Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση (Μέρος 1) Daniel Kirschen.

Παρουσίαση με θέμα: "Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση (Μέρος 1) Daniel Kirschen."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση (Μέρος 1) Daniel Kirschen

2 Πρόβλημα οικονομικής αποστολής Αρκετές μονάδες παραγωγής που εξυπηρετούν το φορτίο Ποιο είναι το μερίδιο του φορτίου που θα πρέπει κάθε μονάδα παραγωγής να παράγει ; Εξετάστε τα όρια των μονάδων παραγωγής Αγνοήστε τα όρια του δικτύου ABC L © 2011 D. Kirschen and University of Washington 2

3 Χαρακτηριστικά των μονάδων παραγωγής © 2011 D. Kirschen and University of Washington3 Θερμικές μονάδες παραγωγής Εξετάστε τις τρέχουσες δαπάνες μόνο Εισόδου-εξόδου καμπύλη –Καύσιμα εναντίον της ηλεκτρικής δύναμης Κατανάλωση καυσίμων που μετριέται από το ενεργειακό περιεχόμενό του Ανώτερο και χαμηλότερο όριο στην έξοδο της μονάδας παραγωγής B T G (Είσοδος) Ηλεκτρική δύναμηκαύσιμα (Έξοδος) Output P min P max Input J/h MW

4 Καμπύλη κόστους Πολλαπλασιάστε τα καύσιμα που εισάγονται από το κόστος καυσίμων Κόστος χωρίς φορτίο -Το κόστος της διατήρησης της μονάδας λειτουργεί, εάν θα μπορούσε να παράγει μηδέν MW Output P min P max Cost $/h MW No-load cost © 2011 D. Kirschen and University of Washington 4

5 Στοιχειώδης καμπύλη του κόστους Στοιχειώδες καμπύλη του κόστους Παράγωγα της καμπύλης κόστους In $/MWh Το κόστος της επόμενης MWh © 2011 D. Kirschen and University of Washington 5 ∆F ∆P Cost [$/h] MW Incremental Cost [$/MWh] MW

6 Μαθηματική διατύπωση Σκοπός λειτουργίας Περιορισμοί – Φορτίο / το ισοζύγιο παραγωγής : –Περιορισμοί μονάδων : © 2011 D. Kirschen and University of Washington 6 ABC L Αυτό είναι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης

7 Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση

8 “ Ένας μηχανικός μπορεί να κάνει με ένα δολάριο που οποιοσδήποτε αδέξιος κατασκευαστής μπορεί να κάνει με δύο ” A. M. Wellington (1847-1895) © 2011 D. Kirschen and University of Washington 8

9 Objective Οι περισσότερες δραστηριότητες μηχανικών έχουν ένα στόχο: – Επίτευξη του καλύτερου δυνατού σχεδιασμού – Επίτευξη των πιο οικονομικών συνθηκών λειτουργίας Αυτός ο στόχος είναι συνήθως ποσοτικά προσδιορίσιμος Παραδείγματα : – ελαχιστοποίηση του κόστους κατασκευής ενός μετασχηματιστή – ελαχιστοποίηση του κόστους της παροχής ηλεκτρικής ενέργειας – ελαχιστοποίηση των απωλειών σε ένα σύστημα ισχύος – μεγιστοποίηση του κέρδους από μια στρατηγική προσφορών © 2011 D. Kirschen and University of Washington 9

10 Μεταβλητές απόφασης Η αξία του στόχου είναι μια λειτουργία μερικών μεταβλητών απόφασης: Παραδείγματα μεταβλητών απόφασης: –Διαστάσεις του μετασχηματιστή –Έξοδος των μονάδων παραγωγής, θέση των παραμέτρων βρυσών –Παράμετροι των προσφορών για την πώληση ηλεκτρικής ενέργειας © 2011 D. Kirschen and University of Washington 10

11 Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Τι αξία θα πρέπει να λάβει έτσι ώστε οι μεταβλητές απόφασης να είναι ελάχιστες ή μέγιστες? © 2011 D. Kirschen and University of Washington 11

12 Παράδειγμα: λειτουργία μιας μεταβλητής © 2011 D. Kirschen and University of Washington12 x f(x) x*x* f(x * ) f(x) είναι μέγιστη για x = x*

13 Ελαχιστοποίηση και Μεγιστοποίηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington13 x f(x) x*x* f(x * ) If x = x* μεγιστοποιείται f(x) τότε ελαχιστοποιείται - f(x) -f(x) -f(x * )

14 Ελαχιστοποίηση και Μεγιστοποίηση Μεγιστοποίηση του f(x) είναι έτσι το ίδιο πράγμα με την ελαχιστοποίηση του g(x) = -f(x) Τα προβλήματα ελαχιστοποίησης και μεγιστοποίησης είναι έτσι εναλλάξιμα Ανάλογα με το πρόβλημα, το βέλτιστο είναι είτε ένα μέγιστο είτε ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington 14

15 Απαραίτητη προϋπόθεση για Βελτιστότητα © 2011 D. Kirschen and University of Washington15 x f(x) x*x* f(x * )

16 Απαραίτητη προϋπόθεση για Βελτιστότητα © 2011 D. Kirschen and University of Washington16 x f(x) x*x*

17 Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington17 x f(x) Για ποιες τιμές του x είναι ? Με άλλα λόγια, για ποιες τιμές του x είναι απαραίτητη η προϋπόθεση για τη βέλτιστη ικανοποίηση;

18 Παράδειγμα Α, Β, C, D είναι στάσιμα σημεία Α και D είναι τα μέγιστα B είναι ένα ελάχιστο C είναι ένα σημείο καμπής x f(x) ABCD © 2011 D. Kirschen and University of Washington 18

19 Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; © 2011 D. Kirschen and University of Washington19 x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι κοίλη γύρω από ένα μέγιστο

20 Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι κοίλη γύρω από ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington20

21 Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; © 2011 D. Kirschen and University of Washington21 x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι επίπεδη γύρω από ένα σημείο καμπής

22 Αναγκαίες και ικανές συνθήκες του Βέλτιστου Απαραίτητη προϋπόθεση : Ικανοποιητική προϋπόθεση : – Για το μέγιστο: – Για το ελάχιστο: © 2011 D. Kirschen and University of Washington 22

23 Δεν είναι όλο αυτό προφανές; Δεν μπορούμε να πούμε όλο αυτό με την εξέταση της αντικειμενικής λειτουργίας; – Ναι, για μια απλή, μονοδιάστατη περίπτωση όταν ξέρουμε τη μορφή της αντικειμενικής λειτουργίας – Για τις σύνθετες, πολυδιάστατες περιπτώσεις (δηλ. με πολλές μεταβλητές απόφασης) δεν μπορούμε να απεικονίσουμε τη μορφή της αντικειμενικής λειτουργίας – Πρέπει έπειτα να στηριχθούμε στις μαθηματικές τεχνικές © 2011 D. Kirschen and University of Washington 23

24 Εφικτό σύνολο Οι τιμές που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν είναι συνήθως περιορισμένες Παραδείγματα: – Οι φυσικές διαστάσεις ενός μετασχηματιστή πρέπει να είναι θετικές – Η ενεργός ισχύς εξόδου μιας γεννήτριας μπορεί να περιορίζεται σε ένα συγκεκριμένο εύρος ( π.χ. 200 MW σε 500 MW ) – Η αντιδραστική ισχύς εξόδου μιας γεννήτριας μπορεί να περιορίζεται σε μια ορισμένη περιοχή (π.χ. -100 MVAr έως 150 MVAr ) © 2011 D. Kirschen and University of Washington 24

25 Εφικτό Σύνολο x f(x) AD x MAX x MIN Feasible Set Οι τιμές της αντικειμενικής λειτουργίας έξω από το εφικτό σύνολο δεν πειράζουν © 2011 D. Kirschen and University of Washington25

26 Λύσεις εσωτερικού και ορίου Α και D είναι εσωτερικά μέγιστα B και E είναι εσωτερικά μέγιστα X MIN είναι ένα ελάχιστο όριο X MAX είναι ένα μέγιστο όριο x f(x) AD x MAX x MIN BE Δεν πληρούν τις προϋποθέσεις του βέλτιστου ! © 2011 D. Kirschen and University of Washington26

27 Δισδιάστατη περίπτωση x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) x2*x2* x1*x1* f(x 1,x 2 ) είναι ελάχιστο για x 1 *, x 2 * © 2011 D. Kirschen and University of Washington27

28 Απαραίτητες προϋποθέσεις για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) x2*x2* x1*x1* © 2011 D. Kirschen and University of Washington28

29 Πολυδιάστατη περίπτωση Σε μια μέγιστη ή ελάχιστη αξία Πρέπει να έχουμε: Ένα σημείο όπου πληρούνται οι προϋποθέσεις αυτές ονομάζεται σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington29

30 Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) minimummaximum © 2011 D. Kirschen and University of Washington30

31 Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) Σημείο σέλας © 2011 D. Kirschen and University of Washington31

32 Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα Υπολογίστε τη Hessian μήτρα στο στάσιμο σημείο: © 2011 D. Kirschen and University of Washington32

33 Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα Υπολογίστε τις ιδιοτιμές της μήτρας Hessian στο σταθερό σημείο Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι μεγαλύτερες ή ίσες με το μηδέν: – Η μήτρα είναι θετικά ημι-καθορισμένη – Το σταθερό σημείο είναι ένα ελάχιστο Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι μικρότερες ή ίσες με το μηδέν: – Η μήτρα είναι αρνητικά ημι-καθορισμένη – Το σταθερό σημείο είναι ένα μέγιστο Αν κάποιες από τις ιδιοτιμές είναι θετικές και άλλες είναι αρνητικές: – Το σταθερό σημείο είναι ένα σημείο σέλα © 2011 D. Kirschen and University of Washington 33

34 Περιγράμματα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) F1F1 F2F2 F2F2 F1F1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington34

35 Περιγράμματα x1x1 x2x2 Minimum or maximum Ένα περίγραμμα είναι η θέση όλων των σημείο που δίνουν την ίδια τιμή με την αντικειμενική συνάρτηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington35

36 Παράδειγμα 1 είναι ένα σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington36

37 Παράδειγμα 1 Επαρκείς συνθήκες για την βελτιστότητα : Πρέπει να είναι θετικά καθορισμένη ( δηλαδή όλες οι ιδιοτιμές πρέπει να είναι θετικές ) Το σταθερό σημείο είναι ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington37

38 Παράδειγμα 1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington38 x1x1 x2x2 C=1 C=4 C=9 Minimum: C=0

39 Παράδειγμα 2 Είναι ένα σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington39

40 Παράδειγμα 2 Επαρκείς συνθήκες για την βελτιστότητα : Το σταθερό σημείο είναι ένα σημείο σέλας © 2011 D. Kirschen and University of Washington40

41 Παράδειγμα 2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington41 x1x1 x2x2 C=1 C=4 C=9 C=1 C=4 C=9 C=-1 C=-4C=-9 C=0 C=-9C=-4 This stationary point is a saddle point

42 Βελτιστοποίηση με τους περιορισμούς

43 Βελτιστοποίηση με τους περιορισμούς ισότητας Υπάρχουν συνήθως περιορισμοί στις τιμές που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν © 2011 D. Kirschen and University of Washington 43 Αντικειμενική λειτουργία Περιορισμοί ισότητας

44 Αριθμός περιορισμών Ν μεταβλητές απόφασης Μ περιορισμοί ισότητας Αν M > N, το πρόβλημα είναι πολύ περιορισμένο – Δεν υπάρχει συνήθως λύση Αν M = N, το πρόβλημα καθορίζεται – Μπορεί να υπάρξει μια λύση Αν M < N, το πρόβλημα είναι λίγο περιορισμένο – Υπάρχει συνήθως χώρος για τη βελτιστοποίηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington 44

45 Παράδειγμα 1 x1x1 x2x2 Minimum © 2011 D. Kirschen and University of Washington45

46 Παράδειγμα 2 : Οικονομική Αποστολή L G1G1 G2G2 x1x1 x2x2 Total cost Πρόβλημα βελτοστοποίησης: © 2011 D. Kirschen and University of Washington46 Το κόστος της μονάδας λειτουργία 1 Το κόστος της μονάδας λειτουργία 2

47 Λύση από την αντικατάσταση © 2011 D. Kirschen and University of Washington47 χωρίς περιορισμούς ελαχιστοποίηση

48 Λύση από την αντικατάσταση Δύσκολο Συνήθως αδύνατον όταν οι περιορισμοί είναι μη γραμμικοί Παρέχει ελάχιστη ή καμία διορατικότητα στη λύση Λύση με τη χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington 48

49 Κλίση © 2011 D. Kirschen and University of Washington 49

50 Ιδιότητες της κλίσης Κάθε συστατικό του διανύσματος κλίσης δείχνει το ποσοστό αλλαγής της λειτουργίας σε εκείνη την κατεύθυνση Η κλίση δείχνει την κατεύθυνση κατά την οποία μία συνάρτηση αρκετών μεταβλητών αυξάνει ταχύτερα Το μέγεθος και η κατεύθυνση της κλίσης εξαρτώνται συνήθως από το σημείο εξεταζόμενο Σε κάθε σημείο, η κλίση είναι κάθετη στο περίγραμμα της λειτουργίας © 2011 D. Kirschen and University of Washington 50

51 Παράδειγμα 3 x y © 2011 D. Kirschen and University of Washington51 A B C D

52 Παράδειγμα 4 x y © 2011 D. Kirschen and University of Washington52

53 ΠολλαπλασιαστέςLagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington53

54 Πολλαπλασιαστές Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington54

55 Πολλαπλασιαστές Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington55

56 Πολλαπλασιαστές Lagrange Η λύση πρέπει να είναι στον περιορισμό © 2011 D. Kirschen and University of Washington56 A B Για να μειώσουμε την αξία του f, πρέπει να προχωρήσουμε σε μία κατεύθυνση αντίθετη προς την κλίση ?

57 Πολλαπλασιαστές Lagrange Σταματάμε όταν η κλίση της συνάρτησης είναι κάθετη προς τον περιορισμό διότι κινώντας τη περαιτέρω θα αυξήσει την τιμή της συνάρτησης © 2011 D. Kirschen and University of Washington57 A B C Στο βέλτιστο, η κλίση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς την κλίση του περιορισμού

58 Πολλαπλασιαστές Lagrange Στο βέλτιστο πρέπει να έχουμε: is called the Lagrange multiplier © 2011 D. Kirschen and University of Washington58 Η οποία μπορεί να εκφραστεί ως: Όσον αφορά τις συντεταγμένες: Ο περιορισμός πρέπει επίσης να ικανοποιήσει:

59 Lagrangian λειτουργία Για την απλοποίηση της γραφής των προϋποθέσεων για βελτιστοποίηση, είναι χρήσιμο να ορίσουμε την Lagrangian συνάρτηση: Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για βελτιστοποίηση δίνονται έπειτα από τα μερικά παράγωγα Lagrangian : © 2011 D. Kirschen and University of Washington59

60 Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington60

61 Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington61

62 Παράδειγμα x1x1 x2x2 Ελάχιστο 4 1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington62

63 Σημαντική σημείωση ! Εάν ο περιορισμός είναι της μορφής: Θα πρέπει να περιλαμβάνονται στην Lagrangian ως εξής: Και όχι ως εξής: © 2011 D. Kirschen and University of Washington63

64 Αίτηση στην οικονομική αποστολή L G1G1 G2G2 x1x1 x2x2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington64 Ίση λύση οριακού κόστους

65 x1x1 x2x2 Καμπύλες κόστους: x1x1 x2x2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington65 Καμπύλες οριακού κόστους:

66 Ερμηνεία αυτής της λύσης x1x1 x2x2 L + - - If < 0, μείωση λ If > 0, αύξηση λ © 2011 D. Kirschen and University of Washington66

67 Φυσική ερμηνεία x x Το οριακό κόστος είναι το κόστος ενός επιπλέον MW για μία ώρα. Το κόστος εξαρτάται από την παραγωγή της γεννήτρια. © 2011 D. Kirschen and University of Washington67

68 Φυσική ερμηνεία © 2011 D. Kirschen and University of Washington68

69 Φυσική ερμηνεία Πληρώνει για να αυξήσει την παραγωγή της μονάδας 2 και να μειώσει την παραγωγή της μονάδας 1 μέχρι να έχουμε : Ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ είναι έτσι το κόστος ενός επιπλέον MW στη βέλτιστη λύση. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα με πολλές εφαρμογές στα οικονομικά. © 2011 D. Kirschen and University of Washington69

70 Γενίκευση Lagrangian: Ένας Lagrange πολλαπλασιαστής για κάθε περιορισμό n + m μεταβλητές: x 1, …, x n and λ 1, …, λ m © 2011 D. Kirschen and University of Washington70

71 Συνθήκες βελτιστοποίησης n εξισώσεις m εξισώσεις n + m εξισώσεις μέσα σε n + m μεταβλητές © 2011 D. Kirschen and University of Washington71