ψευδομοιογενοποίηση (aliasing) είναι το άμεσο αποτέλεσμα της κλασματικής αναπαραγωγής (fractional replication) Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις, είναι δυνατόν να επιλέξει κανείς το κλάσμα, έτσι ώστε οι κύριες επιδράσεις και οι αλληλεπιδράσεις χαμηλής τάξης να είναι ψευδομοιογενείς με αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης (που είναι συνήθως αμελητέες) Η δομή της ψευδομοιογενοποίησης γι αυτό το σχέδιο μπορεί να βρεθεί από την καθοριστική σχέση (defining relation) I = ABC. Αν οποιαδήποτε επίδραση πολλαπλασιαστεί μέλος με μέλος με την καθοριστική σχέση αναπαράγεται το ψευδομοιογενές της επίδρασης. Για παράδειγμα, το ψευδομοιογενές του Α είναι Α = Α . ABC = Α2BC = BC επειδή Α . Ι = Α και Α2 = Ι. Τα ψευδομοιογενή των Β και C είναι Β = Β . ΑBC = ΑΒ 2C = ΑC C = C . ΑBC = ΑΒC2 = ΑΒ 8/1/13 ΔΧ

πραγματικότητα είναι προσεγγίσεις στο Α – ΒC, Β – ΑC, και C – ΑΒ.
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Ας υποτεθεί τώρα ότι επιλέγεται το άλλο ήμισυ κλάσμα του σχεδίου, στο οποίο οι δοκιμές έχουν «πλην» πρόσημο στο ΑΒC. To σχέδιο για το δεύτερο ήμισυ παρουσιάζεται στην προηγούμενη εικόνα και η καθοριστική σχέση είναι Ι = - ΑΒC. Τα ψευδομοιογενή είναι Α = - ΒC, B = - AC, και C = - AB. Eτσι οι επιδράσεις Α, Β και C γι αυτό το κλάσμα στην πραγματικότητα είναι προσεγγίσεις στο Α – ΒC, Β – ΑC, και C – ΑΒ. Στην πραγματικότητα, δεν έχει σημασία ποιό ήμισυ κλάσμα επιλέγουμε. Το κλάσμα με το «συν» πρόσημο στην καθοριστική σχέση ονομάζεται κύριο κλάσμα (principal fraction) και το άλλο κλάσμα συνήθως ονομάζεται αναπληρωματικό κλάσμα (alternate fraction). Mερικές φορές χρησιμοποιεί κανείς σειρές (sequences) κλασματικών παραγοντικών σχεδίων (fractional factorial design) για τον υπολογισμό των επιδράσεων. Για παράδειγμα , ας θεωρηθεί ότι έχει εκτελεστεί το κύριο κλάσμα του 23-1 σχεδίου. Από το σχέδιο αυτό έχουμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις επιδράσεων: [A] = A + BC [B] = B + AC [C] = C + AB Aς θεωρηθεί ακόμη ότι οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι αμελητέες. Εαν αυτό συμβαίνει, το 23-1 σχέδιο παράγει τις προσεγγίσεις των τριών κυρίων επιδράσεων Α, Β, C. Αν όμως κανείς, μετά την εκτέλεση του κυρίου κλάσματος, δεν είναι βέβαιος για τις αλληλεπιδράσεις, είναι πιθανό να τις υπολογίσει με την εκτέλεση του αναπληρωματικού κλάσματος. 8/1/13 ΔΧ

Το αναπληρωματικό κλάσμα παράγει τις ακόλουθες προσεγγίσεις
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Το αναπληρωματικό κλάσμα παράγει τις ακόλουθες προσεγγίσεις επιδράσεων: [A]΄ = A - BC [B]΄ = B - AC [C]΄ = C – AB Αν κανείς συνδυάσει τις προσεγγίσεις από τα δυο κλάσματα, έχουμε τα ακόλουθα: Eπίδραση, i ½([i] + [i]΄) ½([i] - [i]΄) i = A ½(A + BC + A – BC) = A ½[A + BC –( A – BC)] = BC i = B ½(B + AC + B – AC) = B ½[B + AC –(B – AC)] = AC i = C ½(C + AB + C – AB) = C ½[C + AB –(C – AB)] = AB Έτσι, συνδυάζοντας μια σειρά από δυο κλασματικά παραγοντικά σχέδια, μπορεί κανείς να απομονώσει τις κύριες επιδράσεις από τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων. Αυτή η ιδιότητα κάνει το κλασματικό παραγοντικό σχέδιο παρά πολύ χρήσιμο σε προβλήματα με πειραματικά δεδομένα, γιατί μπορεί κανείς να εκτελέσει σειρές μικρών, αποδοτικών πειραμάτων, να συνδυάσει πληροφορίες από αρκετά πειράματα, και να επωφεληθεί της γνώσης για την διεργασία εκτέλεσης πειραμάτων, όπως προχωράει Ένα 2k-1 σχέδιο μπορεί να κατασκευαστεί αν κανείς καταγράψει τους συνδυασμούς για ολοκληρωμένο παραγοντικό σε k-1 παράγοντες, και έπειτα να προσθέσει τον k παράγοντα με προσδιορισμό των «συν» και «πλην» επιπέδων με «συν» και «πλην» πρόσημα της αλληλεπίδρασης υψηλότερης τάξης + ABC. 8/1/13 ΔΧ

κατάσταση των πειραματικών δεδομένων
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Επομένως, ένα 23-1 κλασματικό παραγοντικό δημιουργείται από την καταγραφή ενός ολοκληρωμένου 22 παραγοντικού και εξίσωση του παράγοντα C με την αλληλεπίδραση +ΑΒ Για να δημιουργηθεί το κύριο κλάσμα, χρησιμοποιεί κανείς τη σχέση C = +AB ως εξής: Ολοκληρωμένο , Ι = ΑΒC A B A B C = AB Για να δημιουργηθεί το αναπληρωμένο κλάσμα, χρησιμοποιεί κανείς τη σχέση C = - AB Τό διάγραμμα κανονικής πιθανότητας είναι πολύ χρήσιμο για να εκτιμηθεί η σημαντικότητα των επιδράσεων από ένα κλασματικό παραγοντικό, ιδιαίτερα άν πολλές επιδράσεις πρέπει να αξιολογηθούν. Υπόλοιπα μπορεί να ανακτηθούν από ένα κλασματικό παραγοντικό με τη μέθοδο της παλινδρόμησης. Τα υπόλοιπα μπορεί να παρασταθούν σαν συνάρτηση των προβλεπόμενων τιμών, τα επίπεδα των παραγόντων, και σε διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για να εκτιμηθεί η ισχύς των υποθέσεων στις οποίες στηρίζεται το μοντέλο, και για να αποκτήσει κανείς περισσότερη γνώση για την κατάσταση των πειραματικών δεδομένων 8/1/13 ΔΧ

many) ονομάζονται πειράματα διαχωρισμού (screening experiments)
Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Αν ένας ή περισσότεροι παράγοντες από ένα ήμισυ κλάσμα του 2k μπορεί να παραλειφθεί, το σχέδιο θα έχει προβολή στο ολοκληρωμένο παραγοντικό σχέδιο. Στην παρακάτω εικόνα το 23-1 σχέδιο έχει προβολή σε ολοκληρωμένο παραγοντικό με δυο οποιουσδήποτε από τους τρείς παράγοντες. Αν από τους τρείς παράγοντες, το πολύ-πολύ δυο είναι σημαντικοί, το σχέδιο 23-1 είναι άριστο σχέδιο για τον εντοπισμό των σημαντικών παραγόντων. Πειράματα που σκοπεύουν στον εντοπισμό λίγων σχετικά σημαντικών παραγόντων από μεγάλο αριθμό παραγόντων (the vital few from the trivial many) ονομάζονται πειράματα διαχωρισμού (screening experiments) ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Δυνατότητα Διάκρισης Σχεδίου (Design Resolution) Είναι ένας χρήσιμος τρόπος για να ταξινομηθούν τα κλασματικά ολοκληρωμένα σχέδια με βάση τους σχηματισμούς (patterns) ψευδομοιογενών που παράγουν. Δυνατότητα διάκρισης σε επίπεδο ΙΙΙ, IV, και V είναι ιδιαίτερα σημαντικά. Οι τύποι αυτοί ορίζονται ως εξής: Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης ΙΙΙ – είναι εκείνα στα οποία κύριες επιδράσεις δεν είναι ψευδομοιογενή με άλλες κύριες επιδράσεις, αλλά είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων και αυτές, με τη σειρά τους, είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Το 23-1 σχέδιο με Ι = ΑΒC έχει δυνατότητα διάκρισης ΙΙΙ. Συνήθως χρησιμοποιούνται ρωμαϊκοί αριθμοί σαν κάτω δείκτες για να δείξουν δυνατότητα διάκρισης, Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης IV – σ’ αυτά τα σχέδια καμμία από τις κύριες επιδράσεις δεν είναι ψευδομοιογενής με άλλη κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση δυο παραγόντων, αλλά οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Το σχέδιο 24-1 με Ι = ΑΒCD έχει δυνατότητα διάκρισης IV, και 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Δυνατότητα Διάκρισης Σχεδίου (Design Resolution) Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης V - σ’ αυτά καμμια κύρια επιδράση ή αλληλεπίδραση δυο παραγόντων δεν είναι ψευδομοιογενή με άλλη κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση, αλλά οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπίδραση τριών παραγόντων. Το σχέδιο 25-1 με Ι = ΑΒCDΕ έχει δυνατότητα διάκρισης V To σχέδιο δυνατότητας διάκρισης ΙV δίνει πολύ καλές πληροφορίες για τις κύριες επιδράσεις και κάποιες πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων 8/1/13 ΔΧ

1/16 ονομάζεται 2k-4 σχέδιο, και ούτω καθεξής
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Αν και το 2k-1 σχέδιο έχει επιτυχία στη μείωση των δοκιμών που απαιτούνται για ένα πείραμα, συχνά χρησιμοποιούνται μικρότερα κλάσματα που δίνουν σχεδόν τις ίδιες πληροφορίες με ακόμη λιγότερους υπολογισμούς. Ένα 2k σχέδιο μπορεί να εκτελεστεί σαν 1/2p κλάσμα, που ονομάζεται 2k-p κλασματικό παραγοντικό σχέδιο. ΄Ετσι το ¼ κλάσμα ονομάζεται 2k-2 κλασματικό παραγοντικό σχέδιο, το 1/8 κλάσμα ονομάζεται 2k-3 σχέδιο, το 1/16 ονομάζεται 2k-4 σχέδιο, και ούτω καθεξής Για να κατανοηθεί το ¼ κλάσμα, ας θεωρηθεί ένα πείραμα με 6 παράγοντες για το οποίο ενδιαφέρουν κυρίως οι κύριες επιδράσεις αλλά είναι επιθυμητό να αποκτηθούν πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων. ΄Ενα 26-1 σχέδιο απαιτεί 32 δοκιμές και έχει 31 βαθμούς ελευθερίας για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων Επειδή υπάρχουν μόνο 6 κύριες επιδράσεις και 15 αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων, το ½ κλάσμα είναι μη αποδοτικό, γιατι απαιτεί πολύ περισσότερες δοκιμές. Ας θεωρηθεί τώρα ένα ¼ κλάσμα ή 26-2 σχέδιο. Το σχέδιο αυτό απαιτεί 16 δοκιμές και με 15 βαθμούς ελευθερίας επιτρέπει υπολογισμό όλων των 6 κυρίων επιδράσεων και, σε κάποιο βαθμό, εξέταση των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων. Για να δημιουργηθεί αυτό το σχέδιο, πρέπει κανείς να κατασκευάσει το 24 σχέδιο στους παράγοντες Α, Β, C, και D, και έπειτα να προσθέσει δυο στήλες για Ε και F, όπως στον πίνακα παρακάτω 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Για να βρεί κανείς τις δυο στήλες Ε και F, διαλέγει τις γεννήτριες Ι = ΑΒCΕ και Ι = ΒCDF. Έτσι, η στήλη Ε είναι Ε = ΑΒC και η στήλη F είναι F = ΒCD. Οι στήλες ΑΒCΕ και ΒCDF είναι ίσες με την στήλη ταυτότητας (identity column). Όπως είναι γνωστό, το γινόμενο δυο οποιονδήποτε στηλών στον πίνακα με τα «συν» και «πλην» πρόσημα για το 2k σχέδιο, είναι μια άλλη στήλη. Το γινόμενο ΑΒCΕ(ΒCDF) = ΑΒ2C2DΕF = ΑDΕF είναι επίσης στήλη ταυτότητας 8/1/13 ΔΧ

Σαν αποτέλεσμα, η πλήρης καθοριστική σχέση για το 26-2 σχέδιο είναι
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Σαν αποτέλεσμα, η πλήρης καθοριστική σχέση για το 26-2 σχέδιο είναι Ι = ABCE = BCDF = ADEF H πλήρης δομή των ψευδομοιογενών είναι: A = BCE = DEF = ABCDF AB = CE = ACDF = BDEF B = ACE = CDF = ABDEF AC = BE = ABDF = CDEF C = ABE = BDF = ACDEF AD = EF = BCDE = ABCF D = BCF = AEF = ABCDE AE = BC = DF = ABCDEF E = ABC = ADF = BCDEF AF = DE = BCEF = ABCD F = BCD = ADE = ABCEF BD = CF = ACDE = ABEF ABD = CDE = ACF = BEF BF = CD = ACEF = ABDE ACD = BDE = ABF = CEF 8/1/13 ΔΧ

είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων και υψηλότερες
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Aς σημειωθεί ότι σ΄ αυτό το σχέδιο με δυνατότητα διάκρισης ΙV, οι κύριες επιδράσεις είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων και υψηλότερες αλληλεπιδράσεις, και οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Αυτό το σχέδιο δίνει καλές πληροφορίες για τις κύριες επιδράσεις και κάποια ιδέα για τη δύναμη των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων Στο προηγούμενο παράδειγμα, επιλέχθηκαν Ι = ABCD και I = BCDF σαν γεννήτριες για τη δημιουργία του 26-2 κλασματικού παραγοντικού σχεδίου. Η επιλογή αυτή δεν είναι αυθαίρετη. Μερικές γεννήτριες παράγουν σχέδια με πιο ελκυστικές δομές ψευδομοιογενών από άλλες. Για συγκεκριμένο αριθμό παραγόντων και αριθμό δοκιμών που θέλει κανείς να εκτελέσει, πρέπει να επιλέξει το σχέδιο με την υψηλότερη δυνατότητα διάκρισης. Σχέδια με μέγιστη δυνατότητα διάκρισης για 2k-p κλασματικά παραγοντικά και επιλογές για τις γεννήτριες τους δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Αν όλες οι γεννήτριες επιλεχθούν με θετικό πρόσημο, παράγεται το κύριο κλάσμα (main fraction). Αν μια ή περισσότερες γεννήτριες επιλεχθούν με αρνητικά πρόσημα, παράγεται το αναπληρωματικό κλάσμα 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Κ = + ΑΒ 15/5/2009 ΔΧ 46 8/1/13 ΔΧ

συναρμολόγησης (assembly operations) μετά την σχηματοποίηση με έγχυση.
Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Κομμάτια που κατασκευάστηκαν με μέθοδο σχηματοποίησης με έγχυση (injection molding) υφίστανται υπερβολική συρρίκνωση που προκαλεί προβλήματα σε διεργασίες συναρμολόγησης (assembly operations) μετά την σχηματοποίηση με έγχυση. Μια ομάδα για βελτίωση ποιότητας αποφάσισε να εξετάσει αν η συρρίκνωση μπορεί να ελαττωθεί. Η ομάδα μελέτησε τους ακόλουθους επτά παράγοντες: θερμοκρασία εκμαγείου (mold temperature) (Α), ταχύτητα έλικα εκβολέα (screw speed) (Β), χρόνος παραμονής (holding time) (C), χρόνος κύκλου λειτουργίας (D), περιεχόμενο υγρασίας (Ε), μέγεθος πύλης εξόδου (gate size) (F), και επικρατούσα πίεση (G). Kάθε παράγοντας εξετάζεται σε δυο επίπεδα, με σκοπό να διαπιστωθεί πως κάθε παράγοντας επιρρεάζει τη συρρίκνωση, όπως επίσης πως αλληλοεπιδρούν οι παράγοντες. Η ομάδα αποφασίζει να χρησιμοποιήσει κλασματικό παραγοντικό σχέδιο με 2 επίπεδα και 16 δοκιμές. Ο προηγούμενος πίνακας δείχνει ότι το κατάλληλο σχέδιο είναι ένα 2ΙV7-3 σχέδιο με γεννήτριες Ι = ABCE, I = BCDF, και I = ACDG. Το σχέδιο παριστάνεται στον επόμενο πίνακα όπου η τελευταία στήλη δίνει τη συρρίκνωση για το κομμάτι που δημιουργήθηκε σε κάθε μια από τις 16 δοκιμές 8/1/13 ΔΧ

Η δομή ψευδομοιογενών δίνεται στον πίνακα παρακάτω
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Η δομή ψευδομοιογενών δίνεται στον πίνακα παρακάτω 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Ακολουθούν τα διαγράμματα κανονικής πιθανότητας για τις προσεγγίσεις των επιδράσεων και αλληλεπίδρασης θερμοκρασίας εκμαγείου και ταχύτητας έλικα εκβολέα Οι μοναδικές μεγάλες επιδράσεις είναι: Α = (θερμοκρασία εκμαγείου) και Β = (ταχύτητα έλικα εκβολέα), και η αλληλεπίδραση ΑΒ = Με βάση τον πίνακα με τη δομή ψευδομοιογενών, το προηγούμενο συμπέρασμα γίνεται αποδεκτό Από το διάγραμμα αλληλεπίδρασης ΑΒ, φαίνεται ότι η διεργασία επιρρεάζεται ελάχιστα από τη θερμοκρασία εκμαγείου όταν η ταχύτητα του έλικα του εκβολέα είναι στο χαμηλό επίπεδο, αλλά επιρρεάζεται πολύ όταν η ταχύτητα του έλικα του εκβολέα είναι στο υψηλό επίπεδο. Με την ταχύτητα του έλικα στο χαμηλό επίπεδο, η διεργασία συνοδεύεται από συρρίκνωση 10%, ανεξάρτητα από το επίπεδο της θερμοκρασίας. Με βάση αυτή την ανάλυση, η ομάδα αποφάσισε να ρυθμίσει τη θερμοκρασία εκμαγείου και την ταχύτητα του έλικα στο χαμηλό επίπεδο. Η επιλογή αυτή μειώνει τή συρρίκνωση στο 10%. Όμως, η μεταβλητότητα σε συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι είναι πιθανό πρόβλημα ΔΧ 49 8/1/13 ΔΧ

τη μεταβλητότητα στη συρρίκνωση των κομματιών
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Η μέση συρρίκνωση μπορεί να μειωθεί σχεδόν στο μηδέν με κατάλληλη τροποποίηση της μηχανής, αλλά η μεταβλητότητα στη συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής μπορεί να προκαλέσει προβλήματα στη συναρμολόγηση, ακόμη κι αν η μέση συρρίκνωση είναι σχεδόν μηδέν. ΄Ενας τρόπος να αντιμετωπίσει κανείς αυτό το πρόβλημα είναι να εξετάσει αν καμμιά από τις μεταβλητές της διεργασίας επιρρεάζει τη μεταβλητότητα στη συρρίκνωση των κομματιών Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για τα υπόλοιπα. Τα διαγράμματα των υπολοίπων σαν συνάρτησης κάθε μεταβλητής επίσης κατασκευάζονται. Ένα από αυτά τα διαγράμματα, υπόλοιπα σαν συνάρτηση του χρόνου παραμονής C δείχνει ότι υπάρχει πολύ λιγότερη διασπορά στα υπόλοιπα για χαμηλό αντί για υψηλό χρόνο παραμονής. ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

Τα υπόλοιπα ανακτώνται από τη σχέση που προβλέπει τη συρρίκνωση
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Τα υπόλοιπα ανακτώνται από τη σχέση που προβλέπει τη συρρίκνωση ŷ = x x x1x2 όπου x1 , x2 και x1x2 είναι κωδικοποιημένες μεταβλητές που αντιστοιχούν στους παράγοντες Α, Β και την αλληλεπίδραση ΑΒ, αντίστοιχα Τα υπόλοιπα είναι e = y - ŷ Το μοντέλο παλινδρόμησης που χρησιμοποιήθηκε για να παράγει τα υπόλοιπα απομακρύνει τις τοπικές επιδράσεις των Α, Β και ΑΒ από τα δεδομένα, πράγμα που σημαίνει ότι τα υπόλοιπα περιέχουν πληροφορίες για ανεξήγητη μεταβλητότητα. Το διάγραμμα υπολοίπων σαν συνάρτηση του χρόνου παραμονής δείχνει ότι υπάρχει μια διάταξη σύμφωνα με την οποία η μεταβλητότητα στη συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι μπορεί να είναι μικρότερη όταν ο χρόνος παραμονής είναι στο χαμηλό επίπεδο Τα δεδομένα από το πείραμα προβάλλονται σε ένα κύβο με παράγοντες Α, Β, και C Η μέση συρρίκνωση και το εύρος της περιοχής των μετρήσεων της συρρίκνωσης δείχνονται στις γωνίες του κύβου 8/1/13 ΔΧ

χαμηλή κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Από την εικόνα αυτή είναι φανερό ότι όταν η διεργασία γίνεται με ταχύτητα έλικα (Β) στο χαμηλό επίπεδο, η μέση συρρίκνωση των κομματιών μειώνεται. Εάν το Β είναι σε χαμηλό επίπεδο, οποιοσδήποτε συνδυασμός θερμοκρασίας (Α) και χρόνου παραμονής (C) οδηγεί σε χαμηλές τιμές της μέσης συρρίκνωσης. Από παρατήρηση του εύρους συρρίκνωσης για κάθε δοκιμή, είναι φανερό ότι χρόνος παραμονής στο χαμηλό επίπεδο είναι η μοναδική λογική επιλογή αν κανείς θέλει να κρατήσει τη συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι χαμηλή κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής 8/1/13 ΔΧ

Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Mερικές φορές δεν μπορεί κανείς να ολοκληρώσει την αναπαραγωγή (replicate) του πειράματος κάτω από ομογενείς πειραματικές συνθήκες. Aνακάτωμα (confounding) είναι η τεχνική της εκτέλεσης παραγoντικού πειράματος σε ομάδες (blocks), όπου το μέγεθος της ομάδας είναι μικρότερο από τον αριθμό όλων των δοκιμών (του πειράματος) για μιά ολόκληρη αναπαραγωγή (replicate). H τεχνική κάνει ωρισμένες επιδράσεις να μην διακρίνονται από ή να ανακατεύοντaι με τις επιδράσεις των ομάδων (blocks) 8/1/13 ΔΧ

Η δομή ψευδομοιογενών δίνεται στον πίνακα παρακάτω
Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - 2k-p Κλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Η δομή ψευδομοιογενών δίνεται στον πίνακα παρακάτω 8/1/13 ΔΧ

Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) Ta παραγοντικά και κλασματικά παραγοντικά DOE σε δυο επίπεδα είναι πολύ χρήσιμα για αξιολόγηση (screening) παραγόντων ή χαρακτηρισμό της διεργασίας, δηλ., εντοπισμό των πιό σημαντικών παραγόντων για την απόδοση της διεργασίας. ΄Οταν βρεθεί αυτό το υποσύνολο των μεταβλητών της διεργασίας, το επόμενο βήμα είναι η αριστοποίηση (optimization), δηλ.,να βρεθεί ο συνδυασμός των συνθηκών λειτουργίας (operating conditions) για τις μεταβλητές της διεργασίας που δίνουν την καλλίτερη απόδοση διεργασίας Για την αριστοποίηση, αναπτύχθηκε μια μεθοδολογία βασισμένη σε DOE, η μεθοδολογία της επιφάνειας απόκρισης (ResponseSurface Methodology), που αρχικά εφαρμόστηκε στη χημική βιομηχανία και τη βιομηχανία διεργασιών (process industry). Η ίδια μεθοδολογία χρησιμοποιείται για μελέτες σταθερότητας της διεργασίας (process robustness studies). Σ΄ αυτές τις μελέτες, η ομάδα των τεχνικών προσπαθεί να μειώσει τη μεταβλητότητα στην έξοδο της διεργασίας με τη ρύθμιση των ελεγχομένων μεταβλητών σε επίπεδα τιμών που ελαχιστοποιούν την μεταβλητότητα που μεταφέρεται στις αποκρίσεις από άλλους παράγοντες που είναι δύσκολο να ελεγχθούν Παράδειγμα: Aς υποτεθεί ότι ένας χημικός μηχανικός θέλει να βρεί τα επίπεδα τιμών της θερμοκρασίας της αντίδρασης (x1) και του χρόνου αντίδρασης (x2) που μεγιστοποιούν την απόδοση (y) της διεργασίας. Η απόδοση είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας και του χρόνου αντίδρασης, y = f (x1 , x2) + ε, όπου ε είναι το σφάλμα στην απόκριση y 8/1/13 ΔΧ

Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) Αν η αναμενόμενη τιμή της απόκρισης είναι Ε(y), η επιφάνεια που παριστάνεται από την εξίσωση Ε(y) = f (x1 , x2 ) ονομάζεται επιφάνεια απόκρισης (Response Surface). Η απόκριση παριστάνεται σαν επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο όπως στην εικόνα παρακάτω Για να αναγνωρίσει κανείς το σχήμα της επιφάνειας απόκρισης, συχνά καταφεύγει στο διάγραμμα προβολής της επιφάνειας στο επίπεδο x1 , x2 . Το διάγραμμα αυτό έχει καμπύλες (contours), που η καθεμιά είναι προβολή της επιφάνειας απόκρισης σε ωρισμένο ύψος ή με συγκεκριμένη τιμή. Οι καμπύλες βοηθούν στην μελέτη των επιπέδων των τιμών των x1 , x2 που επιφέρουν αλλαγές στο σχήμα ή το ύψος της επιφάνειας απόκρισης 8/1/13 ΔΧ

Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) Το πρώτο βήμα στην RSM(Response Surface Methodology) είναι να βρεί κανείς μια κατάλληλη προσέγγιση της σχέσης απόκρισης και ανεξαρτήτων μεταβλητών. Συνήθως γινεται χρήση ενός πολυωνύμου χαμηλής τάξης σε κάποια περιοχή των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν η απόκριση προσεγγίζεται με γραμμική συνάρτηση των ανεξάρτητων μεταβλητών, ισχύει το μοντέλο πρώτου βαθμού y = β0 + β1 + β βkxk + ε Αν υπάρχει καμπυλότητα στο σύστημα, πολυώνυμο υψηλότερου βαθμού πρέπει να χρησιμοποιηθεί όπως το πολυώνυμο δευτέρου βαθμού Είναι απίθανο για ένα πολυωνυμικό μοντέλο να είναι λογική προσέγγιση της πραγματικής συνάρτησης σε όλη την περιοχή των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται για να υπολογιστούν οι παράμετροι των προσεγγιστικών πολυωνύμων. Οι παράμετροι είναι οι τιμές των συντελεστών β που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων 8/1/13 ΔΧ

Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) RSM είναι μια διαδοχική διαδικασία. Συχνά κανείς είναι σε ένα σημείο της επιφάνειας απόκρισης που είναι απομακρυσμένο από το βέλτιστο (optimum), όπως οι τρέχουσες συνθήκες λειτουργίας στην εικόνα που ακολουθεί, όπου υπάρχει μικρή καμπυλότητα και το μοντέλο πρώτου βαθμού είναι κατάλληλο. Ο σκοπός εδώ είναι να φτάσει ο πειραματιστής γρήγορα και αποδοτικά στην γειτονιά του βέλτιστου (optimum). Όταν αυτή η περιοχή βρεθεί, ένα πιό επιμελημένο μοντέλο, όπως αυτό του δευτέρου βαθμού, θα χρησιμοποιηθεί για να εντοπιστεί το βέλτιστο (optimum). Από την προηγούμενη εικόνα βλέπει κανείς ότι η ανάλυση της επιφάνειας απόκρισης μπορεί να θεωρηθεί σαν «ανέβασμα σε λόφο», όπου η κορυφή του λόφου αντιπροσωπεύει το σημείο με τη μέγιστη απόκριση. Αν το σημείο του βέλτιστου (optimum) είναι σημείο ελάχιστης απόκρισης, τότε μπορεί κανείς να θεωρήσει την μέθοδο σαν «κατέβασμα σε κοιλάδα» Ο ενδεχόμενος στόχος της RSM είναι να προσδιοριστούν οι συνθήκες λειτουργίας για αριστοποίηση του συστήματος ή να προσδιοριστεί η περιοχή του πεδίου ορισμού των παραγόντων για την οποία ικανοποιούνται οι προδιαγραφές λειτουργίας. Οι μέθοδοι «αναρρίχησης λόφου» της RSM εγγυώνται σύγκλιση μονάχα σε τοπικό βέλτιστο (local optimum) ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

Aπότομης Aνάβασης (Method of Steepest Ascent)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Mέθοδος της πιο Aπότομης Aνάβασης (Method of Steepest Ascent) Συχνά η αρχική προσεγγιστική τιμή των βέλτιστων συνθηκών λειτουργίας (optimum operating conditions) είναι πολύ μακρυά από το πραγματικό βέλτιστο. Σ΄αυτή την περίπτωση, ο σκοπός του πειραματιστή είναι να μετακινηθεί γρήγορα στην περιοχή του βέλτιστου. ΄Οταν κανείς είναι πολύ μακρυά από το βέλτιστο, το μοντέλο πρώτου βαθμού είναι επαρκής προσέγγιση της πραγματικής επιφάνειας σε μια μικρή περιοχή των x H μέθοδος της πιο απότομης ανάβασης είναι μια διαδικασία για διαδοχική μετακίνηση πάνω στό μονοπάτι της πιο απότομης ανάβασης, δηλ., στη διεύθυνση της μέγιστης αύξησης στην απόκριση. Αν ελαχιστοποίηση είναι αυτό που επιδιώκεται, η διαδικασία ονομάζεται μέθοδος της πιο απότομης κατάβασης (method of steepest descent) Το μοντέλο πρώτου βαθμού είναι και η επιφάνεια απόκρισης, δηλ., οι ισοϋψείς καμπύλες (contours) είναι μια σειρά από παράλληλες ευθείες όπως στην προηγούμενη εικόνα. Η διεύθυνση της πιο απότομης ανάβασης είναι η διεύθυνση στην οποία η προσέγγιση στην απόκριση ŷ αυξάνει πιο γρήγορα. Συνήθως το μονοπάτι της πιο απότομης ανάβασης είναι η γραμμή που διέρχεται από το κέντρο της περιοχής που ενδιαφέρεται κανείς, και είναι κάθετη στις ισοϋψείς καμπύλες (contours) της προσεγγιζομένης επιφάνειας. Τα διαστήματα μετακίνησης είναι ανάλογα προς το μέγεθος των συντελεστών παλινδρόμησης {β̂i}. Πειράματα εκτελούνται πάνω στο μονοπάτι της πιό απότομης ανάβασης ώσπου να σταματήσει η αύξηση στην απόκριση ή ώσπου να φτάσει κανείς την περιοχή της επιθυμητής απόκρισης 59 59 8/1/13 ΔΧ

Aπότομης Aνάβασης (Method of Steepest Ascent)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Mέθοδος της πιο Aπότομης Aνάβασης (Method of Steepest Ascent) Όταν ο πειραματιστής είναι σχετικά κοντά στο βέλτιστο, ένα μοντέλο δευτέρου βαθμού συνήθως απαιτείται για την προσέγγιση της απόκρισης λόγω της καμπυλότητας στην πραγματική επιφάνεια απόκρισης. Το μοντέλο δευτέρου βαθμού είναι όπου β̂ είναι η προσέγγιση του β με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Δευτέρου Βαθμού Το σχέδιο που χρησιμοποιείται περισότερο για μοντέλο επιφανείας απόκρισης δευτέρου βαθμού είναι το Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. To Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (CCD) είναι δημοφιλές για πολ- λούς λόγους: (1) απαιτεί λιγότερες δοκιμές απ΄ότι άλλα ανταγωνιστικά σχέδια, όπως το 3k, (2). Μπορεί να δημιουργηθεί από το σχέδιο πρώτου βαθμού 2k με την προσθήκη των αξονικών δοκιμών, και (3) το σχέδιο έχει «καλές» ιδιότητες, δηλ., περιστροφικότητα ΔΧ ΔΧ 60 60 8/1/13 ΔΧ

Απόκρισης Δευτέρου Βαθμού
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Δευτέρου Βαθμού Οι παραγοντικές δοκιμές στο CCD είναι σημαντικές για τον υπολογισμό των όρων πρώτου βαθμού (κυρίων επιδράσεων) αλλά και για τις αλληλεπιδράσεις. Οι αξονικές δοκιμές συνεισφέρουν στον υπολογισμό των καθαρών τετραγωνικών όρων, αλλά επίσης συνεισφέρουν στον υπολογισμό των κυρίων επιδράσεων. Τα κεντρικά σημεία συνεισφέρουν στον υπολογισμό των τετραγωνικών όρων. Το CCD μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε ομάδες (blocks), με το παραγοντικό μέρος του σχεδίου και τα κεντρικά σημεία σέ μία ομάδα (block) και με τις αξονικές δοκιμές και μερικά πρόσθετα κεντρικά σημεία να σχηματίζουν άλλη ομάδα (block) Το CCD μπορεί να γίνει περιστρεφόμενο με κατάλληλη επιλογή της αξονικής απόστασης, α Αν το σχέδιο είναι περιστρεφόμενο, η τυπική απόκλιση της προβλεπόμενης απόκρισης ŷ είναι σταθερή σε όλα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο του σχεδίου. Για περιστροφικότητα, κανείς διαλέγει α = (F)1/4 όπου F είναι ο αριθμός των σημείων στο παραγοντικό μέρος του σχεδίου, συνήθως F = 2k Μια συχνή κριτική είναι ότι το CCD απαιτεί 5 επίπεδα για κάθε παράγοντα σχεδίου, ενώ ο ελάχιστος αριθμός επιπέδων για την προσαρμογή μοντέλου δευτέρου βαθμού είναι 3. Είναι εύκολο να τροποποιήσει κανείς το CCD να περιέχει 3 μονάχα επίπεδα για κάθε παράγοντα με το να κάνει την αξονική απόσταση α = 1. Αυτό τοποθετεί τις αξονικες δοκιμές στο κέντρο κάθε έδρας, και το σχέδιο ονομάζεται εδροκεντρωμένο (face-centered ) σχέδιο 8/1/13 ΔΧ

Απόκρισης Δευτέρου Βαθμού
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Δευτέρου Βαθμού Το σχέδιο Box-Behnken είναι επίσης δευτέρου βαθμού με όλους τους παράγοντες σε 3 επίπεδα. Σ΄αυτό το σχέδιο, οι δοκιμές σχεδιάζονται για τους μέσους των ακμών και όχι τις γωνίες του κύβου Άλλη κριτική του CCD είναι ότι, αν και τα σχέδια δεν είναι μεγάλα, είναι πολύ μακρυά απο (το να είναι) ελάχιστα. Για παράδειγμα, το CCD με k = 4 απαιτεί 16 παραγοντικές δοκιμές, 8 αξονικές και nc > 1 κεντρικά σημεία. Αυτό σημαίνει, το ελάχιστο, 25 δοκιμές, ενώ το μοντέλο 2ου βαθμού με k = 4 παράγοντες έχει μονάχα 15 παραμέτρους. Πράγματι, υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο αριθμός των απαιτουμένων δοκιμών χρειάζεται να μειωθεί. Ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιηθεί παραγοντικό σχέδιο στον κύβο. Αλλά το παραγοντικό πρέπει να έχει ικανότητα διάκρισης (resolution) V ή ΙΙΙ (κύριες επιδράσεις συγκεχυμένες /aliasing/ με αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων, αλλά όχι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων συγκεχυμένες με άλλες όμοιες τους). Σχέδιο με ικανότητα διάκρισης ΙV δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί γιατί εμπεριέχει αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων συγκεχυμένες με άλλες όμοιες τους, έτσι ώστε οι διαγώνιοι όροι γινομένου (cross-product terms) στο μοντέλο δευτέρου βαθμού να μην μπορούν να υπολογιστούν. Ένα CCD σχέδιο με λίγες δοκιμές είναι κομμάτι του CCD στον κύβο με ικανότητα διάκρισης ΙΙΙ. Για παράδειγμα, το σχέδιο με k = 4 περιλαμβάνει τη γεννήτρια D = AB για το ήμισυ κλάσμα (το τυπικό ήμισυ κλάσμα με ικανότητα διάκρισης ΙV χρησιμοποιεί D = ABC). Το μικρό CCD σχέδιο έχει τουλάχιστον 17 δοκιμές 8/1/13 ΔΧ

συστήματος, (2) σχεδιασμό παραμέτρων, και (3) σχεδιασμό ανοχής
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Ta πρώτα χρόνια της δεκαετίας του 1980, ο Ιάπωνας μηχανικός Genichi Taguchi πρότεινε τη χρήση DOE για Σχεδιασμό προϊόντων και διεργασιών που να μην επιρρεάζονται αισθητά από αλλαγές σε συνθήκες του περιβάλλοντος, Σχεδιασμό/ανάπτυξη προϊόντων και διεργασιών που να μήν επιρρεάζονται αισθητά από αλλαγές στα συστατικά τους, και Ελαχιστοποίηση της μεταβλητότητας/απόκλισης προϊόντων και διεργασιών από την τιμή στόχου (target value) H στρατηγική αυτή ονομάστηκε Σχεδιασμός Παραμέτρων Σταθερότητας (Robust Parameter Design) O Taguchi διακρίνει 3 στάδια στην ανάπτυξη προϊόντος ή διεργασίας: (1) σχεδιασμό συστήματος, (2) σχεδιασμό παραμέτρων, και (3) σχεδιασμό ανοχής Στο σχεδιασμό συστήματος, ο μηχανικός χρησιμοποιεί αρχές της επιστήμης και της μηχανικής για να προσδιορίσει τη βασική διαμόρφωση του συστήματος. Για παραδειγμα, αν κανείς θέλει να μετρήσει μια άγνωστη ηλεκτρική αντίσταση, θα χρησιμοποιήσει τις γνώσεις του στα ηλεκτρικά κυκλώματα για να προσδιορίσει ότι το βασικό σύστημα θα διαμορφωθεί σαν γέφυρα Wheatstone. Στο σχεδιασμό παραμέτρων, οι συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του συστήματος θα προσδιοριστούν. Αυτό, για το παράδειγμα μέτρησης της ηλεκτρικής αντίστασης, περιλαμβάνει την επιλογή τιμών της ονομαστικής αντίστασης (resistor) και της παροχής ηλεκτρικής ενέργειας 8/1/13 ΔΧ

ελεγχόμενες μεταβλητές (uncontrollable or noise variables)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Συνήθως, στο σχεδιασμό παραμέτρων ο σκοπός είναι να προσδιοριστούν αυτές οι τιμές των παραμέτρων ώστε να ελαχιστοποιηθεί η μεταβλητότητα που οφείλεται σε μη ελεγχόμενες μεταβλητές (uncontrollable or noise variables) Σχεδιασμός ανοχής χρησιμοποιείται για να προσδιοριστούν οι άριστες τιμές ανοχής για τις παραμέτρους του συστήματος. Για παράδειγμα, στη γέφυρα Wheatstone ο σχεδιασμός ανοχής θα αποκαλύψει τα συστατικά του σχεδίου που είναι τα πιο ευαίσθητα και για τα οποία πρέπει να τεθούν όρια ανοχής DOE θα χρησιμοποιηθεί για να βρεθή το καλλίτερο προϊόν (ή διεργασία), όπου με «το καλλίτερο» εννοούμε το προϊόν (ή διεργασία) που είναι σταθερό ή όχι ευαίσθητο σε μη ελεγχόμενες μεταβλητές που θα επιρρεάσουν το προϊόν (ή τη διεργασία) σε στερεότυπη λειτουργία (routine operation) To κλειδί στη φιλοσοφία του Τaguchi είναι η μείωση της μεταβλητότητας. Το χαρακτηριστικό ποιότητος κάθε προϊόντος ή διεργασίας έχει μια ονομαστική τιμή ή τιμή στόχου (target value). O Taguchi παριστάνει τις αποκλίσεις (departures) από την τιμή στόχου με μια συνάρτηση απώλειας (loss function). H απώλεια αναφέρεται στο κόστος που αναλαμβάνει η κοινωνία όταν ο καταναλωτής χρησιμοποιεί προϊόν που τα χαρακτηριστικά ποιότητάς του διαφέρουν από τα ονομαστικά (nominal). H έννοια της κοινωνικής απώλειας είναι απόκλιση από τον παραδοσιακό τρόπο σκέψης. Ο Taguchi επιβάλλει σαν συνάρτηση απώλειας μια συνάρτηση δευτέρου βαθμού του τύπου L(y) = k(y – T)2 8/1/13 ΔΧ

ακόμη και μικρές αποκλίσεις του y από την τιμή στόχου Τ
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Ο παραδοσιακός τροπος σκέψης συνήθως επιβάλλει πρόστιμα (penalties) μόνο στις περιπτώσεις y < LSL ή y > USL. Σε αντίθεση, η φιλοσοφία του Ταguchi “τιμωρεί» ακόμη και μικρές αποκλίσεις του y από την τιμή στόχου Τ Η μεθοδολογία τουΤαguchi για τό Σχεδιασμό Σταθερών Παραμέτρων (Robust Process Design) περιστρέφεται γύρω από τη χρήση ενός ορθογωνίου σχεδίου για τους ελεγχόμενους παράγοντες που «διασταυρώνεται» με ένα άλλο ορθογώνιο σχέδιο για τους μη ελεγχόμενους παράγοντες Ο πίνακας κάτω δεξιά δείχνει ένα παράδειγμα των Byrne και Taguchi (1987) που περιλαμβάνει την ανάπτυξη μιας μεθόδου για συναρμολόγηση ενός συνδετήρα από ελαστομερές σε ένα νάϋλον σωλήνα για να διαβιβάσει την απαιτούμενη δύναμη ελκυσμού. Υπάρχουν 4 ελεγ- χόμενοι παράγοντες, ο καθένας σε 3 επίπεδα, Α = παρεμβολή, Β = πάχος τοιχώματος συνδετήρα, C = βάθος εισαγωγής, D = % συγκολλητικής ουσίας, και 3 μη ελεγχόμενοι, ο καθ- ένας σε 2 επίπεδα, Ε = χρόνος επεξ- εργασίας, F = θερμοκρασία επεξ- εργασίας, G = σχετική υγρασία επεξεργασίας 65 8/1/13 ΔΧ

ονομάζει το τμήμα (α) σχέδιο εσωτερικής διάταξης (inner array design)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Το τμήμα (α) του πίνακα περιέχει το σχέδιο για τους ελεγχόμενους παράγοντες, το οποίο είναι ένα κλασματικό παραγοντικό σχέδιο με 3 επίπεδα, δηλ., ένα 34-2 σχέδιο. Ο Taguchi ονομάζει το τμήμα (α) σχέδιο εσωτερικής διάταξης (inner array design) Το τμήμα (b) του πίνακα περιέχει το σχέδιο για τους μη ελεγχόμενους παράγοντες, το οποίο είναι ένα παραγοντικό σχέδιο με 2 επίπεδα, δηλ., ένα 23 σχέδιο, το οποίο ο Taguchi ονομάζει σχέδιο εξωτερικής διάταξης (outer array design) Kάθε δοκιμή στην εσωτερική διάταξη εκτελείται για όλους τους συνδυασμούς στην εξωτερική διάταξη, με αποτέλεσμα τις 72 μετρήσεις της δύναμης ελκυσμού που δείχνονται στον προηγούμενο πίνακα. Αυτό το είδος σχεδίου λέγεται Σχέδιο Διασταυρωμένης Διάταξης (Crossed Array Design) O Taguchi προτείνει να συνοψίζονται τα δεδομένα από πείραμα διασταυρωμένης διάταξης στατιστικά ως εξής: (1) τo μέσο κάθε μέτρησης στην εσωτερική διάταξη για όλες τις δοκιμές στην εξωτερική διάταξη, και (2) το λόγο σήματος-προς-θόρυβο (signal-to- noise ratio) που συνδυάζει πληροφορίες από το μέσο και τη διασπορά. Ο λόγος σήματος προς-θόρυβο ορίζεται έτσι ώστε η μέγιστη τιμή του λόγου να ελαχιστοποιεί τη μεταβλητότητα που προέρχεται από τις μεταβλητές θορύβου (noise variable) Εξέταση του προηγούμενου πίνακα αποκαλύπτει ένα μεγάλο πρόβλημα με τη στρατηγική του Taguchi, δηλ., το ότι η διασταυρωμένη διάταξη οδηγεί σε ένα πολύ μεγάλο πείραμα. Το παράδειγμα του πίνακα έχει 7 παράγοντες, αλλά το σχέδιο έχει 72 δοκιμές (πειράματος) 8/1/13 ΔΧ

την τιμή του υψηλού επιπέδου. ΄Ετσι,
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Στο ίδιο παράδειγμα, η εσωτερική διάταξη ειναι 34-2 σχέδιο με ικανότητα διάκρισης ΙΙΙ. Παρά το μεγάλο αριθμό δοκιμών, δεν μπορεί κανείς να αποκτήσει πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στις ελεγχόμενες μεταβλητές. Ακόμη και οι κύριες επιδράσεις είναι αλλοιωμένες, γιατί οι κύριες επιδράσεις είναι συγκεχυμένες με αλληπιδράσεις δυο παραγόντων. Επίσης, ο λόγος σημάτος-πρός-θόρυβο του Taguchi είναι προβληματικός γιατί μέγιστος λόγος δεν σημαίνει απαραίτητα μείωση μεταβλητότητας. Ένα σημαντικό σημείο στο σχέδιο διασταυρωμένης διάταξης είναι ότι δίνει πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις ελεγχόμενου παράγοντα × μη ελεγχόμενου παράγοντα. Αυτές οι αντιδράσεις είναι σημαντικές για R(obust)P(rocess)D(etermination) πρόβλημα Στην εικόνα κάτω δεξιά, x είναι ο ελεγχόμενος παράγοντας και z ο παράγοντας θορύβου (noise factor). Στο τμήμα (a) δεν υπάρχει xz αλληλεπίδραση. Στο τμήμα (b) όμως, υπάρχει ισχυρή xz αλληλεπίδραση. Όταν το x έχει την τιμή του χαμηλού επιπέδου, υπάρχει πολύ λιγότερη μεταβλητότητα στην μεταβλητή απόκρισης απ΄ότι όταν το x έχει την τιμή του υψηλού επιπέδου. ΄Ετσι, αν δεν υπάρχει τουλάχιστον μια αλληλ- επίδραση του τύπου «ελεγχόμενος παράγοντας × μη ελεγχόμενος παράγοντας» δεν υπάρχει πρόβλημα σχεδίου σταθερότητας 67 67 8/1/13 ΔΧ

Απόκρισης για Μελέτες Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness)
Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Μέθοδος Επιφάνειας Απόκρισης για Μελέτες Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Ας υποτεθεί ότι έχουμε δυο ελεγχόμενους παράγοντες x1 και x2, και ένα παράγοντα θορύβου (noise factor) z1. Oι ελεγχόμενοι και μη ελεγχόμενοι παράγοντες εκφράζονται σαν κωδικοποιημένες μεταβλητές (έχουν κέντρο στο 0 και κάτω και άνω όριο στα +1). Το μοντέλο πρώτου βαθμού ως προς τις ελεγχόμενες μεταβλητές είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + γ1z1 + δ11x1z1 + δ21x2z1 + ε Το πλεονέκτημα του μοντέλου επιφάνειας απόκρισης είναι ότι, αντίθετα με τη μέθοδο του Taguchi, ελεγχόμενοι και μή ελεγχόμενοι παράγοντες μπορούν να περιληφθούν σε ένα σχέδιο. Το είδος αυτό του σχεδίου ονομάζεται Σχέδιο Σύνθετης Διάταξης (Combined Array Design) Η μέση απόκριση βρίσκεται αν κανείς εφαρμόσει τον τελεστή αναμενόμενης τιμής στην παραπάνω έκφραση για την απόκριση y. Το αποτέλεσμα είναι Εz(y) = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 όπου ο δείκτης z σημαίνει ότι η αναμενόμενη τιμή λαμβάνεται ως πρός τις δυο τυχαίες μεταβλητές z ~ Ν(0, σz2) και ε ~ Ν(0,σ2) Αν στην παραπάνω έκφραση για την απόκριση y εφαρμοστεί ο τελεστής διασποράς, το αποτέλεσμα είναι Vz(y) = σz2 (γ1 + δ11x1 + δ21x2)2 + σ2 ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Μέθοδος Επιφάνειας Απόκρισης για Μελέτες Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Τα ακόλουθα ισχύουν: Οι εκφράσεις για το μέσο και τη διασπορά έχουν μόνο τις ελεγχόμενες μεταβλητές. Είναι δυνατόν να ρυθμιστούν οι ελεγχόμενες μεταβλητές ώστε ο μέσος να προσεγγίζει την τιμή στόχου και η μεταβλητότητα που aπορρέει από τις μεταβλητές θορύβου (noise variable) να ελαχιστοποιείται, Η έκφραση για τη διασπορά, που περιέχει μόνο ελεγχόμενες μεταβλητές, περιέχει επίσης τους συντελεστές παλινδρόμησης της αλληλεπίδρασης μεταξύ ελεγχομένων και με ελεγχομένων μεταβλητών, κι έτσι οι μεταβλητές θορύβου επιρρεάζουν την απόκριση, Η έκφραση για τη διασπορά είναι δευτεροβάθμια συνάρτηση των ελεγχομένων μεταβλητών, Η έκφραση για τη διασπορά, πέρα από το σ2, είναι απλά η κλίση της καμπύλης απόκρισης στη διεύθυνση της μεταβλητής θορύβου Τα παραπάνω μπορούν να γενικευθούν ως εξής. Ας υποτεθεί ότι υπάρχουν k ελεγχόμενες μεταβλητές x = [x1, x2,…, xk] και r μη ελεγχόμενες z = [z1, z2,…, zr]. Η έκφραση για την απόκριση είναι y(x , z) = f(x) + h(x , z) + ε όπου το f(x) περιέχει μόνο ελεγχόμενες μεταβλητές το h(x , z) περιέχει τις κύριες επιδράσεις των μη ελεγχόμενων μεταβλητών και τις αλληλεπιδράσεις ελεγχόμενων ×μη ελεγχομένων μεταβλητων 8/1/13 ΔΧ

Βελτίωση Σχεδιασμός Πειραμάτων για Αριστοποίηση (Optimization DOE) - Μέθοδος Επιφάνειας Απόκρισης για Μελέτες Σταθερότητα Διεργασίας (Process Robustness) Η δομή του h(x , z) είναι συνήθως Η δομή του f(x) εξαρτάται από τον τύπο του μοντέλου για τις ελεγχόμενες μεταβλητές που ο πειραματιστής νομίζει ότι είναι κατάλληλο. Αν θεωρηθεί ότι οι μεταβλητές θορύβου έχουν μέσο 0, διασπορά σz2 και συνδιακύμανσεις 0, και οι μεταβλητές θορύβου και τα τυχαία σφάλματα ε έχουν συνδιακύμανση 0, τοτε η μέση απόκριση δίνεται από την σχέση Εz[y(x, z)] = f(x) Για να βρή κανείς την διασπορά της απόκρισης, πρώτα αναπτύσει τη σειρά Τaylor γύρω από το z = 0 όπου R είναι το υπόλοιπο. Αν αγνοήσει κανείς το υπόλοιπο και εφαρμόσει τον τελεστή διασποράς στην έκφραση για την απόκριση , η διασπορά είναι 8/1/13 ΔΧ

Χρήση Λογισμικού ΜΙΝΙΤΑΒ για DOE
μπορείτε να «κατεβάσετε» (download) στον υπολογιστή σας και να το χρησιμοποιήσετε, χωρίς οικονομική επιβάρυνση, για 1 μήνα. Στην ιστοσελίδα θα βρείτε το λογισμικό αυτό DOE Επιλογής - 2k Ολοκληρωμένο Παραγοντικό Σχέδιο Εξετάζεται το πρόβλημα της επικάλυψης μεταλλικού άντικειμένου με λεπτό στρώμα,όπου οι παράγοντες είναι ρυθμός τροφοδοσίας (Α), βάθος εγκοπής (Β), και η γωνία του Εργαλείου, για δυο, n = 2, τύπους επικάλυψης. Τα δεδομένα δίνονται παρακάτω Feed rate(A) Cut depth (B) Tool angle (C) Finish 1 Finish 2 8/1/13 ΔΧ

DOE Επιλογής - 2k Ολοκληρωμένο Παραγοντικό Σχέδιο ΜΙΝΙΤΑΒ: Stat  DOE  Factorial  Create Factorial Design Δίνει ως αποτέλεσμα τον πίνακα: A B C Finish StdOrder RunOrder Blocks CenterPt 8/1/13 ΔΧ

DOE Επιλογής - 2k Ολοκληρωμένο Παραγοντικό Σχέδιο O προηγούμενος πίνακας χρησιμοποιείται για την εκτέλεση ΜΙΝΙΤΑΒ: Stat  DOE  Factorial  Αnalyze Factorial Design Δίνει ως αποτέλεσμα τον πίνακα: Factorial Fit: Finish versus A, B, C Estimated Effects and Coefficients for Finish (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant A B C A*B A*C B*C A*B*C S = PRESS = 78 R-Sq = 79.02% R-Sq(pred) = 16.07% R-Sq(adj) = 60.66% Analysis of Variance for Finish (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2-Way Interactions 3-Way Interactions Residual Error Pure Error Total 8/1/13 ΔΧ

DOE Επιλογής - 2k Ολοκληρωμένο Παραγοντικό Σχέδιο Με βάση τα αποτελέσματα της ΑΝΟVΑ, συμπεραίνεται ότι το ολοκληρωμένο παραγοντικό μοντέλο με όλους τους παράγοντες δεν είναι απαραίτητο, αλλά ένα μοντέλο με λιγότερες μεταβλητές είναι πιο κατάλληλο. Οι κύριες επιδράσεις Α και Β έχουν σχετικά μικρές Ρ τιμές (< 0.10), και η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι η επόμενη πιο σημαντική επίδραση (Ρ = 0.12). Το μοντέλο παλινδρόμησης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραστήσει την διεργασία είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12 x1 x2 + ε όπου x1 παριστάνει τον παράγοντα Α, x2 παριστάνει τον παράγοντα Β, και x1 x2 την αλληλεπίδραση ΑΒ. Οι συντελεστές β̂1 , β̂2 , και β̂12 είναι τό ήμισυ των προσεγγίσεων των αντιστοίχων επιδράσεων (είναι στη στήλη “Coefficients” του προηγούμενου πίνακα) και β̂0 είναι ο γενικός μέσος ŷ = (3.375/2) x1 + (1.625/2) x2 + (1.375/2) x1 x2 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) Μελετάται μια χαρακτική μέθοδος που χρησιμοποιεί νιτρίδιο σε χαρακτή πλάσματος πάνω σε απλή γκοφρέττα. Η μέθοδος χρησιμοποιεί C2F6 ως αντιδρών αέριο. Είναι δυνατό να μεταβληθούν η ροή του αερίου, η ισχύς στην κάθοδο, η πίεση στον αντιδραστήρα και η απόσταση μεταξύ ανόδου και καθόδου (χάσμα/gap). Oι μεταβλητές απόκρισης είναι: ο ρυθμός χάραξης, μετρούμενος σε Å/m, και η ομοιομορφία της χαραγής (δηλ., η τυπική απόκλιση του πάχους του υλικού που εφαρμόζεται στην επιφάνεια της γκοφρέττας μετά την χάραξη της), επίσης μετρούμενη σε Å/m. Οι κύριοι παράγοντες είναι το χάσμα σε cm και η ισχύς σε Watts. Ta δεδομένα δίνονται στον παρακάτω πίνακα ΔΧ ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) ΜΙΝΙΤΑΒ: Stat  DOE  Response Surface  Analyze Response Surface Design Input Gap Power Coded x1 Coded x2 EtcRat, y1 Uniform, 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) Response Surface Regression: Uniform, y2 versus Coded x1, Coded x2 The analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for Uniform, y2 Term Coef SE Coef T P Constant Coded x Coded x Coded x1*Coded x Coded x2*Coded x Coded x1*Coded x S = PRESS = R-Sq = 98.43% R-Sq(pred) = 91.81% R-Sq(adj) = 97.12% Analysis of Variance for Uniform, y2 Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression Linear Square Interaction Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) Αποτέλεσμα Response Surface Regression: EtcRat, y1 versus Coded x1, Coded x2 The analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for EtcRat, y1 Term Coef SE Coef T P Constant Coded x Coded x Coded x1*Coded x Coded x2*Coded x Coded x1*Coded x S = PRESS = R-Sq = 96.98% R-Sq(pred) = 81.75% R-Sq(adj) = 94.47% Analysis of Variance for EtcRat, y1 Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression Linear Square Interaction Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) ΜΙΝΙΤΑΒ: Graph  Contour Plot Etch Rate = Ρυθμός Χαραγής = y1 (Å/m) Gap = Xάσμα = x1 Power = Ισχύς = x2 Uniformity = Ομοιομορφία = y2 (Å/m) ΔΧ 79 8/1/13 ΔΧ

DOE Αριστοποίησης – Κεντρικό Σύνθετο Σχέδιο (Central Composite Design) ΜΙΝΙΤΑΒ: Graph  3D Surface Plot Etch Rate = Ρυθμός Χαραγής = y1 (Å/m) Gap = Xάσμα = x1 Power = Ισχύς = x2 Uniformity = Ομοιομορφία = y2 (Å/m) ΔΧ 80 8/1/13 ΔΧ

DOE για Μελέτη Σταθερότητας Διεργασίας (Process Robustness Study) Ερευνάται η επίδραση της θερμοκρασίας (Α), πίεσης (Β), συγκέντρωσης (C), και ρυθμού ανάδευσης (D) στο ρυθμό διηθήσης ενός χημικού προϊόντος. Πίεση, x1 , συγκέντρωση, x2 , και ρυθμός ανάδευσης , x3 , είναι εύκολο να ελεγχθούν (controllable variables), ενώ η θερμοκρασία, z1 , είναι δύσκολο να ελεγχθεί (uncontrollable or noise variable) Τα δεδομένα του προβλήματος δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Πρόκειται για 24 παραγοντικό σχέδιο, χωρίς επαναληπτικά (replicates) Από DOE επιλογής, προκύπτει ότι οι σημαντικότερες κύριες επιδράσεις είναι η συγκέντρωση, x2 , , και ο ρυθμός ανάδευσης, x3. Για μελέτη σταθερότητας διεργασίας, χρησιμοποιείται σχέδιο σύνθετης διάκρισης 81 8/1/13 ΔΧ

DOE για Μελέτη Σταθερότητας Διεργασίας (Process Robustness Study) Input Temp, z1 Press, x1 Conc., x2 StirRat, x3 FlowRate, gal/h ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

DOE για Μελέτη Σταθερότητας Διεργασίας (Process Robustness Study) MINITAB: Stat  DOE  Factorial  Analyze Factorial Design Αποτέλεσμα Factorial Fit: FlowRate, gal/h versus Temp, z1, Conc., x2, StirRat, x3 Estimated Effects and Coefficients for FlowRate, gal/h (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant Temp, z Conc., x StirRat, x Temp, z1*Conc., x Temp, z1*StirRat, x S = PRESS = R-Sq = 96.60% R-Sq(pred) = 91.28% R-Sq(adj) = 94.89% Analysis of Variance for FlowRate, gal/h (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2-Way Interactions Residual Error Lack of Fit Pure Error Total 8/1/13 ΔΧ

DOE για Μελέτη Σταθερότητας Διεργασίας (Process Robustness Study) Η απόκριση, y, (ρυθμός διήθησης) δίνεται από τη σχέση: ŷ(x , z1) = (21.625/2)z1 + (9.875/2)x2 + (14.625/2 )x3 -(18.125/2)x2 z1 + (16.625/2) x3 z1 = z x x3 – 9.06x2z x3 z1 O μέσος και η διασπορά δίνονται από τις σχέσεις Εz[y(x , z1)] = x x3 και Vz[y(x , z1)] = σz2[ x x3]2 + σ2 = σz2( x x32 – x x3 – x2x3) + σ2 Τo διαγράμμα ισοϋψών καμπυλών (contours) για τή μέση απόκριση δίνεται παρακάτω ΔΧ 8/1/13 ΔΧ

DOE για Μελέτη Σταθερότητας Διεργασίας (Process Robustness Study) Με σz2 = 1 και σ̂ = (το μέσο τετράγωνο του υπολοίπου), η διασπορά είναι Vz[y(x , z1)] = – x x3 – x2x x x32 Τα διαγράμματα ισοϋψών καμπυλών (contour plot) και 3-διάστατης επιφάνειας για το √ Vz[y(x , z1)] δίνονται παρακάτω 85 8/1/13 ΔΧ

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια