Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης

2 Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση;
Είναι Επιστήμη: Ασχολείται με μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με χρήση αριθμητικών πράξεων (με Η/Υ) καθώς και με την ανάλυση των σφαλμάτων στην προσέγγιση των λύσεων. Είναι Τέχνη: Αφορά στην επιλογή εκείνης της μεθόδου που είναι πιο «κατάλληλη» για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Απαιτεί ανάπτυξη δεξιοτήτων και διαίσθησης.

3 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (1)
?

4 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (2)
Μέθοδοι: Τύπος του Cramer () x=A-1b (2) Άμεσες μέθοδοι: Gauss () Απλή Με μερική οδήγηση Με ολική οδήγηση Επαναληπτικές μέθοδοι Jacobi Gauss-Seidel κ.ά.

5 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (3)
Κριτήρια επιλογής μεθόδου: Γενικά: Πολυπλοκότητα (υπολογιστική, μνήμης, υλοποίησης) Ταχύτητα σύγκλισης (για επαναληπτικές μεθόδους) Ακρίβεια Ανθεκτικότητα σε αριθμητικά σφάλματα (αναπαράστασης δεδομένων και πράξεων) Εξαρτώμενα από το συγκεκριμένο πρόβλημα: Κατάσταση του πίνακα του συστήματος Πλήθος μηδενικών στοιχείων του πίνακα Διαστάσεις του προβλήματος Τυχόν συμμετρίες στον πίνακα, κ.ά.

6 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (4)
Π.χ. Επίλυση του συστήματος με 4 σημαντικά ψηφία Ακριβής λύση (με 4 ψηφία): Απλή μέθοδος Gauss: Μέθοδος Gauss με μερική οδήγηση:

7 Περιεχόμενα Αριθμητική του υπολογιστή Προσέγγιση και σφάλματα
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Παρεμβολή Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική παραγώγιση και ολοκλήρωση Εφαρμογές σε C / Mathematica

8 Συγγράμματα Γ. Σ. Παπαγεωργίου και Χ. Γ. Τσίτουρας, Αριθμητική Ανάλυση (με εφαρμογές σε Matlab και Mathematica), 3η έκδοση, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα 2004. Χ. Ν. Φραγκάκις, Μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης, Τόμος Α: Θεωρία και Εφαρμογές και Β : Mathematica και οι εφαρμογές της, Εκδόσεις Αφών Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη 2005. Α. Δημητριάδης και Χ. Κοίλιας, Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση, 2η έκδοση, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα Γ. Σ. Σοφιανός και Ε. Θ. Τυχόπουλος, Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Α. Σταμούλης, Αθήνα 2005. Μ. Ν. Βραχάτης, Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα 2002. Σημειώσεις Mathematica.

9 Βιβλιογραφία Σ. Τραχανάς, Mathematica και Εφαρμογές, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης, 2001. Γ. Σ. Παπαγεωργίου, Χ. Γ. Τσίτουρας, και Ι. Θ. Φαμέλης, Σύγχρονο Μαθηματικό Λογισμικό: Matlab – Mathematica, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα 2004. E. Don, Mathematica, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, 2005. R. L. Burden and J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 6th ed., Brooks/Cole, 1997 (διαθέσιμο στη βιβλιοθήκη). A. Ralston and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2nd ed., Dover, 1978.

10 Χρήσιμες Διευθύνσεις Ιστοσελίδα μαθήματος: Εισαγωγή στο Mathematica (Σημειώσεις):

11 Εξέταση - Βαθμολόγηση Εργασία (ατομική) για το σπίτι Γραπτή εξέταση
Τελικός βαθμός: max(βαθμός γραπτού, 0.3*βαθμός εργασίας+0.7*βαθμός γραπτού)

12 Προσέγγιση και Σφάλματα (1)
Λόγω πεπερασμένου μεγέθους μνήμης, η αναπαράσταση αριθμών στον Η/Υ και οι πράξεις μ’ αυτούς (μπορεί να) ενέχουν ανακρίβειες. Πώς αυτές επηρεάζουν την ακρίβεια με την οποία υπολογίζεται η λύση ενός προβλήματος με κάποια αριθμητική μέθοδο;

13 Προσέγγιση και Σφάλματα (2)
Παράδειγμα: Αν είναι οι προσεγγίσεις των αριθμών , με σχετικά σφάλματα ποιο είναι το σχετικό σφάλμα στην προσέγγιση του γινομένου τους, ; (Απάντηση: αν αρκετά μικρά.)

14 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (1)
Υπολογισμός των τιμών των n αγνώστων x στο σύστημα των n εξισώσεων Ax=b, με δοσμένα τον nxn πίνακα A και το nx1 διάνυσμα b.

15 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (2)
Μέθοδος απαλοιφής Gauss Τριγωνοποίηση του πίνακα του συστήματος Επίλυση του ισοδύναμου τριγωνικού συστήματος με πίσω αντικατάσταση Α’ x b’

16 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (3)
Εφαρμογές: Επίλυση πολλών συστημάτων με τον ίδιο πίνακα Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα Υπολογισμός ορίζουσας πίνακα Παραγοντοποίηση πίνακα σε άνω και κάτω τριγωνικούς παράγοντες

17 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (4)
Υπολογισμός ιδιοτιμών (λ) και ιδιοδιανυσμάτων (x) ενός πίνακα A: Αx=λx Μέθοδος των δυνάμεων (power method) για υπολογισμό της μέγιστης (κατ’ απόλυτη τιμή) ιδιοτιμής και αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος: Αρχικοποίηση: x(0) Επανάληψη (k=0,1,2,…) x(k+1)=A x(k) Κανονικοποίηση του x(k+1)

18 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (5)
Εφαρμογή: Ανάλυση σε πρωτεύουσες συνιστώσες (Principal Component Analysis (PCA))

19 Παρεμβολή (Interpolation) (1)
Αν γνωρίζουμε τις τιμές μιας (συνεχούς) συνάρτησης f μόνο στα k+1 σημεία x0 , x1 , …, xk , πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε τις τιμές της σε άλλα ενδιάμεσα σημεία; Πολυωνυμική προσέγγιση: Προσεγγίζουμε την f μ’ ένα πολυώνυμο k βαθμού, Pk(x) ≈f(x), και υπολογίζουμε τις τιμές αυτού του πολυωνύμου αντί της f.

20 Παρεμβολή (Interpolation) (2)
Παράδειγμα: Πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού γύρω από το x0 : Πολυώνυμο Newton 2ου βαθμού:

21 Παρεμβολή (Interpolation) (3)

22 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (1)
Δοσμένης μιας μη-γραμμικής συνάρτησης f, ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0; Βοηθητική πληροφορία: Διάστημα [α,β] στο οποίο κείται η ζητούμενη ρίζα, ξ. Αριθμός κοντά στον οποίον πιστεύεται ότι βρίσκεται η ρίζα.

23 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (2)
Γενική μεθοδολογία: Επαναληπτική βελτίωση της ποιότητας της διαθέσιμης εκτίμησης για τη ρίζα, ξ. Αρχική εκτίμηση: ξ0 Επανάληψη (k=0,1,2,...): ξk+1=F (ξk) έως ότου το ξk+1 να είναι «αρκετά» κοντά στο ξk, όπου F είναι η μέθοδος βελτίωσης της εκτίμησης.

24 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (3)
Μέθοδος Newton-Raphson:

25 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (4)
Παράδειγμα:

26 Αριθμητική Παραγώγιση (1)
Αν για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε μόνο τις τιμές της σε k+1 ισαπέχοντα (κατά h) σημεία x0, x1 , …, xk , πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε τις τιμές της παραγώγου της σ’ αυτά τα σημεία και σε ενδιάμεσά τους;

27 Αριθμητική Παραγώγιση (2)
Γενική μεθοδολογία: Προσεγγίζουμε την f μ’ ένα πολυώνυμο και υπολογίζουμε τις τιμές της παραγώγου αυτού του πολυωνύμου αντί της παραγώγου της f. Π.χ. η παράγωγος στο κεντρικό σημείο τριών σημείων υπολογίζεται ως:

28 Αριθμητική Παραγώγιση (3)

29 Αριθμητική Ολοκλήρωση (1)
Με τα ίδια δεδομένα, πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα της f από x0 έως xk ; Γενική μεθοδολογία: Ολοκλήρωση του πολυωνύμου που παρεμβάλλει την f στα σημεία αυτά.

30 Αριθμητική Ολοκλήρωση (2)
Κανόνας Τραπεζίου (Σύνθετος):

31 Αριθμητική Ολοκλήρωση (3)
Κανόνας Simpson (Απλός):

32 Μερικοί από τους δημιουργούς…


Κατέβασμα ppt "Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google