Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων
Βασίλης Αντ. Βεργανελάκης Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

2 Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Ο μόνος Κριτής της Επιστημονικής Αλήθειας είναι το Πείραμα Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

3 Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Ο μόνος Κριτής της Επιστημονικής Αλήθειας είναι το Πείραμα Πειραματικός σχεδιασμός Οργανολογία Διεξαγωγή μετρήσεων Ανάλυση πειραματικών δεδομένων . . . Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

4 Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων
Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Ο μόνος Κριτής της Επιστημονικής Αλήθειας είναι το Πείραμα Σύγκριση της Θεωρητικής Πρόβλεψης με το Πειραματικό Αποτέλεσμα Επαλήθευση της Θεωρίας ή Μετεξέλιξη Πειραματικός σχεδιασμός Οργανολογία Διεξαγωγή μετρήσεων Ανάλυση πειραματικών δεδομένων . . . Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

5 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές «Σημειακή» σφαίρα αναρτημένη μέσω αβαρούς νήματος μήκους L L T mg Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

6 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Όταν το νήμα εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση κατά γωνία θ: θ

7 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Όταν το νήμα εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση κατά γωνία θ: θ mg T Στην σφαίρα ασκούνται δυνάμεις με μη μηδενική συνισταμένη.

8 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Όταν το νήμα εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση κατά γωνία θ: θ mg T Στην σφαίρα ασκούνται δυνάμεις με μη μηδενική συνισταμένη. Η σφαίρα εκτελεί μη ομαλή κυκλική κίνηση.

9 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Εάν δεν υπάρχουν τριβές και αντιστάσεις, τα ακρότατα της κίνηση είναι συμμετρικά ως προς την αρχική θέση ισορροπίας Όταν το νήμα εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση κατά γωνία θ: θ mg T Στην σφαίρα ασκούνται δυνάμεις με μη μηδενική συνισταμένη. Η σφαίρα εκτελεί μη ομαλή κυκλική κίνηση.

10 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Θα αναλύσουμε την κίνηση στους άξονες er και et , κατά την αξονική και εφαπτομενική διεύθυνση αντίστοιχα. θ er et T mg

11 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Θα αναλύσουμε την κίνηση στους άξονες er και et , κατά την αξονική και εφαπτομενική διεύθυνση αντίστοιχα. et er Βεβαίως, η διεύθυνση των αξόνων , er και et , εξαρτάται από τη θέση του κινητού. θ er et T mg

12 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κατά το χρονικό διάστημα dt(:δt→0) η γωνία θ μεταβάλλεται κατά την απειροελάχιστη ποσότητα dθ(: δθ→0) mg et θ T er δθ→0 οι διευθύνσεις των αξόνων, er και et , παραμένουν αμετάβλητες

13 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κατά το χρονικό διάστημα dt(:δt→0) η γωνία θ μεταβάλλεται κατά την απειροελάχιστη ποσότητα dθ(: δθ→0) mg et θ T er δθ→0 οι διευθύνσεις των αξόνων, er και et , παραμένουν αμετάβλητες er mg T et mg·cosθ mg·sinθ

14 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κατά το χρονικό διάστημα dt(:δt→0) η γωνία θ μεταβάλλεται κατά την απειροελάχιστη ποσότητα dθ(: δθ→0) mg et θ T er δθ→0 οι διευθύνσεις των αξόνων, er και et , παραμένουν αμετάβλητες er mg T et mg·cosθ mg·sinθ

15 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Εξετάζοντας μετατοπίσεις όπου η γωνία θ μεταβάλλεται απειροελάχιστα (dθ: δθ→0) : θ er et T mg

16 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Εξετάζοντας μετατοπίσεις όπου η γωνία θ μεταβάλλεται απειροελάχιστα (dθ: δθ→0) : δθ→0 L θ er et T mg

17 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές

18 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Για μικρές γωνιακές εκτροπές θ ≤ θ0 →0:

19 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Για μικρές γωνιακές εκτροπές θ ≤ θ0 →0: με λύση

20 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Συνεπώς: Για μικρές γωνιακές εκτροπές (θ ≤ θ0 →0) το εκρεμές εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο:

21 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Συνεπώς: Για μικρές γωνιακές εκτροπές (θ ≤ θ0 →0) το εκρεμές εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο: Επιπλέον: Μετρώντας την περίοδο ταλάντωσης, Τ, ενός μαθηματικού εκκρεμούς, μήκους νήματος L,υπολογίζουμε την επιτάχυνση βαρύτητας ως:

22 Πειραματικός Σχεδιασμός
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Πειραματικός Σχεδιασμός Θα μετρήσουμε την περίοδο ταλάντωσης , Τ,του απλού εκκρεμούς (την διάρκεια μίας πλήρους ταλάντωσης) για πέντε διαφορετικά μήκη του νήματος.

23 Πειραματικός Σχεδιασμός
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Πειραματικός Σχεδιασμός Θα μετρήσουμε την περίοδο ταλάντωσης , Τ,του απλού εκκρεμούς (την διάρκεια μίας πλήρους ταλάντωσης) για πέντε διαφορετικά μήκη του νήματος. Θα ελέγξουμε την αλήθεια της σχέσης:

24 Πειραματικός Σχεδιασμός
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Πειραματικός Σχεδιασμός Θα μετρήσουμε την περίοδο ταλάντωσης , Τ,του απλού εκκρεμούς (την διάρκεια μίας πλήρους ταλάντωσης) για πέντε διαφορετικά μήκη του νήματος. Θα ελέγξουμε την αλήθεια της σχέσης:

25 Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1 L (m) T (sec) 0.70 0.80 0.90 0.99 1.29 1.40 1.55 1.71 1.85 2.00

26 Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1 L (m) T (sec) 0.70 1.70 0.80 1.90 0.90 1.95 0.99 2.10 1.29 2.25 1.40 2.35 1.55 2.45 1.71 2.60 1.85 2.75 2.00 2.85

27 Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κάνετε τη γραφική παράσταση των τιμών της περιόδου, T, συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας του μήκους του νήματος, Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1 L (m) T (sec) 0.70 1.70 0.83 0.80 1.90 0.89 0.90 1.95 0.95 0.99 2.10 1.00 1.29 2.25 1.13 1.40 2.35 1.18 1.55 2.45 1.24 1.71 2.60 1.31 1.85 2.75 1.36 2.00 2.85 1.41

28 Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κάνετε τη γραφική παράσταση των τιμών της περιόδου, T, συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας του μήκους του νήματος, Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1 L (m) T (sec) 0.70 1.70 0.83 0.80 1.90 0.89 0.90 1.95 0.95 0.99 2.10 1.00 1.29 2.25 1.13 1.40 2.35 1.18 1.55 2.45 1.24 1.71 2.60 1.31 1.85 2.75 1.36 2.00 2.85 1.41

29 Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές
Παράδειγμα Εργασίας: Το μαθηματικό εκκρεμές Κάνετε τη γραφική παράσταση των τιμών της περιόδου, T, συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας του μήκους του νήματος, Εκτελέσετε και εισάγετε τις μετρήσεις στον Πίνακα 1 L (m) T (sec) 0.70 1.70 0.83 0.80 1.90 0.89 0.90 1.95 0.95 0.99 2.10 1.00 1.29 2.25 1.13 1.40 2.35 1.18 1.55 2.45 1.24 1.71 2.60 1.31 1.85 2.75 1.36 2.00 2.85 1.41 Προσεγγιστική Περιγραφή των Φυσικών Φαινομένων ;

30 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μιάς πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec)

31 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μίας πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec) 2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60

32 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μιάς πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec) 2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60 Παραστήσετε την συχνότητα εμφάνισης των μετρήσεων σε ιστόγραμμα

33 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μιάς πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec) 2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60 Παραστήσετε τη συχνότητα εμφάνισης των μετρήσεων σε ιστόγραμμα επιλέξατε το ελάχιστο και το μέγιστο (2.10 – 2.60)

34 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μιάς πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec) 2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60 Παραστήσετε την συχνότητα εμφάνισης των μετρήσεων σε ιστόγραμμα επιλέξατε το ελάχιστο και το μέγιστο (2.10 – 2.60) επιλέξατε αριθμό ιστών -bins (5) [2.10,2.20) [2.20,2.30) [2.30,2.40) [2.40,2.50) [2.50,2.60]

35 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Εκτελέσετε εκατό φορές την μέτρηση της διάρκειας μιάς πλήρους ταλάντωσης, κρατώντας το μήκος του νήματος σταθερό. (oι χρόνοι σε sec) 2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60 Παραστήσετε την συχνότητα εμφάνισης των μετρήσεων σε ιστόγραμμα επιλέξατε το ελάχιστο και το μέγιστο (2.10 – 2.60) επιλέξατε αριθμό ιστών -bins (5) [2.10,2.20) [2.20,2.30) [2.30,2.40) [2.40,2.50) [2.50,2.60] π.χ. στο δεύτερο bin περιέχονται 31 μετρήσεις

36 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
2.25 2.20 2.50 2.30 2.40 2.35 2.10 2.45 2.15 2.55 2.60

37

38 Πιθανότητα

39 Πυκνότητα Πιθανότητας

40 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Πυκνότητα Πιθανότητας

41 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Ας ορίσουμε την μέση τιμή, μ, και την τετραγωνική απόκλιση, V, κατ΄ αντιστοιχία του κέντρου μάζας και της ροπής αδρανείας στερεού σώματος. Πυκνότητα Πιθανότητας

42 Πυκνότητα Πιθανότητας

43 Πυκνότητα Πιθανότητας

44 Πυκνότητα Πιθανότητας

45 Πυκνότητα Πιθανότητας

46 Πυκνότητα Πιθανότητας
μ=2.35s V=0.01s2 RMS (Root Mean Square)=0.10s

47 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Στην περίπτωση που συλλέγονται περισσότερες μετρήσεις . . . ΔΤ=0.014 Ν=500 ρ

48 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Στην περίπτωση που συλλέγονται περισσότερες μετρήσεις . . . ΔΤ=0.0014 Ν=10000 ΔΤ=0.014 Ν=500 ρ

49 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Στην περίπτωση που συλλέγονται περισσότερες μετρήσεις . . . ΔΤ=0.0014 Ν=10000 ΔΤ=0.014 Ν=500 ΔΤ=0.0007 Ν=100000 ρ

50 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Στην περίπτωση που συλλέγονται περισσότερες μετρήσεις . . . ΔΤ=0.0014 Ν=10000 ΔΤ=0.014 Ν=500 ΔΤ=0.0007 Ν=100000 ρ ΔΤ→0 Ν→∞ Τ

51 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
Στην περίπτωση που συλλέγονται περισσότερες μετρήσεις . . . ΔΤ=0.0014 Ν=10000 ΔΤ=0.014 Ν=500 ΔΤ=0.0007 Ν=100000 ρ ΔΤ→0 Ν→∞ Τ

52 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
ΔΤ→0 Ν→∞ Τ

53 Στατιστικός Χαρακτήρας των Μετρήσεων
ΔΤ→0 Ν→∞ Τ

54 Σύνοψη Δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης, έστω και εάν ξέρουμε την αληθή τιμή.

55 Σύνοψη Δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης, έστω και εάν ξέρουμε την αληθή τιμή. Μπορούμε να προβλέψουμε την πιθανότητα ώστε μία μέτρηση να καταλήξει σε κάποια συγκεκριμένη τιμή.

56 Σύνοψη Δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης, έστω και εάν ξέρουμε την αληθή τιμή. Μπορούμε να προβλέψουμε την πιθανότητα ώστε μία μέτρηση να καταλήξει σε κάποια συγκεκριμένη τιμή. Στις περισσότερες των περιπτώσεων η πυκνότητα πιθανότητας μίας μέτρησης ακολουθεί Gaussian κατανομή.

57 Σύνοψη Δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα μιας μέτρησης, έστω και εάν ξέρουμε την αληθή τιμή. Μπορούμε να προβλέψουμε την πιθανότητα ώστε μία μέτρηση να καταλήξει σε κάποια συγκεκριμένη τιμή. Στις περισσότερες των περιπτώσεων η πυκνότητα πιθανότητας μίας μέτρησης ακολουθεί Gaussian κατανομή. Η μέση τιμή της πυκνότητας πιθανότητας συνδέεται με την αληθή τιμή και η απόκλιση (το εύρος) συνδέεται με την πειραματική μεθοδολογία και τα μετρητικά όργανα.

58 Ερωτήματα

59 Ερωτήματα Γιατί, στις περισσότερες των περιπτώσεων, η κατανομή πυκνότητας πιθανότητας είναι Gaussian ; (Θα απαντήσουμε αργότερα...) Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μετρήσεις μας με τις θεωρητικές προβλέψεις ;

60 Κατανομή πυκνότητας πιθανότητας και σφάλμα
Υποθέσεις Οι μετρήσεις «ακολουθούν Gaussian κατανομή» Γνωρίζουμε το σ (Θα δούμε στα επόμενα τρόπους να βρίσκουμε το σ) Εκτελούμε μία μέτρηση, έστω Τμ

61 Κατανομή πυκνότητας πιθανότητας και σφάλμα
Υποθέσεις Οι μετρήσεις «ακολουθούν Gaussian κατανομή» Γνωρίζουμε το σ (Θα δούμε στα επόμενα τρόπους να βρίσκουμε το σ) Εκτελούμε μία μέτρηση, έστω Τμ Δια ταύτα . . . Τί μπορούμε να συμπεράνουμε για την πραγματική τιμή του μεγέθους ,Τα ;;;

62 Η αντίστροφη ερώτηση: Εάν ξέραμε την πραγματική τιμή, Τα, η πιθανότητα να μετρούσαμε Τμ (+dΤμ) θα ήταν:

63 Η αντίστροφη ερώτηση: Εάν ξέραμε την πραγματική τιμή, Τα, η πιθανότητα να μετρούσαμε Τμ (+dΤμ) θα ήταν: Παρατηρήσετε τη συμμετρία σε ΤμΤα !

64 (χωρίς μαθηματική αυστηρότητα)
Η αντίστροφη ερώτηση: Εάν ξέραμε την πραγματική τιμή, Τα, η πιθανότητα να μετρούσαμε Τμ (+dΤμ) θα ήταν: Παρατηρήσετε τη συμμετρία σε ΤμΤα ! (χωρίς μαθηματική αυστηρότητα)

65 (χωρίς μαθηματική αυστηρότητα)
Η αντίστροφη ερώτηση: Εάν ξέραμε την πραγματική τιμή, Τα, η πιθανότητα να μετρούσαμε Τμ (+dΤμ) θα ήταν: Παρατηρήσετε την συμμετρία σε ΤμΤα ! (χωρίς μαθηματική αυστηρότητα) Η πιθανότητα ώστε η πραγματική τιμή να είναι ίση με Τα όταν η τιμή μέτρησης είναι ίση με Τμ

66 Η αληθής τιμή δε μπορεί να γίνει γνωστή!

67 Η αληθής τιμή δε μπορεί να γίνει γνωστή!
Αλλά μπορούμε να εκφράσουμε την πιθανότητα, δεδομένης μίας μέτρησης Τμ, η αληθής τιμή του μεγέθους Τ να ευρίσκεται σε οποιαδήποτε διάστημα [Τ1,Τ2]

68 Η αληθής τιμή δε μπορεί να γίνει γνωστή!
Αλλά μπορούμε να εκφράσουμε την πιθανότητα, δεδομένης μίας μέτρησης Τμ, η αληθής τιμή του μεγέθους Τ να ευρίσκεται σε οποιαδήποτε διάστημα [Τ1,Τ2]

69 Η αληθής τιμή δε μπορεί να γίνει γνωστή!
Αλλά μπορούμε να εκφράσουμε την πιθανότητα, δεδομένης μίας μέτρησης Τμ, η αληθής τιμή του μεγέθους Τ να ευρίσκεται σε οποιαδήποτε διάστημα [Τ1,Τ2] Μέτρο του σφάλματος της μέτρησης είναι η απόκλιση –σ-

70 Παράδειγμα ρ(Τ) σ=0.008 σ=0.02 σ=0.04 Τ

71 Εκτίμηση του –σ- Έστω ότι συλλέγουμε Ν μετρήσεις του ιδίου μεγέθους Τ1, Τ2, Τ3, ..., ΤΝ (π.χ. οι 200 μετρήσεις που συλλέξατε στην αρχή)

72 Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας,
Εκτίμηση του –σ- Έστω ότι συλλέγουμε Ν μετρήσεις του ιδίου μεγέθους Τ1, Τ2, Τ3, ..., ΤΝ (π.χ. οι 200 μετρήσεις που συλλέξατε στην αρχή) Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας,

73 Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας,
Εκτίμηση του –σ- Έστω ότι συλλέγουμε Ν μετρήσεις του ιδίου μεγέθους Τ1, Τ2, Τ3, ..., ΤΝ (π.χ. οι 200 μετρήσεις που συλλέξατε στην αρχή) Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας,

74 Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας,
Εκτίμηση του –σ- Έστω ότι συλλέγουμε Ν μετρήσεις του ιδίου μεγέθους Τ1, Τ2, Τ3, ..., ΤΝ (π.χ. οι 200 μετρήσεις που συλλέξατε στην αρχή) Αποδεικνύεται ότι, για κάθε τύπο κατανομής πυκνότητας πιθανότητας, Όταν η κατανομή της πυκνότητας πιθανότητας είναι Gaussian, ισχύει επιπλέον ότι: μ=Τ0 και V=σ2

75 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων

76 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων Προσέγγιση:

77 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων Προσέγγιση: Τ0 =μ=2.35s και σ=0.10s

78 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή Έστω η μοναδική μέτρηση Τμ=2.40s
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων Προσέγγιση: Τ0 =μ=2.35s και σ=0.10s Έστω η μοναδική μέτρηση Τμ=2.40s Τα =2.40s±0.10s

79 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή Έστω η μοναδική μέτρηση Τμ=2.40s
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων Προσέγγιση: Τ0 =μ=2.35s και σ=0.10s Έστω η μοναδική μέτρηση Τμ=2.40s Τα =2.40s±0.10s Δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας της αληθούς τιμής, θεωρείται Gaussian με Τ0=Tμ=2.35s και σ=0.10s

80 Μέτρηση – Σφάλμα – «Αληθής» Τιμή
Χρησιμοποιώντας τις 200 μετρήσεις που συλλέξατε να εκτιμήσετε την τιμή του –σ- της διάταξης μετρήσεων Προσέγγιση: Τ0 =μ=2.35s και σ=0.10s Έστω η μοναδική μέτρηση Τμ=2.40s Τα =2.40s±0.10s Δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας της αληθούς τιμής, θεωρείται Gaussian με Τ0=Tμ=2.35s και σ=0.10s Ποία είναι η πιο πιθανή «αληθής» τιμή;

81 Μετάδοση Σφαλμάτων Έστω η φυσική ποσότητα Υ που εξαρτάται από τις φυσικές ποσότητες x και z μέσω της σχέσης: Υ=f(x,z) Έστω ότι εκτελούμε τις κατάλληλες μετρήσεις και προσδιορίζουμε τις τιμές των x και z ως: x=xμ ±σx και z=zμ ±σz

82 Μετάδοση Σφαλμάτων Έστω η φυσική ποσότητα Υ που εξαρτάται από τις φυσικές ποσότητες x και z μέσω της σχέσης: Υ=f(x,z) Έστω ότι εκτελούμε τις κατάλληλες μετρήσεις και προσδιορίζουμε τις τιμές των x και z ως: x=xμ ±σx και z=zμ ±σz Οι τιμή της ποσότητας Υ προσδιορίζεται ως: Υ=f(xμ,zμ) ± σΥ όπου

83 Μετάδοση Σφαλμάτων Έστω η φυσική ποσότητα Υ που εξαρτάται από τις φυσικές ποσότητες x και z μέσω της σχέσης: Υ=f(x,z) Έστω ότι εκτελούμε τις κατάλληλες μετρήσεις και προσδιορίζουμε τις τιμές των x και z ως: x=xμ ±σx και z=zμ ±σz Οι τιμή της ποσότητας Υ προσδιορίζεται ως: Υ=f(xμ,zμ) ± σΥ όπου

84 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματά σας από τη μέτρηση της περιόδου για να εκτιμήσετε τη συχνότητα του εκκρεμούς.

85 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματά σας από τη μέτρηση της περιόδου για να εκτιμήσετε τη συχνότητα του εκκρεμούς. Τα =2.35s±0.10s και f=1/T

86 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματά σας από τη μέτρηση της περιόδου για να εκτιμήσετε τη συχνότητα του εκκρεμούς. Τα =2.35s±0.10s και f=1/T

87 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματά σας από τη μέτρηση της περιόδου για να εκτιμήσετε τη συχνότητα του εκκρεμούς. Τα =2.35s±0.10s και f=1/T fα=0.425Hz ± 0.018Hz

88 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Έστω Τ1, Τ2, Τ3, ..., Τn , οι μετρήσεις της ποσότητας Τ. Ο μέσος όρος ορίζεται ως Κάθε μία από τις μετρήσεις, Τi , έχει το ίδιο σφάλμα, σ.

89 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Έστω Τ1, Τ2, Τ3, ..., Τn , οι μετρήσεις της ποσότητας Τ. Ο μέσος όρος ορίζεται ως Κάθε μία από τις μετρήσεις, Τi , έχει το ίδιο σφάλμα, σ. Εφαρμόζοντας τον τύπο μετάδοσης σφαλμάτων καταλήγουμε:

90 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Έστω Τ1, Τ2, Τ3, ..., Τn , οι μετρήσεις της ποσότητας Τ. Ο μέσος όρος ορίζεται ως Κάθε μία από τις μετρήσεις, Τi , έχει το ίδιο σφάλμα, σ. Εφαρμόζοντας τον τύπο μετάδοσης σφαλμάτων καταλήγουμε:

91 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Κατά τη μέτρηση της περιόδου του εκκρεμούς, η κύρια συνιστώσα του σφάλματος είναι η αντίδραση του πειραματιστή. Συνεπώς το σφάλμα που εκτιμήσατε υπολογίζοντας το RMS των 200 μετρήσεων αναφέρεται κατά κύριο λόγο στην αντίδραση του πειραματιστή. σ0.1 s

92 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Κατά τη μέτρηση της περιόδου του εκκρεμούς, η κύρια συνιστώσα του σφάλματος είναι η αντίδραση του πειραματιστή. Συνεπώς το σφάλμα που εκτιμήσατε υπολογίζοντας το RMS των 200 μετρήσεων αναφέρεται κατά κύριο λόγο στην αντίδραση του πειραματιστή. σ0.1 s Εάν μετρήσουμε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων, Δt, το σφάλμα στο Δt θα είναι επίσης σ 0.1 s. Ώστε: Τ=Δt/20 και

93 Παράδειγμα Μετάδοσης Σφαλμάτων
Κατά τη μέτρηση της περιόδου του εκκρεμούς, η κύρια συνιστώσα του σφάλματος είναι η αντίδραση του πειραματιστή. Συνεπώς το σφάλμα που εκτιμήσατε υπολογίζοντας το RMS των 200 μετρήσεων αναφέρεται κατά κύριο λόγο στην αντίδραση του πειραματιστή. σ0.1 s Εάν μετρήσουμε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων, Δt, το σφάλμα στο Δt θα είναι επίσης σ 0.1 s. Ώστε: Τ=Δt/20 και

94 Μετρήσετε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων για 10 διαφορετικά μήκη του νήματος του εκρεμούς
L [m] ΔΤ [sec] T [sec] 0.70 33.5 0.80 35.7 0.90 37.9 0.99 39.9 1.29 45.6 1.40 47.4 1.55 49.8 1.71 52.3 1.85 54.1 2.00 56.8

95 Μετρήσετε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων για 10 διαφορετικά μήκη του νήματος του εκρεμούς
L [m] ΔΤ [sec] T [sec] 0.70 33.5 0.83 1.67 0.80 35.7 0.89 1.78 0.90 37.9 0.95 1.89 0.99 39.9 1.00 1.99 1.29 45.6 1.13 2.28 1.40 47.4 1.18 2.37 1.55 49.8 1.24 2.49 1.71 52.3 1.31 2.61 1.85 54.1 1.36 2.70 2.00 56.8 1.41 2.84

96 Σαφώς καλύτερη ακρίβεια!
Μετρήσετε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων για 10 διαφορετικά μήκη του νήματος του εκρεμούς L [m] ΔΤ [sec] T [sec] 0.70 33.5 0.83 1.67 0.80 35.7 0.89 1.78 0.90 37.9 0.95 1.89 0.99 39.9 1.00 1.99 1.29 45.6 1.13 2.28 1.40 47.4 1.18 2.37 1.55 49.8 1.24 2.49 1.71 52.3 1.31 2.61 1.85 54.1 1.36 2.70 2.00 56.8 1.41 2.84 Σαφώς καλύτερη ακρίβεια!

97 Σαφώς καλύτερη ακρίβεια!
Μετρήσετε τη διάρκεια 20 πλήρων ταλαντώσεων για 10 διαφορετικά μήκη του νήματος του εκρεμούς L [m] ΔΤ [sec] T [sec] 0.70 33.5 0.83 1.67 0.80 35.7 0.89 1.78 0.90 37.9 0.95 1.89 0.99 39.9 1.00 1.99 1.29 45.6 1.13 2.28 1.40 47.4 1.18 2.37 1.55 49.8 1.24 2.49 1.71 52.3 1.31 2.61 1.85 54.1 1.36 2.70 2.00 56.8 1.41 2.84 Σαφώς καλύτερη ακρίβεια! Μπορούμε και καλύτερα . . .

98 Οι Πειραματικές Μετρήσεις

99 Οι Πειραματικές Μετρήσεις
Οι «αληθείς» τιμές, κατανέμονται γύρω από τις μετρήσεις ως:

100 Οι Πειραματικές Μετρήσεις
Οι «αληθείς» τιμές, κατανέμονται γύρω από τις μετρήσεις ως: Επειδή οι μετρήσεις είναι ανεξάρτητες...

101 Η πυκνότητα πιθανότητας σύγχρονης εμφάνισης των τιμών
Η πυκνότητα πιθανότητας σύγχρονης εμφάνισης των τιμών ως «αληθών» τιμών: Εκφράζεται ως:

102 οι οποίες μεγιστοποιούν τη συνολική πυκνότητα πιθανότητας
Η πυκνότητα πιθανότητας σύγχρονης εμφάνισης των τιμών ως «αληθών» τιμών: Εκφράζεται ως: Αναζητούμε τις τιμές των οι οποίες μεγιστοποιούν τη συνολική πυκνότητα πιθανότητας

103 Λογαριθμίζοντας τα δύο μέλη

104 Λογαριθμίζοντας τα δύο μέλη
Μεγιστοποίηση: Μεγιστοποίηση:

105 Λογαριθμίζοντας τα δύο μέλη
Μεγιστοποίηση: Μεγιστοποίηση: Ελαχιστοποίηση:

106 Οι Πειραματικές Μετρήσεις
Σύνοψη Οι Πειραματικές Μετρήσεις Οι «αληθείς» τιμές της περιόδου,Τ , εξαρτώνται από το μήκος του νήματος του εκκρεμούς ως:

107 Οι Πειραματικές Μετρήσεις
Σύνοψη Οι Πειραματικές Μετρήσεις Οι «αληθείς» τιμές της περιόδου,Τ , εξαρτώνται από το μήκος του νήματος του εκκρεμούς ως: ή στη γενική περίπτωση ως

108 Οι «αληθείς» τιμές τις περιόδου ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση χ2
Σύνοψη Οι Πειραματικές Μετρήσεις Οι «αληθείς» τιμές της περιόδου,Τ , εξαρτώνται από το μήκος του νήματος του εκκρεμούς ως: ή στη γενική περίπτωση ως Οι «αληθείς» τιμές τις περιόδου ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση χ2

109 Οι «αληθείς» τιμές τις περιόδου ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση χ2
Σύνοψη Οι Πειραματικές Μετρήσεις Οι «αληθείς» τιμές της περιόδου,Τ , εξαρτώνται από το μήκος του νήματος του εκκρεμούς ως: ή στη γενική περίπτωση ως Οι «αληθείς» τιμές τις περιόδου ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση χ2

110 Αναζητούμε τις παραμέτρους α και β που
ελαχιστοποιούν το χ2

111 Αναζητούμε τις παραμέτρους α και β που
ελαχιστοποιούν το χ2 Οι τιμές των παραμέτρων α και β θα υπολογισθούν, εξ ολοκλήρου, από τα πειραματικά δεδομένα

112 Γενική Περίπτωση

113 Γενική Περίπτωση

114 Γενική Περίπτωση

115 Γενική Περίπτωση

116 Εφαρμογή στις πειραματικές μετρήσεις
Θέσετε όπου yi→Ti και όπου xi→(Li)1/2 Εφαρμόσετε τις σχέσεις για να προσδιορίσετε τις παραμέτρους (και το σφάλμα εκτίμησης) της ευθείας που διέρχεται από τα πειραματικά σημεία

117 Αποτελέσματα Ο σταθερός όρος της ευθείας, α, είναι «συμβιβαστός» με την τιμή μηδέν, όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρία

118 Αποτελέσματα Ο σταθερός όρος της ευθείας, α, είναι «συμβιβαστός» με την τιμή μηδέν, όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρία

119 Αποτελέσματα Ο σταθερός όρος της ευθείας, α, είναι «συμβιβαστός» με την τιμή μηδέν, όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρία

120 Αποτελέσματα Ο σταθερός όρος της ευθείας, α, είναι «συμβιβαστός» με την τιμή μηδέν, όπως ακριβώς προβλέπει η θεωρία Η τιμή της επιτάχυνση βαρύτητας συμφωνεί, εντός των ορίων του σφάλματος, με την τιμή από την βιβλιογραφία (για το γεωγραφικό μας πλάτος 9.81m/s2)

121 Εναλλακτική Μέθοδος Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση
για να υπολογίσουμε το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας από κάθε ζεύγος τιμών (Τi,Li)→gi

122 Εναλλακτική Μέθοδος Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση
για να υπολογίσουμε το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας από κάθε ζεύγος τιμών (Τi,Li)→gi g1 (m/s2) g2 (m/s2) g3 (m/s2) g4 (m/s2) g5 (m/s2) g6 (m/s2) g7 (m/s2) g8 (m/s2) g9 (m/s2) g10 (m/s2) 9.90 9.95 9.93 9.86 9.79 9.83 10.01 9.78

123 Εναλλακτική Μέθοδος Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση
για να υπολογίσουμε το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας από κάθε ζεύγος τιμών (Τi,Li)→gi g1 (m/s2) g2 (m/s2) g3 (m/s2) g4 (m/s2) g5 (m/s2) g6 (m/s2) g7 (m/s2) g8 (m/s2) g9 (m/s2) g10 (m/s2) 9.90 9.95 9.93 9.86 9.79 9.83 10.01 9.78 RMS: 0.21m/s σg= 0.21m/s2

124 Η μέθοδος αυτή δεν ελέγχει την ισχύ της θεωρητικής πρόβλεψης
Εναλλακτική Μέθοδος Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση για να υπολογίσουμε το μέτρο της επιτάχυνσης βαρύτητας από κάθε ζεύγος τιμών (Τi,Li)→gi g1 (m/s2) g2 (m/s2) g3 (m/s2) g4 (m/s2) g5 (m/s2) g6 (m/s2) g7 (m/s2) g8 (m/s2) g9 (m/s2) g10 (m/s2) 9.90 9.95 9.93 9.86 9.79 9.83 10.01 9.78 RMS: 0.21m/s σg= 0.21m/s2 Η μέθοδος αυτή δεν ελέγχει την ισχύ της θεωρητικής πρόβλεψης

125 Θεώρημα του Κεντρικού Ορίου
Έστω η τυχαία μεταβλητή y (π.χ. μία μέτρηση χρονικής διάρκειας) η οποία είναι άθροισμα Ν ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών : y= x1+ x2+ x xN Κάθε τυχαία μεταβλητή xi (π.χ. το αποτέλεσμα μίας φυσικής διαδικασίας που συμμετέχει στη μέτρηση) κατανέμεται με διαφορετική πυκνότητα πιθανότητας Όταν το Ν τείνει στο άπειρο, η τυχαία μεταβλητή y ακολουθεί Gaussian κατανομή

126

127

128 α/α δ0 δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 δ7 1 2 3 4 5 6. . ………… …………. ………….. …………… ……………. …………….. ………………

129 α β ε στ γ δ ζ η

130 Χ1=δ0+δ1 Χ2=δ0+δ1+δ2 Χ3=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4 Χ4=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5
α/α δ0 δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 δ7 1 2 3 4 5 6. . ………… …………. ………….. …………… ……………. …………….. ……………… Χ1=δ0+δ1 Χ2=δ0+δ1+δ2 Χ3=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4 Χ4=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5 Χ5=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6 Χ6=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6+δ7 Χ7=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6+δ7+δ8

131 X5 X6 X7 X1 X2 X3 X4 Χ1=δ0+δ1 Χ2=δ0+δ1+δ2 Χ3=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4
Χ4=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5 Χ5=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6 Χ6=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6+δ7 Χ7=δ0+δ1+δ2+δ3+δ4+δ5+δ6+δ7+δ8 X5 X6 X7 X1 X2 X3 X4


Κατέβασμα ppt "Εισαγωγή σε Μεθόδους Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων"

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google