Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας
Κεφάλαο 5 Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας © 2002 Thomson / South-Western

2 Στόχοι Μαθήματος Διάκριση μεταξύ διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών Προσδιορισμός του είδους των στατιστικών πειραμάτων που μπορεί να περιγραφεί από την διωνυμική κατανομή καθώς και του τρόπου με τον οποίο μπορούν να επιλυθούν παρόμοια προβλήματα. . © 2002 Thomson / South-Western 2

3 Στόχοι Μαθήματος (συνέχεια)
Λήψη απόφασης σχετικά με το αν θα χρησιμοποιηθεί η κατανομή Poisson στην ανάλυση στατιστικών πειραμάτων. Λήψη απόφασης σχετικά με το πότε και πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η υπεργεωμετρική κατανομή στην ανάλυση στατιστικών πειραμάτων. © 2002 Thomson / South-Western 3

4 Διακριτές vs Συνεχών Κατανομών
Τυχαία μεταβλητή –μια μεταβλητή η οποία περιέχει τα πιθανά αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή -- το σύνολο όλων των πιθανών τιμών της είναι το πολύ πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο. Συνεχής Τυχαία Μεταβλητή -- λαμβάνει τιμές σε οποιοδήποτε σημείο ενός συγκεκριμένου διαστήματος. © 2002 Thomson / South-Western 4

5 Μερικές Ειδικές Κατανομές
Οι διακριτές κατανομές κατασκευάζονται από διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Η διωνυμική, η κατανομή Poisson και η υπεργεωμετρική ανήκουν στην οικογένεια των διακριτών κατανομών. Οι συνεχείς κατανομές βασίζονται σε συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Η κανονική, η ομοιόμορφη, η εκθετική, η t-student, η X2 και η κατανομή F ανήκουν στην οικογένεια των συνεχών κατανομών. © 2002 Thomson / South-Western 5

6 Διωνυμική Κατανομή Μια ευρέως γνωστή διακριτή κατανομή η οποία κατασκευάζεται με τον προσδιορισμό της πιθανότητας εμφάνισης Χ αριθμό επιτυχιών σε σύνολο n δοκιμών. © 2002 Thomson / South-Western

7 Υποθέσεις της Διωνυμικής Κατανομής
Το πείραμα περιλαμβάνει πανομοιότυπες δοκιμές Κάθε δοκιμή εμφανίζει δυο πιθανά αποτελέσματα: επιτυχία και αποτυχία Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Οι παράμετροι p και q παραμένουν σταθερές καθόλη την διάρκεια του πειράματος p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε οποιαδήποτε δοκιμή q = (1-p) είναι η πιθανότητα αποτυχίας σε οποιαδήποτε δοκιμή © 2002 Thomson / South-Western 13

8 Υποθέσεις της Διωνυμικής Κατανομής (συνέχεια)
Στις n δοκιμές η μεταβλητή X εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών όπου X είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και n. Εφαρμογές Δειγματοληψία με επανάθεση Η δειγματοληψία χωρίς επανάθεση προκαλεί μεταβολή στο p αλλά εάν το μέγεθος του δείγματος n < 5% N η υπόθεση της ανεξαρτησίας δεν αποτελεί πρόβλημα © 2002 Thomson / South-Western

9 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη
Πείραμα: τυχαία επιλογή, με επανάθεση, δυο οικογενειών από τον πληθυσμό μιας πόλης με 4 οικογένειες στο σύνολο. Επιτυχία είναι ‘Παιδιά στο Νοικοκυριό:’ p = 0.75 Αποτυχία είναι Όχι Παιδιά στο Νοικοκυριό’: q = 1- p = 0.25 X είναι ο αριθμός των οικογενειών του δείγματος με ‘Παιδιά στο Νοικοκυριό’ © 2002 Thomson / South-Western 15

10 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη (2)
Οικογένεια Παιδιά στο Νοικοκυριό Αριθμός Αυτοκινήτων A B C D Yes No 3 2 1 Δειγματικός Χώρος (A,B), (A,C), (A,D), (D,D), (B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C), (D,D) © 2002 Thomson / South-Western

11 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη (3)
(A,B), (A,C), (A,D), (D,D), (B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C), (D,D) Δειγματικός Χώρος 2 1 X 1/16 P(αποτελέσματος) Οι οικογένειες A, B, και D έχουν παιδιά στο νοικοκυριό:Η οικογένεια C δεν έχει παιδιά Επιτυχία είναι ‘Επιτυχία στο Νοικοκυριό :’ p = 0.75 Αποτυχία είναι ‘όχι παδιά στο Νοικοκυριό:’ q = 1- p = 0.25 X είναι ο αριθμός των οικογενειών στο δείγμα με ‘Παιδιά στο Νοικοκυριό’ © 2002 Thomson / South-Western 16

12 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη (4)
(A,B), (A,C), (A,D), (D,D), (B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C), (D,D) Δειγματικός Χώρος 2 1 X 1/16 P(αποτελέσματος) 6/16 9/16 P(X) © 2002 Thomson / South-Western 17

13 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη (5)
Οι οικογένειες A, B, και D έχουν παιδιά στο νοικοκυριό:Η οικογένεια C δεν έχει παιδιά Επιτυχία είναι Παιδιά στο Νοικοκυριό, Household: p = 0.75 Αποτυχία είναι όχι Παιδιά στο Νοικοκυριό, q = 1- p = 0.25 X είναι ο αριθμός των οικογενειών στο δείγμα με ‘Παιδιά στο Νοικοκυριό’ X Πιθανές Ακολουθίες 1 2 (F,F) (S,F) (F,S) (S,S) P(ακολουθίας) (. ) ( . 25 75 © 2002 Thomson / South-Western 18

14 Διωνυμική Κατανομή: Ανάπτυξη (6)
X Πιθανές Ακολουθίες 1 2 (F,F) (S,F) (F,S) (S,S) P(ακολουθίας) (. ) ( . 25 75 P(X) =0.375 =0.5625 =0.0625 © 2002 Thomson / South-Western 19

15 Διωνυμική Κατανομή: Εφαρμογή 5.2
Διωνυμική Κατανομή: Εφαρμογή 5.2 © 2002 Thomson / South-Western 20

16 Πίνακας Διωνυμικής Κατανομής
n = 20 PROBABILITY X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.122 0.012 0.001 0.000 1 0.270 0.058 0.007 2 0.285 0.137 0.028 0.003 3 0.190 0.205 0.072 4 0.090 0.218 0.130 0.035 0.005 5 0.032 0.175 0.179 0.075 0.015 6 0.009 0.109 0.192 0.124 0.037 7 0.002 0.055 0.164 0.166 0.074 8 0.022 0.114 0.180 0.120 0.004 9 0.065 0.160 0.071 10 0.031 0.117 0.176 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Πίνακας Διωνυμικής Κατανομής © 2002 Thomson / South-Western

17 Χρησιμοποιώντας τον πίνακα της Διωνυμικής Κατανομής Εφαρμογή 5.3
Χρησιμοποιώντας τον πίνακα της Διωνυμικής Κατανομής Εφαρμογή 5.3 n = 20 PROBABILITY X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.122 0.012 0.001 0.000 1 0.270 0.058 0.007 2 0.285 0.137 0.028 0.003 3 0.190 0.205 0.072 4 0.090 0.218 0.130 0.035 5 0.032 0.175 0.179 0.075 6 0.009 0.109 0.192 0.124 7 0.002 0.055 0.164 0.166 8 0.022 0.114 0.180 9 0.065 0.160 10 0.031 0.117 11 0.071 12 0.004 13 0.015 14 0.005 15 16 17 18 19 20 © 2002 Thomson / South-Western

18 Διωνυμική Κατανομή Συνάρτηση Πιθανότητας Μέση Τιμή
Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση © 2002 Thomson / South-Western 14

19 Γραφήματα Επιλεγμένων Διωνυμικών Κατανομών
Γραφήματα Επιλεγμένων Διωνυμικών Κατανομών n = 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ X 0.1 0.5 0.9 0.656 0.063 0.000 1 0.292 0.250 0.004 2 0.049 0.375 3 4 P = 0.5 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1 2 3 4 X P(X) P = 0.1 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1 2 3 4 X P(X) P = 0.9 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1 2 3 4 X P(X) © 2002 Thomson / South-Western

20 Υποθέσεις Κατανομής Poisson
Περιγράφει διακριτά ενδεχόμενα που λαμβάνουν χώρα σε ένα συνεχές χρονικό διάστημα. Πρόκειται για μια διακριτή κατανομή Περιγράφει σπάνια γεγονότα. Τα ενδεχόμενα είναι ανεξέρτητα μεταξύ τους. Ο αριθμός των ενδεχομένων σε κάθε χρονικό διάστημα μπορεί να ποικίλλει από 0 έως άπειρο. Ο αναμενόμενος αριθμός ενδεχομένων πρέπει να διατηρείται σταθερός καθόλη την διάρκεια του πειράματος. © 2002 Thomson / South-Western 32

21 Κατανομή Poisson Συνάρτηση πιθανότητας Μέση τιμή Τυπική απόκλιση
Διακύμανση © 2002 Thomson / South-Western 34

22 Κατανομή Poisson : Εφαρμογή 5.7
© 2002 Thomson / South-Western 35

23 Κατανομή Poisson : Πίνακας Πιθανοτήτων
X 0.5 1.5 1.6 3.0 3.2 6.4 6.5 7.0 8.0 0.6065 0.2231 0.2019 0.0498 0.0408 0.0017 0.0015 0.0009 0.0003 1 0.3033 0.3347 0.3230 0.1494 0.1304 0.0106 0.0098 0.0064 0.0027 2 0.0758 0.2510 0.2584 0.2240 0.2087 0.0340 0.0318 0.0223 0.0107 3 0.0126 0.1255 0.1378 0.2226 0.0726 0.0688 0.0521 0.0286 4 0.0016 0.0471 0.0551 0.1680 0.1781 0.1162 0.1118 0.0912 0.0573 5 0.0002 0.0141 0.0176 0.1008 0.1140 0.1487 0.1454 0.1277 0.0916 6 0.0000 0.0035 0.0047 0.0504 0.0608 0.1586 0.1575 0.1490 0.1221 7 0.0008 0.0011 0.0216 0.0278 0.1450 0.1462 0.1396 8 0.0001 0.0081 0.0111 0.1160 0.1188 9 0.0040 0.0825 0.0858 0.1014 0.1241 10 0.0013 0.0528 0.0558 0.0710 0.0993 11 0.0004 0.0307 0.0330 0.0452 0.0722 12 0.0164 0.0179 0.0263 0.0481 13 0.0089 0.0142 0.0296 14 0.0037 0.0041 0.0071 0.0169 15 0.0018 0.0033 0.0090 16 0.0006 0.0007 0.0014 0.0045 17 0.0021 18 © 2002 Thomson / South-Western

24 Χρησιμοποιώντας τους πίνακες της Poisson Κατανομής: Εφαρμογή 5.7
X 0.5 1.5 1.6 3.0 0.6065 0.2231 0.2019 0.0498 1 0.3033 0.3347 0.3230 0.1494 2 0.0758 0.2510 0.2584 0.2240 3 0.0126 0.1255 0.1378 4 0.0016 0.0471 0.0551 0.1680 5 0.0002 0.0141 0.0176 0.1008 6 0.0000 0.0035 0.0047 0.0504 7 0.0008 0.0011 0.0216 8 0.0001 0.0081 9 0.0027 10 11 12 © 2002 Thomson / South-Western

25 Κατανομή Poisson: Γραφική παράσταση
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 1 2 3 4 5 6 7 8 0.02 0.04 0.06 0.08 0.12 0.14 0.16 10 12 14 16 © 2002 Thomson / South-Western 40

26 Υποθέσεις της Υπεργεωμετρικής Κατανομής
Ανήκει στην οικογένεια των διακριτών κατανομών. Η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανάθεση. Ο αριθμός των στοιχείων του πληθυσμού, Ν, είναι πεπερασμένος και γνωστός. Κάθε δοκιμή έχει δυο ακριβώς πιθανά αποτελέσματα: επιτυχία και αποτυχία. Οι δοκιμές δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. X είναι ο αριθμός των επιτυχιών στις n δοκιμές. © 2002 Thomson / South-Western 25

27 Υπεργεωμετρική Κατανομή
Συνάρτηση Πιθανότητας N είναι το μέγεθος του πληθυσμού n είναι το μέγεθος του δείγματος A είναι ο αριθμός των επιτυχιών στον πληθυσμό x είναι ο αριθμός των επιτυχιών στο δείγμα Μέση τιμή Διακύμανση & Τυπική Απόκλιση © 2002 Thomson / South-Western 26

28 Υπεργεωμετρική Κατανομή : Υπολογισμοί Πιθανότητας
N = 24 X = 8 n = 5 x 0.1028 1 0.3426 2 0.3689 3 0.1581 4 0.0264 5 0.0013 P(x) © 2002 Thomson / South-Western 27

29 Υπεργεωμετρική Κατανομή: Γραφική Παράσταση
N = 24 X = 8 n = 5 x 0.1028 1 0.3426 2 0.3689 3 0.1581 4 0.0264 5 0.0013 P(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 1 2 3 4 5 © 2002 Thomson / South-Western 28

30 Υπεργεωμετρική Κατανομή: Εφαρμογή 5.8
X P(X) 0.0245 1 0.2206 2 0.4853 3 0.2696 N = 18 n = 3 A = 12 © 2002 Thomson / South-Western

31 Η σχέση μεταξύ της Υπεργεωμετρικής & της Διωνυμικής Κατανομής
Επειδή η υπεργεωμετρική κατανομή προσδιορίζεται από 3 παραμέτρους N, A και n, είναι πρακτικά αδύνατο να δημιουργηθούν πίνακες για εύκολη χρήση. Η διωνυμική κατανομή (η οποία έχει πινακοποιηθεί) αποτελεί μια αποδεκτή προσέγγιση της υπεργεωμετρικής σε περιπτώσεις όπου το n < 5% N. Ωστόσο, το Excel έχει εξαλείψει όλους τους χρονοβόρους υπολογισμούς και επιτρέπει στον χρήστη να υπολογίσει τις πιθανότητες της υπεργεωμετρικής κατανομής με ακρίβεια. © 2002 Thomson / South-Western


Κατέβασμα ppt "Διακριτές Κατανομές Πιθανότητας"

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google