Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα
Διγαλάκης Βασίλης

2 Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων
Άπειρο σύνολο – πιθανά αριθμήσιμο – από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας πομπού Τηλεπικοινωνίες: Θόρυβος καναλιού Δείκτης τιμών χρηματιστηρίου Σήματα Φωνής, Εικόνας, Video Καρδιογράφημα Σεισμικά σήματα

3 Σήμα Φωνής 100 msec /line; 0.5 sec of utterance Η φωνή είναι:
Εν γένει μη στάσιμο σήμα Τοπικά στάσιμο κατά τη διάρκεια ενός βασικού ήχου (local stationary) Σήμα που μεταβάλλεται αργά με τον χρόνο σε χρονικά διαστήματα msec Σε μεγάλα διαστήματα (>100msec) τα χαρακτηριστικά της φωνής μεταβάλλονται γρήγορα με ρυθμό φορές /sec

4 Εγκεφαλογράφημα (1) Διαφορετικά κανάλια εγκεφαλογραφήματος που απεικονίζουν τη δραστηριότητα του εγκεφάλου και την καρδιακή λειτουργία

5 Εγκεφαλογράφημα (2) Διαχωρισμός σήματος εγκεφαλικής λειτουργίας και καρδιακού σήματος χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους

6 Τυχαίο Πείραμα και Τυχαίο Σήμα
Ένα τυχαίο σήμα: προκύπτει ως το αποτέλεσμα τυχαίου πειράματος Καθορίζεται ως μια συλλογή (ensemble) από διαφορετικές εμφανίσεις (realizations) κυματομορφών που αντιστοιχούν στα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος

7 Συμβολισμός Η μεταβλητή t αντιπροσωπεύει το χρόνο και η μεταβλητή ω το αποτέλεσμα του τυχαίου πειράματος

8 Ερμηνεία Τ.Σ. Χ(t, ω) Χ(t, ω0) Χ(t0, ω) Χ(t0, ω0)
Μεταβαλλόμενος χρόνος, συγκεκριμένο αποτέλεσμα  Χ(t0, ω) Συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μεταβαλλόμενο αποτέλεσμα Χ(t0, ω0) Συγκεκριμένη χρονική στιγμή και αποτέλεσμα

9 Αποστολή δυαδικών ακολουθιών μέσω διαύλου με προσθετικό θόρυβο

10 Ερωτήματα στη μελέτη Τ.Σ.
Στατιστική περιγραφή/μοντελοποίηση του τυχαίου σήματος. Η φασματική ανάλυση της συλλογής των εμφανίσεων του Τ.Σ. Διέλευση Τ.Σ. μέσω γραμμικών συστημάτων Στατιστική περιγραφή της εξόδου του συστήματος (που είναι επίσης Τ.Σ.) Φασματική ανάλυση της εξόδου Βέλτιστοι αλγόριθμοι διαμόρφωσης / κωδικοποίησης (πομπός) και λήψης (δέκτης) σε περιβάλλον θορύβου.

11 Ταξινόμηση Τ.Σ. Διακριτός χρόνος και τιμές
ω  [0,1) ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή δυαδική αναπαράσταση του ω Διακριτός χρόνος, συνεχείς τιμές Δείκτης τιμών χρηματιστηρίου Συνεχής χρόνος, διακριτές τιμές On-off signalling    Συνεχής χρόνος, συνεχείς τιμές Θ Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο

12 Τρόποι Περιγραφής: Στοχαστική Δομή Τ.Σ.
Παράδειγμα: Τετραγωνικός Παλμός. Διάρκεια ω Τ.Μ. με Σ.Π.Π.: CDF:

13 Στιγμιότυπα τετραγωνικού παλμού μεταβλητής διάρκειας

14 Τρόποι Περιγραφής: Αυστηρός ορισμός Τ.Σ.
Έστω Ω ο δειγματόχωρος ενός τυχαίου πειράματος t η χρονική μεταβλητή, Ένα τυχαίο σήμα πραγματικών τιμών είναι μια μετρήσιμη συνάρτηση που απεικονίζει το Γ x Ω στο R1. Ένα Τ.Σ. καθορίζεται από τις από κοινού συναρτήσεις κατανομής: Οι συναρτήσεις κατανομής πρέπει να οριστούν για κάθε τιμή του n και για κάθε n-άδα χρονικών στιγμών.

15 Τρόποι Περιγραφής: Οριακές Σ.Π.Π. (1)
Παράδειγμα: Υπολογίστε την οριακή Σ.Π.Π. πρώτης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας: Η Κατανομή είναι εκθετική:

16 Οριακές Σ.Π.Π. (2) Παράδειγμα: Υπολογίστε την οριακή Σ.Π.Π. δεύτερης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος Έστω και Περιπτώσεις: Οριακή Σ.Μ.Π.:

17 Οριακές Σ.Π.Π. (2) (συνέχεια)
Οριακές Σ.Π.Π. (2) (συνέχεια) Παράδειγμα: Υπολογίστε την οριακή Σ.Π.Π. δεύτερης τάξης για τον τετραγωνικό παλμό του προηγουμένου παραδείγματος Από κοινού Σ.Μ.Π.:

18 Αναμενόμενες τιμές Τ.Σ.: Μέση τιμή
Μέση τιμή: Για μια χρονική στιγμή t1:

19 Αναμενόμενες τιμές Τ.Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης
Αναμενόμενες τιμές Τ.Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Συσχέτιση για δύο Τ.Μ. Χ,Υ: Αναμενόμενη τιμή για συνάρτηση g(X,Y): Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης για Τ.Σ.:

20 Αναμενόμενες τιμές Τ.Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυμμεταβλητότητας
Αναμενόμενες τιμές Τ.Σ.: Συνάρτηση Αυτοσυμμεταβλητότητας Ορίζεται ως:

21 Αντιστοιχίες Τ.Μ. – Τ.Δ. – Τ.Σ.
Αναμενόμενες τιμές:

22 Αναμενόμενες τιμές: Παράδειγμα (1)
Παράδειγμα: Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας. Μέση τιμή:

23 Αναμενόμενες τιμές: Παράδειγμα (1)
Παράδειγμα: Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας. Αυτοσυσχέτιση: Δηλαδή:

24 Αναμενόμενες τιμές: Παράδειγμα (1)
Παράδειγμα: Μέση τιμή, αυτοσυσχέτιση και αυτοσυμμεταβλητότητα του τετραγωνικού παλμού τυχαίας διάρκειας. Αυτοσυμμεταβλητότητα:

25 Αναμενόμενες τιμές: Παράδειγμα (2)
Παράδειγμα: Αν X(t) = A cos(100 t + Θ), Α είναι κανονική Τ.Μ. και Θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Α και Θ είναι ανεξάρτητες, υπολογίστε τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του X(t). Μέση τιμή: Και Συνεπώς:

26 Αναμενόμενες τιμές: Παράδειγμα (2)
Παράδειγμα: Αν X(t) = A cos(100 t + Θ), Α είναι κανονική Τ.Μ. και Θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Α και Θ είναι ανεξάρτητες, υπολογίστε τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του X(t). Αυτοσυσχέτιση: Αν Α σταθερά:

27 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (1)
Independent – Identically Distributed (I.I.D.) Ορισμός: Ειδική Περίπτωση: Bernoulli (IID Bernoulli) Οι Τ.Μ. του σήματος είναι Bernoulli: Από κοινού Σ.Π.Π.:

28 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)
Διαδικασίες Markov Κανόνας αλυσίδας (Chain rule):

29 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)
Διαδικασίες Markov Ορισμός: Το Τ.Σ. Χ(n) λέγεται Markov αν για κάθε n ισχύει:

30 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (2)
Gaussian Διαδικασίες: Ορισμός: Το Τ.Σ. Χ(t) λέγεται Gaussian αν ακολουθούν πολυδιάστατη κανονική κατανομή. Αναμενόμενες τιμές (για 3 χρονικές στιγμές): Μέση τιμή: Συνδιακύμανση:

31 Ειδικές Περιπτώσεις Τυχαίων Σημάτων (3)
Διαδικασίες Poisson: Ορισμός: Q(t) λέγεται Poisson αν: Ακολουθεί κατανομή Poisson: Οι αριθμοί των γεγονότων που συμβαίνουν σε δύο μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι.

32 Παράδειγμα: IID Bernoulli
IID Bernoulli με P(X(n)=1)=p, P(X(n)=0)=1-p. Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση. Μέση Τιμή:

33 Παράδειγμα: IID Bernoulli
IID Bernoulli με P(X(n)=1)=p, P(X(n)=0)=1-p. Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση. Αυτοσυσχέτιση: Για : Για :

34 Παράδειγμα: Poisson Βρείτε μέση τιμή και αυτοσυσχέτιση διαδικασίας Poisson. Μέση τιμή:

35 Παράδειγμα: Poisson Αυτοσυσχέτιση: Για t1≤t2: Αλλά  Και: Τελικά:

36 Παράδειγμα: Στοχαστικό μοντέλο καιρού
Ν=3 καταστάσεις Ήλιος (Η) – Βροχή (Β) - Συννεφιά (Σ): Θεωρούμε ότι η επόμενη κατάσταση εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη (Υπόθεση Markov 1ης τάξης). Μοντέλο Markov n τάξης: (n ο αριθμός καταστάσεων που επηρεάζουν την επιλογή της επόμενης κατάστασης) Κάθε μετάβαση συνδέεται με πιθανότητα μετάβασης που δεν αλλάζει με το χρόνο. Ιδιότητες πιθανοτήτων μετάβασης:

37 Μοντέλο Markov Πίνακας μετάβασης καταστάσεων A:
Παράδειγμα: Διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων: Μοντέλο Markov: Κάθε κατάσταση και ξεχωριστή παρατήρηση Η έξοδος της διαδικασίας είναι το σετ των καταστάσεων σε κάθε χρονική στιγμή

38 Έστω το μοντέλο καιρού με καταστάσεις:
1. (Β)ροχή – 2. (Σ)υννεφιά – 3. (Η)λιοφάνεια Ποια η πιθανότητα σύμφωνα με το μοντέλο να είναι ο καιρός για 8 συνεχόμενες μέρες (Η-Η-Η-Β-Β-Η-Σ-Η) ; Λύση: Ακολουθία παρατηρήσεων: Θέλουμε να βρούμε: όπου

39 Παράδειγμα 2 Για το προηγούμενο μοντέλο ποια είναι η πιθανότητα να παραμείνει στην ίδια κατάσταση για ακριβώς d μέρες; Λύση: Ακολουθία παρατηρήσεων: Πιθανότητα των παρατηρήσεων: pi(d) είναι η pdf της διάρκειας d στην κατάσταση i (εκθετική κατανομή) Χαρακτηριστική της διάρκειας παραμονής σε μια κατάσταση αλυσίδας Markov Αναμενόμενος αριθμός παρατηρήσεων (διάρκεια) σε μια κατάσταση:

40 Παράδειγμα 2 (συνέχεια)
Αναλυτικά η προηγούμενη σχέση: Για τον αναμενόμενο αριθμό παρατηρήσεων (διάρκεια) σε μια κατάσταση έχουμε: Για τη διάρκεια δύο καταστάσεων:


Κατέβασμα ppt "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα"

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google