Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Τυχαία Σήματα  Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων  Άπειρο σύνολο – πιθανά αριθμήσιμο – από τυχαίες μεταβλητές.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Τυχαία Σήματα  Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων  Άπειρο σύνολο – πιθανά αριθμήσιμο – από τυχαίες μεταβλητές."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης

2 Τυχαία Σήματα  Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων  Άπειρο σύνολο – πιθανά αριθμήσιμο – από τυχαίες μεταβλητές  Παραδείγματα τυχαίων σημάτων :  Τηλεπικοινωνίες : Σήμα πληροφορίας πομπού  Τηλεπικοινωνίες : Θόρυβος καναλιού  Δείκτης τιμών χρηματιστηρίου  Σήματα Φωνής, Εικόνας, Video  Καρδιογράφημα  Σεισμικά σήματα

3 Σήμα Φωνής  100 msec /line; 0.5 sec of utterance  Η φωνή είναι :  Εν γένει μη στάσιμο σήμα  Τοπικά στάσιμο κατά τη διάρκεια ενός βασικού ήχου (local stationary)  Σήμα που μεταβάλλεται αργά με τον χρόνο σε χρονικά διαστήματα msec  Σε μεγάλα διαστήματα (>100msec) τα χαρακτηριστικά της φωνής μεταβάλλονται γρήγορα με ρυθμό φορές /sec

4 Εγκεφαλογράφημα (1) Διαφορετικά κανάλια εγκεφαλογραφήματος που απεικονίζουν τη δραστηριότητα του εγκεφάλου και την καρδιακή λειτουργία

5 Εγκεφαλογράφημα (2) Διαχωρισμός σήματος εγκεφαλικής λειτουργίας και καρδιακού σήματος χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους

6 Τυχαίο Πείραμα και Τυχαίο Σήμα  Ένα τυχαίο σήμα :  προκύπτει ως το αποτέλεσμα τυχαίου πειράματος  Καθορίζεται ως μια συλλογή (ensemble) από διαφορετικές εμφανίσεις (realizations) κυματομορφών που αντιστοιχούν στα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος

7 Συμβολισμός Η μεταβλητή t αντιπροσωπεύει το χρόνο και η μεταβλητή ω το αποτέλεσμα του τυχαίου πειράματος

8 Ερμηνεία Τ. Σ.  Χ (t, ω ) Γενική Περίπτωση : Μεταβαλλόμενα t, ω  Χ (t, ω 0 ) Μεταβαλλόμενος χρόνος, συγκεκριμένο αποτέλεσμα  Χ (t 0, ω )  Συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μεταβαλλόμενο αποτέλεσμα  Χ (t 0, ω 0 )  Συγκεκριμένη χρονική στιγμή και αποτέλεσμα

9 Αποστολή δυαδικών ακολουθιών μέσω διαύλου με προσθετικό θόρυβο

10 Ερωτήματα στη μελέτη Τ. Σ.  Στατιστική περιγραφή / μοντελοποίηση του τυχαίου σήματος.  Η φασματική ανάλυση της συλλογής των εμφανίσεων του Τ. Σ.  Διέλευση Τ. Σ. μέσω γραμμικών συστημάτων  Στατιστική περιγραφή της εξόδου του συστήματος ( που είναι επίσης Τ. Σ.)  Φασματική ανάλυση της εξόδου  Βέλτιστοι αλγόριθμοι διαμόρφωσης / κωδικοποίησης ( πομπός ) και λήψης ( δέκτης ) σε περιβάλλον θορύβου.

11 Ταξινόμηση Τ. Σ.  Διακριτός χρόνος και τιμές  ω  [0,1) ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή δυαδική αναπαράσταση του ω  Διακριτός χρόνος, συνεχείς τιμές  Δείκτης τιμών χρηματιστηρίου  Συνεχής χρόνος, διακριτές τιμές  On-off signalling  Συνεχής χρόνος, συνεχείς τιμές   Θ Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο

12 Τρόποι Περιγραφής : Στοχαστική Δομή Τ. Σ.  Παράδειγμα : Τετραγωνικός Παλμός.  Διάρκεια ω Τ. Μ. με Σ. Π. Π.:  CDF:

13 Στιγμιότυπα τετραγωνικού παλμού μεταβλητής διάρκειας

14 Τρόποι Περιγραφής : Αυστηρός ορισμός Τ. Σ.  Έστω  Ω ο δειγματόχωρος ενός τυχαίου πειράματος  t η χρονική μεταβλητή,  Ένα τυχαίο σήμα πραγματικών τιμών είναι μια μετρήσιμη συνάρτηση που απεικονίζει το Γ x Ω στο R 1.  Ένα Τ. Σ. καθορίζεται από τις από κοινού συναρτήσεις κατανομής :  Οι συναρτήσεις κατανομής πρέπει να οριστούν για κάθε τιμή του n και για κάθε n- άδα χρονικών στιγμών.

15 Τρόποι Περιγραφής : Οριακές Σ. Π. Π. (1)  Παράδειγμα : Υπολογίστε την οριακή Σ. Π. Π. πρώτης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος  Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας :  Η Κατανομή είναι εκθετική :

16 Οριακές Σ. Π. Π. (2)  Παράδειγμα : Υπολογίστε την οριακή Σ. Π. Π. δεύτερης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος  Έστω και  Περιπτώσεις :  Οριακή Σ. Μ. Π.:

17 Οριακές Σ. Π. Π. (2) ( συνέχεια )  Παράδειγμα : Υπολογίστε την οριακή Σ. Π. Π. δεύτερης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος  Από κοινού Σ. Μ. Π.:

18 Αναμενόμενες τιμές Τ. Σ.: Μέση τιμή  Μέση τιμή :  Για μια χρονική στιγμή t 1 :

19 Αναμενόμενες τιμές Τ. Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης  Συσχέτιση για δύο Τ. Μ. Χ,Υ :  Αναμενόμενη τιμή για συνάρτηση g(X,Y) :  Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης για Τ. Σ.:

20 Αναμενόμενες τιμές Τ. Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυμμεταβλητότητας  Ορίζεται ως :

21 Αντιστοιχίες Τ. Μ. – Τ. Δ. – Τ. Σ.  Αναμενόμενες τιμές :

22 Αναμενόμενες τιμές : Παράδειγμα (1)  Παράδειγμα : Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας.  Μέση τιμή :

23 Αναμενόμενες τιμές : Παράδειγμα (1)  Παράδειγμα : Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας.  Αυτοσυσχέτιση :  Δηλαδή :

24 Αναμενόμενες τιμές : Παράδειγμα (1)  Παράδειγμα : Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας.  Αυτοσυμμεταβλητότητα :

25 Αναμενόμενες τιμές : Παράδειγμα (2)  Παράδειγμα : Αν X(t) = A cos(100 t + Θ), Α είναι κανονική Τ. Μ. και Θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Α και Θ είναι ανεξάρτητες, υπολογίστε τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του X(t).  Μέση τιμή :  Και  Συνεπώς :

26 Αναμενόμενες τιμές : Παράδειγμα (2)  Παράδειγμα : Αν X(t) = A cos(100 t + Θ), Α είναι κανονική Τ. Μ. και Θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Α και Θ είναι ανεξάρτητες, υπολογίστε τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του X(t).  Αυτοσυσχέτιση :  Αν Α σταθερά :

27 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (1)  Independent – Identically Distributed (I.I.D.)  Ορισμός :  Ειδική Περίπτωση : Bernoulli (IID Bernoulli)  Οι Τ. Μ. του σήματος είναι Bernoulli:  Από κοινού Σ. Π. Π.:

28 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)  Διαδικασίες Markov  Κανόνας αλυσίδας (Chain rule):

29 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)  Διαδικασίες Markov  Ορισμός : Το Τ. Σ. Χ(n) λέγεται Markov αν για κάθε n ισχύει :

30 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)  Gaussian Διαδικασίες :  Ορισμός : Το Τ. Σ. Χ(t) λέγεται Gaussian αν ακολουθούν πολυδιάστατη κανονική κατανομή.  Αναμενόμενες τιμές ( για 3 χρονικές στιγμές ):  Μέση τιμή :  Συνδιακύμανση :

31 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (3)  Διαδικασίες Poisson:  Ορισμός : Q ( t) λέγεται Poisson αν : 1. Ακολουθεί κατανομή Poisson: 2. Οι αριθμοί των γεγονότων που συμβαίνουν σε δύο μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι.

32 Παράδειγμα : IID Bernoulli  IID Bernoulli με P(X(n)=1)=p, P(X(n)=0)=1-p. Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση.  Μέση Τιμή :

33 Παράδειγμα : IID Bernoulli  IID Bernoulli με P(X(n)=1)=p, P(X(n)=0)=1-p. Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση.  Αυτοσυσχέτιση :  Για :

34 Παράδειγμα : Poisson  Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση διαδικασίας Poisson.  Μέση τιμή :

35 Παράδειγμα : Poisson  Αυτοσυσχέτιση : Για t1≤t2 :  Αλλά   Και :  Τελικά :

36 Παράδειγμα : Στοχαστικό μοντέλο καιρού  Ν=3 καταστάσεις  Ήλιος ( Η ) – Βροχή ( Β ) - Συννεφιά ( Σ ):  Θεωρούμε ότι η επόμενη κατάσταση εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη ( Υπόθεση Markov 1 ης τάξης ).  Μοντέλο Markov n τάξης : (n ο αριθμός καταστάσεων που επηρεάζουν την επιλογή της επόμενης κατάστασης )  Κάθε μετάβαση συνδέεται με πιθανότητα μετάβασης που δεν αλλάζει με το χρόνο.  Ιδιότητες πιθανοτήτων μετάβασης :

37 Μοντέλο Markov  Πίνακας μετάβασης καταστάσεων A:  Παράδειγμα :  Διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων :  Μοντέλο Markov:  Κάθε κατάσταση και ξεχωριστή παρατήρηση  Η έξοδος της διαδικασίας είναι το σετ των καταστάσεων σε κάθε χρονική στιγμή

38  Έστω το μοντέλο καιρού με καταστάσεις : 1. ( Β ) ροχή – 2. ( Σ ) υννεφιά – 3. ( Η ) λιοφάνεια Ποια η πιθανότητα σύμφωνα με το μοντέλο να είναι ο καιρός για 8 συνεχόμενες μέρες ( Η - Η - Η - Β - Β - Η - Σ - Η ) ;  Λύση :  Ακολουθία παρατηρήσεων :  Θέλουμε να βρούμε :  όπου

39 Παράδειγμα 2  Για το προηγούμενο μοντέλο ποια είναι η πιθανότητα να παραμείνει στην ίδια κατάσταση για ακριβώς d μέρες ;  Λύση :  Ακολουθία παρατηρήσεων :  Πιθανότητα των παρατηρήσεων :  p i (d) είναι η pdf της διάρκειας d στην κατάσταση i ( εκθετική κατανομή )  Χαρακτηριστική της διάρκειας παραμονής σε μια κατάσταση αλυσίδας Markov  Αναμενόμενος αριθμός παρατηρήσεων ( διάρκεια ) σε μια κατάσταση :

40 Παράδειγμα 2 ( συνέχεια )  Αναλυτικά η προηγούμενη σχέση :  Για τον αναμενόμενο αριθμό παρατηρήσεων ( διάρκεια ) σε μια κατάσταση έχουμε :  Για τη διάρκεια δύο καταστάσεων :


Κατέβασμα ppt "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Τυχαία Σήματα  Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων  Άπειρο σύνολο – πιθανά αριθμήσιμο – από τυχαίες μεταβλητές."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google