Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

© 2002 Thomson / South-Western Slide 11-1 Κεφάλαιο 11 Ανάλυση Διακύμανσης και εφαρμογές της Χ 2 κατανομής.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "© 2002 Thomson / South-Western Slide 11-1 Κεφάλαιο 11 Ανάλυση Διακύμανσης και εφαρμογές της Χ 2 κατανομής."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-1 Κεφάλαιο 11 Ανάλυση Διακύμανσης και εφαρμογές της Χ 2 κατανομής

2 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-2 Στόχοι Μαθήματος •Κατανόηση των διαφορών μεταξύ των ποικίλων πειραματικών σχεδίων και της χρήσης τους. •Υπολογισμός και ερμηνεία των αποτελεσμάτων της ανάλυσης διακύμανσης κατά ένα παράγοντα (one-way ANOVA). •Υπολογισμός και ερμηνεία των αποτελεσμάτων ενός τυχαίου σχεδίου πειράματος κατά κατηγορία (random block design).

3 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-3 Στόχοι Μαθήματος, συνέχεια •Υπολογισμός και ερμηνεία των αποτελεσμάτων της ανάλυσης διακύμανσης κατά δυο παράγοντες (a two-way ANOVA). •Υπολογισμός και ερμηνεία των αποτελεσμάτων πιθανών αλληλεπιδράσεων. •Κατανόηση της χρήσης του ελέγχου καλής προσαρμογής του Χ 2. •Ανάλυση δεδομένων με τη χρήση του Χ 2 τεστ της ανεξαρτησίας.

4 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-4 Εισαγωγή στο Σχεδιασμό των Πειραμάτων •Η διαδικασία σχεδιασμού ενός πειράματος περιλαμβάνει το σχέδιο και τη δομή ενός ελέγχου υποθέσεων όπου ο αναλυτής της επιχείρησης ελέγχει ή διαχειρίζεται μια ή περισσότερες μεταβλητές. •Η παραπάνω διαδικασία περιλαμβάνει ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. •Παράγοντες είναι ένα άλλο όνομα που χρησιμοποιείται για τις ανεξάρτητες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο σχεδιασμό ενός πειράματος.

5 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-5 Σχεδιασμός Πειραμάτων, συνέχεια •Μεταβλητή επίδρασης αποκαλείται η ανεξάρτητη μεταβλητή την οποία ο ερευνητής μπορεί να ελέγξει ή να μεταβάλλει. •Μεταβλητή ταξινόμησης αποκαλείται η ανεξάρτητη μεταβλητή η οποία υπήρχε πριν την εκτέλεση του πειράματος και δεν αποτελεί αποτέλεσμα των ενεργειών του ερευνητή.

6 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-6 Σχεδιασμός Πειραμάτων, συνέχεια •Επίπεδα ή Ταξινομήσεις είναι οι διάφορες υποκατηγορίες της ανεξάρτητης μεταβλητής που χρησιμοποιεί ο αναλυτής της επιχείρησης στον σχεδιασμό του πειράματος. •Η εξαρτημένη μεταβλητή αντιπροσωπεύει τα διαφορετικά επίπεδα ανταπόκρισης των ανεξάρτητων μεταβλητών.

7 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-7 Τρεις Τύποι Σχεδιασμού Πειραμάτων •Εντελώς Τυχαίος Σχεδιασμός (Completely Randomized Design) •Τυχαίος σχεδιασμός κατά κατηγορίες (Randomized Block Design) •Παραγοντικά Πειράματα (Factorial Experiments)

8 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-8 Εντελώς Τυχαίος Σχεδιασμός Χειριστής Μηχανής 123.................. Μετρήσεις ανοίγματος βαλβίδων

9 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-9 Παράδειγμα: Αριθμός ξένων φορτηγών πλοίων που προσεγγίζουν λιμάνι ημερησίως Long Beach 57425742 Houston 2354623546 New York 846798846798 New Orleans 3534235342

10 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-10 Ανάλυση της Διακύμανσης (ANOVA): Υποθέσεις •Οι παρατηρήσεις προέρχονται από πληθυσμούς που ακολουθούν την κανονική κατανομή. •Οι παρατηρήσεις αποτελούν τυχαία δείγματα από τους πληθυσμούς. •Οι διακυμάνσεις των πληθυσμών είναι ίσες.

11 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-11 Ανάλυση διακύμανσης κατά έναν παράγοντα: Διαδικαστική Επισκόπηση

12 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-12 Διαχωρισμός του Συνολικού Αθροίσματος Τετραγώνων στα επιμέρους συστατικά του SST (Συνολικό άθροισμα Τετραγώνων) SSC (Άθροισμα Τετραγώνων που οφείλεται στην μελετώμενη επίδραση) SSE (Άθροισμα Τετραγώνων των Σφαλμάτων)

13 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-13 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα : Αθροίσματα τετραγώνων:Ορισμοί

14 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-14 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα: Χρήσιμοι Τύποι

15 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-15 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα παράδειγμα φορτηγών πλοίων: Αρχικοί υπολογισμοί Long Beach 5 7 4 2 T 1 = 18 n 1 = 4 Houston 2 3 5 4 6 T 2 = 20 n 2 = 5 New York 8 4 6 7 9 8 T 3 = 42 n 3 = 6 New Orleans 3 5 3 4 2 T 4 = 17 n 4 = 5 T = 97 N = 20

16 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-16 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα παράδειγμα φορτηγών πλοίων : Υπολογισμοί αθροίσματα τετραγώνων

17 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-17 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα παράδειγμα φορτηγών πλοίων : Υπολογισμοί αθροίσματα τετραγώνων, συνέχεια

18 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-18 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα παράδειγμα φορτηγών πλοίων : Μέσο τετράγωνο & υπολογισμοί του F

19 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-19 Παράδειγμα φορτηγών πλοίων : Ανάλυση διακύμανσης Πηγή διακύμανσης β.ε.SSMSF Παράγοντας μεταξύ342.3514.125.12 Σφάλμα1644.202.76 Σύνολο1986.55

20 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-20 Τμήμα του πίνακα της κατανομής για  = 0.05 123456789 1161.45199.50215.71224.58230.16233.99236.77238.88240.54... 154.543.683.293.062.902.792.712.642.59 164.493.633.243.012.852.742.662.592.54 174.453.593.202.962.812.702.612.552.49 Παρανομαστής Βαθμοί Ελευθερίας Αριθμητής Βαθμοί Ελευθερίας

21 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-21 Παράδειγμα φορτηγών πλοίων ANOVA κατά ένα παράγοντα: Ανακεφαλαίωση διαδικασίας Περιοχή απόρριψης  Κριτική τιμή Περιοχή μη απόρριψης

22 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-22 Αποτέλεσμα του Excel για το παράδειγμα των φορτηγών πλοίων Anova: Single Factor SUMMARY GroupsCountSumAverageVariance Long Beach4184.54.3333 Houston52042.5 New York64273.2 New Orleans5173.41.3 ANOVA Source of VariationSSdfMSFP-valueF crit Between Groups42.35314.1175.11010.01143.2389 Within Groups44.2162.7625 Total86.5519

23 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-23 Έλεγχοι Πολλαπλών Συγκρίσεων •Ένας έλεγχος ανάλυσης διακύμανσης (ANOVA) αποτελεί έναν ολοκληρωμένο έλεγχο των διαφορών που παρατηρούνται μεταξύ διαφορετικών υποομάδων ενός πληθυσμού. •Οι τεχνικές πολλαπλών συγκρίσεων χρησιμεύουν στον εντοπισμό εκείνων των στατιστικά σημαντικών διαφορετικών μέσων ανά ζεύγη δεδομένου ότι ο έλεγχος ANOVA αποκαλύπτει την συνολική σημαντικότητα.

24 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-24 Τυχαιοποιημένο σχέδιο πειράματος κατά κατηγορίες •Πρόκειται για ένα σχέδιο πειράματος όπου υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή και μια δεύτερη μεταβλητή γνωστή ως μεταβλητή κατηγορίας η οποία χρησιμεύει για τον έλεγχο μεταβλητών συμφωνίας ή διαφωνίας (concomitant - confounding). •Μια μεταβλητή συμφωνίας ή διαφωνίας είναι πέρα από τον έλεγχο του αναλυτή της επιχείρησης αλλά μπορεί να επηρεάσει το αποτέλεσμα της επίδρασης που μελετάται.

25 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-25 Τυχαιοποιημένο σχέδιο πειράματος κατά κατηγορίες, συνέχεια •Η μεταβλητή κατηγορίας είναι μια μεταβλητή της οποίας ο αναλυτής της επιχείρησης επιθυμεί να έχει τον έλεγχο αλλά δεν αποτελεί την βασική μεταβλητή ενδιαφέροντος •Το σχέδιο επαναλαμβανόμενων μετρήσεων είναι ένα τυχαιοποιημένο σχέδιο πειράματος στο οποίο κάθε κατηγορία αποτελεί ξεχωριστό αντικείμενο ή άτομο και των οποίων η αντίδραση καταγράφεται για όλες τις διαφορετικές κατηγορίες.

26 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-26 Διαχωρισμός του Συνολικού Αθροίσματος Τετραγώνων στα επιμέρους συστατικά του SST (Συνολικό άθροισμα τετραγώνων) SSC (Άθροισμα τετραγώνων που οφείλεται στην μελετώμενη επίδραση) SSE (Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων) SSR (Άθροισμα τετραγώνων κατηγοριών) SSE’ (Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων)

27 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-27 Τυχαιοποιημένο σχέδιο πειράματος κατά κατηγορίες Μεμονωμένες Παρατηρήσεις........................ Μεμονωμένη Ανεξάρτητη Μεταβλητή Μεταβλητή Κατηγορίας.....

28 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-28 Έλεγχος επιδράσεων σε ένα τυχαιοποιημένο σχέδιο πειράματος κατά κατηγορίες (Randomized Block Design) : Επισκόπηση διαδικασίας

29 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-29 Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες : Τύποι υπολογισμών

30 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-30 Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού: Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες Προμηθευτής 1 2 3 4 ΑργήΜέτρια Γρήγορη Κατηγορίες Μέσοι ( ) 3.74.53.13.77 3.43.92.83.37 3.54.13.03.53 3.23.52.63.10 5 Μεταβλητή Ταχύτητας Μέσοι ( ) 3.94.83.44.03 3.544.162.983.56 Ταχύτητα C = 3 n = 5 N = 15

31 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-31 Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες : Υπολογισμοί Αθροίσματος Τετραγώνων (Μέρος 1)

32 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-32 Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες : Υπολογισμοί Αθροίσματος Τετραγώνων(Μέρος 2)

33 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-33 Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες : Υπολογισμοί Μέσων Τετραγώνων

34 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-34 Ανάλυση Διακύμανσης : Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Πηγή διακύμανσης SS βε MS F Μεταβλητή Επίδρασης3.48421.74296.78 Κατηγορία1.54940.387 Σφάλμα0.14380.018 Σύνολο5.17614

35 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-35 Έλεγχος επιδράσεων - Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες : Επισκόπηση διαδικασίας

36 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-36 Αποτελέσματα Excel για το Παράδειγμα Φθοράς Ελαστικού Τυχαιοποιημένο Σχέδιο Πειράματος κατά κατηγορίες Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARYCountSumAverageVariance 1311.33.76666670.4933333 2310.13.36666670.3033333 3310.63.53333330.3033333 439.33.10.21 5312.14.03333330.5033333 Slow517.73.540.073 Medium520.84.160.258 Fast514.92.980.092 ANOVA Source of VariationSSdfMSFP-valueF crit Rows1.549333340.387333321.7196260.00023577.0060651 Columns3.48421.74297.6822432.395E-068.6490672 Error0.142666780.0178333 Total5.17614

37 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-37 Σχέδιο Παραγοντικού Πειράματος κατά δυο παράγοντες •Ένα σχέδιο πειράματος στα πλαίσια του οποίου μελετώνται ταυτόχρονα δυο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές και κάθε επίπεδο επίδρασης μελετάται για όλες τις διαφορετικές περιπτώσεις επιδράσεων. •Επίσης γνωστό ως παραγοντικό πείραμα.

38 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-38 Σχέδιο Παραγοντικού Πειράματος κατά δυο παράγοντες Κελιά........................ Στήλη Επίδραση Γραμμή Επίδραση.....

39 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-39 ANOVA κατά δυο παράγοντες: Υποθέσεις

40 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-40 Χρήσιμοι τύποι ANOVA δυο παραγόντων

41 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-41 Ένα 2  3 Παραγοντικό Σχέδιο Πειράματος με Αλληλεπίδραση Μέσοι των κελιών C1C1 C2C2 C3C3 Επιδράσεις των γραμμών R1R1 R2R2 Στήλη

42 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-42 Ένα 2  3 Παραγοντικό Σχέδιο Πειράματος με Μερική Αλληλεπίδραση Μέσοι των κελιών C1C1 C2C2 C3C3 Επιδράσεις των γραμμών R1R1 R2R2 Στήλη

43 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-43 Ένα 2  3 Παραγοντικό Σχέδιο Πειράματος με καμία Αλληλεπίδραση Μέσοι των κελιών C1C1 C2C2 C3C3 Επιδράσεις των γραμμών R1R1 R2R2 Στήλη

44 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-44 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Ένα 2  3 παραγοντικό σχέδιο πειράματος: Δεδομένα και Μετρήσεις N = 24 n = 4 X=2.7083 1.752.753.625 Μέρος όπου διαπραγματεύονται οι μετοχές της εταιρείας Πώς οι μέτοχοι ενημερώνονται για τα μερίσματα NYSEAMEXOTC Ετήσιες/ Τριμηνιαίες Εκθέσεις 21212121 23322332 43434343 2.5 Παρουσιάσεις στους αναλυτές 23122312 33243324 44344434 2.9167 XjXj XiXi X 11 =1.5 X 23 =3.75X 22 =3.0X 21 =2.0 X 13 =3.5X 12 =2.5

45 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-45 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Ένα 2  3 παραγοντικό σχέδιο πειράματος : Υπολογισμοί (Μέρος 1)

46 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-46 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Ένα 2  3 παραγοντικό σχέδιο πειράματος : Υπολογισμοί (Μέρος 2)

47 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-47 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Ένα 2  3 παραγοντικό σχέδιο πειράματος : Υπολογισμοί (Μέρος 3)

48 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-48 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης: Ανάλυση Διακύμανσης Πηγή διακύμανσηςSSβεMSF Γραμμή1.041811.04182.42 Στήλη14.083327.041716.35 * Αλληλεπίδραση0.083320.04170.10 Σφάλμα7.7500180.4306 Σύνολο22.958323 * Υποδηλώνει σημαντικότητα  =.01.

49 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-49 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Αποτέλεσμ α Excel (Μέρος 1) Anova: Two-Factor With Replication SUMMARYNYSEASEOTCTotal Reports Count44412 Sum6101430 Average1.52.53.52.5 Variance0.3333 1 Presentation Count44412 Sum8121535 Average233.752.9167 Variance0.6667 0.250.9924 Total Count888 Sum142229 Average1.752.753.625 Variance0.5 0.2679

50 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-50 Παράδειγμα μερίσματος επιχείρησης Αποτέλεσμα Excel (Μέρος 2) ANOVA Source of VariationSSdfMSFP-valueF crit Sample1.04171 2.41940.13734.4139 Columns14.08327.041716.3559E-053.5546 Interaction0.083320.04170.09680.90823.5546 Within7.75180.4306 Total22.95823

51 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-51  2 -έλεγχος καλής προσαρμογής Ο  2 έλεγχος καλής προσαρμογής συγκρίνει τις αναμενομενες (θεωρητικές) συχνότητες των κατηγοριών ενός πληθυσμού με τις παρατηρούμενες (πραγματικές) συχνότητες από μια κατανομή προκειμένου να ελέγχξουμε αν υπάρχει κάποια σημαντική διαφορά μεταξύ των αναμενόμενων και πραγματικών συχνοτήτων..

52 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-52  2 -έλεγχος καλής προσαρμογής

53 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-53 Μήνας Γαλόνια Ιανουάριος1,553 Φεβρουάριος1,585 Μάρτιος1,649 Απρίλιος1,590 Μάιος1,497 Ιούνιος1,443 Ιούλιος1,410 Αύγουστος1,450 Σεπτέμβριος1,495 Οκτώβριος1,564 Νοέμβριος1,602 Δεκέμβριος1,609 18,447 Δεδομένα Πωλήσεων Γάλακτος για την Εφαρμογή 11.4

54 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-54 Εφαρμογή11.4: Υποθέσεις και Κανόνες Αποφάσεων

55 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-55 Εφαρμογή 11.4: Υπολογισμοί Μήνεςfofo fefe (f o - f e ) 2 /f e Ιανουάριος1,5531,537.250.16 Φεβρουάριος1,5851,537.251.48 Μάρτιος1,6491,537.258.12 Απρίλιος1,5901,537.251.81 Μάιος1,4971,537.251.05 Ιούνιος1,4431,537.25 5.78 Ιούλιος1,4101,537.2510.53 Αύγουστος1,4501,537.25 4.95 Σεπτέμβριος1,4951,537.251.16 Οκτώβριος1,5641,537.250.47 Νοέμβριος1,6021,537.252.73 Δεκέμβριος1,6091,537.253.35 18,44718,447.0041.59 Παρατηρούμενο Χ 2 = 41.59

56 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-56 Εφαρμογή 11.4: Συμπέρασμα 0.01 βε = 11 24.725 Περιοχή Μη απόρριψης

57 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-57 Παράδειγμα ελαττωματικών προιόντων : Χρήση του  2 ελέγχου καλής προσαρμογής για μια Πληθυσμιακή Αναλογία

58 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-58 Παράδειγμα ελαττωματικών προιόντων : Υπολογισμοί     2 2 3316 167184 16184 18.06+ 1.57 1963          oe ff f e = 2 2.. fofo fefe Ελαττώματα (defects) 3316 Μη ελαττώματα (nondefects) 167184 200 n =

59 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-59 Παράδειγμα ελαττωματικών προιόντων : Συμπέρασμα 0.05 βε= 1 3.841 Περιοχή μη απόρριψης

60 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-60 Ανάλυση Συνάφειας:  2 Τεστ Ανεξαρτησίας Ένα στατιστικό τεστ το οποίο χρησιμοποιείται για την ανάλυση των συχνοτήτων δυο μεταβλητών οι οποίες περιλαμβάνουν πολλαπλές κατηγορίες προκειμένου να αποφασίσουμε αν οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ποιοτικές μεταβλητές Ονομαστικά δεδομένα

61 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-61 Επενδυτικό Παράδειγμα   2 Τεστ Ανεξαρτησίας •Σε ποιά περιοχή τη χώρας κατοικείτε; A. Βορειοανατολικά B. Μεσοδυτικά Γ. Νότια Δ. Δυτικά •Ποιό από τα παρακάτω επενδυτικά προϊόντα προτιμάτε; E. Μετοχές ΣΤ. Ομόλογα Ζ. Έντοκα Γραμμάτια Δημοσίου

62 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-62 Επενδυτικό Παράδειγμα   2 Τεστ Ανεξαρτησίας Επενδυτικό προϊόν EΣΤΖ AO 13 nAnA Γεωγραφική περιοχή BnBnB ΓnΓnΓ ΔnΔnΔ nEnE n ΣΤ nΖnΖ N Πίνακας συνάφειας

63 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-63 Επενδυτικό Παράδειγμα   2 Τεστ Ανεξαρτησίας Τύπος χρηματοοικονομικής επένδυσης EΣΤΖ Ae 12 nAnA Γεωγραφική περιοχή BnBnB ΓnΓnΓ ΔnΔnΔ nEnE n ΣΤ nΖnΖ N Πίνακας Συνάφειας

64 © 2002 Thomson / South-Western Slide 11-64  2 Τεστ Ανεξαρτησίας : Τύποι   ij ij e nn N όπου    : i= η γραμμή j= η στήληn το σύνολο των γραμμών i το σύνολο των στηλών j N=σύνολο όλων των συχνοτήτων i j n n  2 2     oe όπου ff f e : βε= (r- 1)(c- 1) r= ο αριθμός των γραμμών c= Αναμενόμενες Συχνότητες Υπολογισθέν   (Παρατηρούμενο   ) ο αριθμός των στηλών


Κατέβασμα ppt "© 2002 Thomson / South-Western Slide 11-1 Κεφάλαιο 11 Ανάλυση Διακύμανσης και εφαρμογές της Χ 2 κατανομής."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google