Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Υλικό Διαλέξεων του μαθήματος Διδάσκουσα: Χαλάτση Β. M.Sc. In Economics.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Υλικό Διαλέξεων του μαθήματος Διδάσκουσα: Χαλάτση Β. M.Sc. In Economics."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Υλικό Διαλέξεων του μαθήματος Διδάσκουσα: Χαλάτση Β. M.Sc. In Economics

2 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 η Θεωρία της Ζήτησης– Η μέθοδος των Καμπυλών Αδιαφορίας

3 Θεωρία της Τακτικής Χρησιμότητας (Ordinal Utility)  Αν ο καταναλωτής είναι ορθολογικός τότε μπορεί να κατατάξει – να ιεραρχήσει τις προτιμήσεις του: Ο Α σαφώς προτιμότερος από τον Β Ο Α ασθενώς προτιμότερος από τον Β Αδιάφορος μεταξύ του Α και Β  Αξιώματα: Πληρότητα Ανακλαστικότητα Μεταβατικότητα Συνέχεια

4 Καμπύλες Αδιαφορίας  Καμπύλες Αδιαφορίας: αναπαριστούν όλους τους συνδυασμούς των καλαθιών αγαθών που παρέχουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας για τον καταναλωτή  Χρειαζόμαστε μόνο ένα μέτρο διάταξης ή ταξινόμησης των προτιμήσεων του καταναλωτή για να σχεδιάσουμε τον χάρτη καμπυλών αδιαφορίας ενός καταναλωτή.  Με βάση την υπόθεση ότι δεν υπάρχει κορεσμός των αναγκών, δεξιά της καμπύλης αδιαφορίας αντιστοιχεί και μεγαλύτερη χρησιμότητα.

5 Χαρακτηριστικά Καμπυλών Αδιαφορίας Το πεδίο των καμπυλών αδιαφορίας είναι πυκνό Ο χάρτης αδιαφορίας είναι μοναδικός για κάθε καταναλωτή Οι συνδυασμοί πάνω στην ίδια Κ.Α. δίνουν την ίδια ικανοποίηση στον καταναλωτή Κάθε συνδυασμός δεξιά της Κ.Α. προτιμάται και αριστερά της Κ.Α. δίνει λιγότερη ικανοποίηση Καμπύλες αδιαφορίας που παριστούν διαφορετικά επίπεδα προτίμησης δεν μπορούν να τέμνονται Μονοτονικές προτιμήσεις η οποία και συνεπάγεται αρνητική κλίση στις καμπύλες αδιαφορίας Κυρτές προτιμήσεις -ο σταθμισμένος μέσος όρος δύο αδιάφορων συνδυασμών είναι αυστηρά προτιμότερος από τους δύο ακραίους συνδυασμούς- συνεπάγεται καμπύλες αδιαφορίας κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων

6 Marginal Rate of Substitution- Οριακός λόγος Υποκατάστασης  Η αρνητική κλίση της καμπύλης αδιαφορίας αντιπροσωπεύει το λόγο με τον οποίο το άτομο είναι πρόθυμο να ανταλλάξει Χ με Υ παραμένοντας στο ίδιο επίπεδο ευημερία και εκφράζεται από τον Οριακό Λόγο Υποκατάστασης. MRS xy = - Δ Y / Δ Χ  Οριακή Χρησιμότητα και MRS xy : MRS xy = ΜUy / ΜUx = - ΔΧ / ΔY  O MRS εκφράζει τις ομαλές προτιμήσεις του καταναλωτή (μονοτονικές και κυρτές)

7 Είδη Καμπυλών Αδιαφορίας  Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες γραμμές (U(x,y) = aX + bY) για αγαθά τέλεια υποκατάστατα με MRS = - a / b  Οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν σχήμα L για αγαθά τέλεια συμπληρωματικά με U(x,y) = min(aX, bY) με MRS είτε 0 είτε άπειρος.  Στα ουδέτερα αγαθά οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κάθετες γραμμές με MRS παντού άπειρος.  Στα ανεπιθύμητα αγαθά η κατεύθυνση αύξουσας προτίμησης των καμπυλών αδιαφορίας είναι προς τα κάτω και δεξιά προς το «αγαθό».  Οι καμπύλες αδιαφορίας που παριστάνουν κορεσμένες προτιμήσεις είναι κυκλικές  Οι (κυρτές) Καμπύλες Αδιαφορίας εμφανίζουν έναν μειούμενο οριακό λόγο υποκατάστασης

8 Ομοθετικές και Μη Ομοθετικές προτιμήσεις  Ομοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιμότητας εξαρτάται μόνο από το λόγο των ποσοτήτων των δύο αγαθών και όχι από τις συνολικές ποσότητες των δύο αγαθών. Οι οριακές χρησιμότητες και των δύο αγαθών εξαρτώνται από τα Χ και Υ. οι κλίσεις των καμπυλών αδιαφορίας εξαρτώνται μόνο από τον λόγο Υ / Χ και όχι από το πόσο μακριά είναι η καμπύλη από την αρχή των αξόνων.  Μη Ομοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιμότητας εξαρτάται μόνο από την μια ποσότητα του Υ ή Χ..

9 Εισοδηματική Γραμμή ή γραμμή καταναλωτικών δυνατοτήτων  Η γραμμή εισοδηματικού περιορισμού για δύο αγαθά είναι το σύνολο των συνδυασμών καταναλωτικών αγαθών που κοστίζουν ακριβώς M : Ρx Qx + Ρx Qy = M  Δεξιά του εισοδηματικού περιορισμού βρίσκεται «το σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων» του καταναλωτή.  Κλίση εισοδηματικού περιορισμού: (ΔY / ΔΧ) = - (Ρy / Ρx)  Η κλίση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού παριστά το κόστος ευκαιρίας (οικονομικό κόστος) της κατανάλωσης του αγαθού x σε σχέση με το y.

10 Μεταβολή της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού Μια μεταβολή του εισοδήματος θα καταλήξει σε παράλληλη μετατόπιση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού Μια μεταβολή της τιμής ενός αγαθού με σταθερή τη τιμή του άλλου και εισόδημα σταθερό, οδηγεί σε λιγότερο ή περισσότερο απότομη γραμμή εισοδηματικού περιορισμού. Αμετάβλητη θα παραμείνει αν πολλαπλασιάσω αμφοτέρων των τιμών και του εισοδήματος με μια σταθερά Οι φόροι, οι επιδοτήσεις και η επιβολή δελτίου μεταβάλλουν τη γραμμή εισοδηματικού περιορισμού.

11 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 η Άριστη επιλογή του καταναλωτή

12 Συνθήκες Ισορροπίας καταναλωτή  Ο καταναλωτής βρίσκεται σε ισορροπία όταν με δεδομένες τις τιμές των αγαθών και το εισόδημα μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του.  Οι συνθήκες α΄ τάξης αποτελούν τη συνθήκη εφαπτομενικότητας και είναι μόνο η αναγκαία συνθήκη για μέγιστο.  Για να είναι και ικανή η συνθήκη και να εξασφαλίζει μέγιστο η συνθήκη επαφής πρέπει να ικανοποιούνται και οι συνθήκες β΄ τάξης που θέλουν τον MRS να είναι φθίνων.  Στο σημείο ισορροπίας: η απόλυτη τιμή της κλίσης της καμπύλης αδιαφορίας. (MRSx,y) και η απόλυτη τιμή της κλίσης του εισοδηματικού περιορισμού είναι ίσες. ΜUy / ΜUx = Ρy / Ρx και συγχρόνως όλα τα διαθέσιμα χρήματα θα δαπανηθούν.

13 Οι άριστες επιλογές του καταναλωτή ανάλογα με το είδος της καμπύλης αδιαφορίας  Οι καμπύλες αδιαφορίας παρουσιάζουν μια εσωτερική άριστη επιλογή με κυρτές ή τεθλασμένες προτιμήσεις.  Ακραία άριστη επιλογή αποτελεί η περίπτωση που καταναλώνονται μηδέν μονάδες από το ένα αγαθό.  Η άριστη επιλογή για τα τέλεια υποκατάστατα αγαθά βρίσκεται συνήθως στα άκρα.  Αν τα αγαθά είναι τέλεια συμπληρωματικά η άριστη επιλογή που συντελείτε για τα αγαθά Χ και Υ είναι: Μ/ (Ρy +Ρx)  Οι καμπύλες αδιαφορίας παρουσιάζουν μια ακραία άριστη επιλογή με κοίλες προτιμήσεις

14 Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας  Στην περίπτωση των n αγαθών για εσωτερικό μέγιστο χρησιμοποιώ τον πολλαπλασιαστή Lagrange L = U (X, Y) + λ (Μ - Px X – Py Y) λ = ΜUy / Ρy = ΜUx / Ρx = ……..n αγαθά Ρ n = ΜU n / λ, n = το πλήθος των αγαθών που αγοράζει  Για ακραίες άριστες λύσεις: Ρ n > ή = (ΜUy / λ ) Ρ n = (ΜUy / λ ) τότε Χ n = 0  Η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas U(x,y) = Χa Yb υπό μεγιστοποίηση δίνει Χ = aΜ/ Px και Y = bΜ/ Py  Η CES U(x,y) = Χδ + Yδ δίνει Χ = (1/ 1+ Ρx/Ρy) (1/ Px) και Y = (1/ 1+ Ρy /Ρx) (1/ Py)

15 ΔΙΑΛΕΞΗ 3 η ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΑΠΑΝΩΝ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΜΠΥΛΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

16 Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας αντανακλά την εξάρτηση της χρησιμότητας από τις τιμές των αγαθών που έχουν αγοραστεί και από το εισόδημα. Εάν οι τιμές ή το εισόδημα μεταβληθούν, το επίπεδο χρησιμότητας θα επηρεαστεί. V = (P1, P2, ……….,Pn, M)

17 Συνάρτηση Δαπανών Από την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας μπορώ να λάβω τη συνάρτηση δαπανών Μια υψηλότερη ικανοποίηση θα απαιτήσει και υψηλότερες δαπάνες Εάν οι τιμές μεταβληθούν πρέπει να μεταβάλλει τις δαπάνες του ώστε να συνεχίσει να λαμβάνει την ίδια χρησιμότητα. Ε = (P1, P2, ……….,Pn, U σταθερό )

18 Το Δυαδικό πρόβλημα Ελαχιστοποίηση της δαπάνης  Το δυαδικό πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για ένα άτομο είναι η επίτευξη ενός δεδομένου επιπέδου χρησιμότητας με την ελάχιστη δυνατή δαπάνη: Να ελαχιστοποιείται η συνολική δαπάνη: Μ = x Px + y Py Υπό τον περιορισμό: U (Χ1, Χ2,…..Χn)  με συνάρτηση δαπανών Ε(Ρ1, Ρ2, ………,Ρn, U)  Η αρχική προσέγγιση της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας όσο και η δυαδική προσέγγιση της ελαχιστοποίησης της δαπάνης καταλήγουν στην ίδια άριστη λύση.

19 Η επιλογή μεταξύ του φόρου εισοδήματος και του φόρου επί της ποσότητας Ο καταναλωτής βρίσκεται σε ευνοϊκότερη θέση – σε υψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας – με ένα φόρο εισοδήματος σε σχέση με ένα φόρο επί της ποσότητας.

20 Άσκηση a) Αν Px = 0,25 και Py = 1 της U = X 0,5 Y 0,5, ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη δαπάνη για να φθάσω σε χρησιμότητα σταθερή και ίση με 2 b) Αν αυξηθεί η τιμή του Χ σε 0,40, πόσο πρέπει να αυξηθεί το εισόδημά του ώστε να παρέχεται σε αυτόν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας; c) Αν η τιμή του αγαθού Χ κοστίζει 0,10 και του Υ 0,25, πώς μπορεί να ξοδέψει 1 € ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του; d) Με βάση τα δεδομένα του α) ερωτήματος, πόσο θα κόστιζε στην κυβέρνηση η αύξηση της χρησιμότητας από 2 σε 2,5 με σταθερές τις τιμές των αγαθών; e) Αν η κυβέρνηση ήθελε να επιτρέψει στα άτομα να φτάσουν στο επίπεδο χρησιμότητας 2,5 επιδοτώντας το κόστος του αγαθού Υ, ποια θα έπρεπε να ήταν αυτή η επιδότηση; f) Ποιο το συνολικό κόστος της κυβέρνησης για αυτό το αγαθό;

21 Καμπύλη Εισοδήματος – Καταναλώσεως και η Καμπύλη Engel  Ο εισοδηματικός περιορισμός μετατοπίζεται παράλληλα με κλίση σταθερή (Px, Py σταθερά) εξαιτίας μεταβολής του εισοδήματος. Η γραμμή Εισοδήματος – Καταναλώσεως σχηματίζεται από τα σημεία ισορροπίας του καταναλωτή στα διάφορα επίπεδα εισοδήματος.  Η συνθήκη ισορροπίας MRSxy = ΜUy / ΜUx = - (Ρy / Ρχ) παραμένει σταθερή  Η Καμπύλη Engel για το αγαθό Χ έχει θετική κλίση όταν το αγαθό είναι κανονικό και η em > 0  Η Καμπύλη Engel για το αγαθό Χ έχει αρνητική κλίση όταν το αγαθό είναι κατώτερο και η em < 0  Η Καμπύλη Engel για το αγαθό Χ έχει θετική κλίση (αλλά η εφαπτόμενη κόβει τον άξονα των ποσοτήτων) όταν το αγαθό είναι πρώτης ανάγκης και η 01  Στα ουδέτερα αγαθά η Καμπύλη Engel είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα.

22 Καμπύλη Τιμής – Καταναλώσεως και η Ατομική Καμπύλη Ζήτησης του καταναλωτή  Ο εισοδηματικός περιορισμός μεταβάλλεται εξαιτίας μεταβολής της τιμής του αγαθού. Η καμπύλη Τιμής – Καταναλώσεως σχηματίζεται από τα σημεία ισορροπίας του καταναλωτή στα διάφορα επίπεδα τιμών του αγαθού με εισόδημα σταθερό.  Ο λόγος MRSxy = ΜUy / ΜUx συνεχώς μειώνεται (όχι απαραίτητα η ΜUy και ΜUx)  Η Ατομική Καμπύλη Ζήτησης προκύπτει με αρνητική κλίση για κανονικά αγαθά  Η Ατομική Καμπύλη Ζήτησης προκύπτει με θετική κλίση μόνο για αγαθά giffen

23 ΔΙΑΛΕΞΗ 4 η ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ & ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

24 ΕισοδηματικήΕπίδρασηΕπίδραση Υποκατάστασης Εισοδηματική Επίδραση – Επίδραση Υποκατάστασης  Όταν μειώνεται η τιμή ενός αγαθού ο καταναλωτής μεταβάλλει την ποσότητα που αγοράζει εξαιτίας: Της εισοδηματικής επίδρασης Της επίδρασης υποκατάστασης  Το αποτέλεσμα υποκατάστασης που προκύπτει από τη μεταβολή της τιμής αφορά τη προσαρμογή της ζήτησης στην μεταβολή μόνο των σχετικών τιμών.  Το αποτέλεσμα εισοδήματος που προκύπτει από τη μεταβολή της τιμής αφορά τη προσαρμογή της ζήτησης στην μεταβολή μόνο του πραγματικού εισοδήματος.  Το αποτέλεσμα υποκατάστασης και εισοδήματος στα κανονικά αγαθά ενισχύουν το ένα το άλλο, ενώ στα κατώτερα αγαθά λειτουργούν προς αντίθετη κατεύθυνση και δεν είναι δυνατή η ακριβής πρόβλεψη της επίπτωσης της μεταβολής της τιμής στην επιλεγόμενη ποσότητα.  Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι πάντα αρνητικό.  Το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρνητικό στα κανονικά αγαθά και θετικό στα κατώτερα αγαθά, αλλά υπερισχύει το αποτέλεσμα υποκατάστασης  Στα αγαθά giffen το αρνητικό αποτέλεσμα της υποκαταστάσεως δεν μπορεί να υπερβεί το θετικό εισοδηματικό αποτέλεσμα και άρα σε μια μείωση της τιμής προκαλείται μείωση στη ζητούμενη ποσότητα.

25 Ταυτότητα Slutsky  Η συνολική μεταβολή της ζήτησης: ΔΧ = αποτέλεσμα υποκατάστασης + αποτέλεσμα εισοδήματος  το πρόσημο της ταυτότητας εξαρτάται από το είδος του αγαθού: Όταν το αγαθό είναι κανονικό τα δύο αποτελέσματα ενισχύουν το ένα το άλλο σε θετική ή αρνητική κατεύθυνση ανάλογα με τη μεταβολή της τιμής. Όταν το αγαθό είναι κατώτερο τα δύο αποτελέσματα δρουν προς αντίθετη κατεύθυνση και το εισοδηματικό αποτέλεσμα είναι θετικό. Το τελικό πρόσημο της ταυτότητας στην περίπτωση ενός κατωτέρου αγαθού εξαρτάται από το ποιο από τα δύο αντίθετα αποτέλεσμα υπερισχύει. Στην περίπτωση του αγαθού giffen το θετικό εισοδηματικό αποτέλεσμα υπερισχύει του αρνητικού αποτελέσματος υποκατάστασης.

26 Άσκηση Έστω ο καταναλωτής έχει μια συνάρτηση ζήτησης Χ = 10 + Μ / 10 Ρx με Μ =120 € και Ρx = 3 € Να βρεθεί το αποτέλεσμα υποκατάστασης όταν η τιμή μειώνεται στα 2€ Ποιο το αποτέλεσμα του εισοδήματος; Ποια η συνολική μεταβολή της ζήτησης;

27 Εξίσωση Slutsky για τέλεια υποκατάστατα και συμπληρωματικά αγαθά Εξίσωση Slutsky για τέλεια υποκατάστατα και συμπληρωματικά αγαθά Η εξίσωση Slutsky για τα συμπληρωματικά αγαθά δεν περιλαμβάνει το αποτέλεσμα υποκατάστασης γιατί αυτό είναι μηδενικό. Και άρα το συνολικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το εισοδηματικό αποτέλεσμα. Η εξίσωση Slutsky για τα υποκατάστατα αγαθά δεν περιλαμβάνει το αποτέλεσμα εισοδήματος γιατί αυτό είναι μηδενικό. Και άρα το συνολικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το αποτέλεσμα υποκατάστασης.

28 Αποτέλεσμα κατά Hicks  Καταλήγει στα ίδια συμπεράσματα με τον Slutsky  Η διαφορά είναι ότι το αποτέλεσμα υποκατάστασης ενώ είναι πάντα αρνητικό, προκύπτει με διαφορετικό τρόπο: Η Γραμμή Εισοδηματικού περιορισμού δεν περιστρέφεται γύρω από την αρχική επιλογή αλλά κυλά πάνω στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας. Κρατά σταθερές τις προτιμήσεις αλλά όχι την αγοραστική δύναμη

29 Η Μη – Αντισταθμιστική Καμπύλη Ζήτησης Χ = dx (Px, Py, M) Δείχνει τη σχέση μεταξύ της τιμής ενός αγαθού και της ποσότητας του αγαθού που αγοράζεται, υποθέτοντας ότι όλοι οι άλλοι παράγοντες της ζήτησης διατηρούνται σταθεροί. Υπάρχει αντίστροφη σχέση τιμής και ζητούμενης ποσότητας (εφόσον το αγαθό δεν είναι giffen) Κλίση αρνητική Καθώς μεταβάλλεται η τιμή του αγαθού, μεταβάλλεται η αγοραστική δύναμη του καταναλωτή και μεταπηδά σε υψηλότερη ή χαμηλότερη χρησιμότητα. Οι αντιδράσεις στις μεταβολές των τιμών περιλαμβάνουν το αποτέλεσμα εισοδήματος και υποκατάστασης

30 Αντισταθμιστική Καμπύλη Ζήτησης Χ = hx (Px, Py, U) Ένας εναλλακτικός τρόπος κατασκευής της καμπύλης ζήτησης είναι να διατηρήσω το πραγματικό εισόδημα σταθερό ενώ εξετάζει αντιδράσεις σε μεταβολές του Px. Καθώς η τιμή μεταβάλλεται, μεταβάλλεται και το ονομαστικό εισόδημα ώστε η χρησιμότητα να παραμείνει σταθερή. Άρα οι επιπτώσεις της μεταβολής της τιμής στην αγοραστική δύναμη «αντισταθμίζονται» ώστε το άτομο να περιορίζεται στην ίδια καμπύλη χρησιμότητας. Περιλαμβάνει μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης

31 Σχέση Αντισταθμιστικής και Μη Αντισταθμιστικής Καμπύλη Ζήτησης Η μη αντισταθμιστική καμπύλη είναι πιο επίπεδη γιατί ενσωματώνει τόσο το αποτέλεσμα υποκατάστασης όσο και το εισοδηματικό αποτέλεσμα. Για ένα κανονικό αγαθό η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης είναι λιγότερο ευαίσθητη στις μεταβολές των τιμών γιατί αντανακλά μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης Η επιλογή μεταξύ αντισταθμιστική και μη αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης στην οικονομική ανάλυση είναι μόνο θέμα ευκολίας.


Κατέβασμα ppt "ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Υλικό Διαλέξεων του μαθήματος Διδάσκουσα: Χαλάτση Β. M.Sc. In Economics."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google