Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 Θεματική Ενότητα Σχέσεις & Συναρτήσεις. 2 Εισαγωγή Σχέσεις μεταξύ διακριτών αντικειμένων Παραδείγματα •Σε ένα σύνολο υπολογιστικών προγραμμάτων, δύο.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 Θεματική Ενότητα Σχέσεις & Συναρτήσεις. 2 Εισαγωγή Σχέσεις μεταξύ διακριτών αντικειμένων Παραδείγματα •Σε ένα σύνολο υπολογιστικών προγραμμάτων, δύο."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 Θεματική Ενότητα Σχέσεις & Συναρτήσεις

2 2 Εισαγωγή Σχέσεις μεταξύ διακριτών αντικειμένων Παραδείγματα •Σε ένα σύνολο υπολογιστικών προγραμμάτων, δύο προγράμματα σχετίζονται αν χρησιμοποιούν μερικά κοινά δεδομένα εισόδου •Σε μια ομάδα φοιτητών δύο φοιτητές σχετίζονται αν έχουν ίδια τα δύο πρώτα γράμματα των επιθέτων τους

3 Διατεταγμένο Ζεύγος •Ένα σύνολο δύο στοιχείων (x, y) στο οποίο μπορεί να οριστεί ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο λέγεται «διατεταγμένο ζεύγος». •ΙΣΟΤΗΤΑ: (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 & y 1 = y 2 •Συντεταγμένες ονομάζονται οι τιμές x και y.

4 Καρτεσιανό Γινόμενο Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x, y) με x   Α και y  B •ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A×B ={(x, y) : x  A & y  B}

5 Παράδειγμα Έστω τα σύνολα Α={a, b} και Β= {a, c, d}  Α × B = {a,b} x {a,c,d}= = {(a,a), (a,c), (a,d), (b,a), (b,c), (b,d)}

6 Διμελής Σχέση •Μια διμελής σχέση από το Α στο Β είναι ένα υποσύνολο του A×B •Τυποποίηση της διαισθητικής έννοιας ότι κάποια στοιχεία του Α σχετίζονται με κάποια στοιχεία του Β •Εάν η R είναι διμελής σχέση από το Α στο Β και το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)  R, θα λέμε ότι το στοιχείο α σχετίζεται με το στοιχείο b 6

7 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d} ένα σύνολο 4 φοιτητών •Β = {CS121, CS221, CS257, CS264, CS273, CS281} ένα σύνολο έξι μαθημάτων Το καρτεσιανό γινόμενο A×B δίνει όλα τα δυνατά ζεύγη φοιτητών και μαθημάτων 7

8 Περιγραφή Διμελούς Σχέσης •Παράθεση των διατεταγμένων ζευγών της –Έστω Α = {a,b,c,d} B = {α,β,γ} και R μία διμελής σχέση από το Α στο Β  R = {(a,α), (b,γ), (c,a), (c,γ), (c,β)} •Αναπαράσταση μέσω πίνακα 8

9 •Αναπαράσταση μέσω διαγράμματος 9 Περιγραφή Διμελής Σχέσης (συνέχεια)

10 Πράξεις μεταξύ διμελών σχέσεων Έστω R 1 και R 2 διμελείς σχέσεις από το σύνολο Α στο σύνολο Β •R 1  R 2 : τομή των R 1 και R 2 •R 1  R 2 : ένωση των R 1 και R 2 •R 1  R 2 : συμμετρική διαφορά των R 1 και R 2 •R 1 - R 2 : διαφορά των R 1 και R 2 10

11 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d} ένα σύνολο φοιτητών και •B = {CS121, CS221, CS257, CS264, CS273, CS281} ένα σύνολο μαθημάτων •R 1 η διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τα μαθήματα που παρακολουθούν οι φοιτητές •R 2 η διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τα μαθήματα για τα οποία ενδιαφέρονται οι φοιτητές 11

12 Οι R 1 και R 2 περιγράφονται από τους παρακάτω πίνακες 12 Παράδειγμα (συνέχεια)

13 •Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές και για τα οποία ενδιαφέρονται: R 1  R 2 = {(a, CS121), (b, CS221), (d, CS264), (d,CS281)} •Μαθήματα τα οποία είτε παρακολουθούν οι φοιτητές είτε τους ενδιαφέρουν: R 1  R 2 = {(a, CS121), (a, CS264), (b, CS221), (b, CS257), (b, CS273), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281), (d,CS264), (d, CS273), (d, CS281)} 13

14 •Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές, χωρίς να τους ενδιαφέρουν, και αυτά για τα οποία ενδιαφέρονται, αλλά δεν τα παρακολουθούν: R 1  R 2 = {(a, CS264), (b, CS257), (b, CS273), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281), (d, CS273)} •Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές, αλλά για τα οποία αυτοί δεν ενδιαφέρονται: R 1 - R 2 = {(b, CS257), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281)} 14 Παράδειγμα (συνέχεια)

15 Quiz Έστω •Α = {a,b,c,d} ένα σύνολο φοιτητών •Β = {ΒΤ&Τ, CompComm, GEE, JBM, Orange} ένα σύνολο εταιρειών που ήρθαν στο πανεπιστήμιο για να πάρουν συνεντεύξεις από τους φοιτητές που ενδιαφέρονται •R 1 μία διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει ποιοι φοιτητές έδωσαν συνέντευξη σε ποιες εταιρείες • R 2 μία διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τις προσφορές εργασίας που έκαναν οι εταιρείες στους φοιτητές 15

16 Οι R 1 και R 2 περιγράφονται από τους παρακάτω πίνακες 16 Quiz (συνέχεια)

17 •Προσδιορίστε το νόημα των διμελών σχέσεων R 1  R 2, R 1  R 2, R 1  R 2, R 1 - R 2 17 Quiz (συνέχεια)

18 Τριμελής Σχέση Μια τριμελής σχέση μεταξύ τριών συνόλων A, B και C ορίζεται ως ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου των δύο συνόλων Α × B και C. 18

19 Παράδειγμα Έστω •Α = {a, b} •B = {α, β} •C = {1, 2}  (Α × B) × C = {((a, α), 1), ((a, α), 2), ((a, β), 1), ((a, β), 2), ((b, α), 1), ((b, α), 2), ((b, β), 1), ((b, β), 2)} 19

20 N – μελής σχέση •Μια n-μελής σχέση ανάμεσα στα σύνολα Α 1, Α 2, Α 3, …, Α n ορίζεται ως ένα υποσύνολο του ((Α 1 × Α 2 )× Α 3 )…× Α n •Ένα σύνολο διατεταγμένων n-άδων στις οποίες –το πρώτο στοιχείο είναι στοιχείο του Α 1 –το δεύτερο είναι στοιχείο του Α 2 … –το n-οστό στοιχείο είναι στοιχείο του Α n 20

21 Διμελής Σχέση επί ενός Συνόλου Μια διμελής σχέση από ένα σύνολο Α στο σύνολο Α λέγεται διμελής σχέση επί του Α 21

22 Παράδειγμα •Ορίζουμε μια διμελή σχέση R επί του Α τέτοια ώστε το (a,b)  R αν και μόνο αν a-b  10  (12,1)  R, (12,3)  R, (1,12)  R 22

23 Ανακλαστική Σχέση Έστω R μία διμελής σχέση επί του Α. Λέμε ότι η R είναι ανακλαστική αν το (α,α)  R,  α  Α. Με άλλα λόγια, σε μια ανακλαστική σχέση κάθε στοιχείο του Α σχετίζεται με τον εαυτό του 23

24 Παράδειγμα Έστω Α το σύνολο των μαθημάτων και έστω R μία διμελής σχέση επί του Α τέτοια ώστε •για δύο μαθήματα a, b  A, το (a,b)  R αν τα τελικά τους διαγωνίσματα είναι προγραμματισμένα την ίδια μέρα. Προφανώς για οποιοδήποτε μάθημα το (α,α)  R  η R είναι ανακλαστική 24

25 Παράδειγμα Έστω •Α το σύνολο των θετικών ακεραίων •R μια διμελή σχέση τέτοια ώστε το (a,b)  R αν το a διαιρεί το b Αφού ένας ακέραιος διαιρεί πάντα τον εαυτό του  η R είναι ανακλαστική 25

26 Συμμετρική Σχέση Έστω R μία διμελής σχέση επί του Α. H R λέγεται συμμετρική αν για κάθε ζεύγος (α,b)  R ισχύει ότι και το ζεύγος (b,a)  R 26

27 Παράδειγμα Έστω •Α ένα σύνολο φοιτητών •R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το (a,b)  R ανν ο α και ο b είναι εγγεγραμμένοι σε ένα κοινό μάθημα Αν ο α είναι εγγεγραμμένος σε ένα μάθημα που είναι ο b  προφανώς ο b είναι επίσης εγγεγραμμένος σε ένα μάθημα που είναι και ο α  η σχέση R είναι συμμετρική 27

28 Αντισυμμετρική Σχέση Έστω R μία διμελής σχέση επί του Α. H R λέγεται αντισυμμετρική αν για κάθε ζεύγος (α,b)  R το συμμετρικό ζεύγος (b,a)  R, εκτός αν a = b 28

29 Παράδειγμα Έστω •Α ένα σύνολο από εξετάσεις που πρέπει να γίνουν σε έναν ασθενή •R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε αν το (a,b)  R, τότε η εξέταση α πρέπει να γίνει πριν από την b Προφανώς αν η εξέταση α γίνει πριν από την b  η εξέταση b δεν μπορεί να γίνει πριν από την α, για οποιεσδήποτε διαφορετικές εξετάσεις  η σχέση R είναι αντισυμμετρική 29

30 Μεταβατική Σχέση Έστω R μία διμελής σχέση επί του Α. H R λέγεται μεταβατική αν  (α,b), (b,c)  R, ισχύει ότι και το (a,c)  R 30

31 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c} και •R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,c)} Παρατηρούμε ότι η σχέση R είναι μεταβατική Επίσης παρατηρούμε ότι •η Υ = {(α,b)} είναι και αυτή μεταβατική •ενώ η Ζ = {(a,b), (b,c)} δεν είναι 31

32 Μεταβατική Επέκταση Διμελούς Σχέσης Έστω R μία διμελής σχέση επί του Α. H μεταβατική επέκταση της R, η οποία συμβολίζεται R 1, είναι μια διμελής σχέση επί του Α τέτοια ώστε η R  R 1 και επιπλέον, αν τα (α,b) και (b,c)  R, τότε το (a,c)  R 1 32

33 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d} και •R η διμελής σχέση που φαίνεται στο δίπλα σχήμα Η μεταβατική επέκταση της R, R 1, φαίνεται στο δεύτερο σχήμα, όπου τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν στην R 1, αλλά δεν ανήκουν στην R είναι σημειωμένα με έντονα σημάδια  33

34 Μεταβατική Θήκη Διμελούς Σχέσης Έστω ότι η R 2 συμβολίζει την μεταβατική επέκταση της R 1 και γενικά έστω ότι η R i+1 συμβολίζει την μεταβατική επέκταση της R i. Ορίζουμε ως μεταβατική θήκη της R, την οποία συμβολίζουμε με R*, την R  R 1  R 2  …  R k 34

35 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d} και •R η διμελής σχέση που φαίνεται στο δίπλα σχήμα Η μεταβατική θήκη της R φαίνεται στο δεύτερο σχήμα 35

36 Παράδειγμα Έστω •Α ένα σύνολο πόλεων •R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)  R, αν υπάρχει σύνδεσμος επικοινωνίας από την πόλη α στην πόλη b για την μετάδοση μηνυμάτων 36

37  η μεταβατική επέκταση της R, R 1, περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, •είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας •είτε μέσω μιας ενδιάμεσης πόλης 37 Παράδειγμα (συνέχεια)

38  Η μεταβατική επέκταση της R 1, R 2 περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, •είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας •είτε μέσω το πολύ δύο ενδιάμεσων πόλεων 38 Παράδειγμα (συνέχεια)

39  Η μεταβατική επέκταση της R, R* περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, •είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας •είτε μέσω κάποιου, οσοδήποτε μεγάλου, αριθμού ενδιάμεσων πόλεων 39 Παράδειγμα (συνέχεια)

40 Σχέση Ισοδυναμίας Μια διμελής σχέση επί ενός συνόλου λέγεται σχέση ισοδυναμίας εάν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική 40

41 Παράδειγμα Η διμελής σχέση επί του συνόλου {a,b,c,d,e,f} που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα είναι σχέση ισοδυναμίας 41

42 Έστω •Α ένα σύνολο από φοιτητές •R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)  R, ανν ο a μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον b Ο καθένας μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον εαυτό του  η R ανακλαστική σχέση 42 Παράδειγμα

43 Αν ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον b τότε και ο b μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον α  η R συμμετρική σχέση Αν ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον b τότε και ο b μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον c, τότε και ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον c  η R μεταβατική σχέση 43 Παράδειγμα (συνέχεια)

44 Διαμέριση Συνόλου Μια διαμέριση ενός συνόλου Α είναι ένα σύνολο από μη κενά υποσύνολα του Α, {Α 1, Α 2, Α 3, …, Α κ }, τέτοιο ώστε Α 1  Α 2  Α 3  …  Α κ =Α και Α i  Α j = ,  Α i  Α j 44

45 Διαμέριση Συνόλου •Μια διαίρεση του συνόλου σε διαζευγμένα υποσύνολα •Τα υποσύνολα αυτά ονομάζονται επίσης και σύμπλοκα διαμέρισης 45

46 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d,e,f,g}  το {{a}, {b,c,d}, {e,f}, {g}} είναι μια διαμέριση του Α Εισάγουμε τον συμβολισμό, όπου τοποθετούμε μία γραμμή πάνω από τα στοιχεία που ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκο 46

47 Από μία σχέση ισοδυναμίας επί του συνόλου Α μπορούμε να ορίσουμε μία διαμέριση του Α έτσι ώστε •Όταν δύο στοιχεία σχετίζονται να ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκο •Όταν δεν σχετίζονται να ανήκουν σε διαφορετικά σύμπλοκα 47 Σχέσεις Διαμέρισης και Ισοδυναμίας

48 Σχέσεις Διαμέρισης και Ισοδυναμίας (1/2) Από μία διαμέριση ενός συνόλου Α μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας επί του Α έτσι ώστε •Κάθε δύο στοιχεία που ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκο της διαμέρισης να σχετίζονται •Οποιαδήποτε δύο στοιχεία που ανήκουν σε διαφορετικά σύμπλοκα να μην σχετίζονται 48

49 Έστω •Α ένα σύνολο από άτομα •R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)  R, ανν ο a και ο b έχουν το ίδιο επώνυμο  η R είναι μία σχέση ισοδυναμίας της οποίας οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οικογένειες 49 Παράδειγμα

50 Εκλέπτυνση Διαμέρισης ‘Εστω π 1 και π 2 δύο διαμερίσεις ενός συνόλου Α. Έστω R 1 και R 2 οι αντίστοιχες σχέσεις ισοδυναμίας. Λέμε ότι η π 1 είναι μία εκλέπτυνση της π 2, το οποίο συμβολίζεται με π 1  π 2, αν R 1  R 2 50

51 Γινόμενο Διαμερίσεων Ορίζουμε ως γινόμενο των π 1 και π 2, το οποίο συμβολίζεται με π 1 · π 2, τη διαμέριση που αντιστοιχεί στη σχέση ισοδυναμίας R 1  R 2 51

52 Άθροισμα Διαμερίσεων Ορίζουμε ως άθροισμα των π 1 και π 2, το οποίο συμβολίζεται με π 1 + π 2, τη διαμέριση που αντιστοιχεί στη σχέση ισοδυναμίας (R 1  R 2 )* 52

53 Ερμηνείες Ορισμών Εκλέπτυνση •Αν η π 1 είναι μία εκλέπτυνση της π 2, τότε οποιαδήποτε δύο στοιχεία που είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 πρέπει επίσης να είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 2 Γινόμενο •Το γινόμενο των π 1 και π 2 είναι μια διαμέριση του Α τέτοια ώστε δύο στοιχεία a και b να είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 · π 2, αν τα a και b είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 και επίσης στο ίδιο σύμπλοκο της π 2 53

54 Άθροισμα •Το άθροισμα των π 1 και π 2 είναι μια διαμέριση του Α τέτοια ώστε δύο στοιχεία a και b να είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 + π 2, αν υπάρχουν στοιχεία c 1, c 2, c 3, …, c k τέτοια ώστε –το a και το c 1 είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 ή της π 2, –το c 1 και το c 2 είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 ή της π 2, –το c 2 και το c 3 είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 ή της π 2, –…, – το c κ και το b είναι στο ίδιο σύμπλοκο της π 1 ή της π 2 54 Ερμηνείες Ορισμών (συνέχεια)

55 Παράδειγμα Έστω •Α = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k} •π 1 = •π 2 =  π 1 · π 2 =  π 1 + π 2 = 55

56 Φυσική Ερμηνεία •Η διαμέριση π 1 · π 2 αποτυπώνει την ολική πληροφορία που διατίθεται για τον προσδιορισμό ενός αντικειμένου, όπως αυτή προκύπτει από τον συνδυασμό των πληροφοριών που παρέχουν οι διαμερίσεις π 1 και π 2 •Η διαμέριση π 1 + π 2 καθορίζει την μέγιστη ασάφεια που μπορούμε να έχουμε στον προσδιορισμό ενός αντικειμένου, όταν ξέρουμε ότι είτε η πληροφορία για την π 1 είτε η πληροφορία για την π 2 θα είναι διαθέσιμη 56


Κατέβασμα ppt "1 Θεματική Ενότητα Σχέσεις & Συναρτήσεις. 2 Εισαγωγή Σχέσεις μεταξύ διακριτών αντικειμένων Παραδείγματα •Σε ένα σύνολο υπολογιστικών προγραμμάτων, δύο."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google