Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρέας Ν. Σβέρκος 1.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρέας Ν. Σβέρκος 1."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρέας Ν. Σβέρκος 1

2 2 1. Κατασκευαστική θεωρία της γνώσης «Κονστρουκτιβισμός» Οι μαθητές πρέπει να κατασκευάσουν τη δική τους κατανόηση της κάθε μαθηματική έννοιας, που σημαίνει ότι ο πρωταρχικός ρόλος του εκπαιδευτικού δεν είναι να “παραδώσει” το μάθημα, να το «εξηγήσει», ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο να το «μεταφέρει» στους μαθητές, αλλά κυρίως να οργανώνει καταστάσεις οι οποίες θα ενισχύουν στην δημιουργία πνευματικών κατασκευών από τους ίδιους τους μαθητές. 2. Διαδικαστική κατανόηση: Η διαδικαστική κατανόηση περιγράφει την ικανότητα του μαθητή να φέρει σε πέρας με επιτυχία καθημερινές εργασίας ρουτίνας.

3 3 3. Εννοιολογική κατανόηση: Η εννοιολογική κατανόηση επιτυγχάνεται όταν ένας μαθητής γνωρίζει επαρκώς τις διδασκόμενες έννοιες αλλά και τις αμοιβαίες μεταξύ τους σχέσεις. Χαρακτηριστικό της εννοιολογικής κατανόησης είναι οι πλούσιες και περισσότερο αλληλένδετες δομές της γνώσης, ενώ οι μεμονωμένες και αποσπασματικές γνώσεις είναι χαρακτηριστικά μιας επιφανειακής κατανόησης. Ένας μαθητής που έχει εννοιολογική κατανόηση μπορεί και απαντάει όχι μόνο στο πώς, αλλά και στο γιατί.

4 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΕ ΑΞΟΝΑ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΚΥΚΛΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ  ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Πιθανότητες  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Οι Πραγματικοί Αριθμοί  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Εξισώσεις  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : Ανισώσεις  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : Πρόοδοι  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : Βασικές Έννοιες Συναρτήσεων  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5

6 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ  Η συνεπαγωγή: επομένως, τότε, συνεπώς  Η ισοδυναμία: τότε και μόνο τότε, αν και μόνο αν  Ο σύνδεσμος « ή »  Ο σύνδεσμος « και » 6

7 7  Τα Σύνολα

8 8 Ω Α Β Ν(Β-Α)Ν(Α-Β) Ν(Α  Β)Ν(Α  Β) Ν(Β)Ν(Α)Ν(Ω) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

9 9 Πιθανότητες

10 10 Αδύνατο 0 % Βέβαιο 100% 0 0,1 0,20,30,40,50,60,70,80,9 1 Ενδεχόμενο Α ? Αβέβαιο Η κλίμακα μέτρησης Πιθανοτήτων Πιθανότητα

11 Στατιστικός Ορισμός της Πιθανότητας Ένα μήνα σε ένα επαρχιακό μαιευτήριο γεννήθηκαν 20 παιδάκια, ενώ σε ένα μαιευτήριο των Αθηνών 160 παιδάκια. Σε ποιο από τα δυο μαιευτήρια η αναλογία αγοριών- κοριτσιών αναμένεται να είναι πιο κοντά στο 50%- 50%;

12 12 Ενδεχόμενα και Σύνολα Ω Α Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β Ω Α Β ΑΒΑΒ Α΄ A-B (ΑΒ)΄(ΑΒ)΄ (A-B)  (B-A) ΑΒ=ΑΒ=  B  A ΑΒΑΒ

13 13 Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας: Ν(Ω) = ν <  Ρ({ω i }) = 1/ν, i=1,2,…,ν

14 14 Εκτέλεση πειράματος Φάση 1 η : Εκτέλεση πειράματος Καταγραφή των αποτελεσμάτων Κατανομή συχνοτήτων Πρόβλημα Δυο παίχτες, ο Α και ο Β, ρίχνουν συγχρόνως από ένα ζάρι.Ο παίχτης Α κερδίζει αν η διαφορά των ενδείξεων είναι 0, 1 ή 2. Ο παίχτης Β κερδίζει αν η διαφορά των ενδείξεων είναι 3, 4 ή 5. Να εξετάσετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο.

15 ο Εύρεση Δειγματικού Χώρου Φάση 2 η : Εύρεση Δειγματικού Χώρου

16 16 Υπολογισμός Πιθανοτήτων Φάση 3 η : Υπολογισμός Πιθανοτήτων Πιθανότητες Ενδεχομένων Πίνακας Πιθανοτήτων των Απλών Ενδεχομένων

17 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  Οι Πράξεις και οι ιδιότητες τους Πραγματικοί Αριθμοί και Πράξεις Δυνάμεις Ταυτότητες Μέθοδοι Απόδειξης  Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έννοια της Διάταξης Ιδιότητες των Ανισοτήτων Διαστήματα  Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού Ορισμός Απόλυτης Τιμής Ιδιότητες Απόλυτων Τιμών Απόσταση δυο Αριθμών  Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Τετραγωνική ρίζα ν- οστή ρίζα Ιδιότητες ριζών Δυνάμεις με ρητό εκθέτη 17

18 Διδακτικές Παρατηρήσεις:  Οι Ταυτότητες A = x 2 - 6xy + 9y 2 A = x 2 - 6xy + 9y 2 =(x- 3y) 2  Μέθοδοι Απόδειξης 18 Ευθεία Απόδειξη  Ισοδυναμίες  Αντιπαράδειγμα Αν α > 0, τότε α 2 > α Τι γίνεται για α = ½ ; Που βρίσκονται τα σημεία Μ(x, y ) με

19 Μέθοδος Απαγωγής σε Άτοπο  Υπάρχουν άπειροι πρώτοι φυσικοί αριθμοί  Ο Ρόλος της Απόδειξης στο Λύκειο P, P!  Ο αριθμός είναι άρρητος

20 20 Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο σημείο αυτό να αντιστοιχεί ρητός αριθμός; x x’ O 1 M Ποιοι είναι π ερισσότεροι οι ρητοί ή οι άρρητοι;

21  Διάταξη – Απόλυτες Τιμές 21 O α β O α β O α β x x x x΄x΄ x΄x΄ x΄x΄ α = β +θ, θ>0 α β Ο θ x΄x΄ x

22 Ορισμός 22 Βασική ιδέα: Η αλγεβρική έκφραση της απόστασης δυο σημείων σε έναν άξονα  Διάταξη – Απόλυτες Τιμές

23 α βγ δ ε ζηθ Διάταξη Διάταξη και πράξεις Διάταξη και απόλυτη τιμή Διάταξη και δυνάμεις Διάταξη και μονοτονία συναρτήσεων Διάταξη και ρίζες Διαστήματα

24 24 Απόσταση δυο Αριθμών α και β : d(α, β)=│β – α │ Πρόβλημα: Ποιοι είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : 5 μονάδες δεξιά5 μονάδες αριστερά ( ) Άρα -3 < x < 7, δηλαδή d(x, 2) <5 ;

25  Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 25

26  Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη 26

27 ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ 27

28 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ  Εξισώσεις 1 ου βαθμού Η εξίσωση αx+β = 0 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1 ου βαθμού o Ρητές Εξισώσεις o Εξισώσεις με Απόλυτες Τιμές  Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση αx 2 +βx+γ, α  0 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2 ου βαθμού o Εξισώσεις με απόλυτες τιμές o Ρητές Εξισώσεις o Διτετράγωνες Εξισώσεις 28

29  Η εξίσωση 1 ου βαθμού 29 Διερεύνηση της εξίσωσης 1 ου βαθμού

30 30

31  Εξισώσεις με Απόλυτες Τιμές Λύνονται απλές εξισώσεις με βάση τον ορισμό της απόλυτης τιμής ή την έννοια της απόστασης, όπως: 31

32  Επίλυση Προβλήματος 32

33  Εξισώσεις 2 ου βαθμού 4. Προβλήματα 33

34 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ  Ανισώσεις 1 ου βαθμού Η Ανίσωση αx + β > 0 Συναληθεύουσες Ανισώσεις Ανισώσεις με απόλυτες τιμές  Ανισώσεις 2 ου βαθμού Μορφές Τριωνύμου Η ανίσωση αx 2 +βx+γ > 0 Διαστήματα 34

35 Διδακτικές Παρατηρήσεις:  Ανισώσεις με Απόλυτες Τιμές Να λυθεί η ανίσωση │x - 2│< 3 O O O

36 36 Να κατασκευαστεί μια ανίσωση με απόλυτες τιμές της οποίας οι λύσεις είναι το σύνολο A= {x Є R/ - 2 < x < 4 } Κέντρο διαστήματος (-2+4)/2= 1 Άρα

37  «Περίεργες» Εξισώσεις 1 7 AB x M MA + MB = AB 37

38 38  Πρόσημο τριωνύμου- Ανισώσεις Δευτέρου βαθμού ΟΧΙ ΣΤΑ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΑ + ΚΑΙ -

39  Πρόσημο τριωνύμου- Ανισώσεις Δευτέρου βαθμού 39

40 40

41 41 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Βασική ιδέα: η ανακάλυψη προτύπων (patterns)

42 42 Αριθμητική Πρόοδος Δραστηριότητα: Σε μια αίθουσα δεξιώσεων χρησιμοποιούν τετράγωνα τραπέζια τεσσάρων ατόμων. 1. Αν δυο τραπέζια ενωθούν πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ;(Σχήμα) 2. Αν τρία τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ;(Σχήμα) 3. Αν τέσσερα τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ; 4. Αν δέκα τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν; 6. Αν ν τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν; 8. Πόσα τραπέζια σε τέτοια διάταξη θα χρειαστούν για να καθίσουν 66 άτομα; ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ

43

44 44 Άθροισμα ν Διαδοχικών Όρων Αριθμητικής Προόδου S 10 = 10*(10+1)/2=55 Ποια ιδέα κρύβεται πίσω από τον τύπο του αθροίσματος;

45 45 Γεωμετρική Πρόοδος Δραστηριότητα: Ένα φύλλο χαρτιού τύπου Α 4 με διαστάσεις περίπου 20 cm * 30 cm έχει πάχος 0,1 mm. Διπλώσουμε το χαρτί στη μέση διαδοχικά έξι φορές. 1.Δοκιμάστε να σκίσετε το χαρτί μετά την 6 η δίπλωση. Πόσο πάχος έχει; 2.Ποια η επιφάνεια του χαρτιού μετά την 6 η δίπλωση; 3.Αν κάναμε το ίδιο με ένα φύλλο 1 η δίπλωση2 η δίπλωση 3 η δίπλωση

46

47 47 Αριθμητικός Μέσος - Γεωμετρικός Μέσος αβ

48 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ  Η Έννοια της Συνάρτησης Εισαγωγή Συντομογραφία Συνάρτησης  Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Καρτεσιανές Συντεταγμένες Γραφική Παράσταση Συνάρτησης  Η Συνάρτηση f(x)= αx+ β Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Γραφική παράσταση της f(x)= αx+β Η Συνάρτηση f(x)=│x│ 48

49 Διδακτικές Παρατηρήσεις:  Η Έννοια της Συνάρτησης 49

50 50  Η Συνάρτηση f(x)=αx+β Ο x y 1 3 ε Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε του παρακάτω σχήματος

51 x y O y= λx + β y= αx + λ x y O Ο ρόλος των α και β στην εξίσωση y = αx + β 51

52 52 f(x+1) –f(x)= α(x+1) +β –αx –β = α

53 53 Γραφική Παράσταση Αριθμητικής Προόδου α 1 = - 3, ω = 2, α ν =-3 + (ν-1)*2 = 2ν -5 y=2x-5

54 y = x 2 y = x 2 +1 y = x 2 y = (x - 1) 2 y = (x + 1) 2 54 Βασική ιδέα: Οι γραφικές παραστάσεις με εξισώσεις y= αx 2 + βx+ γ και y= αx 2 είναι ακριβώς ίδιες, σχεδιασμένες όμως σε διαφορετικές θέσεις ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

55  Η Συνάρτηση f(x)=αx 2 +βx+γ Με ποιες μετατοπίσεις, κατακόρυφη και οριζόντια, η θα συμπέσει με την ; 55

56 56 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= (x-p) 2 + q. Να βρεθούν τα p και q. Απάντηση: p=2, q=1

57 57 Γιατί είναι χρήσιμη η διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο; Αναλύω, απλοποιώ, αξιολογώ, αποδεικνύω, αποφασίζω, γενικεύω, διατυπώνω, δικαιολογώ, εξερευνώ, εξηγώ, ερμηνεύω, ισχυρίζομαι, κατατάσσω, μετασχηματίζω, οργανώνω, παρουσιάζω, πειραματίζομαι, σκέπτομαι, συγκρίνω, συνδυάζω, συνθέτω, συνοψίζω, σχεδιάζω, τακτοποιώ, υποθέτω


Κατέβασμα ppt "Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρέας Ν. Σβέρκος 1."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google