Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Συνδυαστική. 2 Θέμα •Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Συνδυαστική. 2 Θέμα •Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Συνδυαστική

2 2 Θέμα •Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο από ένα δεκαδικό ψηφίο;

3 3 Λύση •Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε το αγγλικό αλφάβητο που έχει 26 γράμματα. –Όταν έχει μόνο ένα γράμμα υπάρχουν 26 επιλογές. –Όταν έχει ένα γράμμα και ψηφίο, υπάρχουν 26 επιλογές για το γράμμα και 10 επιλογές για το ψηφίο, 260 επιλογές συνολικά. •Άρα υπάρχουν = 286 δυνατά ονόματα μεταβλητών

4 4 Θέμα •Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να μετατεθούν τα γράμματα ‘a’, ’a’, ‘a’, ’a’, ’a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ έτσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικά ‘a’;

5 5 Λύση •Ο μόνος τρόπος είναι να έχουμε a _ a _ a _ a _ a •Οπότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τις διατάξεις των τεσσάρων γραμμάτων ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’. •Υπάρχουν 4!/ (4 - 4)! = 4! = 24 διατάξεις

6 6 Θέμα •Σ’ ένα διαγώνισμα υπάρχουν 15 ερωτήσεις που επιδέχονται απαντήσεις του τύπου ‘αληθής’ ή ‘ψευδής’. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να απαντήσει το διαγώνισμα ένας φοιτητής, εάν έχει την δυνατότητα να επιλέξει να μην απαντήσει σε κάποιες από τις ερωτήσεις;

7 7 Λύση •Υπάρχουν τρεις επιλογές για κάθε ερώτηση •Επομένως υπάρχουν 3 15 τρόποι

8 8 Με πόσους τρόπους 10 άνθρωποι μπορούν να καθίσουν σε ένα καναπέ, εάν υπάρχουν μόνο 4 καθίσματα διαθέσιμα; Θέμα

9 9 Λύση Το πρώτο κάθισμα μπορεί να ‘διατεθεί’ με ένα από 10 διαφορετικούς τρόπους, και όταν αυτό γίνει θα υπάρχουν 9 διαφορετικοί τρόποι να ‘διατεθεί’ το δεύτερο κάθισμα. Ακολούθως θα υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι για το τρίτο κάθισμα και 7 διαφορετικοί τρόποι για το τέταρτο κάθισμα.

10 10 Λύση (συνέχεια) Επομένως Ο συνολικός αριθμός διαφορετικών επιλογών διάθεσης όλων των 4 καθισμάτων στους 10 ανθρώπους είναι: 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

11 11 Ο συνολικός αριθμός διάταξης r αντικειμένων από μία συλλογή με n συνολικά αντικείμενα είναι: n * (n-1) * …*(n-r+1) = P(n,r) = P n,r Γενικότερα

12 12 Θα πρέπει να ‘καθίσουμε’ 5 άνδρες και 4 γυναίκες σε μία σειρά με τέτοιο τρόπο ώστε οι γυναίκες να καθίσουν σε καθίσματα στη σειρά με ζυγό αριθμό. Υπάρχουν 9 συνολικά καθίσματα, το καθένα με ένα αριθμό αρχίζοντας από 1, 2, …, 9. Θέμα

13 13 Λύση Οι άνδρες μπορούν να καθίσουν με 5!/ (5 - 5)! διαφορετικούς τρόπους και οι γυναίκες με 4!/ (4 - 4)! διαφορετικούς τρόπους. Η κάθε διάταξη των ανδρών μπορεί να ‘συνδεθεί’ (να αντιστοιχηθεί) με μία διάταξη των γυναικών, και να αποτελέσει αυτή η νέα διάταξη γυναικών και ανδρών μία πιθανή επιλογή. Υπάρχουν συνολικά:

14 14 Λύση (συνέχεια) Άρα υπάρχουν συνολικά: 5!/ (5 - 5)! * 4!/ (4 - 4)! δυνατές επιλογές-διατάξεις ή 5! * 4! = 120 * 24 = 2880

15 15 Παρατήρηση Εάν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με ένα από n 1 διαφορετικούς τρόπους, και όταν αυτό συμβεί, ένα άλλο μπορεί να συμβεί με ένα από n 2 διαφορετικούς τρόπους τότε ο συνολικός αριθμός των τρόπων που και τα δύο γεγονότα μπορούν να συμβούν με αυτή τη σειρά είναι n 1 * n 2

16 16 Έστω 4 διαφορετικά βιβλία μαθηματικών, 6 βιβλία (διαφορετικά) φυσικής, 2 διαφορετικά βιβλία χημείας. Πρέπει να τακτοποιηθούν το ένα δίπλα στο άλλο σε ένα ράφι. Πόσοι τρόποι διάταξης υπάρχουν, εάν (α) όλα τα βιβλία κάθε διαφορετικής περιοχής πρέπει να είναι το ένα δίπλα στο άλλο; (β) μόνο τα βιβλία μαθηματικών πρέπει να είναι το ένα δίπλα στο άλλο; Θέμα

17 17 Λύση (α) Τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν μεταξύ τους με 4! διαφορετικούς τρόπους. Τα βιβλία της φυσικής με 6! διαφορετικούς τρόπους. Τα βιβλία χημείας με 2! διαφορετικούς τρόπους. Επίσης, οι τρεις διαφορετικές κατηγορίες βιβλίων μπορούν να διαταχθούν με 3! διαφορετικούς τρόπους.

18 18 Λύση (συνέχεια) (*) Επομένως, ο συνολικός αριθμός διαφορετικών διατάξεων είναι: 4! * 6! * 2! * 3! (*) Προσέξετε ότι και ο τρεις ομάδες βιβλίων μπορούν να διαταχθούν με 3! διαφορετικούς τρόπους (π.χ. πρώτα τα βιβλία της φυσικής, μετά της χημείας και μετά των μαθηματικών ή πρώτα των μαθηματικών, έπειτα της χημείας και μετά της φυσικής κτλ.).

19 19 (β) Θεωρείστε τα 4 βιβλία των μαθηματικών σαν ένα ‘μεγάλο’ βιβλίο. Τότε έχουμε 9 βιβλία που μπορούμε να τα διατάξουμε με 9! διαφορετικούς τρόπους. Σε όλες αυτές τις διατάξεις τα βιβλία των μαθηματικών είναι μαζί (το ένα δίπλα στο άλλο). Όλα τα βιβλία των μαθηματικών μπορούν να διαταχθούν μεταξύ τους με 4! διαφορετικούς τρόπους. Λύση (συνέχεια)

20 20 Λύση (συνέχεια) Επομένως υπάρχουν συνολικά 9! * 4! διαφορετικοί τρόποι διάταξης των βιβλίων, έτσι ώστε τα βιβλία των μαθηματικών να είναι το ένα δίπλα στο άλλο.

21 21 Σε ένα πανεπιστήμιο υπάρχουν 5 καθηγητές μαθηματικών και 7 φυσικοί. Θέλουμε να σχηματίσουμε μια επιτροπή με 2 μαθηματικούς και 3 φυσικούς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τη σχηματίσουμε εάν: (α) ο οποιοσδήποτε μαθηματικός και ο οποιοσδήποτε φυσικός μπορεί να συμπεριληφθεί (β) ένας συγκεκριμένος φυσικός πρέπει να είναι μέλος της και (γ) δύο συγκεκριμένοι μαθηματικοί δεν μπορούν να είναι μέλη της. Θέμα

22 22 Λύση (α) Δύο μαθηματικοί από τους 5 μπορούν να επιλεχθούν με 5!/ 2!(5-2)! τρόπους, τρεις φυσικοί από τους 7, μπορούν να επιλεχθούν με 7!/ 3!(7-3)! τρόπους. Ο συνολικός αριθμός δυνατών συνδυασμών μελών της επιτροπής είναι: 5!/ 2!(5-2)! * 7!/ 3!(7-3)!

23 23 (β) Δύο μαθηματικοί από τους 5 μπορούν να επιλεχθούν με 5!/ 2!(5-2)! τρόπους και οι δύο επιπρόσθετοι φυσικοί μπορούν να επιλεχθούν από τους εναπομείναντες 6 φυσικούς με 6!/2!(6-2)! τρόπους. Επομένως ο συνολικός αριθμός συνδυασμών μελών για την επιτροπή είναι: 5!/ 2!(5-2)! * 6!/2!(6-2)! Λύση (συνέχεια)

24 24 Λύση (συνέχεια) (γ) Οι δύο μαθηματικοί από τους τρεις μπορούν να επιλεχθούν με 3!/ 2!(3-2)! τρόπους. Οπότε οι συνολικοί δυνατοί συνδυασμοί για τα μέλη της επιτροπής είναι : 3!/ 2!(3-2)! * 7!/ 3!(7-3)!

25 25 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα 10 ψηφία 0,1,2,…,9 εάν (α) οι επαναλήψεις επιτρέπονται (β) οι επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται (γ) το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 0 και επαναλήψεις ΔΕΝ επιτρέπονται Θέμα

26 26 Λύση (α) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να είναι ένα από τα 9 ψηφία: 1,2,..,9 (το 0 δεν επιτρέπεται) Το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο ψηφίο μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία. Επομένως υπάρχουν συνολικά 9 * 10 * 10 * 10 = 9000 τετραψήφιοι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν.

27 27 (β) Το πρώτο ψηφίο έχει 9 επιλογές (το 0 δεν επιτρέπεται). Το δεύτερο ψηφίο έχει 9 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός αυτού που θα χρησιμοποιηθεί για το πρώτο ψηφίο). Το τρίτο ψηφίο έχει 8 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των δύο ψηφίων που θα χρησιμοποιηθούν για τα πρώτα δύο ψηφία). Λύση (συνέχεια)

28 28 Λύση (συνέχεια) Το τέταρτο ψηφίο έχει 7 επιλογές (οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία εκτός των τριών που χρησιμοποιήθηκαν για τα πρώτα τρία ψηφία) Επομένως, οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν συνολικά είναι: 9 * 9 * 8 * 7 = 4536

29 29 Λύση (συνέχεια) (γ) Το πρώτο ψηφίο μπορεί να επιλεγεί με 9 διαφορετικούς τρόπους, το δεύτερο με 8 διαφορετικούς τρόπους, το τρίτο με 7 διαφορετικούς τρόπους. Επομένως οι αριθμοί που μπορούν να σχηματιστούν είναι: 9 * 8 * 7 = 504

30 30 Από 7 σύμφωνα και 5 φωνήεντα πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν που να αποτελούνται από 4 διαφορετικά σύμφωνα και 3 διαφορετικά φωνήεντα; Οι λέξεις δεν είναι ανάγκη να έχουν νόημα/ να είναι υπαρκτές. Θέμα

31 31 Λύση Τα 4 διαφορετικά σύμφωνα μπορούμε να τα επιλέξουμε με 7!/ 4!(7-4)! τρόπους. Τα 3 διαφορετικά φωνήεντα μπορούμε να τα επιλέξουμε με 5!/ 3!(5-3)! τρόπους. Δεδομένου ότι οι διαφορετικές λέξεις που μπορούν να σχηματιστούν με 7 διαφορετικά γράμματα (4 σύμφωνα και 3 φωνήεντα) είναι 7!, οι συνολικές λέξεις που μπορούμε να συνθέσουμε είναι: 7!/ 4!(7-4)! * 5!/ 3!(5-3)!

32 32 Θέμα •Υποθέστε ότι μία φοιτήτρια θέλει να φτιάξει ένα πρόγραμμα για μία επταήμερη περίοδο κατά την οποία θα μελετά ένα μάθημα κάθε μέρα. •Παρακολουθεί τέσσερα μαθήματα: μαθηματικά, φυσική, χημεία και οικονομικά •Προφανώς υπάρχουν 4 7 διαφορετικά προγράμματα.

33 33 Θέμα (συνέχεια) •Θέλουμε να γνωρίζουμε τον αριθμό των προγραμμάτων τα οποία αφιερώνουν τουλάχιστον μία μέρα σε κάθε μάθημα 3. 3 Ζητάμε από τον αναγνώστη να πεισθεί ότι P(7,4) * 4 3 δεν είναι η σωστή απάντηση. Υπάρχει ένα λάθος στο επιχείρημα ότι υπάρχουν P(7,4) διαφορετικοί τρόποι για να προγραμματιστούν 4 μαθήματα για τέσσερις από τις επτά μέρες και 4 3 τρόποι για να προγραμματιστούν τρία μαθήματα για τις υπόλοιπες μέρες

34 34 Λύση •Έστω Α1 το σύνολο των προγραμμάτων στα oποία δεν συμπεριλαμβάνονται ποτέ τα μαθηματικά •Έστω Α2 το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία δεν συμπεριλαμβάνεται ποτέ η φυσική •Έστω Α3 το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία δεν συμπεριλαμβάνεται ποτέ η χημεία •Έστω Α4 το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία δεν συμπεριλαμβάνονται ποτέ τα οικονομικά

35 35 Λύση (συνέχεια) •Τότε το Α1  Α  Α  Α  είναι το σύνολο των προγραμμάτων στα οποία ένα ή περισσότερα από τα μαθήματα δεν συμπεριλαμβάνεται •Αφού |Α1| = |Α2| = |Α3| = |Α4| = 3 7 |Α1  Α2| = |Α1  Α3| = |Α1  Α4| = |Α2  Α3| = = |Α2  Α4| = |Α3  Α4| = 2 7

36 36 Λύση (συνέχεια) |Α1  Α2  Α3| = |Α1  Α2  Α4| = = |Α1  Α3  Α4| = |Α2  Α3  Α4| = 1 7 |Α1  Α2  Α3  Α4| = 0 •Έχουμε ότι |Α1  Α2  Α3  Α4| = 4(3 7 ) – 6(2 7 ) +4 •Συνεπώς ο αριθμός των προγραμμάτων στα οποία συμπεριλαμβάνονται όλα τα μαθήματα είναι 4 7 – 4(3 7 ) + 6(2 7 ) – 4 = 8400

37 37 Λύση (συνέχεια) •Η λύση που προτείνεται στην υποσημείωση είναι λάθος καθώς δεν περιλαμβάνει τις περιπτώσεις που κάποιο/α μάθημα/τα ΔΕΝ διδάσκεται/ σκονται


Κατέβασμα ppt "1 Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Συνδυαστική. 2 Θέμα •Πόσα ονόματα μεταβλητών υπάρχουν που αποτελούνται είτε από ένα γράμμα είτε από ένα γράμμα ακολουθούμενο."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google