Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Του Ν. Καστάνη. ψηφιδωτό Ένα απρόσμενο ψηφιδωτό σε πεζόδρομο, που βρίσκεται στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Του Ν. Καστάνη. ψηφιδωτό Ένα απρόσμενο ψηφιδωτό σε πεζόδρομο, που βρίσκεται στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 του Ν. Καστάνη

2 ψηφιδωτό Ένα απρόσμενο ψηφιδωτό σε πεζόδρομο, που βρίσκεται στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου

3

4 Η τουριστική αυτή έκπληξη γίνεται μεγαλύτερη, όταν στον περίβολο του Αστεροσκοπείου, της ίδιας πόλης, συναντάει κανείς Αρχιμήδη ένα πολύ ωραίο άγαλμα του Αρχιμήδη.

5 Αστεροσκοπείο του Βερολίνου

6

7 π 1 η. Είχαν οι Αρχαίοι Έλληνες συμβολίσει με π, το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του; 2 η. Πότε δόθηκε αυτός ο συμβολισμός; 3 η. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, πως επέλεξαν τους δικούς τους αριθμούς για τον υπολογισμό της περιμέτρου ή της επιφάνειας του κύκλου; Που τους χρειάζονταν αυτούς τους υπολογισμούς; 4 η. Οι Αρχαίοι Έλληνες, γιατί διαφοροποιήθηκαν; 5 η. Αργότερα, οι Άραβες και οι επιστήμονες της Δυτικής Ευρώπης, τι συμπεριφορές είχαν στους υπολογισμούς του κύκλου;

8 π Είχαν οι Αρχαίοι Έλληνες συμβολίσει με π, το λόγο της περιμέτρου του κύκλου προς τη διάμετρό του; Όχι τρεις Κι αυτό γιατί, τρεις ιστορικές ιδιαιτερότητες εμπόδιζαν εμπόδιζαν κάτι τέτοιο. 1.Η γραφή στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό γινόταν μόνο μόνο με κεφαλαία γράμματα. Δεν υπήρχαν, τότε, μικρά γράμματα.

9 2. Ούτε το κεφαλαίο γράμμα Π ήταν δυνατόν να χρησιμοποιηθεί, τότε, για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του, γιατί αυτό συμβόλιζε τον αριθμό 80. Τα μικρά γράμματα ενσωματώθηκαν στην ελληνική γραφή, πολύ αργότερα, την περίοδο του Βυζαντίου, από τον 9 ο αιώνα μ.Χ. και μετά.

10 σημαντικότερο εμπόδιο 3. Το σημαντικότερο εμπόδιο για την αποδοχή του αριθμού και του συμβόλου π, στα Αρχαία Ελληνικά εννοιολογικού είδους Μαθηματικά, ήταν εννοιολογικού είδους. Αριθμός είναι το πλήθος που συγκροτείται από μονάδες

11 Επειδή οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί γνώριζαν, πολύ καλά, ότι η διάμετρος ενός κύκλου δεν μπορεί ακέραια να μετρήσει ακέραια την περιφέρεια του, καταλάβαιναν δεν μπορούσενομιμοποιηθεί ότι αυτή η μέτρηση δεν μπορούσε να νομιμοποιηθεί ως αριθμός. Είναι αλήθεια ότι, πριν απ’ αυτή την αδυναμία “ακέραιης” μέτρησης, είχαν μη δυνατότητα διαπιστώσει και τη μη δυνατότητα να μετρηθεί “ακέραια” υποτείνουσα μετρηθεί “ακέραια” η υποτείνουσα ενός πλευρά ορθογωνίου τριγώνου από την πλευρά του.

12 Οι μη “ακέραιες” μετρήσεις προκάλεσαν, τον 5 ο αιώνα π.Χ., έναν βαθύ προβληματισμό στους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και φιλοσόφους. άρρητα Ήταν ο προβληματισμός για τα άρρητα (ή ασύμμετρα) μεγέθη. Το γεγονός αυτό, δημιούργησε ένα ισχυρό κίνητρο για να αναπτυχθούν τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, πέρα από τις άμεσες πρακτικές ανάγκες. Αυτός που αντιμετώπισε και συστηματοποίησε τα άρρητα μεγέθη, για πρώτη φορά, ήταν ο Εύδοξος, τον 4 ο αιώνα π.Χ. Τη θεωρία του αυτή, την προώθησε ο Ευκλείδης και την συμπεριέλαβε στα Στοιχεία του.

13 π Πότε δόθηκε ο συμβολισμός π, για τον αριθμό που εκφράζει το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου; William Jones ( ) Για πρώτη φορά σημειώνεται το π, 1706 ως σύμβολο του 3,14…, το 1706, στο βιβλίο του William Jones :

14

15 Αξίζει να σημειωθεί ότι 60 χρόνια πριν, ένας άλλος Εγγλέζος μαθηματικός, ο William Oughtred, χρησιμοποίησε το σύμβολο π. δ (ή δ. π) για το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου. William Oughtred ( ) Αγγλική μετάφραση του Clavis Mathematicae

16

17 π Εκείνος, όμως, που καθιέρωσε το σύμβολο π για, τον αριθμό 3,14…, από το 1737 και εξής, ήταν Euler ο Ελβετός Euler. Leonhard Euler ( ) Εισαγωγή στην Απειροστική Ανάλυση (1748)

18

19 Ερώτημα : Στη Νεοελληνική Μαθηματική Παιδεία, πότε άρχισε να χρησιμοποιείται και πότε καθιερώθηκε το π; Ερώτημα : Στη Νεοελληνική Μαθηματική Παιδεία, πότε άρχισε να χρησιμοποιείται και πότε καθιερώθηκε το π;

20 Οι Βαβυλώνιοι και οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι πως μετρούσαν τον κύκλο; α. Οι Βαβυλώνιοι

21

22

23 μια σταθερά τέτοιων υπολογισμών

24

25 Που χρειάζονταν οι βαβυλώνιοι τις μετρήσεις του κύκλου;

26

27 Διαπιστώνεται ότι οι βαβυλώνιοι για τους δεν υπολογισμούς κύκλων δεν σκεπτόντουσαν με βάση την ακτίνα ή τη διάμετρο, αλλά έδιναν έμφαση και χρησιμοποιούσαν την περιφέρεια. β. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι

28

29

30

31 Στον πάπυρο Rhind, το 50 ο πρόβλημα Στον πάπυρο Rhind, το 50 ο πρόβλημα: Ένα κυκλικό χωράφι έχει διάμετρο 9 (μονάδες μέτρησης). Πόσο είναι το εμβαδόν του; Ο υπολογισμός γίνεται ως εξής: Πρώτα βρίσκεται το ένα ένατο του 9, που είναι 1. Αυτό αφαιρείται από το 9 και γίνεται 8. Και υπολογίζεται το γινόμενο του 8X \ 8 64 / Το 64 είναι το αποτέλεσμα. Από τον τρόπο χειρισμού του προβλήματος, φαίνεται ότι το δεν εμβαδόν του κύκλου δεν αντιμετωπίζονταν ως πολλαπλάσιο της διαμέτρου ή της ακτίνας του. δεν Και κατά συνέπεια δεν υπήρχε η αντίληψη του π.

32

33 Ο κύκλος στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό

34 Στην Αστρονομία

35 Αστρονομικά μοντέλα

36 Τα νέα στοιχεία του τρόπου σκέψης στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό, από τον 6 ο αιώνα π.Χ. και μετά νόμισμα Το νόμισμα → αναλογίες, ισότητες, αλφάβητο το αλφάβητο → έμμεση διαμόρφωση των σημασιών, έμμεσος συλλογισμός, δημοκρατία η δημοκρατία → συλλογικότητα, αρμονική συστηματοποίηση των σχέσεων. τις εξιδανικευμένες κι αναμφισβήτητες συγκρίσεις και αλληλεξαρτήσεις, τις δικαιολογήσεις και τις αποδείξεις, τις συνεκτικές γνώσεις, δηλ. τις θεωρίες. Ο μαθηματικός τρόπος σκέψης αναπτύχθηκε, τότε, με βάση:

37 Η ενασχόληση των Αρχαίων Ελλήνων με τον κύκλο Αναφέρεται ότι ο Θαλής, ήδη από το πρώτο μισό του 5 ου αιώνα π.Χ., διατύπωσε κάποιες προτάσεις για τον κύκλο. Επίσης, είναι γενικά γνωστές οι προσπάθειες κάποιων Σοφιστών για να τετραγωνίσουν τον κύκλο, στα τέλη του 5 ου και στις αρχές του 4 ου αιώνα. **Αυτοί οι τρόποι αντιμετώπισης του κύκλου πολύ διαφορετικοί είναι πολύ διαφορετικοί από τις αντίστοιχες συμπεριφορές των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων.

38 Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στο 3 ο και 4 ο βιβλίο εξετάζονται οι ιδιότητες του κύκλου, των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σε κύκλο κανονικά πολύγωνα. Διεισδύσεις των Αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών στη γεωμετρία του κύκλου

39 Ένα πολύ σημαντικό θεώρημα του Ευκλείδη

40 Η πολύ σημαντική συμβολή του Αρχιμήδη (3 ος αιώνας π.Χ.)

41

42 Το π στην Αστρονομία του Κλαύδιου Πτολεμαίου (2 ος αιώνας μ.Χ.)

43 Ερώτημα 1: Η τιμή 3, του Πτολεμαίου αναφέρεται σε σχέση με τις τιμές 3,1408 και 3,1428, που κυμαίνεται ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, σύμφωνα με τον Αρχιμήδη. δεν Η τιμή του Πτολεμαίου δεν είναι ο μέσος όρος των τιμών του Αρχιμήδη. Πως προκύπτει; Ερώτημα 1: Η τιμή 3, του Πτολεμαίου αναφέρεται σε σχέση με τις τιμές 3,1408 και 3,1428, που κυμαίνεται ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, σύμφωνα με τον Αρχιμήδη. δεν Η τιμή του Πτολεμαίου δεν είναι ο μέσος όρος των τιμών του Αρχιμήδη. Πως προκύπτει; Ερώτημα 2: Ο Πτολεμαίος χρησιμοποιεί την τιμή αυτή, στους υπολογισμούς που κάνει στην “Μαθηματική του Σύνταξη”; Και αν ναι, που; Ερώτημα 2: Ο Πτολεμαίος χρησιμοποιεί την τιμή αυτή, στους υπολογισμούς που κάνει στην “Μαθηματική του Σύνταξη”; Και αν ναι, που;

44 Το οδόμετρο του Ήρωνα (1 ος αιώνας μ.Χ.)

45 Μετρικά Στο βιβλίο του Μετρικά, δίνεται η διαδικασία υπολογισμού της περιφέρειας, όταν είναι γνωστή η διάμετρός της. Συγκεκριμένα παρουσιάζεται το εξής παράδειγμα: Αν η διάμετρος του κύκλου είναι δ=14, τότε πολλαπλασιάζεται το 14 με το 22 και το αποτέλεσμα, 14 x 22=308, διαιρείται με το επτά, 308:7=44, που είναι η περίμετρος του κύκλου. Με τα σημερινά δεδομένα, η υπολογιστική αυτή διαδικασία αντιστοιχεί στον τύπο: Αξιοσημείωτη συμβολή του Ήρωνα για τα π

46 Επισήμανση Στην προηγούμενη υπολογιστική τεχνική του Ήρωνα, αντίληψη αριθμού δημιουργείται μια αντίληψη αριθμού για το λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του, το 22:7, [αν και συγκαλυμμένη πίσω από τον σχετικό κι όχι συγκεκριμένο χειρισμό] κι όχι απλά η αναφορά στο συγκεκριμένο λόγο λόγο, ως μετρική σχέση. Το ίδιο διαφαίνεται και στον Πτολεμαίο, πίσω από την επιλογή του: Αυτή η υπόνοια του συγκεκριμένου α αα αριθμού έχει τη θέση του σημερινού π.

47

48 Τι συμπεριφορές είχαν οι Άραβες και οι επιστήμονες της Δυτικής Ευρώπης στους υπολογισμούς του κύκλου; Αστρολάβος, όργανο Αστρονομίας και Ναυσιπλοΐας α. Οι Άραβες

49 Οι Άραβες είχαν μεταφράσει και είχαν μελετήσει το έργο τον Αρχιμήδη και ειδικότερα την πραγματεία του: “Κύκλου Μέτρησις”. Επίσης, είχαν επηρεαστεί πολύ από την Αστρονομία του Πτολεμαίου. Αρχαίων Ελλήνων Εκτός από τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων, δέχτηκαν μεγάλη επίδραση και από τα Μαθηματικά Ινδών των Ινδών, όπως και των Κινέζων, σε κάποιο βαθμό. συστηματοποιήσουν Κι αυτό τους βοήθησε να συστηματοποιήσουν την Πρακτική Αριθμητική και την Πρακτική Γεωμετρία. ξεπέρασαν Έτσι ξεπέρασαν τις φιλοσοφικές αναστολές και τις αδυναμίες των Αρχαίων Ελλήνων για τους αριθμούς και τις βάσεις των αριθμητικών μεθόδων.

50 Στο πνεύμα αυτό, οι Άραβες μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν για τις μετρήσεις του κύκλου αριθμούς, τους αριθμούς, που προέρχονταν από τον Αρχιμήδη ή τον Πτολεμαίο, όπως και τους αριθμούς αντίστοιχους αριθμούς των Ινδών και των Κινέζων. Τον πιο ακριβή, μέχρι τότε, αριθμό για το π αλ-Κασί (πιο σωστά για το 2π), τον υπολόγισε ο αλ-Κασί (περ μ.Χ.), στο έργο του “Πραγματεία για την Περιφέρεια” (1424), που αντιστοιχούσε σε 16 δεκαδικά ψηφία.

51 β. Οι επιστήμονες στη Δυτική Ευρώπη, από τον 16 ο αιώνα μ.Χ. Νικόλαος Κοπέρνικος (1473 – 1543) Γαλιλαίος ( )

52 Με τη ραγδαία ανάπτυξη της Ναυσιπλοΐας, μετά την ανακάλυψη της Αμερικής (1492),το ενδιαφέρον Αστρονομίαμαθηματικούς για την Αστρονομία και τους μαθηματικούς υπολογισμούς υπολογισμούς αποκορυφώθηκε. Την ίδια εποχή, η Πυροβολική (βλητική) είχε μια ανάλογη τάση. Έτσι, δόθηκε μεγάλη ώθηση στις μετρήσεις γωνιών Τριγωνομετρία και κυκλικών τόξων, δηλ. στην Τριγωνομετρία. Κατά συνέπεια, το ενδιαφέρον για το π αναζωπυρώθηκε και αναπτύχθηκε. Στο πλαίσιο αυτό, η βελτίωση της προσεγγιστικής τιμής του π ήταν μια πρόκληση. Μια πρόκληση που οδήγησε στην επίπονη επέκταση της μεθόδου του Αρχιμήδη, αλλά και στην υιοθέτηση νέων μεθόδων. Νέες ανάγκες μαθηματικών εφαρμογών

53 Παράλληλα με τις νέες μαθηματικές απαιτήσεις, αντίδραση προέκυψε μια αντίδραση στον καθιερωμένο σχολαστικισμό της Γεωμετρίας του Ευκλείδη, στις τότε πανεπιστημιακές σπουδές. Γύρω στο 1570, ο Petrus Ramus, καθηγητής στο Βασιλικό Κολλέγιο της Γαλλίας και επιφανής προτεραιότητα Προτεστάντης, πρότεινε την προτεραιότητα των αριθμών και των υπολογισμών των αριθμών και των υπολογισμών σε σχέση με τη γεωμετρική θεωρητικολογία του σχολαστικισμού. Petrus Ramus (1515 –1572) αναπροσανατολισμός Θεωρητικός αναπροσανατολισμός

54 Willebrord Snellius ( ) Επισήμανε τον εξής υπολογισμό για το π, του Ludolph van Ceulen, με 35 δεκαδικά ψηφία : 3, Ludolph van Ceulen (1540–1610) Μεγαλύτερη ακρίβεια του π, με τη μέθοδο του Αρχιμήδη 1621

55 François Viète (1540 –1603) Ο υπολογισμός του π με νέες μεθόδους Δεν χρησιμοποίησε ειδικό σύμβολο. Αναφερόταν σ’ αυτό, περιφραστικά.

56 άπειρα γινόμενα άπειρες Η νέα μέθοδος με τα άπειρα γινόμενα και τις άπειρες σειρές σειρές, αναπτύχθηκε από το β΄ μισό του 17 ου αιώνα John Wallis ( ) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716) Isaac Newton (1642 – 1727) Leonhard Euler ( ) Χρησιμοποιούσε το σύμβολο □. Δεν χρησιμοποίησε ειδικό σύμβολο. Αναφερόταν σ’ αυτό, περιφραστικά. Δεν χρησιμοποίησε ειδικό σύμβολο. Αναφερόταν σ’ αυτό, περιφραστικά.

57 Μπορεί το π να γραφεί ως κλάσμα; Δηλαδή, υπάρχουν δύο ακέραιοι α, β τέτοιοι ώστε : Όχι Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) Αυτό σημαίνει ότι ο π είναι ά άά άρρητος. (1761)1768

58 Η αρρητότητα του π, στις Μαθηματικές Σπουδές

59 Μπορεί ο π να είναι λύση εξίσωσης; Όχι Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 –1939) Αυτό σημαίνει ότι ο π υπερβατικός είναι υπερβατικός αριθμός. 1882

60 Έτσι, μέχρι τα τέλη του 19 ου αιώνα, είχαν αναπτυχθεί οι δύο μέθοδοι προσέγγισης των ψηφίων του π: αυτή κανονικά πολύγωνα του Αρχιμήδη με τα κανονικά πολύγωνα και αυτή των άπειρων σειρών άπειρων σειρών της Μαθηματικής Ανάλυσης. αρρητότητας Επίσης, με την απόδειξη της αρρητότητας και της υπερβατικότητας υπερβατικότητας του ξεκαθάρισε η ιδιαιτερότητα του, η φύση του. Και δεν είναι καθόλου τυχαίο ότι, τότε, θεμελιώθηκαν πραγματικοί αριθμοί και οι πραγματικοί αριθμοί, δηλ. το σύνολο των αριθμών που περιλαμβάνουν τους ακέραιους, τα κλάσματα, τους άρρητους και τους υπερβατικούς.

61 Φαίνεται ότι στην αρχή του 20 ου αιώνα έκλεισε ο κύκλος διερεύνησης και διείσδυσης στο π. Όλα τα μυστικά του έγιναν γνωστά. Κι όμως, το 1949 με τη χρησιμοποίηση ενός 2000 υπολογιστή, τύπου ENIAC, υπολογίστηκαν 2000, περίπου, δεκαδικά ψηφία του π.

62 Αυτό σημαίνει ότι οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές αναζωπύρωσαν αναζωπύρωσαν το ενδιαφέρον για το π. δυναμική Γεγονός, που σχετίζεται τόσο με τη νέα δυναμική της ψηφιακής τεχνολογίαςνέες της ψηφιακής τεχνολογίας, όσο και με τις νέες μαθηματικές γνώσεις και τεχνικές μαθηματικές γνώσεις και τεχνικές που αναπτύχτηκαν προσαρμοσμένες στην ψηφιακή εποχή. Αξίζει να σημειωθεί ότι το 2009 υπολογίστηκαν στο Πανεπιστήμιο του Τόκυο, με Η/Υ τύπου T2K Open δυόμιση τρισεκατομμύρια Supercomputer, δυόμιση τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π.

63 Ωραία όλα αυτά. Έχει καμιά σχέση ο π με την καθημερινή μας ζωή; αποκλείεται Είναι αλήθεια ότι αποκλείεται ο π να εμφανιστεί στη δεν λαϊκή αγορά. Τα φασολάκια δεν μπορεί να πωλούνται με τιμή: π ευρώ, αν και μερικοί θα το ήθελαν πολύ. Κάπου αλλού, όμως, χρησιμοποιείται. Για παράδειγμα, στα κοντέρ των αυτοκινήτων.

64

65


Κατέβασμα ppt "Του Ν. Καστάνη. ψηφιδωτό Ένα απρόσμενο ψηφιδωτό σε πεζόδρομο, που βρίσκεται στο Πολυτεχνείο του Βερολίνου."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google