Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 Τάση Επίδραση εξωτερικών δυνάμεων  σώμα σε ισορροπία Συνισταμένη F FF F = 0 (στο Ο ΟΟ Ο). Υλικό χώρου γύρω από Ο σε εντατική κατάσταση Ποιες δυνάμεις.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 Τάση Επίδραση εξωτερικών δυνάμεων  σώμα σε ισορροπία Συνισταμένη F FF F = 0 (στο Ο ΟΟ Ο). Υλικό χώρου γύρω από Ο σε εντατική κατάσταση Ποιες δυνάμεις."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 Τάση Επίδραση εξωτερικών δυνάμεων  σώμα σε ισορροπία Συνισταμένη F FF F = 0 (στο Ο ΟΟ Ο). Υλικό χώρου γύρω από Ο σε εντατική κατάσταση Ποιες δυνάμεις ασκούνται στο στοιχείο του σώματος που περιβάλλει το Ο ; δS= στοιχειώδης επιφάνεια F= συνισταμένες δυνάμεις που ασκεί το ένα τμήμα του σώματος στο άλλο Οι δυνάμεις είναι ίσες & αντίθετες (νόμος δράσης – αντίδρασης) Άρα αρκεί η μελέτη της μιας (F) F = f (προσανατολισμός δS, εμβαδόν δS) Σκοπός εντατικής κατάστασης στο Οανεξάρτητα της S Σκοπός : Μελέτη αιτίου της εντατικής κατάστασης στο Ο ανεξάρτητα της S  F / μονάδα επιφάνειαςΤΑΣΗ μελετάμε F / μονάδα επιφάνειας = ΤΑΣΗ = ανεξάρτητη εμβαδού δS.

2 2 Διάνυσμα Τάσης πάνω στη ΔS κάθετη στη ΔS p3 = κάθετη ή ορθή συνιστώσα τάσης p1, p2 = διατμητικές συνιστώσες τάσης (εφαπτομενικές) Διάνυσμα τάσης στο Ο ως προς ΔS : 1 x 2 x 3 x 1 p 2 p 3 p S  O F p πάνω στη ΔS

3 3 Τάση σε Σημείο Φυσικού Σώματος Μεταβολή προσανατολισμού ΔS Μεταβολή προσανατολισμού ΔS  μεταβολή  μεταβολή p 1, p 2, p 3 Πλήρης περιγραφή Πλήρης περιγραφή  καθορισμός συνιστωσών ως προς κάθε επίπεδο που περνά από το Ο S1 S2 S3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 comp.3 comp.3 comp. καθορίζεται από 9 συνιστώσες τανυστής 2 ης τάξης τανυστής 2 ης τάξης (3 2 comp.)   S1S1S1S1 S3S3S3S3 S2S2S2S2 p O

4 4 1 S 3 S 1 x 2 x 3 x 2 S p p 11 p 21 p 23 p 13 p 31 p 12 p 32 p A B  O Οx 1  Οx 2  Οx, δx 1 =OA, δx 2 =OΒ, δx 3 =OΓ Τετράεδρο ΟΑΒΓ σε στατική ισορροπία υπό επίδραση ροπών και δυνάμεων από την ύλη που το περιβάλλει Συμβολισμός : p pp pij i : άξονας κάθετος στο επίπεδο που ασκείται η συνιστώσα τάσης j : άξονας παράλληλος προς τη συνιστώσα τάσης 9 συνιστώσες τάσης : p pp p11, p22, p33 = κ άθετες συνιστώσες τάσης p 12, p13, p21, p23, p31, p33 = δ ιατμητικές συνιστώσες τάσης Τάση σε Σημείο Φυσικού Σώματος Τάση σε Σημείο Φυσικού Σώματος (...συνέχεια)

5 5 Κάθετη συνιστώσα τάσης με φορά προς το : εσωτερικό του χώρου = τάση συμπίεσης (+) εξωτερικό του χώρου = τάση εφελκυσμού (-) κάθετες συνιστώσες τάσης (p ij, i = j) Στοιχεία διαγωνίου = κάθετες συνιστώσες τάσης (p ij, i = j) διατμητικές συνιστώσες τάσης (p ij, i ≠ j) Άλλα στοιχεία = διατμητικές συνιστώσες τάσης (p ij, i ≠ j)

6 6 Συνθήκες Ισορροπίας 1.Συνισταμένες δυνάμεις παράλληλες στους Οx 1, Οx 2, Οx 3 ίσες με 0.   Δίνεται δυνατότητα υπολογισμού τριών συνιστωσών τάσης που ασκούνται στο ΑΒΓ επίπεδο και είναι παράλληλες προς Οx 1, Οx 2, Οx 3 ως συνάρτηση των p ij. 2.Τρεις συνισταμένες ροπές ως προς Οx 1, Οx 2, Οx 3 είναι ίσες με 0 (αρχή διατήρησης στροφορμής). Εφαρμογή σε στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο με κορυφή το Ο   p 12 = p21, p13 = p31, p p p p23 = p32   Τ ΑΣΗ = ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΑΝΥΣΤΗΣ Άρα πόσες συνιστώσες τάσης απαιτούνται για την περιγραφή του τανυστή τάσης;

7 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 7

8 8 Ιδιοδιανύσματα - Ιδιοτιμές Η τάση σε σημείο στερεού σώματος περιγράφεται από ένα τετραγωνικό πίνακα 3x3 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα υπάρχει ένας αριθμός λ και ένα διάνυσμα που επαληθεύουν τη σχέση: Ιδ όπου, Ι μοναδιαίος πίνακας και δ ο γνωστός τανυστής Kronecker που αποτελεί μοναδιαίο πίνακα 3x3 (για i=j δ ij =1, για i  j δ ij =0) …… ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) του P λ …… ιδιοτιμή (eigenvalue) του P

9 9 Ιδιοδιανύσματα - Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα - Ιδιοτιμές (...συνέχεια) Α Ένα ομογενές σύστημα της μορφής έχει μη μηδενικές λύσεις όταν η ορίζουσα του Α είναι ίση με μηδέν, επομένως αφού θα ισχύει ότι:

10 10 Ιδιοδιανύσματα - Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα - Ιδιοτιμές (...συνέχεια)

11 ΚΥΡΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΑΣΗΣ α) Τιμές β) Κατευθύνοντα Συνημίτονα ως προς τυχαίο σύστημα αξόνων 11

12 12 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (ορισμός) Οι τάσεις που ασκούνται σε τυχόν επίπεδο που περνά από σημείο ελαστικού σώματος εξαρτώνται από τον προσανατολισμό του επιπέδου. Υπάρχουν τρία κάθετα επίπεδα όπου οι διατμητικές τάσεις είναι όλες ίσες με μηδέν οπότε ασκούνται μόνο κάθετες τάσεις. Κύριες (κάθετες) συνιστώσες τάσης : σ 1 σ 2 σ 3 μέγιστη (σ 1 ), μέση (σ 2 ), ελάχιστη (σ 3 )

13 13 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (a: τιμές) p 12 = p 21 p 23 = p 32 p 31 = p 13

14 14 Άρα ο τανυστής τάσης ως προς τους κύριους άξονες τάσης ορίζεται από τον πίνακα: Κύριες Συνιστώσες Τάσης (a: τιμές)

15 15 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (a: τιμές) σ 1, σ 2, σ 3 Λύσεις είναι οι σ 1, σ 2, σ 3. Από τις ιδιότητες εξισώσεων 3 ου βαθμού είναι γνωστό ότι: σ 1, σ 2, σ 3 Επειδή σ 1, σ 2, σ 3 είναι σταθερές ποσότητες προκύπτει ότι και το άθροισμα: p 11 +p 22 +p 33 είναι επίσης σταθερή ποσότητα που χαρακτηρίζει κάθε σημείο φυσικού σώματος, ανεξαρτήτως προσανατολισμού του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιείται

16 16 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (β: κατευθύνοντα συνημίτονα) σ 1 p ij Κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 1 ως προς ένα τυχαίο σύστημα αξόνων ως προς το οποίο θεωρούμε τις συνιστώσες τάσης της p ij :

17 17 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (β: κατευθύνοντα συνημίτονα)

18 18 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (β: κατευθύνοντα συνημίτονα) σ 2 p ij Κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 2 ως προς ένα τυχαίο σύστημα αξόνων ως προς το οποίο θεωρούμε τις συνιστώσες τάσης της p ij :

19 19 Κύριες Συνιστώσες Τάσης (β: κατευθύνοντα συνημίτονα) σ 3 p ij Κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 3 ως προς ένα τυχαίο σύστημα αξόνων ως προς το οποίο θεωρούμε τις συνιστώσες τάσης της p ij :

20 20 3 ζεύγη επιπέδων διχοτομούν τις γωνίες των 3 κυρίων επιπέδων τάσης  κύριες διατμητικές τάσεις Σε αυτά οι διατμητικές τάσεις παίρνουν τις ακραίες τιμές τους = κύριες διατμητικές τάσεις : ενώ οι κάθετες συνιστώσες τάσης γίνονται : Κύριες Συνιστώσες Τάσης Κύριες Συνιστώσες Τάσης (...συνέχεια)

21 21 Κατανομή τάσεων σε σημείο σώματος Ελλειψοειδές του Lamé Το διάνυσμα τάσης (p ij ) που ασκείται στο επίπεδο ορίζεται από την απόσταση του κέντρου του ελλειψοειδούς από το σημείο επαφής του επιπέδου με το ελλειψοειδές. Κύριες Συνιστώσες Τάσης Κύριες Συνιστώσες Τάσης (...συνέχεια) Οι τρεις ημιάξονες του ελλειψοειδούς έχουν μήκη που αντιστοιχούν στα μέτρα των τριών κύριων συνιστωσών τάσης, σ 1, σ 2, σ 3.

22 22 Θεωρούμε την τάση ως προς τυχόν σύστημα αξόνων. Τάση = συμμετρικός τανυστής  Ανάλυση Τανυστή Τάσης σ 0 = Μέση κάθετη τάση

23 23 Μονάδες Τάσης και Τιμές της στη Γη Μονάδες τάσης = μονάδες πίεσης CGS ……………………………………………… CGS ……………………………………………… 1 dyn/cm 2 MKS (IS) ……………………………………… MKS (IS) ……………………………………… 1 Nt/m 2 Άλλες Μονάδες ………………………….. Άλλες Μονάδες ………………………….. 1 bar 1 Pa (Pascal) Σχέσεις Μεταξύ Μονάδων Σχέσεις Μεταξύ Μονάδων bar = 10 6 dyn/cm 2 1 Pa = 10 dyn/cm 2 1 Mpa = 10 bar Λιθόσφαιρα (φλοιός + άνω μανδύας) τάση = μερικά Κbar Πτώση τάσης (stress drop) κατά τη γένεση σεισμού = μερικά bar Μεταβολή τάσης κατά τη διάδοση σεισμικών κυμάτων = μερικές δεκάδες dyn/cm 2.

24 24 Εφαρμογή 3.1 p 11 =2barp 33 = - 1bar p 22 =p 23 =p 12 =0p 13 =1barσ 1, σ 2, σ 3 τ 1/2, τ 2/3, τ 3/1 σ 1/2, σ 2/3 σ 3/1 τ Εφαρμογή 3.1 Οι συνιστώσες τάσης ως προς τυχαίο σύστημα συντεταγμένων είναι: p 11 =2bar, p 33 = - 1bar, p 22 =p 23 =p 12 =0, p 13 =1bar. Να υπολογιστούν οι σ 1, σ 2, σ 3 και οι γωνίες τους με τους άξονες του συστήματος β) οι κύριες διατμητικές τάσεις τ 1/2, τ 2/3, τ 3/1 γ) οι κάθετες τάσεις σ 1/2, σ 2/3 και σ 3/1 στα επίπεδα που οι τ παίρνουν τις ακραίες τους τιμές Κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 1 :

25 25 Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τα κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 3 : θ 31 =73 0, θ 32 =90 0, θ 33 =163 0 Εφαρμογή 3.1 (...συνέχεια) Κύριες διατμητικές τάσεις: Κάθετες τάσεις:

26 26 Άσκηση Άσκηση 3.1 Οι συνιστώσες τάσης ως προς τυχαίο σύστημα συντεταγμένων είναι: p 11 =5bar, p 22 = - 3bar, p 12 =4bar, p 33 =p 13 =p 23 =0. Να υπολογιστούν οι σ 1, σ 2, σ 3 και οι γωνίες τους με τους άξονες του συστήματος β) οι κύριες διατμητικές τάσεις τ 1/2, τ 2/3, τ 3/1 γ) οι κάθετες τάσεις σ 1/2, σ 2/3, σ 3/1 στα επίπεδα που που διχοτομούν τις γωνίες των επιπέδων των κύριων αξόνων τάσης Κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 1 :

27 27 Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τα κατευθύνοντα συνημίτονα της σ 3 : θ 31 =67 0, θ 32 =23 0, θ 33 =90 0 Άσκηση 3.1 (...συνέχεια) Κύριες διατμητικές τάσεις: Κάθετες τάσεις:

28 28 Άσκηση 3.2 p 11 =5bar, p 22 = - 3bar, p 12 =4bar, p 33 =p 13 =p 23 =0σ 1 =6.67bar, σ 2 =0, σ 3 = bar Άσκηση 3.2 Οι συνιστώσες τάσης ως προς τυχαίο σύστημα συντεταγμένων είναι: p 11 =5bar, p 22 = - 3bar, p 12 =4bar, p 33 =p 13 =p 23 =0. Οι κύριες συνιστώσες τάσης είναι: σ 1 =6.67bar, σ 2 =0, σ 3 = bar Να παρασταθεί η τάση υπό μορφή μητρών ως προς το Οxyz και ως προς το σύστημα των κύριων αξόνων τάσης. Να βρεθεί το ίχνος της και η μέση κάθετη τάση. Να αναλυθεί σε ένα ισοτροπέα και ένα εκτροπέα ως προς τα δύο συστήματα αξόνων Ως προς τυχόν σύστημα αξόνων: Ως προς προς σύστημα κύριων αξόνων: Ίχνος p kk = p 11 + p 22 + p 33 = 2 = σ 1 + σ 2 + σ 3 Μέση κάθετη τάση :

29 29 Άσκηση 3.2 (...συνέχεια) Ανάλυση ως προς τυχόν σύστημα αξόνων: Ανάλυση ως προς προς σύστημα κύριων αξόνων τάσης:

30 30 Παραμόρφωση σε Σημείο Σώματος Συνολική παραμόρφωση στοιχείου στη γειτονιά ενός σημείου: ΕΙΔΟΣΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ (Ι)Μεταβολή Όγκου (ΙΙ)Μεταβολή Σχήματος (ΙΙΙ)Περιστροφή Στοιχείου ΚΥΒΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ (συνήθως αμελητέα)

31 31 Κυβική Παραμόρφωση Δ Δ΄Δ΄ Αρχική κατάσταση: ΟA=δx 1, ΟB=δx 2, ΟΓ=δx 3 Θεωρούμε ότι εξωτερικές δυνάμεις προκαλούν μόνο μεταβολή του όγκου ΑΑ’=>ΑΑ’= δu 1 ΒΒ’=>ΒΒ’= δu 2 ΓΓ’=>ΓΓ’= δu 3 ανηγμένες επιμηκύνσεις Ονομάζουμε ανηγμένες επιμηκύνσεις κατά τις διευθύνσεις των Οx 1, Ox 2, Ox 3 τις: Ο e ii είναι συμμετρικός τανυστής β’ τάξης και ονομάζεται κυβική παραμόρφωση

32 32 Ανηγμένη Κυβική Παραμόρφωση, θ Είναι ο λόγος της μεταβολής του όγκου ενός στοιχείου προς τον αρχικό του όγκο: Αποδεικνύεται ότι θ=e 11 +e 22 +e 33 (ίχνος του τανυστή κυβικής παραμόρφωσης e ii ) Δεν επηρεάζεται από την αλλαγή των αξόνων, άρα είναι μονόμετρο μέγεθος

33 33 Διατμητική Παραμόρφωση Θεωρούμε μεταβολή μόνο του σχήματος (όχι του όγκου) στο επίπεδο x 1 x 2 ΑΑ΄ απειροελάχιστη => ΑΑ΄~//x 2 και ΑΑ΄ = δu 2 ΒΒ΄ απειροελάχιστη => ΒΒ΄~//x 1 και ΒΒ΄ = δu 1 e 12 =e 21 e 23 =e 32 e 13 =e 31 γωνίες διάτμησης ανηγμένες διατμητικές παραμορφώσεις Οι ποσότητες e 12 =e 21, e 23 =e 32, e 13 =e 31 είναι γωνίες, ονομάζονται γωνίες διάτμησης και ορίζουν τις ανηγμένες διατμητικές παραμορφώσεις του σώματος (ως προς το σημείο Ο) που λαμβάνουν χώρα κάθετα στους άξονες Ox 3, Οx 1 και Ox 2, αντίστοιχα. OA=δx 1 OB=δx 2

34 34 Ανηγμένη Διατμητική Παραμόρφωση, e ij Ορίζεται από τη παρακάτω σχέση και είναι ένας συμμετρικός τανυστής β΄ τάξης με μηδενικό ίχνος (και μηδενικά τα στοιχεία της διαγωνίου του): i = άξονας πάνω στον οποίο βρίσκεται το στοιχείο που παραμορφώνεται j = άξονας παράλληλα προς τον οποίο γίνεται η παραμόρφωση

35 35 Περιστροφή Εδώ θεωρούμε μόνο περιστροφή του σώματος και όχι μεταβολή του όγκου ή του σχήματος. Εξετάζουμε τη περιστροφή του σώματος γύρω από τον άξονα Ox 3 ΑΑ΄ απειροελάχιστη => ΑΑ΄~//x 2 και ΑΑ΄ = δu 2 ΒΒ΄ απειροελάχιστη => ΒΒ΄~//x 1 και ΒΒ΄ = -δu 1 το (-) σημαίνει αρνητική φορά (ως προς Οx 1 ) του αντίστοιχου διανύσματος μετάθεσης (ΒΒ΄). ξ 12 = -ξ 21 ξ 23 = -ξ 32 ξ 13 = -ξ 31 περιστροφή του σώματος Οι ποσότητες ξ 12 = -ξ 21, ξ 23 = -ξ 32, ξ 13 = -ξ 31 (αντισυμμετρικός τανυστής β΄ τάξης) ορίζουν την περιστροφή του σώματος που λαμβάνει χώρα γύρω από τους άξονες Ox 3, Οx 2 και Ox 1, αντίστοιχα. OA=δx 1 OB=δx 2

36 36 Η περιστροφή ορίζεται τελικά από τη παρακάτω σχέση και είναι ένας αντισυμμετρικός τανυστής β΄ τάξης με μηδενικό ίχνος (και μηδενικά τα στοιχεία της διαγωνίου του): Περιστροφή Περιστροφή (...συνέχεια)

37 37 Ολική Παραμόρφωση Είναι ένας τανυστής β΄ τάξης που ισούται με το άθροισμα: της κυβικής παραμόρφωσης, e ii, της διατμητικής παραμόρφωσης, e ij και της περιστροφής ξ ij : όπου, e ii = κυβική παραμόρφωση (συμμετρικός τανυστής με μηδενικά τα στοιχεία εκτός διαγωνίου) e ij = διατμητική παραμόρφωση (συμμετρικός τανυστής με μηδενικά τα στοιχεία της διαγωνίου) ξ ij = κυβική παραμόρφωση (αντισυμμετρικός τανυστής με μηδενικά τα στοιχεία της διαγωνίου)

38 38 Οι τανυστές κυβικής και διατμητικής παραμόρφωσης μπορούν να αθροισθούν και να δώσουν ένα συμετρικό τανυστή β΄ τάξης, e ij, οπότε η ολική παραμόρφωση είναι το άθροισμα ενός συμμετρικού (e ij ) και ενός αντισυμμετρικού τανυστή (ξ ij ). Επειδή κατά τη διάδοση των σεισμικών κυμάτων η περιστροφή είναι αμελητέα (εξαιρούνται οι περιοχές κοντά στην εστία του σεισμού) μπορεί να μην συμπεριληφθεί στην ολική παραμόρφωση οπότε τελικά: Ολική Παραμόρφωση Ολική Παραμόρφωση (...συνέχεια) ε 1, ε 2, ε 3 κύριες ανηγμένες επιμηκύνσειςκύριοι άξονες παραμόρφωσης Κατ’ αντιστοιχία με τις κύριες συνιστώσες τάσης, μπορεί να θεωρηθεί ότι υπάρχουν τρία κάθετα μεταξύ τους επίπεδα πάνω στα οποία οι διατμητικές παραμορφώσεις είναι όλες ίσες με μηδέν οπότε παρατηρούνται μόνο ανηγμένες επιμηκύνσεις, ε 1, ε 2, ε 3 (κύριες ανηγμένες επιμηκύνσεις) κατά μήκος των αξόνων (κύριοι άξονες παραμόρφωσης) που ορίζονται από τα παραπάνω επίπεδα.

39 39 Το σώμα παραμορφώνεται οπότε οι συνιστώσες μετάθεσης είναι: Σ u 1, u 2, u 3 Για το Σ u 1, u 2, u 3 και Σ 1 u 1 +δu 1, u 2 +δu 2, u 3 +δu 3 Για το Σ 1 u 1 +δu 1, u 2 +δu 2, u 3 +δu 3 Στοιχειώδης Μετάθεση Έστω σημεία Σ(x 1, x 2, x 3 ) Σ(x 1, x 2, x 3 ) και Σ 1 (x 1 +δx 1, x 2 +δx 2, x 3 +δx 3 ) δu 1, δu 2, δu 3 Σ 1 Σ Οι σχετικές συνιστώσες μετάθεσης δu 1, δu 2, δu 3 του Σ 1 ως προς Σ γίνονται:

40 40 Στοιχειώδης Μετάθεση Στοιχειώδης Μετάθεση (...συνέχεια)

41 41 Στοιχειώδης Μετάθεση Στοιχειώδης Μετάθεση (...συνέχεια) Και γενικά: Επομένως είναι δυνατός ο υπολογισμός της σχετικής μετάθεσης δύο γειτονικών υλικών σημείων όταν είναι γνωστές οι αρχικές τους θέσεις και ο τανυστής ανηγμένης παρμόρφωσης

42 42 Εφαρμογή 3.2 θ=e 11 +e 22 +e 33 θ=divu i Εφαρμογή 3.2 Να αποδειχθεί ότι α) η ανηγμένη κυβική παραμόρφωση, θ, είναι θ=e 11 +e 22 +e 33 και β) ότι θ=divu i Αρχικός όγκος: V 0 =(OA)(OB)(ΟΓ)=x 1 x 2 x 3 x 1 → x 1 -e 11 x 1 Κυβική παραμόρφωση => x 2 → x 2 -e 22 x 2 x 3 → x 3 -e 33 x 3 Τελικός όγκος: Τελικός όγκος: V 1 =(x 1 -e 11 x 1 )(x 2 -e 22 x 2 )(x 3 -e 33 x 3 )= =x 1 x 2 x 3 (1-e 11 )(1-e 22 )(1-e 33 )=> V 1 =V 0 (1-e 11 )(1-e 22 )(1-e 33 ) 0

43 43 Εφαρμογή 3.2 (...συνέχεια)

44 44 n και n Σχέση Τάσης - Ανηγμένης Παραμόρφωσης Σε κάθε σημείο τελείως ελαστικού σώματος και για συγκεκριμένες θερμοδυναμικές συνθήκες η ανηγμένη παραμόρφωση είναι συνάρτηση της τάσης. Για ένα τέτοιο σώμα ισχύει ο γενικευμένος νόμος του Hook: “Σε κάθε σημείο πλήρως ελαστικού σώματος η κάθε συνιστώσα τάσης είναι γραμμική συνάρτηση των εννέα (έξι) συνιστωσών της ανηγμένης παραμόρφωσης” c mn Έτσι ορίζονται 81 (=9x9) συντελεστές αναλογίας, c mn, που εξαρτώνται από το υλικό του σώματος και τις θερμοδυναμικές συνθήκες. c mn ελαστικές σταθερές ελαστικός τανυστής Οι συντελεστές αναλογίας, c mn, ονομάζονται ελαστικές σταθερές και συνθέτουν ένα τανυστή 4ης τάξης (3 4 συνιστώσες) που ονομάζεται ελαστικός τανυστής. Σύμφωνα λοιπόν με το νόμο του Hook η κάθε συνιστώσα τάσης σε σημείο τελείως ελαστικού σώματος ορίζεται από τη γραμμική σχέση: m=11 Όπου, m=11

45 45 Περιορισμοί: c mn α) Τάση & ανηγμένη παραμόρφωση συμμετρικοί τανυστές => c mn 6x6=36 συνιστώσες Σχέση Τάσης - Ανηγμένης Παραμόρφωσης (...συνέχεια) c mn =c nm c mn 21 β) Αφού η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης θεωρείται μονοσήμαντη συνάρτηση των συνιστωσών της ανηγμένης παραμόρφωσης (συμμετρικός τανυστής), πρέπει να ισχύει c mn =c nm (επίσης συμμετρικός τανυστής) οπότε οι ανεξάρτητοι συντελεστές του ελαστικού τανυστή c mn μειώνονται στους 21 γ) Αν το σώμα θεωρηθεί ισότροπο τότε οι γραμμικές σχέσεις που ορίζει ο νόμος του Hook δεν μεταβάλλονται με αλλαγή στο σύστημα συντεταγμένων ή στα πρόσημα, οπότε: c 11 c 12 Οι ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές είναι μόνο δύο, οι c 11 και c 12

46 46 Σχέση Τάσης - Ανηγμένης Παραμόρφωσης (...συνέχεια) Τελικά, για ελαστικό και ισότροπο μέσο ισχύει: όπου, δ ij ο τανυστής Kronecker o οποίος για i = j => δ ij =1 και για i  j => δ ij =0, θ η ανηγμένη κυβική παραμόρφωση. Ως σταθερές Lamé, λ και μ, ορίζονται οι ποσότητες: Οπότε προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις συνιστώσες τάσης σε συνάρτηση με τις συνιστώσες ανηγμένης παραμόρφωσης και τις σταθερές Lamé : p 11 = λθ + 2μe 11 p 12 = 2μe 12 p 22 = λθ + 2μe 22 p 23 = 2μe 23 p 33 = λθ + 2μe 33 p 31 = 2μe 31

47 47 Ελαστικές Σταθερές Είναι σταθερές που περιγράφουν την ελαστική παραμόρφωση, υπολογίζονται πειραματικά και αποτελούν συναρτήσεις των σταθερών Lamé. 1. Μέτρο διατμητικής ελαστικότητας Εξετάζουμε τη διατμητική παραμόρφωση της έδρας ΟΑΒC ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου υπό την επίδραση ζεύγους δυνάμεων που ασκείται παράλληλα προς την ΟΑ. φ = e 12 Γωνία διάτμησης η: φ = e 12 p 12 = F / S Διατμητική συνιστώσα τάσης (στις έδρες που είναι κάθετες στον Ox 1 ): p 12 = F / S μέτρο διατμητικής ελαστικότητας ή μέτρο ακαμψίας, n Ονομάζουμε μέτρο διατμητικής ελαστικότητας ή μέτρο ακαμψίας, n, το λόγο: nμ Άρα το n όπως και το μ μετρούνται σε μονάδες τάσης (πίεσης)

48 48 2. Μέτρο επιμήκους ελαστικότητας d1d1 l2l2 Οx 1 Άξονας της ράβδου παράλληλος προς τον Οx 1 F Άσκηση δύναμης F κατά τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου => Δl = l 2 – l 1 ( = 2 *Δl/2) Επιμήκυνση κατά Δl = l 2 – l 1 ( = 2 *Δl/2) Ε = μέτρο επιμήκους ελαστικότητας ή μέτρο του Young p 11 = κάθετη τάση e 11 = ανηγμένη επιμήκυνση 1/Ε = συντελεστής ελαστικότητας (μονάδες τάσης)

49 49 3. Λόγος Poisson αδιάστατο μέγεθος Ο λόγος του Poisson είναι αδιάστατο μέγεθος και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 0.5. σ=0.5μ=0 σ=0.5 στα υγρά (μ=0) σ=0 σ=0 (μ  ) σημαίνει άπειρη αντίσταση στη διάτμηση. Δl 1 = l 2 – l 1 = 2 *(Δl 1 /2) Επιμήκυνση κατά Δl 1 = l 2 – l 1 = 2 *(Δl 1 /2) Δd = d 1 – d = – ( d – d 1 ) Επιβράχυνση κατά Δd = d 1 – d = – ( d – d 1 ) Ανηγμένες επιμηκύνσεις: e 11 = Δl 1 / l 1, e 22 = - Δd / d Λόγος Poisson: d1d1 l2l2

50 50 4. Μέτρο κυβικής ελαστικότητας Αν σε στερεό σώμα ασκηθεί ομοιόμορφη κάθετη τάση τότε παρατηρείται μεταβολή όγκου. Συρρίκνωσησυμπίεσης Συρρίκνωση αν ασκηθεί τάση συμπίεσης Διόγκωσηεφελκυσμού Διόγκωση αν ασκηθεί τάση εφελκυσμού Ονομάζουμε μέτρο κυβικής ελαστικότητας την ποσότητα : όπου, p η ομοιόμορφη κάθετη τάση και θ η ανηγμένη κυβική παραμόρφωση (η μεταβολή της κάθε μονάδας όγκου του σώματος).

51 51 Εξίσωση της Κίνησης δmρΟΑ=dx 1, ΟΒ=dx 2, ΟC=dx 3 Έστω σώμα σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου με στοιχειώδη μάζα, δm, πυκνότητα ρ και πλευρές ΟΑ=dx 1, ΟΒ=dx 2, ΟC=dx 3. dV= dx 1.dx 2.dx 3 Ο όγκος του θα είναι dV= dx 1.dx 2.dx 3 dm=ρ.dV και η μάζα του dm=ρ.dV F i =dm.γ i x i u 1, u 2, u 3 Υπό την επίδραση δύναμης F i =dm.γ i κατά τη διεύθυνση x i το σώμα μετακινείται κατά u 1, u 2, u 3. Ox 1 F 1 =dm.γ 1 = Αν θεωρήσουμε άσκηση της δύναμης κατά τη διεύθυνση Ox 1 τότε: F 1 =dm.γ 1 = =άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στις 6 έδρες του παραλληλεπιπέδου: όπου, βαθμίδα μεταβολής της κάθε τάσης

52 52 Αποδεικνύεται ότι : Εξίσωση της Κίνησης Εξίσωση της Κίνησης (...συνέχεια) Διαφορική εξίσωση κίνησης υλικών σημείων Διαφορική εξίσωση κίνησης υλικών σημείων ενός ελαστικού και ισότροπου μέσου κατά τη διάδοση μιας διατάραξης κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox 1

53 53 Άσκηση 3.3 e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = Άσκηση 3.3 Οι συνιστώσες ανηγμένης παραμόρφωσης ελαστικού και ισότροπου μέσου κατά τη διάδοση σεισμικών κυμάτων μέσα σ’ αυτό είναι: e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = α) Να γραφεί ο τανυστής ανηγμένης παραμόρφωσης ως μήτρα και ως άθροισμα τανυστή κυβικής και τανυστή διατμητικής παραμόρφωσης β) Να υπολογισθεί η ανηγμένη κυβική παραμόρφωση θ και γ) Να αναλυθεί ο τανυστής ανηγμένης παραμόρφωσης σε άθροισμα ενός ισοτροπέα και ενός εκτροπέα

54 54 Άσκηση 3.3 (...συνέχεια)

55 55 Άσκηση 3.4 e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = λ=8*10 11 dyn/cm 2 και μ=6*10 11 dyn/cm Άσκηση 3.4 Οι συνιστώσες ανηγμένης παραμόρφωσης ελαστικού και ισότροπου μέσου κατά τη διάδοση σεισμικών κυμάτων μέσα σ’ αυτό είναι: e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = Αν οι σταθερές Lame είναι λ=8*10 11 dyn/cm 2 και μ=6*10 11 dyn/cm 2 να υπολογισθούν οι συνιστώσες τάσης (1 bar = 10 6 dyn/cm 2 )

56 56 Άσκηση 3.5 e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = n Ε1/Εσ κ Άσκηση 3.5 Οι συνιστώσες ανηγμένης παραμόρφωσης ελαστικού και ισότροπου μέσου κατά τη διάδοση σεισμικών κυμάτων μέσα σ’ αυτό είναι: e 11 =8* , e 22 = e 33 =5* , e 12 = 3* , e 12 =3* , e 13 =e 23 = Να υπολογισθούν το μέτρο διατμητικής ελαστικότητας, n, το μέτρο επιμήκους ελαστικότητας, Ε, ο συντελεστής ελαστικότητας, 1/Ε, ο λόγος Poisson, σ και το μέτρο κυβικής ελαστικότητας, κ Άσκηση 3.4:

57 57 Άσκηση 3.6 λ=3.5*10 12 dyn/cm 2 και μ=2.4*10 12 dyn/cm 2. Εσ κ Άσκηση 3.6 Στο βάθος των 2000 km μέσα στη γη οι σταθερές Lame έχουν τιμές λ=3.5*10 12 dyn/cm 2 και μ=2.4*10 12 dyn/cm 2. Να υπολογισθούν στο βάθος αυτό: Το μέτρο επιμήκους ελαστικότητας, Ε, ο λόγος Poisson, σ και το μέτρο κυβικής ελαστικότητας, κ


Κατέβασμα ppt "1 Τάση Επίδραση εξωτερικών δυνάμεων  σώμα σε ισορροπία Συνισταμένη F FF F = 0 (στο Ο ΟΟ Ο). Υλικό χώρου γύρω από Ο σε εντατική κατάσταση Ποιες δυνάμεις."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google