Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Μοντελοποίηση Έργα ΜαθήματαΑξιολόγηση Αναστοχασμός.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Μοντελοποίηση Έργα ΜαθήματαΑξιολόγηση Αναστοχασμός."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μοντελοποίηση Έργα ΜαθήματαΑξιολόγηση Αναστοχασμός

2 Τι είναι η μοντελοποίηση Μοντελοποίηση Έργα ΜαθήματαΑξιολόγηση Αναστοχασμός 2

3 Φάση 1η Κατανόηση της μοντελοποίησης 3

4 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 4 Πρέπει να: •Εργαστείτε σε διαφορετικά αυθεντικά έργα, τα οποία βασίζονται στην πραγματικότητα. •Αναστοχαστείτε για τα χαρακτηριστικά των έργων. •Σκεφτείτε κριτήρια με τα οποία θ ’ αναγνωρίζετε τα έργα μοντελοποίησης ανάμεσα σ ’ άλλα έργα, τα οποία θα σχετίζονται, επίσης, με ρεαλιστικές καταστάσεις. Στόχοι

5 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 5 •Κριτήρια αναγνώρισης των έργων μοντελοποίησης. •Αντίληψη της διαδικασίας μοντελοποίησης. Αποτελέσματα

6 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 6 Δραστηριότητα 2 Αναστοχασμός για τα χαρακτηριστικά των δοσμένων καταστάσεων Δραστηριότητα 3 Ανταλλαγή και έκφραση αναστοχασμών [Μικρές ομάδες] [Ολομέλεια] Δραστηριότητα 1 Δουλεύοντας σε δοσμένες καταστάσεις Δραστηριότητα 4 Ανάπτυξη και δημιουργία κριτηρίων [Ολομέλεια] Φάση δομής

7 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 7 Επίλυση κάποιων έργων. Δραστηριότητα 1

8 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 8 Έργο 1: «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» Πρόσφατα, στις 25 Απριλίου 2006, οι Ισπανοί τάχθηκαν εναντίον ενός νέου νόμου που προώθησε η κυβέρνηση και παρουσίασαν στο κογκρέσο υπογραφές Όλες οι ισπανικές εφημερίδες δημοσίευσαν φωτογραφίες με τα μεγάλα κουτιά και τα 10 φορτηγά που χρειάζονταν για την μεταφορά των χαρτιών στο κογκρέσο. Πιστεύετε ότι υπήρχε πολιτική πρόθεση πίσω απ ’ όλα αυτά ή ήταν όλα τα κουτιά και με τα φορτηγά πράγματι απαραίτητα για την μεταφορά των υπογραφών;

9 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 9 Για λόγους υγείας οι άνθρωποι πρέπει να περιορίσουν τις προσπάθειες τους, για παράδειγμα, στην άθληση τους, ώστε να μην υπερβαίνουν ένα συγκεκριμένο αριθμό καρδιακών παλμών. Για χρόνια, η σχέση μεταξύ του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών ενός ατόμου και της ηλικίας του περιγραφόταν με τον ακόλουθο τύπο: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 220 – ηλικία Πρόσφατη έρευνα έδειξε ότι αυτός ο τύπος πρέπει να τροποποιηθεί. Ο νέος τύπος είναι ο ακόλουθος: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 208 – (0.7 x ηλικία) Ένα άρθρο στην εφημερίδα αναφέρει: «Η χρήση του νέου τύπου αντί του παλιού, έχει ως αποτέλεσμα ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός παλμών της καρδιάς ανά λεπτό να είναι ελαφρώς μειωμένος για τα νέα άτομα και ελαφρώς αυξημένος για τους πιο ηλικιωμένους». Από ποια ηλικία και μετά ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών αυξάνεται ως αποτέλεσμα της εισαγωγής του νέου τύπου; Να δείξετε πώς εργαστήκατε. Έργο 2: «Καρδιακοί παλμοί» Ανάκληση από:

10 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 10 Έργο 3: «Φεστιβάλ μουσικής» Το φεστιβάλ Glastonbury των σύγχρονων εφαρμοσμένων τεχνών είναι το μεγαλύτερο φεστιβάλ μουσικής και φεστιβάλ καλών τεχνών στον κόσμο. Το 2005, το εμβαδόν του ήταν μεγαλύτερο από 3,6 km² και είχε περισσότερες από 385 ζωντανές παραστάσεις. Πολλοί απ ’ τους επισκέπτες του φεστιβάλ μεταφέρουν τα αντίσκηνά τους, ώστε να κοιμηθούν στον χώρο του φεστιβάλ. Οι διοργανωτές πρέπει να περιορίσουν τον αριθμό των εισιτηρίων και τον αριθμό των αντίσκηνων, που επιτρέπονται, για να μπορούν να εγγυηθούν την ασφάλεια των επισκεπτών. Τι θα τους συμβουλεύατε να κάνουν;

11 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 11 Έργο 4: Φυσικό αέριο Το 1993, τα παγκόσμια αποθέματα φυσικού αερίου υπολογίστηκαν στα 141,8 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα. Από τότε, χρησιμοποιούνται 2,5 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα κατά μέσο όρο κάθε χρόνο. Να υπολογίσετε πότε θα εξαντληθούν τ ’ αποθέματα του φυσικού αερίου. Να κάνετε διαφορετικές υποθέσεις και μοντέλα. Να εξηγήσετε όλα τα βήματά σας. © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin

12 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 12 Έργο 5: Πασχαλινά αυγά Η Ντανιέλλα βρήκε 23 αυγά. Χάρηκε, επειδή είχε βρει εννιά αυγά περισσότερα απ ’ το Χρήστο. Η Ευγενία χάρηκε ακόμη περισσότερο. Βρήκε ακριβώς τόσα αυγά, όσα η Ντανιέλλα και ο Χρήστος μαζί. Πόσα αυγά βρήκε η Ευγενία;

13 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 13 Έργο 6: Γείτονες Κατά τη γνώμη σας, πόσοι άνθρωποι μένουν σ ’ αυτήν την πολυκατοικία; © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin Τα κουδούνια με τα ονόματα των κατοίκων στην είσοδο της πολυκατοικίας

14 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 14 Να συγκρίνετε τις λύσεις σας σε ομάδες:  Ποιές είναι οι διαφορές;  Ποιές είναι οι ομοιότητες;   Να καταγράψετε τις ιδέες σας στους πίνακες που σας δόθηκαν. (Χρησιμοποιήστε διαφορετικούς πίνακες για κάθε έργο) Δραστηριότητα 2

15 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 15 Κατευθυντήριες γραμμές για αναστοχασμό Το πλαίσιο των έργων Η μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Αναμενόμενες λύσεις λύσεις Τα κύρια χαρακτηριστικά του λύτη

16 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 16 Ποιες ομοιότητες και διαφορές μπορείτε να εντοπίσετε μεταξύ αυτών των έργων; Πλαίσιο Μαθηματική γνώση Αναμενόμενες λύσεις Ενέργειες του μαθητή Δραστηριότητα 3: Συζήτηση

17 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 17 Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Λαμβάνοντας υπόψη την μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του λύτη Κάποια συμπεράσματα

18 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 18 Ποια χαρακτηριστικά πρέπει να έχει ένα έργο, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως έργο μοντελοποίησης ; Όσον αφορά: Πλαίσιο Μαθηματικήγνώση Αναμενόμενεςλύσεις Ενέργειες του μαθητή Δραστηριότητα 4: Αναπτύσσοντας κριτήρια

19 Φάση 2η Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης 19

20 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 20 Πρέπει να: •Αναστοχαστείτε για τις διαδικασίες επίλυσης προβλήματος, τις οποίες χρησιμοποιήσατε στην 1η Φάση •Συνοψίστε αυτές τις διαδικασίες σ ’ ένα απλό σχήμα •Συζητήσετε για ένα πιθανό σχήμα, το οποίο θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε, προκειμένου να περιγράψετε τη διαδικασία μοντελοποίησης •Μάθετε για τη διαδικασία μοντελοποίησης. Στόχοι

21 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 21 •Περιγραφή της διαδικασίας μοντελοποίησης Αποτελέσματα

22 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 22 Δραστηριότητα 2 Ανταλλαγή/ και έκφραση των αναστοχασμών [Μικρές ομάδες][Ολομέλεια] Δραστηριότητα 1 Αναστοχασμός για τις διαδικασίες επίλυσης του προβλήματος Φάσης δομής

23 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 23 Εργασία σε ομάδες: •Κοιτάξτε τα έργα τα οποία έχετε επιλύσει μέχρι στιγμής •Πώς προχωρήσατε, για να καταλήξετε στη λύση; Αναστοχαστείτε για τις διαδικασίες επίλυσης προβλήματος, που χρησιμοποιήσατε, σ ’ ένα γενικό επίπεδο •Σχεδιάστε μόνο ένα διάγραμμα, συνθέτοντας αυτές τις διαδικασίες [ Έργο 1 – Έργο 2– Έργο 3 – Έργο 4 – Έργο 5 – Έργο 6 ]Έργο 1 Έργο 2Έργο 3 Έργο 4 Έργο 6 Δραστηριότητα 1

24 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 24 Εισαγωγή περιγραφής της διαδικασίας μοντελοποίησης «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση  Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003)

25 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 25 Ανταλλαγή διαγραμμάτων Ποιες ομοιότητες και διαφορές μπορείτε να εντοπίσετε μεταξύ αυτών; Δραστηριότητα 2: Ανταλλαγή αναστοχασμών

26 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 26 “Real world”“Mathematical world” Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση  Ο κύκλος μοντελοποίησης (PISA, 2003) 1.Ξεκινώντας από ένα πρόβλημα σχετικό με την πραγματικότητα 2.Οργανώνοντας το πρόβλημα σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά 3.Σταδιακά, απομακρυνόμαστε απ ’ την πραγματικότητα μέσα από διάφορες διαδικασίες, όπως κάνοντας υποθέσεις, γενικεύοντας και διαμορφώνοντας σχέδια και αποφάσεις που προωθούν τα μαθηματικά χαρακτηριστικά της κατάστασης και ακόμη μετατρέποντας το αυθεντικό-πραγματικό πρόβλημα σε μαθηματικό πρόβλημα, το οποίο θ ’ αναπαριστά πιστά την κατάσταση Λύνοντας το μαθηματικό πρόβλημα Βγάζοντας νόημα απ ’ τη μαθηματική λύση σύμφωνα με το πλαίσιο της πραγματικής κατάστασης Επέκταση της περιγραφής Παραδείγματα

27 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 27  Σημαντικές παρατηρήσεις •Ο κύκλος μοντελοποίησης δεν είναι ένας αλγόριθμος •Σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να σκεφτόμαστε από πριν το επόμενο βήμα, αλλά και ν ’ αναλογιζόμαστε το προηγούμενο βήμα •Πιθανόν, να χρειαστεί να επαναλάβετε πολλές φορές αυτό τον κύκλο, μέχρι να καταλήξετε σε μια λύση •Είναι πιθανές περισσότερες από μια λύσεις •Πολλές φορές η λύση εξαρτάται απ ’ το άτομο, που εργάζεται στο συγκεκριμένο έργο “Real world”“Mathematical world” Real-world problem Mathematical Problem Mathematical solution Real solution

28 Επιπλέον διαφάνειες Φάση 1η: Κατανόηση της μοντελοποίησης 28

29 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 29 Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Πραγματικό και αυθεντικό; Ενδιαφέρον για τους μαθητές; Σχετικό με τους μαθητές; Έργο 1 ΝαιΘα μπορούσεΝαι Έργο 2 Όχι σίγουροΘα μπορούσεθα μπορούσε Έργο 3 ΝαιΘα μπροούσεΘα μπορούσε Έργο 4 ΝαιΘα μπορούσεΝαι Έργο 5 ΌχιΠιθανόν όχιΣίγουρα όχι Έργο 6 ΝαιΘα μπορούσε Πίσω στα συμπεράσματα

30 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 30 Λαμβάνοντας υπόψη τη μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Πίσω στα συμπεράσματα Μοναδικό και πρωτότυπο; Προωθεί τη χρήση διαφορετικών πτυχών μαθηματικής γνώσης; Έργο 1 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, γεωμετρία Έργο 2 Ναι Γραμμικές συναρτήσεις Έργο 3 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, γεωμετρία Έργο 4 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, άλγεβρα, συναρτήσεις Έργο 5 Ναι Αριθμητική Έργο 6 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί

31 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 31 Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Πίσω στα συμπεράσματα Μια ή πολλές; Η φύση της αναμενόμενης λύσης Σχέση μεταξύ της λύσης και του αρχικού πλαισίου Έργο 1Πολλές Αριθμός, διάστημα, μια δήλωση Σχετικό Έργο 2ΜιαΈνας αριθμόςΣχετικό Έργο 3ΠολλέςΜετρήσεις, διαστήματαΣχετικό Έργο 4Πολλές Αριθμοί, διαστήματα, δηλώσεις, συναρτήσεις, μοτίβα Σχετικό Έργο 5ΜιαΈνας αριθμόςΚαθόλου σχετικό Έργο 6ΠολλέςΑριθμοί, διαστήματαΣχετικό

32 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 32 Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του μαθητή Πίσω στα συμπεράσματα Απαιτείται μια «καλύτερη και μοναδική» διαδικασία; Διερευνά, κάνει υποθέσεις, ψάχνει για διαφορετικούς τρόπους εργασίας, ερμηνεύει και ελέγχει την εγκυρότητα των λύσεων του/ της…; Έργο 1 ΌχιΝαι Έργο 2 ΝαιΌχι Έργο 3 ΌχιΝαι Έργο 4 ΌχιΝαι Έργο 5 ΝαιΌχι Έργο 6 ΌχιΝαι

33 Επιπλέον διαφάνειες Φάση 2η: Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης 33

34 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 34 Από το «πραγματικό πρόβλημα» στο «μαθηματικό πρόβλημα» (1, 2, 3) (Οριζόντια μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά στο πλαίσιο του πραγματικού προβλήματος αναπαριστώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο και παράλληλα οργανώντάς το σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και τη διατύπωση κατάλληλων υποθέσεων κατανοώντας τις σχέσεις μεταξύ της γλώσσας του προβλήματος και της συμβολικής και τυπικής γλώσσας για τη μαθηματική κατανόηση του εντοπίζοντας σχέσεις και μοτίβα. αναγνωρίζοντας πτυχές οι οποίες είναι ανάλογες με αυτές άλλων γνωστών προβλημάτων μεταφράζοντας το πρόβλημα σε μαθηματική λύση, (π.χ. μαθηματικό μοντέλο) Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος μοντελοποίησης(PISA, 2003)

35 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 35 Δουλεύοντας στον “μαθηματικό κόσμο” (4) (κάθετη μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) χρήση και εναλλαγή μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων χρήση συμβολικής, τυπικής και τεχνικής γλώσσας και διαδικασιών βελτίωση και προσαρμογή του μαθηματικού μοντέλου συνδυασμός και ερμηνεία των μοντέλων επιχειρηματολογία γενίκευση Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003)

36 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 36 Επιστρέφοντας στον πραγματικό κόσμο (5) (ερμηνεύοντας και ελέγχοντας την εγκυρότητα τόσο της λύσης, όσο και του μοντέλου) κατανοώντας την έκταση και τους περιορισμούς των μαθηματικών εννοιών αναστοχασμός για τα μαθηματικά επιχειρήματα, για την επεξήγηση και αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων συνδέοντας τη διαδικασία και τη λύση μέσω της επικοινωνίας ασκώντας κριτική στο μοντέλο και τους περιορισμούς του Πίσω στην παρουσίαση Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Ο κύκλος της μοντελοποίησης(PISA, 2003)

37 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 37 Παραδείγματα  Έργο 1: Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου  Έργο 2: Καρδιακοί παλμοί

38 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 38 Παράδειγμα 1: Υπογράφοντας εναντίον… Πίσω στην παρουσίαση Το κείμενο-εκφώνηση του έργου Tasks 1   Modelling task (all the cycle and steps have to be considered) “Real world” “Mathematical world” Tasks 1 Έργο 1   Modelling task (all the cycle and steps have to Έργο μοντελοποίησης (όλοι οι κύκλοι και τα βήματα πρέπει να ληφθούν υπόψη). «Πραγματικός κόσμος»«Μαθηματικός κόσμος» Real-world problem Collecting signatures Carrying them to the Congress Are 11 vans really needed? Real-world problem Συλλέγοντας υπογραφές Μεταφέροντας τις στο κογκρέσο Χρειάζονται πραγματικά 10 φορτηγά; Mathematical Problem How may sheets of paper? What is the volume occupied bynsheets of paper? Mathematical Problem Πόσα φύλλα χαρτιού; Πόσο όγκο καταλαμβάνουν ν φύλλα χαρτιού; Mathematical solution Arithmetic calculations Calculating a volume Mathematical solution Αριθμητικοί υπολογισμοί Υπολογίζοντας τον όγκο Realsolution Comparing volumes (nsheets of paper vs. 11 vans) Arguing about the situation Realsolution Συγκρίνοντας όγκους (νφύλλα χαρτιού και 10 φορτηγών Συζητώντας για την κατάσταση

39 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 39 Παράδειγμα 2: «Καρδιακοί παλμοί» Πίσω στην παρουσίαση Κείμενο-εκφώνηση του έργου   Application task (steps 2 and 3 do not have to be considered: the mathematical model is provided) “Real world” “Mathematical world” Έργα 2  Εφαρμογή του έργου(τα βήματα 2 και 3 δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη: το μαθηματικό μοντέλο δίνεται «Πραγματικός κόσμος»«Μαθηματικός κόσμος» Real-world problem Two math. models (linear) and a qualitative statement are given. Which age onwards does the new model increase the recommended frequency given by the old one? Real-world problem Δίνονται δύο μαθηματικά μοντέλα (γραμμικά) και μια ποιοτική δήλωση (λεκτική) Από ποια ηλικία και μετά το μοντέλο αυξάνει το μέγιστο επιτρεπτό αριθμό καρδιακών παλμών; Mathematical Problem Comparison of two functions: x / 220–x < 208–0,7x? Mathematical Problem Σύγκριση των δύο συναρτήσεων x / 220–x < 208–0,7x; Mathematical solution Solving a linear inequality: x > 40 Mathematical solution Λύνοντας την ανίσωση : x > 40 Realsolution Interpreting this inequality in terms of age and recommended max. heart rate. Realsolution Ερμηνεύοντας αυτή την ανίσωση υπό τους όρους της ηλικίας και του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών.

40 Επιπλέον έργα Έργα 40

41 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 41 Έργο 1: «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» Πρόσφατα, στις 25 Απριλίου 2006, οι Ισπανοί τάχθηκαν εναντίον ενός νέου νόμου που προώθησε η κυβέρνηση και παρουσίασαν στο κογκρέσο υπογραφές Όλες οι ισπανικές εφημερίδες δημοσίευσαν φωτογραφίες με τα μεγάλα κουτιά και τα 10 φορτηγά που χρειάζονταν για την μεταφορά των χαρτιών στο κογκρέσο. Πιστεύετε ότι υπήρχε πολιτική πρόθεση πίσω απ ’ όλα αυτά ή ήταν όλα τα κουτιά και με τα φορτηγά πράγματι απαραίτητα για την μεταφορά των υπογραφών;

42 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 42 Έργο 2: «Καρδιακοί παλμοί» Ανάκληση από: Για λόγους υγείας οι άνθρωποι πρέπει να περιορίσουν τις προσπάθειες τους, για παράδειγμα, στην άθληση τους, ώστε να μην υπερβαίνουν ένας συγκεκριμένος αριθμός καρδιακών παλμών. Για χρόνια, η σχέση μεταξύ του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών ενός ατόμου και της ηλικίας του περιγραφόταν με τον ακόλουθο τύπο: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 220 – ηλικία Πρόσφατη έρευνα έδειξε ότι αυτός ο τύπος πρέπει να τροποποιηθεί κάπως. Ο νέος τύπος είναι ο ακόλουθος: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 208 – (0.7 x ηλικία) Ένα άρθρο στην εφημερίδα αναφέρει: «Η χρήση του νέου τύπου αντί του παλιού, έχει ως αποτέλεσμα ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός παλμών της καρδιάς ανά λεπτό να είναι ελαφρώς μειωμένος για τα νέα άτομα και ελαφρώς αυξημένος για τους πιο ηλικιωμένους». Από ποια ηλικία και μετά ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών να αυξάνεται ως αποτέλεσμα της εισαγωγής του νέου τύπου; Να δείξετε πώς εργαστήκατε.

43 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 43 Έργο 3: «Φεστιβάλ μουσικής» Το φεστιβάλ Glastonbury των σύγχρονων εφαρμοσμένων τεχνών είναι το μεγαλύτερο φεστιβάλ μουσικής και φεστιβάλ καλών τεχνών στον κόσμο. Το 2005, το εμβαδόν του ήταν μεγαλύτερο από 3,6 km² και είχε περισσότερες από 385 ζωντανές παραστάσεις. Πολλοί απ ’ τους επισκέπτες του φεστιβάλ μεταφέρουν τα αντίσκηνά τους ώστε να κοιμηθούν στον χώρο του φεστιβάλ. Οι διοργανωτές πρέπει να περιορίσουν τον αριθμό των εισιτηρίων και τον αριθμό των αντίσκηνων, που επιτρέπονται, ώστε να μπορούν να εγγυηθούν την ασφάλεια των επισκεπτών. Τι θα τους συμβουλεύατε να κάνουν;

44 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 44 Έργο 4: Φυσικό αέριο Το 1993, τα παγκόσμια αποθέματα φυσικού αερίου υπολογίστηκαν στα 141,8 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα. Από τότε, χρησιμοποιούνται 2,5 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα κατά μέσο όρο κάθε χρόνο. Να υπολογίσετε πότε θα εξαντληθούν τα αποθέματα του φυσικού αερίου. Να κάνετε διαφορετικές υποθέσεις και μοντέλα. Να εξηγήσετε όλα τα βήματά σας. © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin

45 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 45 Έργο 5: Πασχαλινά αυγά Η Ντανιέλλα βρήκε 23 αυγά. Χάρηκε, επειδή είχε βρει εννιά αυγά περισσότερα απ ’ το Χρήστο. Η Ευγενία χάρηκε ακόμη περισσότερο. Βρήκε ακριβώς τόσα αυγά, όσα η Ντανιέλλα και ο Χρήστος μαζί. Πόσα αυγά βρήκε η Ευγενία;

46 Lessons Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση; Γιατί επιλέγουμε τη μοντελοποίηση; 46 Έργο 6: Γείτονες Κατά τη γνώμη σας, πόσοι άνθρωποι μένουν σ ’ αυτήν την πολυκατοικία; © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin Τα κουδούνια με τα ονόματα των κατοίκων στην είσοδο της πολυκατοικίας


Κατέβασμα ppt "Μοντελοποίηση Έργα ΜαθήματαΑξιολόγηση Αναστοχασμός."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google