Παρουσίαση Διδασκαλιών Μαριάννας Μαράντη και Βασιλικής Γεωργοπούλου ( Λεόντειο Λύκειο Πατησίων)

Παρουσίαση με θέμα: "Παρουσίαση Διδασκαλιών Μαριάννας Μαράντη και Βασιλικής Γεωργοπούλου ( Λεόντειο Λύκειο Πατησίων)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Παρουσίαση Διδασκαλιών Μαριάννας Μαράντη και Βασιλικής Γεωργοπούλου ( Λεόντειο Λύκειο Πατησίων)

2 1 η Διδασκαλία (Α Λυκείου, Νάκης )

3 Σχεδιασμός μαθήματος  Μαθηματικό Περιεχόμενο: Δειγματικός Χώρος- Ενδεχόμενα-Πιθανότητες, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου  Μαθηματικοί στόχοι - ενέργειες: Οι μαθηματικοί στόχοι των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας βασίζονται στους αντίστοιχους στόχους του Προγράμματος Σπουδών. Πιο συγκεκριμένα, οι δραστηριότητες έχουν ως στόχους οι μαθητές: α)να προσδιορίσουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα αυτού με διάφορους τρόπους, α)να προσδιορίσουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα αυτού με διάφορους τρόπους, β)να μεταφράσουν διάφορες σχέσεις ενδεχομένων που είναι διατυπωμένες σε φυσική γλώσσα στη γλώσσα των συνόλων και αντίστροφα( π.χ. διαγράμματα Venn) β)να μεταφράσουν διάφορες σχέσεις ενδεχομένων που είναι διατυπωμένες σε φυσική γλώσσα στη γλώσσα των συνόλων και αντίστροφα( π.χ. διαγράμματα Venn) γ)να επιλύσουν προβλήματα χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας γ)να επιλύσουν προβλήματα χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας δ)να χρησιμοποιήσουν τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων στην επίλυση προβλημάτων. δ)να χρησιμοποιήσουν τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων στην επίλυση προβλημάτων.

4 Περιγραφή-Ανάλυση των δραστηριοτήτων Το φύλλο εργασίας αποτελούταν από 6 δραστηριότητες με χαρακτήρα επαναληπτικό (οι μαθητές είχαν ήδη διδαχτεί τις έννοιες). Οι πρώτες δύο δραστηριότητες αφορούσαν στα ενδεχόμενα και το δειγματικό χώρο ενός πειράματος και οι υπόλοιπες αφορούσαν την έννοια της πιθανότητας. Πιο συγκεκριμένα:

5 1η Δραστηριότητα: Ένα κινητό ξεκινά από τη θέση Α και κινούμενο είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά φθάνει στη θέση Ι. α) Να γράψετε ποιες είναι όλες οι δυνατές διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσει το κινητό. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: «το κινητό διέρχεται από τη θέση Ε» Β: «το κινητό δεν περνά καθόλου από τις γωνιακές θέσεις Η και Γ» Τι σχέση έχουν τα Α και Β ; Στόχος: να ελέγξει το αν οι μαθητές μπορούν εύκολα να προσδιορίσουν τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου και πότε δύο τέτοια ενδεχόμενα είναι ίσα.

6 2η Δραστηριότητα: Να γράψετε με την βοήθεια των συνόλων Α, Β, Γ το ενδεχόμενο που είναι χρωματισμένο στο παρακάτω διάγραμμα Venn. Στη συνέχεια να βρείτε ένα δικό σας πείραμα που να έχει σαν ενδεχόμενα τα Α,Β,Γ και να το διατυπώσετε. Να περιγράψετε επίσης τι ακριβώς εκφράζει το παρακάτω χρωματισμένο ενδεχόμενο στο πείραμα σας. Στόχος: να ελέγξει αν οι μαθητές μπορούν να μεταφράσουν ένα διάγραμμα Venn στη γλώσσα των ενδεχομένων καθώς και την ικανότητα τους να συνδέουν το διάγραμμα με ένα πραγματικό, δικό τους πρόβλημα το οποίο να το διατυπώνουν και να το περιγράφουν πλήρως

7 3η Δραστηριότητα: Κάνουμε το εξής πείραμα: ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα και στη συνέχεια τραβάμε τυχαία ένα χαρτί από μία τράπουλα (με 52 φύλλα, χωρίς μπαλαντέρ). Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α) το νόμισμα να δείξει κορώνα και το τραπουλόχαρτο να είναι 9 σπαθί. Β) το νόμισμα να δείξει γράμματα και το τραπουλόχαρτο να είναι άσσος. Στόχος: να ελέγξει αν οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη διαίσθηση ώστε να προσδιορίσουν τις πιθανότητες ενδεχομένων σε πειράματα στα οποία δεν μπορούν να καταγράψουν το δειγματικό χώρο λόγω μεγάλου πλήθους στοιχείων.

8 4η Δραστηριότητα: Το Τμήμα Μουσικών Σπουδών της Φιλοσοφικής Σχολής του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών διεξήγαγε μία έρευνα για τη σχέση των μαθητών του λυκείου με τη μουσική και συγκεκριμένα με τα μουσικά όργανα. Στα πλαίσια αυτής της έρευνας, στάλθηκαν ερωτηματολόγια σε διάφορα λύκεια της Αθήνας και τώρα οι φοιτητές του τμήματος θέλουν να οργανώσουν τα αποτελέσματα. Το 2ο Λύκειο Ταύρου, που συμμετείχε στην έρευνα αυτή, έχει 200 μαθητές και 90 μαθήτριες. Διαπιστώθηκε ότι από τα αγόρια το 1/2 και από τα κορίτσια το 1/3 παίζουν κάποιο μουσικό όργανο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο από το σύνολο των μαθητών και των μαθητριών στο λύκειο αυτό. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α) Το άτομο να μην παίζει κάποιο μουσικό όργανο Β) Το άτομο να είναι κορίτσι και να παίζει κάποιο μουσικό όργανο Γ) Το άτομο να είναι αγόρι ή να μην παίζει κάποιο μουσικό όργανο Στόχος: να ελέγξει τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές διαχειρίζονται τα δεδομένα ενός «εν δυνάμει» πραγματικού προβλήματος που είναι διατυπωμένα σε φυσική γλώσσα ώστε να προσδιορίσουν τις πιθανότητες διάφορων ενδεχομένων.

9 5η Δραστηριότητα: Το σχολείο σας δημιουργεί ομάδες στο μπάσκετ και στο βόλεϊ. Λόγω μεγάλης συμμετοχής των μαθητών και περιορισμένου αριθμού θέσεων στις ομάδες, η επιλογή των μαθητών θα γίνει με κλήρωση.Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής στην ομάδα μπάσκετ του σχολείου είναι 30%, ενώ η πιθανότητα να μην επιλεγεί στην ομάδα βόλεϊ είναι 80%. Η πιθανότητα να επιλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 10%. Το σχολείο σας δημιουργεί ομάδες στο μπάσκετ και στο βόλεϊ. Λόγω μεγάλης συμμετοχής των μαθητών και περιορισμένου αριθμού θέσεων στις ομάδες, η επιλογή των μαθητών θα γίνει με κλήρωση.Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας μαθητής στην ομάδα μπάσκετ του σχολείου είναι 30%, ενώ η πιθανότητα να μην επιλεγεί στην ομάδα βόλεϊ είναι 80%. Η πιθανότητα να επιλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 10%. Να βρεθούν οι πιθανότητες: Να βρεθούν οι πιθανότητες: Α) Να επιλεγεί σε μία τουλάχιστον ομάδα. Β) Να μην επιλεγεί σε καμία ομάδα. Γ) Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα μπάσκετ. Δ) Να επιλεγεί μόνο στην ομάδα βόλεϊ. Ε) Να επιλεγεί μόνο σε μία από τις δύο ομάδες. ΣΤ) Να επιλεγεί σε μία το πολύ ομάδα. Στόχος: έλεγχος της εξοικείωσης των μαθητών να διαχειρίζονται δεδομένα που είναι σε μορφή πιθανοτήτων (ποσοστών συγκεκριμένα) ώστε να προσδιορίσουν τις πιθανότητες άλλων ενδεχομένων. Στόχος: έλεγχος της εξοικείωσης των μαθητών να διαχειρίζονται δεδομένα που είναι σε μορφή πιθανοτήτων (ποσοστών συγκεκριμένα) ώστε να προσδιορίσουν τις πιθανότητες άλλων ενδεχομένων.

10 6η Δραστηριότητα: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΜΟΡΤ (1708) Τρείς παίκτες A, B, Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Παίζουν συνολικά τρεις παρτίδες και σε καθεμία παρτίδα ο καθένας έχει πιθανότητα 1/3 να κερδίσει. Ο Α κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει μία παρτίδα, πριν ο καθένας από τους Β, Γ κερδίσει δύο παρτίδες. Ο Β κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει δύο παρτίδες, πριν ο Α κερδίσει μία και πριν ο Γ κερδίσει δύο. Ο Γ, αντίστοιχα, κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει δύο παρτίδες πριν ο Α κερδίσει μία και πριν ο Β κερδίσει δύο. Ποια η πιθανότητα να κερδίσουν το παιχνίδι οι Α, Β, Γ; Στόχος: οι μαθητές να συνδέσουν την έννοια των πιθανοτήτων με ένα πραγματικό παιχνίδι και να προσδιορίσουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος που ακολουθεί συγκεκριμένους περιορισμούς (πχ η νίκη του κάθε παίκτη στο παιχνίδι εξαρτάται και από τη σειρά των νικών των άλλων δύο στις παρτίδες).

11 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας (Απόσπασμα διαλόγου-συζήτηση πάνω στη 2 η δραστηριότητα) -Κ: Για δείτε λίγο κάτι όλοι εδώ στον πίνακα. Έχουμε αυτά τα 3 σύνολα.( έχω σχεδιάσει το σχήμα που δίνεται στο φύλλο εργασίας χωρίς να έχω χρωματίσει το ζητούμενο ενδεχόμενο). Αν μου κάποιος να ζωγραφίσω αυτό το σχήμα που έχετε μπροστά σας, που θα ξεκινήσω να ζωγραφίσω; -Μ1: Τα μικρά κυκλάκια που σχηματίζονται. Όλα. -Κ: Ωραία! Όλα. Από ποιο να ξεκινούσα; -Μ2(άλλος): Να τα δούμε σαν δύο δύο αρχικά. Να πάρουμε από το Α και το Β, αυτό που είναι σαν «ματάκι» -Κ: Πώς το λέμε αυτό; -Μ2: Τομή. -Κ: Πολύ ωραία. Μετά; -Μ3(άλλος): Θα πάρουμε το Α και το Γ τώρα. -Κ: Ωραία! Και τέλος τι μου έμεινε να ζωγραφίσω; -Μ4(άλλος): Την τομή του Β και του Γ.

12 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας (συνέχεια) -Κ: Οπότε ποια είναι όλα τα σύνολα τελικά που έχω πάρει; -Μ4: Οι τομές. -Κ: Ναι. Δηλαδή οι 3 τομές μαζί. Τι σημαίνει μαζί; -Μ5(άλλος): Η ένωσή τους. -Κ: Ωραία η ένωσή τους.Προσοχή όχι η τομή. -Μ6: Μα δεν είναι ακριβώς οι 3 τομές μαζί γιατί έχουμε πάρει τόσες φορές αυτό που είναι στη μέση. (εννοεί την τομή των Α,Β,Γ) Το έχουμε πετύχει και στην τομή Α,Β και στην τομή Α,Γ και στην τομή Β,Γ…. -Κ: Για να το ξεκαθαρίσουμε λίγο αυτό. Η ένωση τι εκφράζει; Για πάμε να δούμε ένα πιο απλό σχήμα. Έστω ότι έχω μόνο τα 2 σύνολα Α και Β. (σχεδιάζω δίπλα ένα άλλο σχήμα με 2 σύνολα μόνο αυτή τη φορά) Αν μου πει κάποιος να πάρω και τα δύο αυτά μαζί τι θα του πω; Πως το λέμε αυτό το σύνολο; (δείχνω στον πίνακα) -Μ6: Α ένωση Β

13 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας (συνέχεια) -Κ: Άρα είναι όλο το Α μαζί με όλο το Β. Την τομή πόσες φορές την έχω πάρει εδώ; -Μ6: 2 -Κ: 2 ωραία. Με πειράζει όμως εδώ; -Μ6: Τώρα που το συνειδητοποίησα… και εδώ με πειράζει. Αφού είναι Ρ(Α)+Ρ(Β) – Ρ(Α  Β)… (σκέφτεται τον προσθετικό νόμο) -Κ: Άρα πότε με πειράζει; Αυτά τα Ρ τι είναι; -Μ6: Πιθανότητες. -Κ: Ακριβώς! Δηλαδή τώρα όταν γράφω σύνολα δεν με πειράζει να τα πάρω 2 φορές. Πότε θα με πειράξει; Θα με πειράξει όταν πάω να πάρω την πιθανότητα να συμβεί και εγώ αυτό το έχω μετρήσει 2 φορές. Για αυτό λοιπόν όταν πάω να γράψω πιθανότητα μπροστά δεν θα πάρω «πιθανότητα του Α» και «πιθανότητα του Β».Θα πάρω «πιθανότητα του Α» και «πιθανότητα του Β» (δείχνω στο σχήμα) και θα αφαιρέσω το κομματάκι αυτό που το έχω πάρει… -Μ6: 2 φορές. Αααα…

14 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας -Κ: Εντάξει; Το καταλάβαμε όλοι; -Τάξη: Ναι! Λόγοι δυσκολίας των μαθητών στη 2 η δραστηριότητα:  Σύγχυση της έννοιας του ενδεχομένου και της έννοιας της πιθανότητας  Αντιμετώπιση της ζητούμενης ένωσης των τομών ως μία τομή  Χάσμα ανάμεσα στη μηχανική επίλυση των διάφορων ασκήσεων και στη βαθύτερη κατανόηση των εννοιών

15 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας Σχετικά συμπεράσματα από τον χώρο της διδακτικής:  Pratt (2000):Παρά την εμφάνιση της έννοιας της πιθανότητας σε καθημερινές καταστάσεις και την ευρεία χρήση της σχετικής ορολογίας, οι έρευνες καταγράφουν παρανοήσεις οι οποίες εξακολουθούν να υφίστανται ακόμα και μετά από σχετική διδασκαλία.  Pratt (2000):Παρά την εμφάνιση της έννοιας της πιθανότητας σε καθημερινές καταστάσεις και την ευρεία χρήση της σχετικής ορολογίας, οι έρευνες καταγράφουν παρανοήσεις οι οποίες εξακολουθούν να υφίστανται ακόμα και μετά από σχετική διδασκαλία.  Fischbein( 1997) : Τα παιδιά δεν είναι «άγραφοι πίνακες», αφού από νωρίς έχουν εξοικειωθεί με καταστάσεις όπως είναι: τα στοιχήματα, οι τυχαίες δειγματοληψίες, η λήψη αποφάσεων κάτω από αβέβαιες συνθήκες ή μη. Επομένως, ο εκπαιδευτικός δεν μπορεί να θεμελιώσει μια αποτελεσματική παιδαγωγική μέθοδο, αν δεν γνωρίζει τις αντιλήψεις των μαθητών τις οποίες θα προσπαθήσει να καταπολεμήσει ή να ενθαρρύνει.  Fischbein( 1997) : Τα παιδιά δεν είναι «άγραφοι πίνακες», αφού από νωρίς έχουν εξοικειωθεί με καταστάσεις όπως είναι: τα στοιχήματα, οι τυχαίες δειγματοληψίες, η λήψη αποφάσεων κάτω από αβέβαιες συνθήκες ή μη. Επομένως, ο εκπαιδευτικός δεν μπορεί να θεμελιώσει μια αποτελεσματική παιδαγωγική μέθοδο, αν δεν γνωρίζει τις αντιλήψεις των μαθητών τις οποίες θα προσπαθήσει να καταπολεμήσει ή να ενθαρρύνει.

16 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας Συγκεκριμένα παρατηρεί: «Οι αρχικές αντιλήψεις των μαθητών είναι συνήθως τόσο ανθεκτικές που μπορούν να συνυπάρξουν με νέες ανώτερες και επιστημονικά αποδεκτές. Αυτή η κατάσταση πολύ συχνά δημιουργεί ασυνέπειες στις αντιδράσεις των μαθητών ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Ένας μαθητής μπορεί να καταλάβει λογικά και διαισθητικά πως αν πετάξει ένα νόμισμα αρκετές φορές, κάθε αποτέλεσμα έχει την ίδια πιθανότητα. Εντούτοις μπορεί ακόμα να αισθανθεί διαισθητικά, ότι μετά από 3-4 φορές «Γ», υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα να πάρει «Κ» στην επόμενη ρίψη». Ως στόχο για την διδασκαλία των πιθανοτήτων ο Fischbein προτείνει τη δημιουργία δευτερογενών διαισθητικών αντιλήψεων. «Οι αρχικές αντιλήψεις των μαθητών είναι συνήθως τόσο ανθεκτικές που μπορούν να συνυπάρξουν με νέες ανώτερες και επιστημονικά αποδεκτές. Αυτή η κατάσταση πολύ συχνά δημιουργεί ασυνέπειες στις αντιδράσεις των μαθητών ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Ένας μαθητής μπορεί να καταλάβει λογικά και διαισθητικά πως αν πετάξει ένα νόμισμα αρκετές φορές, κάθε αποτέλεσμα έχει την ίδια πιθανότητα. Εντούτοις μπορεί ακόμα να αισθανθεί διαισθητικά, ότι μετά από 3-4 φορές «Γ», υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα να πάρει «Κ» στην επόμενη ρίψη». Ως στόχο για την διδασκαλία των πιθανοτήτων ο Fischbein προτείνει τη δημιουργία δευτερογενών διαισθητικών αντιλήψεων.

17 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας  Στο άρθρο «Οι εννοιολογικές δυσκολίες και οι εσφαλμένες αντιλήψεις στις Πιθανότητες και στη Στατιστική» των Χατζηπαντελή και Γκάσταρη (1995) οι συγγραφείς επισημαίνουν ότι «σημαντική μερίδα μαθητών δεν κατανοούν πολλές από τις έννοιες πιθανοτήτων και στατιστικής που διδάσκονται. Υπάρχει μια τάση να ανταποκρίνονται στα προβλήματα μαθηματικής φύσεως ανατρέχοντας στους υπολογισμούς τύπων ή στην ακολουθία διαδικασιών πριν ακόμη σχηματίσουν μια καθαρή εικόνα του προβλήματος που αντιμετωπίζουν. Είναι ικανοί να απομνημονεύσουν μαθηματικούς τύπους καθώς και την αλγοριθμική διαδικασία την οποία ακολουθούν σε προβλήματα παρόμοια με εκείνα τα οποία έχουν διδαχθεί, αλλά σπάνια ανταποκρίνονται με επιτυχία σε προβλήματα στα οποία υπεισέρχονται καινούριες καταστάσεις.»

18 Εφαρμογή και Αποτίμηση της διδασκαλίας  Γαγάτσης (1987): Η σχετική βιβλιογραφική αναδίφηση καταδεικνύει ότι η επεξεργασία της έννοιας της πιθανότητας είναι πολύ πιο λεπτή από ό,τι φαντάζονται αυτοί που έχουν ήδη αφοµοιώσει τις βασικές έννοιες. Η ανθρωπότητα συνάντησε µεγάλη δυσκολία στο να «δαµάσει» τα φαινόµενα της τύχης και να δώσει τέλος στα «προδικασµένα µαγικά», µε τα οποία σχετίζονται οι πιθανότητες. Η επιστήµη των πιθανοτήτων υπήρξε για πολύ καιρό τοµέας παράδοξων και λανθασµένων συµπερασµάτων.

19 Αναστοχασμός  Ιδιαίτερη και πρωτόγνωρη η εμπειρία της διδασκαλίας στην τάξη  Πρόκληση η μετάβαση από τη θεωρία στην πράξη  Ομαλή η δεξιαγωγή του μαθήματος με τη συμμετοχή σχεδόν όλων των μαθητών. (Ερώτημα που προκύπτει, ιδιαίτερα για το λύκειο: Με ποιο τρόπο θα ήταν δυνατή η συμμετοχή ολόκληρης της τάξης;)  Συζήτηση με όλες τις ομάδες σχετικά με τις απορίες και τις δυσκολίες που αντιμετώπιζαν κατά τη διάρκεια επεξεργασίας του φύλλου εργασίας  Συμπλήρωση και επιβεβαίωση στην τάξη των 2 πρώτων δραστηριοτήτων

20 Προτεινόμενες τροποποιήσεις  Μείωση του αριθμού των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας  Προσθήκη ενός βοηθητικού διαγράμματος Venn στη 2 η δραστηριότητα (με χρωματισμένη μία μόνο από τις 3 τομές των συνόλων για διευκόλυνση των μαθητών)  Οργάνωση των μαθητών (με τη βοήθεια του καθηγητή) σε ομάδες με περισσότερη ανομοιογένεια (ως προς την επίδοση)  Μείωση του χρόνου που διέθετα στους μαθητές για την επεξεργασία των δραστηριοτήτων πριν τη συζήτηση τους στην τάξη

21 2 η Διδασκαλία (Α΄ Λυκείου, Νάκης)

22 Μαθηματικό Πλαίσιο Δραστηριότητας : Οι δραστηριότητες του φύλλου εργασίας βρίσκονται σε άμεση σύνδεση με το έκτο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου της Α΄ Λυκείου. Οι ερωτήσεις περικλείουν μαθηματικές γνώσεις όπως: Οι δραστηριότητες του φύλλου εργασίας βρίσκονται σε άμεση σύνδεση με το έκτο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου της Α΄ Λυκείου. Οι ερωτήσεις περικλείουν μαθηματικές γνώσεις όπως: - Η έννοια της συνάρτησης - Το πεδίο ορισμού - Το σύνολο τιμών - Η έννοια της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής

23 Στόχοι Ασκήσεων Φύλλου Εργασίας:

24 Επανάληψη στις βασικές έννοιες της συνάρτησης.

25 Εξοικείωση μαθητών με την εύρεση τιμών μιας συνάρτησης και με την αναπαράστασή της μέσω συνόλων.

26 Εξαγωγή στοιχείων από την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης.

27 -Εξοικείωση μαθητών με την περιγραφική-λεκτική αναπαράσταση μίας συνάρτησης. -Η έννοια της ανεξάρτητης και εξαρτημένης μεταβλητής.

28 Η έννοια της δίκλαδης συνάρτησης.

29 Τυπικές ασκήσεις για την εύρεση του πεδίου ορισμού.

30 Διαχείριση-Οργάνωση της Τάξης: Οι μαθητές εργάστηκαν ατομικά. Μπροστά τους είχαν από ένα φύλλο εργασίας. Κάθε φορά που τελείωνε ένα ερώτημα, ένας από τους μαθητές προσφέρονταν να αναλύσει τον συλλογισμό του στα υπόλοιπα παιδιά της τάξης. Στην διάρκεια αυτής της διδακτικής ώρας οι μαθητές κατάφεραν να φτάσουν έως το δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας. Μοναδική εξαίρεση αποτέλεσε ένας μαθητής, ο οποίος και έλυσε όλο το φύλλο εργασίας. Οι μαθητές εργάστηκαν ατομικά. Μπροστά τους είχαν από ένα φύλλο εργασίας. Κάθε φορά που τελείωνε ένα ερώτημα, ένας από τους μαθητές προσφέρονταν να αναλύσει τον συλλογισμό του στα υπόλοιπα παιδιά της τάξης. Στην διάρκεια αυτής της διδακτικής ώρας οι μαθητές κατάφεραν να φτάσουν έως το δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας. Μοναδική εξαίρεση αποτέλεσε ένας μαθητής, ο οποίος και έλυσε όλο το φύλλο εργασίας.

31 Περιγραφή Πρώτου Κρίσιμου Συμβάντος: Το πρώτο κρίσιμο σημείο, που αποτέλεσε αφορμή προβληματισμού εντοπίζεται στις επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας. Οι μαθητές για τρία περίπου λεπτά αγνοούσαν κάθε παρότρυνση να ανοίξουν τα σχολικά τους εγχειρίδια για βοήθεια. Συγκεκριμένα μία ομάδα παιδιών αποφάσισε να μην ασχοληθεί με την δραστηριότητα, καθώς δεν έτρεφαν κανένα ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά. Το πρώτο κρίσιμο σημείο, που αποτέλεσε αφορμή προβληματισμού εντοπίζεται στις επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας. Οι μαθητές για τρία περίπου λεπτά αγνοούσαν κάθε παρότρυνση να ανοίξουν τα σχολικά τους εγχειρίδια για βοήθεια. Συγκεκριμένα μία ομάδα παιδιών αποφάσισε να μην ασχοληθεί με την δραστηριότητα, καθώς δεν έτρεφαν κανένα ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.

32 Ανάλυση Πρώτου Κρίσιμου Συμβάντος: Η γενική αντίδραση της τάξης και η έλλειψη ενδιαφέροντος από μεριά τους αναδεικνύει τον προβληματικό χαραχτήρα του Λυκείου και την κατακερματισμένη γνώση, χωρισμένη σε κατευθύνσεις. Η γενική αντίδραση της τάξης και η έλλειψη ενδιαφέροντος από μεριά τους αναδεικνύει τον προβληματικό χαραχτήρα του Λυκείου και την κατακερματισμένη γνώση, χωρισμένη σε κατευθύνσεις.

33 «Το ζήτημα του συστήματος πρόσβασης στην τριτοβάθμια εκπαίδευση και των επιπτώσεών του στο μορφωτικό ρόλο του λυκείου βρίσκεται, ανεπίλυτο, στην ημερήσια διάταξη της εκπαιδευτικής μας πολιτικής για δεκαετίες. Όσα συστήματα δοκιμάστηκαν, παρά τις αισιόδοξες προσδοκίες των εισηγητών τους, απέτυχαν να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα: κράτησαν το λύκειο δέσμιο των εισαγωγικών εξετάσεων, απαξιώνοντας την προσφερόμενη γενική παιδεία· άφησαν αλώβητη, όταν δεν ενίσχυσαν κιόλας, την παραπαιδεία· οδήγησαν τους υποψήφιους φοιτητές σε σπουδές και σε τμήματα μακριά από τα ενδιαφέροντά σους· υπονόμευσαν τη γνωστική υποδομή που απαιτούν από τους φοιτητές τους τα πανεπιστήμια. Η αποτυχία εντούτοις αυτή καθόλου δεν αποθάρρυνε μέχρι σήμερα τους εισηγητές εναλλακτικών λύσεων. Μερικές από αυτές μάλιστα επανέρχονται συστηματικά στο προσκήνιο. Ανάμεσά τους οι πιο γνωστές είναι οι προτάσεις για την καθιέρωση προπαρασκευαστικού έτους μετά το λύκειο και η ελεύθερη εισαγωγή των υποψηφίων στις σχολές επιλογής τους, οι οποίες και θα ήταν στη συνέχεια υπεύθυνες για την περαιτέρω πορεία τους στο πανεπιστήμιο. Και για τις δύο υποστηρίζεται ότι θα απελευθέρωναν το λύκειο από τις εξεταστικές του επιβαρύνσεις και θα απέδιδαν στο πανεπιστήμιο φοιτητές με γνήσιο ενδιαφέρον και την απαιτούμενη γνωστική υποδομή.» Δημήτρης Ματθαίου Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

34 Τρόποι Αντιμετώπισης Πρώτου Κρίσιμου Συμβάντος : Επιλογή από τον εκπαιδευτικό μαθητών, με χαμηλό ενδιαφέρον στα μαθηματικά, ως συνδιαχειριστές του στην τάξη. Επιλογή από τον εκπαιδευτικό μαθητών, με χαμηλό ενδιαφέρον στα μαθηματικά, ως συνδιαχειριστές του στην τάξη. - Καταγραφή ορθών απαντήσεων στον πίνακα από τους επιλεχθέντες μαθητές. - Επεξήγηση στρατηγικών αντιμετώπισης μαθηματικών προβλημάτων από τους επιλεχθέντες μαθητές προς τους υπόλοιπους.

35 Περιγραφή Δεύτερου Κρίσιμου Συμβάντος: Το δεύτερο κρίσιμο συμβάν εντοπίζεται στο δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας. Η γενική απορία των μαθητών ήταν πώς θα βρουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της, χωρίς να γνωρίζουν τον τύπο της συνάρτησης. Το δεύτερο κρίσιμο συμβάν εντοπίζεται στο δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας. Η γενική απορία των μαθητών ήταν πώς θα βρουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της, χωρίς να γνωρίζουν τον τύπο της συνάρτησης.

36 Ανάλυση Δεύτερου Κρίσιμου Συμβάντος: Παρατηρούμε : Παρατηρούμε : (i) Έλλειψη ευελιξίας στον χειρισμό διαφορετικών αναπαραστάσεων της ίδιας συνάρτησης (π.χ. πίνακας τιμών, αλγεβρικός τύπος, γραφική παράσταση, κ.λπ.) (ii) Δυσκολία των μαθητών να αντιληφθούν πώς ο αλγεβρικός τύπος και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι διαφορετικές εκφάνσεις του ίδιου αντικειμένου.

37 Προβληματισμοί και Προτάσεις γύρω από την διδασκαλία της Συνάρτησης: Piaget: Θεωρεί ότι οι αρχικές έννοιες της συνάρτησης προηγούνται της λειτουργικής περιόδου των 7 ετών. Στις έρευνές του αναζητά τα πρωταρχικά βιώματα που αντιστοιχούν σε σχηματισμούς του τύπου ένα-ένα ή πολλά- ένα. Π.χ. «Όσο δυνατότερα σπρώξω την μπάλα τόσο μακρύτερα θα πάει.» Piaget: Θεωρεί ότι οι αρχικές έννοιες της συνάρτησης προηγούνται της λειτουργικής περιόδου των 7 ετών. Στις έρευνές του αναζητά τα πρωταρχικά βιώματα που αντιστοιχούν σε σχηματισμούς του τύπου ένα-ένα ή πολλά- ένα. Π.χ. «Όσο δυνατότερα σπρώξω την μπάλα τόσο μακρύτερα θα πάει.»

38 F. Hitt : Διέκρινε 5 επίπεδα κατανόησης στην κατασκευή της έννοιας F. Hitt : Διέκρινε 5 επίπεδα κατανόησης στην κατασκευή της έννοιας της συνάρτησης, τα οποία μάλιστα προτείνει να ισχύουν και για άλλες έννοιες. Επίπεδο 1: Ανακριβείς ιδέες σχετικά με την έννοια (μη συνεκτική μίξη διαφορετικών αναπαραστάσεων της έννοιας). Επίπεδο 2: Αναγνώριση διαφορετικών αναπαραστάσεων της έννοιας. Αναγνώριση συστημάτων αναπαράστασης. Επίπεδο 3. Μετάφραση με διατήρηση του νοήματος από το ένα σύστημα στο άλλο. Επίπεδο 4. Συνεκτική διασύνδεση (articulation) μεταξύ δυο συστημάτων αναπαράστασης. Επίπεδο 5. Συνεκτική διασύνδεση μεταξύ διαφορετικών συστημάτων αναπαράστασης στην επίλυση προβλήματος.

39 Sierpinska: Πρότεινε παραπέρα διαβαθμίσεις κατανόησης, όπου στην συγκεκριμένη περίπτωση λειτουργούν τα 4 ενεργήματα που θα ήταν απαραίτητα να οδηγήσουν στην αφηρημένη ιδέα της συνάρτησης: -Αναγνώριση-Διάκριση-Γενίκευση-Σύνθεση

40 Προβλήματα που διέκρινε η Sierpinska στην έννοια της Συνάρτησης: Ο χωρισμός σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι της συνάρτησης. Ο χωρισμός σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι της συνάρτησης. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται με αναλυτικό τύπο. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται με αναλυτικό τύπο. Προβλήματα μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης. Προβλήματα μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης.

41 Τρόποι διδασκαλίας της Συνάρτησης (βασιζόμενοι στην Sierpinska): Περιγραφή διαφορετικών αναπαραστάσεων της συνάρτησης. Περιγραφή διαφορετικών αναπαραστάσεων της συνάρτησης. Παρουσίαση διαφορετικών περιπτώσεων συνάρτησης. Παρουσίαση διαφορετικών περιπτώσεων συνάρτησης. Συνολοθεωρητικός ορισμός και εξειδίκευση αυτού στις γνωστές αναπαραστασιακές μορφές της συνάρτησης. Συνολοθεωρητικός ορισμός και εξειδίκευση αυτού στις γνωστές αναπαραστασιακές μορφές της συνάρτησης.

42 Τρόποι Αντιμετώπισης Δεύτερου Κρίσιμου Συμβάντος : Το δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας θα μπορούσε να έχει δοθεί στους μαθητές κατά αυτόν τον τρόπο: Το δεύτερο πρόβλημα του φύλλου εργασίας θα μπορούσε να έχει δοθεί στους μαθητές κατά αυτόν τον τρόπο: Ποιός από τους δύο άξονες θεωρείται ότι συμβολίζει το πεδίο ορισμού και ποιός το σύνολο τιμών της εικονιζόμενης συνάρτησης;

43 Βιβλιογραφία  «Δημιουργώντας στοχαστικές εμπειρίες με τη βοήθεια μικρόκοσμων της GeoGebra», Μακρής Σταμάτης, Τσικοπούλου Στάμη (http://dide- anatol.att.sch.gr/tte/GeoGebra.pdf) http://dide- anatol.att.sch.gr/tte/GeoGebra.pdfhttp://dide- anatol.att.sch.gr/tte/GeoGebra.pdf  Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας: «Η Διαδρομή Του Παιδιού Στα Μαθηματικά Από Την Προσχολική Ηλικία Μέχρι Την Ενηλικίωση», (http://www.hms.gr/apothema/?s=scf&i=20, http://www.hms.gr/apothema/?s=se&i=801) http://www.hms.gr/apothema/?s=scf&i=20 http://www.hms.gr/apothema/?s=se&i=801http://www.hms.gr/apothema/?s=scf&i=20 http://www.hms.gr/apothema/?s=se&i=801  «ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ» Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης,Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου (http://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.20.% 20K.%20Konstantinou%20et%20al..pdf) http://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.20.% 20K.%20Konstantinou%20et%20al..pdfhttp://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.20.% 20K.%20Konstantinou%20et%20al..pdf

44 Βιβλιογραφία  Η ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΛΙΚΙΑΣ 11-12 ΕΤΩΝ», Μαρία Αναστασίου, Ζωή Καουρή, Αθανάσιος Γαγάτσης,Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου  (http://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.19.% 20M.%20Anastasiou%20et%20al..pdf) http://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.19.% 20M.%20Anastasiou%20et%20al..pdfhttp://www.pek.org.cy/Proceedings_2006/1.%20kefalaio %201%20Themata%20mathimatikis%20Paideias/1.19.% 20M.%20Anastasiou%20et%20al..pdf  Ψηφιακό σχολείο, (http://dschool.edu.gr/ ) http://dschool.edu.gr/  Ηλεκτρονική τάξη, Έγγραφα μαθήματος: « Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης», (http://eclass.uoa.gr/modules/document/document.php?c ourse=MATH239 ) http://eclass.uoa.gr/modules/document/document.php?c ourse=MATH239http://eclass.uoa.gr/modules/document/document.php?c ourse=MATH239

45 Βιβλιογραφία:

46 ΤΕΛΟΣ