Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης. 2 Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση;  Είναι Επιστήμη: – Ασχολείται με μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με χρήση αριθμητικών.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης. 2 Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση;  Είναι Επιστήμη: – Ασχολείται με μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με χρήση αριθμητικών."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης

2 2 Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση;  Είναι Επιστήμη: – Ασχολείται με μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με χρήση αριθμητικών πράξεων (με Η/Υ) καθώς και με την ανάλυση των σφαλμάτων στην προσέγγιση των λύσεων.  Είναι Τέχνη: – Αφορά στην επιλογή εκείνης της μεθόδου που είναι πιο «κατάλληλη» για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. – Απαιτεί ανάπτυξη δεξιοτήτων και διαίσθησης.

3 3 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (1) ?

4 4 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (2)  Μέθοδοι: – Τύπος του Cramer (  ) – x=A -1 b (  2 ) – Άμεσες μέθοδοι: Gauss (  )  Απλή  Με μερική οδήγηση  Με ολική οδήγηση – Επαναληπτικές μέθοδοι  Jacobi  Gauss-Seidel – κ.ά.

5 5 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (3)  Κριτήρια επιλογής μεθόδου: – Γενικά:  Πολυπλοκότητα (υπολογιστική, μνήμης, υλοποίησης)  Ταχύτητα σύγκλισης (για επαναληπτικές μεθόδους)  Ακρίβεια  Ανθεκτικότητα σε αριθμητικά σφάλματα (αναπαράστασης δεδομένων και πράξεων) – Εξαρτώμενα από το συγκεκριμένο πρόβλημα:  Κατάσταση του πίνακα του συστήματος  Πλήθος μηδενικών στοιχείων του πίνακα  Διαστάσεις του προβλήματος  Τυχόν συμμετρίες στον πίνακα, κ.ά.

6 6 Παράδειγμα: Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων (4)  Π.χ. Επίλυση του συστήματος με 4 σημαντικά ψηφία  Ακριβής λύση (με 4 ψηφία):  Απλή μέθοδος Gauss:  Μέθοδος Gauss με μερική οδήγηση:

7 7 Περιεχόμενα  Αριθμητική του υπολογιστή  Προσέγγιση και σφάλματα  Συστήματα γραμμικών εξισώσεων – Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα  Παρεμβολή  Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων  Αριθμητική παραγώγιση και ολοκλήρωση  Εφαρμογές σε C / Mathematica

8 8 Συγγράμματα  Γ. Σ. Παπαγεωργίου και Χ. Γ. Τσίτουρας, Αριθμητική Ανάλυση (με εφαρμογές σε Matlab και Mathematica), 3η έκδοση, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα  Χ. Ν. Φραγκάκις, Μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης, Τόμος Α: Θεωρία και Εφαρμογές και Β : Mathematica και οι εφαρμογές της, Εκδόσεις Αφών Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη  Α. Δημητριάδης και Χ. Κοίλιας, Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση, 2 η έκδοση, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα  Γ. Σ. Σοφιανός και Ε. Θ. Τυχόπουλος, Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Α. Σταμούλης, Αθήνα  Μ. Ν. Βραχάτης, Αριθμητική Ανάλυση, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα  Σημειώσεις Mathematica.

9 9 Βιβλιογραφία  Σ. Τραχανάς, Mathematica και Εφαρμογές, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης,  Γ. Σ. Παπαγεωργίου, Χ. Γ. Τσίτουρας, και Ι. Θ. Φαμέλης, Σύγχρονο Μαθηματικό Λογισμικό: Matlab – Mathematica, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα  E. Don, Mathematica, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,  R. L. Burden and J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 6 th ed., Brooks/Cole, 1997 (διαθέσιμο στη βιβλιοθήκη).  A. Ralston and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2 nd ed., Dover, 1978.

10 10 Χρήσιμες Διευθύνσεις  Ιστοσελίδα μαθήματος:  Εισαγωγή στο Mathematica (Σημειώσεις): athematica08.pdf

11 11 Εξέταση - Βαθμολόγηση  Εργασία (ατομική) για το σπίτι  Γραπτή εξέταση  Τελικός βαθμός: max(βαθμός γραπτού, 0.3*βαθμός εργασίας+0.7*βαθμός γραπτού)

12 12 Προσέγγιση και Σφάλματα (1)  Λόγω πεπερασμένου μεγέθους μνήμης, η αναπαράσταση αριθμών στον Η/Υ και οι πράξεις μ’ αυτούς (μπορεί να) ενέχουν ανακρίβειες.  Πώς αυτές επηρεάζουν την ακρίβεια με την οποία υπολογίζεται η λύση ενός προβλήματος με κάποια αριθμητική μέθοδο;

13 13 Προσέγγιση και Σφάλματα (2)  Παράδειγμα: – Αν είναι οι προσεγγίσεις των αριθμών, με σχετικά σφάλματα ποιο είναι το σχετικό σφάλμα στην προσέγγιση του γινομένου τους, ; (Απάντηση: αν αρκετά μικρά.)

14 14 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (1)  Υπολογισμός των τιμών των n αγνώστων x στο σύστημα των n εξισώσεων Ax=b, με δοσμένα τον nxn πίνακα A και το nx1 διάνυσμα b.

15 15 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (2)  Μέθοδος απαλοιφής Gauss – Τριγωνοποίηση του πίνακα του συστήματος – Επίλυση του ισοδύναμου τριγωνικού συστήματος με πίσω αντικατάσταση Α’Α’ xb’b’

16 16 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (3)  Εφαρμογές: – Επίλυση πολλών συστημάτων με τον ίδιο πίνακα – Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα – Υπολογισμός ορίζουσας πίνακα – Παραγοντοποίηση πίνακα σε άνω και κάτω τριγωνικούς παράγοντες

17 17 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (4)  Υπολογισμός ιδιοτιμών (λ) και ιδιοδιανυσμάτων (x) ενός πίνακα A: Αx=λx  Μέθοδος των δυνάμεων (power method) για υπολογισμό της μέγιστης (κατ’ απόλυτη τιμή) ιδιοτιμής και αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος: – Αρχικοποίηση: x (0) – Επανάληψη (k=0,1,2,…)  x (k+1) =A x (k)  Κανονικοποίηση του x (k+1)

18 18 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων (5) – Εφαρμογή: Ανάλυση σε πρωτεύουσες συνιστώσες (Principal Component Analysis (PCA))

19 19 Παρεμβολή (Interpolation) (1)  Αν γνωρίζουμε τις τιμές μιας (συνεχούς) συνάρτησης f μόνο στα k+1 σημεία x 0, x 1, …, x k, πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε τις τιμές της σε άλλα ενδιάμεσα σημεία;  Πολυωνυμική προσέγγιση: Προσεγγίζουμε την f μ’ ένα πολυώνυμο k βαθμού, P k (x) ≈f(x), και υπολογίζουμε τις τιμές αυτού του πολυωνύμου αντί της f.

20 20 Παρεμβολή (Interpolation) (2)  Παράδειγμα:  Πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού γύρω από το x 0 :  Πολυώνυμο Newton 2ου βαθμού:

21 21 Παρεμβολή (Interpolation) (3)

22 22 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (1)  Δοσμένης μιας μη-γραμμικής συνάρτησης f, ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0;  Βοηθητική πληροφορία: – Διάστημα [α,β] στο οποίο κείται η ζητούμενη ρίζα, ξ. – Αριθμός κοντά στον οποίον πιστεύεται ότι βρίσκεται η ρίζα.

23 23 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (2)  Γενική μεθοδολογία: Επαναληπτική βελτίωση της ποιότητας της διαθέσιμης εκτίμησης για τη ρίζα, ξ. – Αρχική εκτίμηση: ξ 0 – Επανάληψη (k=0,1,2,...): ξ k+1 =F (ξ k ) έως ότου το ξ k+1 να είναι «αρκετά» κοντά στο ξ k, όπου F είναι η μέθοδος βελτίωσης της εκτίμησης.

24 24 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (3)  Μέθοδος Newton-Raphson:

25 25 Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων (4)  Παράδειγμα:

26 26 Αριθμητική Παραγώγιση (1)  Αν για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε μόνο τις τιμές της σε k+1 ισαπέχοντα (κατά h) σημεία x 0, x 1, …, x k, πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε τις τιμές της παραγώγου της σ’ αυτά τα σημεία και σε ενδιάμεσά τους;

27 27 Αριθμητική Παραγώγιση (2)  Γενική μεθοδολογία: Προσεγγίζουμε την f μ’ ένα πολυώνυμο και υπολογίζουμε τις τιμές της παραγώγου αυτού του πολυωνύμου αντί της παραγώγου της f.  Π.χ. η παράγωγος στο κεντρικό σημείο τριών σημείων υπολογίζεται ως:

28 28 Αριθμητική Παραγώγιση (3)

29 29 Αριθμητική Ολοκλήρωση (1)  Με τα ίδια δεδομένα, πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα της f από x 0 έως x k ;  Γενική μεθοδολογία: Ολοκλήρωση του πολυωνύμου που παρεμβάλλει την f στα σημεία αυτά.

30 30 Αριθμητική Ολοκλήρωση (2)  Κανόνας Τραπεζίου (Σύνθετος):

31 31 Αριθμητική Ολοκλήρωση (3)  Κανόνας Simpson (Απλός):

32 32 Μερικοί από τους δημιουργούς…


Κατέβασμα ppt "Αριθμητική Ανάλυση Ε. Κοφίδης. 2 Τι είναι η Αριθμητική Ανάλυση;  Είναι Επιστήμη: – Ασχολείται με μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων με χρήση αριθμητικών."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google