Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω στη σειρά Λύνω και την εξίσωση x+ν=0 Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω στη σειρά Λύνω και την εξίσωση x+ν=0 Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω στη σειρά Λύνω και την εξίσωση x+ν=0 Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0

3 Μέχρι τώρα eχουμε εξετάσει τις πολυωνυμικές εξισώσεις της μορφής: α ₀ xⁿ + α ₁ xⁿ ⁻ ¹ α n-1 x + α n =0 Πολυώνυμα με ακεραίους συντελεστές Εκθετικές Εξισώσεις Λογαριθμικές Εξισώσεις Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

4 Περιλαμβάνουν αγνώστους στους εκθέτες των αριθμών Αν για παράδειγμα: 12 x = 144 x = 2 Αν για παράδειγμα: 1,0994 x = 17,32 ? Τι είναι το x; Είναι το x ρητός ή άρρητος αριθμός

5 Λογαριθμικές Εξισώσεις Αν για παράδειγμα: log ₁₀ x = 2 Αυτό σημαίνει ότι το 10 πρέπει να έχει εκθέτη το 2 για να μας δώσει το x=10 2 =100 Αν για παράδειγμα: lnx=3 Αυτό σημαίνει ότι το e πρέπει να έχει εκθέτη το 3 για να μας δώσει το x=e 3 Τι είναι το x; Είναι το x ρητός ή άρρητος αριθμός

6 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Στηρίζονται στα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα μεγέθη των γωνιών του υποτείνουσα Απέναντι κάθετος Προσκείμενη κάθετος Οι τριγωνομετρικές σχέσεις περιλαμβάνουν τις διάφορες σχέσεις ανάμεσα σε μια γωνία, τη θ, ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα μήκη των τριών πλευρών

7 Τι είδους αριθμούς, όμως, παίρνουμε όταν βάζουμε διαφορετικές τιμές στους εκθέτες, στους λογαρίθμους και στις τριγωνομετρικές ?? Ρητούς;; (φυσικούς, κλάσματα) Άρρητους ;; Κι όμως, οι περισσότερες λύσεις σε αυτές τις εξισώσεις είναι άρρητοι αριθμοί !

8 : Ο λόγος της περιφέρειας τυχαίου κύκλου με τη διάμετρο του είναι σταθερός = Π 8

9 e = lim ( 1 + 1/ ), 8 ν ∈ Νν ∈ Ν Οι τιμές που θα παίρνει η ( 1 + 1/ν ) ν όταν μεγαλώνουμε το ν ώστε να τείνει στο ∞ Επομένως, e είναι το όριο που παίρνουμε όταν αφήνουμε το ν να γίνεται όλο και μεγαλύτερο Όπως ακριβώς και στην περίπτωση του π, μπορούμε να προσεγγίσουμε το e, ξεκινώντας με ν=1 και αντικαθιστώντας στον τύπο, αυξάνοντας διαρκώς το ν Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, θα φτάσουμε στην ακόλουθη τιμή με προσέγγιση 10 δεκαδικών θέσεων: e = 2,

10 Τιμές της ακολουθίας ( 1 + 1/ ν) ν ν=1 2 ν=2 2,250 ν=3 2,370 ν=4 2,441 ν=5 2,488 ν=100 2, ν=1000 2, ν= ,

11 Leonhard Euler (1707 – 1783) Όρισε τη χρήση του γράμματος e, που συμβολίζει άλλη μια θεμελιώδη σχέση των μαθηματικών :

12 Επιπλέον, με το e συσχετίζεται μια σειρά, η οποία ανακαλύφθηκε το 1655 από το Νεύτωνα ( ). Σειρά είναι άθροισμα όρων Η συγκεκριμένη σειρά χρησιμοποιεί και την έννοια του παραγοντικού, δηλαδή n!=n (n-1)(n-2)…321 και είναι η εξής : Το 0! ισούται εξ ορισμού με 1.

13 Όμως….γιατί το ℮ ? Ο λόγος για τον οποίο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες ενδιαφέρονται για το ℮, είναι ότι εμφανίζεται ξαφνικά σε πολλά διαφορετικά σημεία όταν προσπαθούμε να επιλύσουμε προβλήματα.

14 Λύσεις πολυωνύμων αυτού του είδους μπορούν να αποτελέσουν :  Οι φυσικοί αριθμοί  Τα κλάσματα  Οι ρίζες Τις λύσεις των πολυωνύμων που οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι, τις ορίζουμε ως αλγεβρικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι οι φυσικοί αριθμοί, τα κλάσματα και οι ρίζες είναι όλα αλγεβρικοί αριθμοί, αφού αποτελούν λύσεις πολυωνύμων αυτού του είδους.

15 Από την αρχαιότητα, ένα αναπάντητο ερώτημα αφορούσε το αν είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό ενός συγκεκριμένου κύκλου. Αν ξεκινήσουμε με έναν κύκλο ακτίνας ίσης με 1, τότε το εμβαδόν του ισούται με π. Ε = πR² Για να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο που το εμβαδόν του να είναι ίσο με π, πρέπει να κατασκευάσουμε μια ευθεία που το μήκος της να είναι ίσο με √π, ώστε, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, να μας δώσει το ζητούμενο εμβαδόν. Τετραγωνισμός του κύκλου Με άλλα λόγια, αν ο π είναι αλγεβρικός αριθμός, δηλαδή αν αποτελεί λύση κάποιου κανονικού πολυωνύμου, τότε ο κύκλος μπορεί να τετραγωνιστεί. Διαφορετικά δεν μπορεί.

16 Ο Euler ήταν ο πρώτος που αναρωτήθηκε, το 1748, αν το e και το π είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Όμως.. αν το e και το π δεν είναι αλγεβρικοί αριθμοί, τότε τι αριθμοί θα μπορούσαν να είναι;; Οι μαθηματικοί αποκαλούν τους μη αλγεβρικούς αριθμούς υπερβατικούς αριθμούς. Παρόλο που το ερώτημα τέθηκε πρώτη φορά το 1748, δεν απαντήθηκε μέχρι το 1844……

17 Πραγματικοί Αριθμοί Φυσικοί Ακέραιοι ΡητοίΑλγεβρικοί Υπερβατικοί

18 Εκείνη τη χρονιά, ο Γάλλος μαθηματικός Ζοζέφ Λιουβίλ Joseph Liouville, (1809 – 1882), δημιούργησε τον πρώτο αριθμό που αποδεδειγμένα ήταν υπερβατικός. Εκείνη τη χρονιά, ο Γάλλος μαθηματικός Ζοζέφ Λιουβίλ Joseph Liouville, (1809 – 1882), δημιούργησε τον πρώτο αριθμό που αποδεδειγμένα ήταν υπερβατικός.

19 Το 1883, ο Σαρλ Ερμίτ Charles Hermite, (1822 – 1901), απέδειξε ότι το e είναι υπερβατικός αριθμός.

20 Το 1882, ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν, Carl Louis Ferdinand von Lindemann, (1852 – 1939), απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός. Αυτό απάντησε οριστικά στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αποδεικνύοντας ότι είναι αδύνατον να γίνει.

21 Υπάρχουν κι άλλοι υπερβατικοί αριθμοί ;; Έχει αποδειχτεί πως το e π είναι υπερβατικός, Επιπλέον, εξακολουθούν να είναι άγνωστες οι ιδιότητες απλών παραστάσεων, όπως το e + π και το e π. Δεν είναι γνωστό, όμως, αν το e e ή π e ή π π είναι υπερβατικοί ή αλγεβρικοί αριθμοί.

22 e a, αν το α είναι αλγεβρικός και μη μηδενικός αριθμός και, ιδίως, όχι το e. (θεώρημα Lindemann–Weierstrass), π. e π (σταθερά του Gelfond) όπως επίσης και το e -π/2 =i i (θεώρημα Gelfond–Schneider) a b όπου το a είναι αλγεβρικός, εκτός του 0, 1 και το b ένας άρρητος αλγεβρικός (θεώρημα Gelfond–Schneider), για παράδειγμα : (σταθερά Gelfond– Schneider) Το ημα, το συνα και η εφα και τα πολλαπλασιαστικά τους αντίστροφα για κάθε μη μηδενικό αλγεβρικό αριθμό α (θεώρημα Lindemann – Weierstrass) lna, αν το a είναι αλγεβρικός και διάφορος του 0 και του 1 (θεώρημα Lindemann–Weierstrass) Γ(1/3), Γ(1/4) και Γ(1/6) Ω (σταθερά του Chaitin) Σταθερά των Prouhet – Thue – Morse Αριθμοί που γνωρίζουμε ότι είναι υπερβατικοί όπου β>1 και ( floor function )

23 Πόσοι υπερβατικοί αριθμοί υπάρχουν; Είναι άραγε περισσότεροι από τους αλγεβρικούς αριθμούς; Έχει νόημα να λέμε ότι ένα απειροσύνολο αριθμών είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από ένα άλλο; Η προσπάθεια να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα άνοιξε έναν εντελώς νέο ορίζοντα στη μαθηματική σκέψη, σε ό,τι αφορά το άπειρο και μας παρείχε μια εντυπωσιακά βαθιά αντίληψη της φύσης του απείρου....

24 Για να αποκτήσουμε τον έλεγχο του απείρου, όμως, είναι καλύτερα να κατανοήσουμε πρώτα τους φυσικούς αριθμούς. Το πρώτο απειροσύνολο με το οποίο ήρθαν σε επαφή οι άνθρωποι, ήταν το σύνολο των φυσικών αριθμών. Όταν δύο πεπερασμένα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, τότε το ένα σύνολο μπορεί να απεικονιστεί αμφιμονοσήμαντα επί του άλλου συνόλου. Αν δεν περισσεύει κανένα στοιχείο σε κάποιο από τα δύο σύνολα, τότε έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια αρχή όταν μιλάμε για τα απειροσύνολα και θα τα συγκρίνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απεικόνισης ….

25 ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν τα Α και Β είναι δύο απειροσύνολα, κι αν όλα τα στοιχεία του Α απεικονίζονται ένα προς ένα επί όλων των στοιχείων του Β, τότε τα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Αφού τα δύο σύνολα Α και Β είναι απειροσύνολα, ο πληθικός τους αριθμός δεν μπορεί να είναι κάποιος πεπερασμένος αριθμός. Συνεπώς, θα είναι απαραίτητο τελικά να ορίσουμε κάποια επιπλέον σύμβολα που θα εκφράζουν τον πληθικό αριθμό των απειροσυνόλων. Κάθε απειροσύνολο που μπορεί να τεθεί σε αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση με τους φυσικούς αριθμούς, ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο.

26 ΘΕΩΡΗΜΑ : Κάθε αριθμήσιμο απειροσύνολο έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με τους φυσικούς αριθμούς (ίδιο μέγεθος). Το θεώρημα αυτό αφήνει να εννοηθεί ότι ένα άπειρο υποσύνολο ενός αριθμήσιμου συνόλου έχει το ίδιο μέγεθος με το αρχικό σύνολο. Ο λόγος που η έννοια αυτή μας κάνει να νιώθουμε ‘‘παράξενα’’, είναι μια ιδιότητα των πεπερασμένων αριθμών, που δεν την έχουν οι άπειροι αριθμοί.

27 Χαρακτηριστική ιδιότητα του απείρου

28

29 12 345… …52…52…52…

30

31 f(x)=εφ(x)

32 Όλα σχεδόν όσα πρέπει να μάθουμε για τους υπερβατικούς, οφείλονται σ’ αυτόν. Έζησε μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα, αλλά τραγική ζωή.

33  Γεννήθηκε στην Αγ. Πετρούπολη, στη Ρωσία, στις 3 Μαρτίου 1845  Πατέρας του ήταν ο Γκέοργκ Γουόλντεμαν Κάντορ, ένας Δανός έμπορος, και μητέρα του η Μαρία Μπεμ Κάντορ  Το 1856 η οικογένεια μετακόμισε στη Φρανκφούρτη του Μάιν, στο κρατίδιο της Έσης, για να αποφύγει ο Γκέοργκ ο πρεσβύτερος τους δριμείς ρώσικους χειμώνες  Όταν ο Γκέοργκ έγινε 15 χρονών, επέδειξε μεγάλο ταλέντο στα μαθηματικά και γράφτηκε στο Ανώτερο Πολυτεχνείο Γραντ – Ντουκάλ στο Ντάρμστατ  Το 1863 εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου επέλεξε να σπουδάσει μαθηματικά, φυσική και φιλοσοφία  Ήταν θεοσεβούμενος  Το 1872 εγκαταστάθηκε στο Χάλε, όπου γνωρίστηκε και έγινε φίλος με έναν άλλο νεαρό Γερμανό Μαθηματικό, τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ

34 Ο Κάντορ έθεσε το εξής ερώτημα : Θέτοντας αυτό το ερώτημα αναρωτιόταν αν οι πραγματικοί αριθμοί, στους οποίους συμπεριλαμβάνονται οι αλγεβρικοί και οι υπερβατικοί αριθμοί, είναι αριθμήσιμοι. Αν οι υπερβατικοί και οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμοι, τότε το άθροισμά τους θα είναι κι αυτό αριθμήσιμο. Στις 29 Νοεμβρίου 1873, ο Κάντορ έγραψε ένα γράμμα στο φίλο του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ…. Είναι αριθμήσιμοι οι υπερβατικοί αριθμοί;;

35 Δύο Αποδείξεις Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμοι γιατί είναι υπερβολικά πολλοί

36  Την παρουσίασε στον Ντέντεκιντ το Δεκέμβριο του 1873 και δημοσίευσε το 1874 Χρησιμοποίησε την εις άτοπον απαγωγή Υπέθεσε ότι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί θα μπορούσαν να απεικονιστούν αμφιμονοσήμαντα επί των φυσικών αριθμών κι έδειξε ότι αυτό οδηγούσε σε αντίφαση

37 Αναπτύχθηκε μερικά χρόνια αργότερα. Στηρίχθηκε στο δεκαδικό μας σύστημα. Είναι ουσιαστικά ίδια με την πρώτη απόδειξη, αφού χρησιμοποιεί την έμμεση μέθοδο (αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση) Σ’ αυτή την περίπτωση υποθέτουμε ότι οι αριθμοί συμβολίζονται με τη δεκαδική τους μορφή


Κατέβασμα ppt "Μετρώ όλα τα πράγματα και τα βάζω στη σειρά Λύνω και την εξίσωση x+ν=0 Εγώ και μοιράζω και λύνω και την εξίσωση μx+ν=0."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google