How Many Numbers are there in a Rational Numbers Interval? Constraints, Synthetic Models and the Effect of the Number Line Xenia Vamvakoussi & Stella Vosniadou.

Παρουσίαση με θέμα: "How Many Numbers are there in a Rational Numbers Interval? Constraints, Synthetic Models and the Effect of the Number Line Xenia Vamvakoussi & Stella Vosniadou."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 How Many Numbers are there in a Rational Numbers Interval? Constraints, Synthetic Models and the Effect of the Number Line Xenia Vamvakoussi & Stella Vosniadou 17/12/2008 ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

2 Είναι οι ρητοί απλή επέκταση των φυσικών αριθμών; Φυσικοί αριθμοί → Ακέραιοι αριθμοί → Ρητοί αριθμοί → Πραγματικοί αριθμοί → Μιγαδικοί αριθμοί Η στροφή από τους φυσικούς σε άλλο ευρύτερο σύνολο αριθμών περιλαμβάνει αλλαγές στην υπόσταση και σημασία του όρου «αριθμός» που δεν εξηγείται με απλή επέκταση της έννοιας Από διαφορετική προοπτική έχουμε οντολογική στροφή όπου μια διαδικασία γίνεται μέρος της κατηγορίας των αντικειμένων (π.χ. 3-5) (Sfard 1991) Τα δύο σύνολα αριθμών έχουν διαφορετική δομή (διακριτότητα, πυκνότητα) Οι μαθητές δε χρειάζεται να ανακεφαλαιώσουν την ιστορική ανάπτυξη των μαθηματικών, ωστόσο έχουν το δύσκολο έργο να αποδώσουν νόημα σε νέα μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται «αριθμοί» και κυρίως στο συμβολισμό τους Για να γίνει αυτή η στροφή απαιτείται εννοιολογική αλλαγή, δηλαδή αλλαγή στη δομή της έννοιας αριθμός των θεμελιωδών προϋποθέσεων εντός των οποίων είναι εμφυτευμένη καθώς και αλλαγής του πλαισίου χρήσης.

3 Αρχικά επεξηγηματικά πλαίσια για Αριθμό Τα παιδιά πριν την εκπαίδευση σχηματίζουν μια στοιχειοθετημένη (principled) κατανόηση του αριθμού που στηρίζεται στη πράξη της αρίθμησης (Gelman 2000 ; Gelman & Gallistel 1978). Αυτή βοηθά τα παιδιά τα πρώτα χρόνια της εκπαίδευσης τους να συλλογίζονται για τους φυσικούς αριθμούς και τις ιδιότητες τους (αρχή του επομένου, απειρία(Hartnett & Gelman, 1998),πρόσθεση αφαίρεση από αρίθμηση (Resnick (1989)) πολ/σμός ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση (e.g., Fischbein, Deri, Nello, & Marino,, 1985) διάταξη με βάση τη θέση τους στη λίστα αρίθμησης Σύμφωνα με τη προσέγγιση της εννοιολογικής αλλαγής (Vosniadou & Verschaffel, 2004) αυτό το πολύπλοκο δίκτυο σχέσεων και πράξεων αποτελεί το αρχικό επεξηγηματικό πλαίσιο του αριθμού και προβλέπεται ότι όταν θα συναντήσουν αριθμούς με διαφορετικές ιδιότητες θα τα εμποδίσει στη παραπέρα μάθηση

4 Κατανοώντας τη δομή του συνόλου των φυσικών αριθμών: Μία προσέγγιση εννοιολογικής δομής Πρέπει να γίνει κατανοητό από τους μαθητές ότι α) η διακριτότητα δε διατηρείται στους ρητούς και β) ότι οι ρητοί αναπαρίστανται είτε ως κλάσματα είτε ως δεκαδικοί Η διακριτότητα είναι θεμελιώδης προϋπόθεση του αρχικού επεξηγηματικού πλαισίου του αριθμού εντός του οποίου η «διαταξημότητα» δε διαφοροποιείται από την «επομενότητα» (Greer, 2004). Η «διακριτότητα» αποτελεί εμπόδιο στη κατανόηση της πυκνής δομής των ρητών και πραγματικών αριθμών από μαθητές όλων των επιπέδων (Malara, 2001; Merenluoto & Lehtinen, 2002, 2004; Neumann, 1998) και μελλοντικούς καθηγητές (Tirosh, Fischbein, Graeber, & Wilson, 1999). Οι μαθητές, στη περίπτωση των ρητών αριθμών, ερμηνεύουν τις διαφορετικές συμβολικές αναπαραστάσεις (κλάσματα, δεκαδικούς) ως διαφορετικές οντότητες (Khoury and Zazkis (1994)) (Vamvakoussi & Vosniadou, 2004) Οι μαθητές πιστεύουν ότι τα κλάσματα και οι δεκαδικοί είναι διαφορετικά άσχετα σύνολα αριθμών πράγμα συμβατό με αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών που δείχνουν ότι οι αρχάριοι κατηγοριοποιούν τα πράγματα σύμφωνα με επιφανειακά χαρακτηριστικά (Chi, Feltovich, & Glaser, 1981). Αυτό εμποδίζει τους μαθητές να κατανοήσουν τη πυκνή δομή των ρητών

5 Η κατανόηση λοιπόν της δομής των ρητών αριθμών απαιτεί από τους μαθητές να μετακινηθούν σε ένα ευρύτερο επεξηγηματικό πλαίσιο για τον αριθμό κατανοώντας ότι κάποιες προϋποθέσεις όπως αυτή της διακριτότητας δεν ισχύουν πιά! Πρέπει ακόμα να κατανοήσουν ότι ο διαφορετικός συμβολισμός για τα κλάσματα και τους δεκαδικούς καθώς και οι διαφορετικοί τρόποι (τεχνικές) για να τους διατάσσουμε, να κάνουμε πράξεις, καθώς και τα διαφορετικά πλαίσια χρήσης δε σημαίνουν ότι πρόκειται για διαφορετικά σύνολα αριθμών Η κατανόηση αυτών είναι μια δύσκολη βαθμιαία και χρονοβόρα διαδικασία και προβλέπεται ότι οι μαθητές σχηματίζουν συνθετικά μοντέλα στη προσπάθειά τους να αφομοιώσουν νέα πληροφορία ασύμβατη με την υπάρχουσα γνώση Η κύρια εξωτερική αναπαράσταση των αριθμών είναι η ευθεία των αριθμών που θεωρείται καλή στη μεταβίβαση της έννοιας της πυκνότητας των αριθμών (μιας και η ίδια είναι συνεχής). Κάποιοι μαθηματικοί εκπαιδευτές (Clements & McMillen, 1996 ) δε θεωρούν ότι η σημασία μιας ιδέας μεταφέρεται καλύτερα από μια συγκεκριμένη αναπαράσταση και οι (Vosniadou, Skopeliti, & Ikospentaki, 2005) λένε ότι η επίδραση της εξωτερικής αναπαράστασης θα πρέπει να ερμηνεύεται με βάση τη πρότερη γνώση των σπουδαστών

6 Η παρούσα μελέτη Ερευνήθηκε η κατανόηση της πυκνής δομής των ρητών αριθμών καθώς και η επίδραση της ευθείας αριθμών στη συλλογιστική τους, 164 μαθητών της Γ΄ Γυμνασίου και 137 της Β΄ Λυκείου από 5 σχολεία της Αθήνας (τα μισά κορίτσια) Οι ερευνητές ανέμεναν ότι: 1.Οι μαθητές της Β΄ Λυκείου θα είχαν καλύτερα αποτελέσματα από αυτούς της Γ΄ Γυμνασίου καθώς και ότι η απάντηση ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος αριθμών σε διάστημα ρητών αριθμών θα εμφανιζόταν συχνότερα και στις δύο ομάδες 2.Η παρουσία της ευθείας θα βοηθούσε αλλά θα είχε περιορισμένη επίδραση στην επίδοση των μαθητών 3.Οι μαθητές θα είχαν καλύτερη επίδοση στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής από ότι στις ανοικτού τύπου 4.Η κατανόηση της πυκνής δομής θα ήταν βαθμιαία και θα υπήρχαν ενδιάμεσα επίπεδα κατανόησης όπου οι μαθητές σχηματίζουν συνθετικά μοντέλα της δομής των διαστημάτων ρητών αριθμών, τα οποία (μοντέλα) αντανακλούν την προϋπόθεση της διακριτότητας και τη πεποίθηση ότι διαφορετικές συμβολικές αναπαραστάσεις αντιπροσωπεύουν διαφορετικούς αριθμούς

7 Σχεδιάστηκαν δύο ερωτηματολόγια : ένα ανοικτού τύπου (QT1) και ένα πολλαπλής επιλογής (QT2) καθένα με δύο μέρη των τριών ερωτήσεων (το ένα με χρήση της ευθείας ενώ το άλλο χωρίς). Οι ερωτήσεις είχαν κοινή γενική μορφή (GF) που εστίαζε στον αριθμό αριθμών σε δοθέν διάστημα ρητών αριθμών Σε κάθε τάξη οι μισοί μαθητές έλαβαν το (QT1) και οι άλλοι μισοί το (QT2). Μισοί από αυτούς πήραν πρώτα τα ερωτήματα με την ευθεία γραμμή (NL1) και οι υπόλοιποι χωρίς αυτή (NL2). Σε κάθε περίπτωση το πρώτο μέρος του ερωτηματολογίου αποσύρθηκε πριν δοθεί το 2 ο.

8 Table 18.1: The open-ended questionnaire (QT1). Items without the number line GF Are there any numbers that are greater than a and, at the same time, less than b? If yes, define how many/which these numbers are If no, explain why Q1 a 0.005, b 0.006 Q2 a 3/8, b 5/8 Q3 a 0.001, b 0.001 Items with the number line (Number line present and number a already placed on the number line) GF Place b on the number line Are there any numbers that are greater than a and, at the same time, less than b? If yes, define how many/which these numbers are If no, explain why Q4 a 0.01, b 0.02 Q5 a 1/3, b 2/3 Q6 a 0.01, b 0.1

9 Table 18.2: The forced choice questionnaire (QT2). Items without the number line GF How many numbers are there, that are greater than a and, at the same time, less than b? i. There is no such number ii. There are the following numbers: iii. There are infinitely many decimals/ fractions iv. There are infinitely many numbers: simple decimals, decimals with infinitely many decimal digits, fractions, square roots v. None of the above. I believe that … Q1 a 0.005, b 0.006 ii. 0.0051, 0.0052, 0.0053, 0.0054, 0.0055, 0.0056, 0.0057, 0.0058, 0.0059 Q2 a 3/8, b 5/8 i*. There is only one number, namely 4/8 ii*. There are infinitely many fractions, all equivalent to 4/8, e.g., 8/16 Q3 a 0.001, b 0.01 ii. a. 0.002, 0.003, 0.004, 0.005, 0.006, 0.007, 0.008, 0.009 ii. b. 0.0011, 0.0012, 0.0013,…, 0.0097, 0.0098, 0.0099

10 Items with the number line (Number line present and number a already placed on the number line) GF Place b on the number line. How many numbers are there, that are greater than a and, at the same time,less than b? i. There is no such number ii. There are the following numbers: iii. There are infinitely many decimals (or fractions) iv. There are infinitely many numbers: simple decimals, decimals with infinitely many decimal digits, fractions, square roots v. None of the above. I believe that … Q4 a 0.01, b 0.02 ii. 0.11, 0.12, 0.13, 0.14, 0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19 Q5 a 1/3, b 2/3 ii.,,,,,,,, Q6 a 0.01, b 0.1 ii. a. 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09 ii. b. 0.011, 0.012, 0.013,..., 0.020, 0.021,..., 0.099

11 Οι απαντήσεις χαρακτηρίστηκαν ως «πεπερασμένο», «ακαθόριστο» και «άπειρο». Η απάντηση «ακαθόριστο» εμφανίστηκε μόνο στις ερωτήσεις ανοικτού τύπου όπου οι μαθητές απαντούσαν «ναι» για να δηλώσουν ότι υπάρχουν αριθμοί σε δοθέν διάστημα αλλά χωρίς να αναφέρουν αριθμό. Τα ποσοστά κάθε τύπου απάντησης φαίνονται στον πίνακα 3 Table 18.3: Percentage of answer types, in the total of the answers given in all six questions,as a function of the type of questionnaire and of grade. Open-Ended (QT1) Forced-Choice (QT2) 9th grade, 11th grade 9th grade 11th grade (GR1) N=498 (GR2), N=396 (GR1) N=486 (GR2) N=426 (83 × 6) (66 × 6) (81 × 6) (71 × 6) Finite 65% 41.7% 52% 34.5% Infinite 11.9% 26% 42.7% 61.3% Undefined 20.4% 28.2% – – No answer 2.8% 4% 5.3% 4.2%

12 Η προϋπόθεση της διακριτότητας Από το πίνακα 3 φαίνεται ότι η απάντηση «πεπερασμένο» είναι κυρίαρχη και για τους δυο τύπους ερωτηματολογίου στους μαθητές της τρίτης Γυμνασίου. Το ίδιο ισχύει για αυτούς της Β΄ Λυκείου αλλά στο QT1 ενώ στο QT2 περίπου το ένα τρίτο έδωσε αυτή την απάντηση με κυρίαρχη την «άπειρο». Διαφορές κατά ηλικία Οι απαντήσεις «πεπερασμένο», «ακαθόριστο» και «άπειρο» στο QT1 βαθμολογήθηκαν με 1, 2, 3 αντίστοιχα και οι βαθμολογίες αθροίστηκαν. Στο QT2 με 1 και 2 βαθμολογήθηκαν οι απαντήσεις «πεπερασμένο» και «άπειρο» και οι βαθμολογίες αθροίστηκαν. Έτσι υπολογίστηκε η συνολική επίδοση του κάθε μαθητή στα ερωτηματολόγια. (Αν κάποιος δεν απάντησε ή έδωσε άσχετη απάντηση σε κάποια ερώτηση, βαθμολογήθηκε με 0). Συγκρίνοντας την επίδοση των μαθητών της Γ΄ Γυμνασίου με αυτή των μαθητών της Β΄ Λυκείου στο QT1 βρέθηκε ότι η συνολική επίδοση των δεύτερων ήταν σημαντικά καλύτερη από αυτή των πρώτων (Mann-Whitney test z=-2,862 p<.05). Παρόμοια αποτελέσματα βρέθηκαν στο QT2 (Mann-Whitney test z=-2,537 p<.05).

13 Επίδραση της ευθείας αριθμών Με εφαρμογή τεσσάρων Mann-Whitney tests (Gri×QTj i=1, 2 j=1, 2) φάνηκε ότι δεν υπήρξε σημαντική διαφορά στην επίδοση των μαθητών που να οφείλεται στη σειρά με την οποία έλαβαν τα ερωτήματα των ερωτηματολογίων (NL1 vs NL2). Για να φανεί τυχόν επίδραση της παρουσίας της ευθείας γραμμής στην επίδοση έγιναν τέσσερα Wilcoxon tests (Gri×QTj i=1, 2 j=1, 2) και δε βρέθηκε σημαντική επίδραση στην επίδοση των μαθητών της Β΄ Λυκείου στα QT1, QT2 ενώ βρέθηκε σε αυτή των μαθητών της Γ΄Γυμνασίου (βελτιωμένη) και στα δύο (z=-2,467 p<.05 & z=-3,395 p<.05) Στη συνέχεια για παραπέρα έλεγχο της επίδρασης της ευθείας στην επίδοση οι μαθητές χωρίστηκαν σε τρείς κατηγορίες : αυτούς που σκόραραν καλύτερα στα ερωτήματα με την ευθεία γραμμή, σε αυτούς που σκόραραν χειρότερα και σε αυτούς που σκόραραν το ίδιο. Στο πίνακα 4 φαίνονται τα αποτελέσματα από όπου συμπεραίνεται ότι η παρουσία της ευθείας αριθμών είχε περιορισμένη επίδραση στην επίδοση των μαθητών

14 Table 18.4: Number and percentage of students in categories formed with respect to their performance with and without the number line, as a function of grade and type of questionnaire. Open-Ended (QT1) Forced-Choice (QT2) Performance 9th grade 11th grade 9th grade 11th grade (GR1), (GR2) (GR1), (GR2), N = 83 N = 66 N = 81 N = 71 Better with the 21 16 31 16 number line (25.3%) (24.2%) (38.3%) (22.5%) Worse with the 6 20 8 10 number line (7.2%) (30.3%) (9.9%) (14.1%) No effect 56 30 42 45 (67.5%) (45.5%) (51.8%) (63.4%)

15 Επίδραση του τύπου ερωτηματολογίου Κατηγοριοποιήθηκαν οι μαθητές σε τρείς ομάδες σύμφωνα με τις απαντήσεις τους στις 6 ερωτήσεις. Συγκεκριμένα στη πρώτη τοποθετήθηκαν μαθητές που απάντησαν παντού «πεπερασμένο», στη τρίτη αυτοί που απάντησαν «άπειρα» και στη δεύτερη όλοι οι υπόλοιποι. Αυτές οι ομάδες θα αναφέρονται ως «Περατότητα», «Μικτή» και «Απειρία». Με chi-square test (df(2), p=.001) φάνηκε ότι η επίδραση του ερωτηματολογίου ήταν στατιστικά σημαντική. Συγκεκριμένα οι μαθητές που απάντησαν στο QT1 βρέθηκαν πιο συχνά στην ομάδα «Περατότητα» και λιγότερο στις δύο άλλες σε αντίθεση με αυτούς που απάντησαν στο QT2.

16 Ενδιάμεσα επίπεδα κατανόησης Για να εξεταστούν ενδιάμεσα επίπεδα της κατανόησης της δομής των ρητών έγινε εκλέπτυνση της κατηγοριοποίησης και εντοπίστηκαν δύο υποκατηγορίες της «Περατότητας»: Διακριτότητα και Εκλεπτυσμένη Διακριτότητα. Η κατηγορία «Απειρία» (στις πολλαπλής επιλογής) χωρίστηκε στις υποκατηγορίες Περιορισμένη πυκνότητα και Πυκνότητα. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο πίνακα 5 Table 18.5: Percentage of students placed in the five categories, as a function of type of questionnaire and of grade. Category Open-Ended Questionnaire Forced-Choice Questionnaire 9th grade 11th grade 9th grade 11th grade (N=83) (N=66) (N=81) (N=71) Discreteness 30% 12.1% 4.9% 4.2% Refined 16.9% 7.6% 30.9% 16.9% discreteness Mixed 43.4% 66.7% 40.7% 42.3% Constrained 9.6% 13.6% 12.3% 15.5% density Density 11.1% 21.1%

17 Στο πίνακα 5 φαίνεται ότι υπάρχουν 3 ενδιάμεσα επίπεδα μεταξύ του αφελούς επιπέδου διακριτότητας και του εκλεπτυσμένου της πυκνότητας Οι μαθητές στην Εκλεπτυσμένη Διακριτότητα περιορίζονταν από την προϋπόθεση της διακριτότητας Αυτοί στην Περιορισμένη πυκνότητα είχαν υπερβεί το φράγμα της διακριτότητας και περιορίζονταν από τη πεποίθησή τους ότι διαφορετικές αναπαραστάσεις αντιπροσωπεύουν διαφορετικούς αριθμούς Μαθητές στη μικτή κατηγορία απάντησαν ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί σε κάποια αλλά όχι σε όλες τις ερωτήσεις και περιορίζονται ακόμη από τη διακριτότητα και τη συμβολική αναπαράσταση των αριθμών

18 Συζήτηση Τα ευρήματα της έρευνας συμφωνούν με αυτά προηγούμενων ερευνών ότι η ιδέα της διακριτότητας είναι φράγμα στη κατανόηση της πυκνής δομής του συνόλου των ρητών αριθμών (Malara, 2001;Merenluoto & Lehtinen, 2002, 2004; Neumann, 1998; Tirosh et al., 1999). Ακόμη συμφωνούν με ευρήματα άλλων ερευνών που δείχνουν ότι η κατανόηση του αναλλοίωτου των ρητών αριθμών κάτω από διαφορετικές συμβολικές αναπαραστάσεις αποτελεί μέγιστη εννοιολογική δυσκολία για τους μαθητές (Khoury &Zazkis, 1994). Η κατανόηση της πυκνότητας είναι βαθμιαία και αργή και επιτελείται μέσα από τη γένεση συνθετικών μοντέλων στα οποία ανακλάται ο εμπλουτισμός του αρχικού επεξηγηματικού πλαισίου των αριθμών με πληροφορία για κλάσματα και δεκαδικούς όπου όμως αυτά τα νέα είδη αριθμών θεωρούνται ως διαφορετικά είδη αριθμών. Στο πίνακα 6 γίνεται μια λεπτομερής περιγραφή των μοντέλων

19 Table 18.6: Students’ accounts of the structure of rational numbers intervals: some examples. Category Description Example Discreteness Intervals that preserve the discrete (0.005–0.006) structure of natural numbers The initial numbers are considered successive (1/3-2/3) Refined discreteness Intervals that (0.0051, 0.0052, preserve the discrete 0.0053,…,0.0059, structure of natural number 0.006) The initial numbers (3.0/8, 3.1/8,…, are not considered successive 4.0/8,…, 5/8) Within the mixed Different structure, category according to the (Decimal, infinitely symbolic many decimals, representation of the decimal) and first and last numbers (fraction, finite number of fractions, fraction). Or vice versa Intervals that contain (3/8, 4/8, 4.0/8, “infinitely many” 8/16,…, 5/8) equivalent numbers Constrained density Intervals that contain (Decimal, infinitely infinitely many many decimals, numbers of the same decimal) or symbolic representation (fractions, infinitely many fractions,fractions) Density Any interval contain infinitely many numbers, regardless of their symbolic representations

20 Μαθητές που συμπλήρωσαν τα ερωτηματολόγια πολλαπλής επιλογής βρέθηκαν πιο συχνά στη κατηγορία της εκλεπτυσμένης διακριτότητας από ότι σε αυτή της διακριτότητας. Γενικά οι μαθητές έδωσαν πιο εκλεπτυσμένες απαντήσεις στο QT2 από ότι στο QT1 γεγονός που βρίσκεται σε συμφωνία με ευρήματα της έρευνας στην εννοιολογική αλλαγή η οποία δείχνει ότι οι μαθητές έχουν καλύτερα αποτελέσματα στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (Vosniadou, Skopeliti, &Ikospentaki,, 2004). Κάποιοι μαθητές στη μικτή κατηγορία απάντησαν διαφορετικά σύμφωνα με τη συμβολική αναπαράσταση του πρώτου και τελευταίου αριθμού του διαστήματος π.χ. διακριτή δομή μεταξύ κλασμάτων και πυκνή μεταξύ δεκαδικών, πράγμα που ανακλά το γεγονός ότι περιορίζονται από τη πεποίθησή τους ότι διαφορετική συμβολική αναπαράσταση αναφέρεται σε αριθμούς με διαφορετικές ιδιότητες. Η πεποίθηση ότι διαφορετική συμβολική αναπαράσταση ενός αριθμού αναφέρεται σε διαφορετικό αριθμό φαίνεται σε προηγούμενη έρευνα (Vamvakoussi & Vosniadou, 2004) όπου μαθητές που ρωτήθηκαν πόσοι αριθμοί βρίσκονται μεταξύ του 3/8 και του 5/8 απάντησαν «άπειροι αριθμοί» όλοι όμως ίσοι με 4/8 (1/2, 6/12 κ.λ.π.) καθώς και κάποιοι που απάντησαν ότι δεν υπάρχουν αριθμοί μεταξύ αυτών γιατί απλοποιώντας το 4/8 σε 1/2 υπέθεσαν ότι το τελευταίο δε βρίσκεται μεταξύ των 3/8 και 5/8

21 Τα ευρήματα σε σχέση με την αριθμητική ευθεία υποστηρίζουν την άποψη (Clements & McMillen, 1996) ότι μια μαθηματική ιδέα δε μεταφέρεται αναγκαστικά από την απλή παρουσίαση μιας αναπαράστασης. Παρά το ότι η ευθεία είναι συνεχής δε διευκόλυνε τους συλλογισμούς των μαθητών για την απειρία αριθμών σε ένα διάστημα αριθμών. Ακόμη και στη περίπτωση των μαθητών της Γ΄ Γυμνασίου που παρουσίασαν στατιστικά σημαντική βελτίωση με τη παρουσία της ευθείας δε παρουσιάστηκαν συνεπείς απαντήσεις ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί όταν η ευθεία ήταν παρούσα και μάλιστα μερικοί δεν άλλαξαν τις απαντήσεις τους από «πεπερασμένο» σε «άπειρο». Αξίζει να σημειωθεί ότι η παρουσία της ευθείας είχε σε κάποιες περιπτώσεις και αρνητική επίδραση ιδιαίτερα στους μαθητές της Β΄ Λυκείου

22 Τα ευρήματα αυτής της έρευνας υποστηρίζουν την υπόθεση ότι η κατανόηση της πυκνής δομής των ρητών αριθμών απαιτεί αριθμό αλλαγών στο επεξηγηματικό πλαίσιο των μαθητών για τον αριθμό. Έτσι οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι διαφορετικές συμβολικές αναπαραστάσεις δεν αναφέρονται σε διαφορετικούς αριθμούς απαραίτητα και το κυριότερο πρέπει να πάψουν να σκέφτονται για τους ρητούς με τους ίδιους όρους που σκέφτονται για τους φυσικούς και τις ιδιότητές τους. Αυτά δε μπορούν να επιτευχθούν με απλό εμπλουτισμό του αρχικού επεξηγηματικού πλαισίου των μαθητών για την έννοια του αριθμού και η άποψη των ερευνητών είναι παρόμοια με αυτή των Smith et al. (2005) ότι «οι εννοιολογικές αλλαγές περιλαμβάνουν διαφοροποιήσεις και συγχωνεύσεις έτσι ώστε η επέκταση μιας έννοιας και οι σχέσεις της με άλλες έννοιες είναι ποιοτικά διαφορετική μετά την αλλαγή παρά πριν από αυτή». Οι ερευνητές όμως διαφωνούν με την άποψη των Smith et al. (2005) ότι αυτές οι διαφοροποιήσεις και συγχωνεύσεις «δεσμεύουν το παιδί σε έννοιες που θα μπορούσε να είναι ασύμβατες σε κάθε μέρος της διαίρεσης» και πιστεύουν ότι τα παιδιά δε σκέφτονται μετά την αλλαγή τους αριθμούς με βάση τους ρητούς αλλά ότι κινούνται ευέλικτα μεταξύ φυσικών και ρητών ανάλογα με το πλαίσιο χρήσης.

23 Η εννοιολογική αλλαγή στην έννοια του αριθμού είναι χρονοβόρα και βαθμιαία διαδικασία και γίνεται ακόμη πιο δύσκολο αν ο σχεδιασμός των προγραμμάτων σπουδών γίνεται με βάση την προϋπόθεση ότι η μάθηση επιτυγχάνεται στη βάση προσθετικών μηχανισμών. Οι ερευνητές προτείνουν ότι η προσέγγιση της εννοιολογικής αλλαγής θα μπορούσε να αποτελέσει σημαντικό θεωρητικό εργαλείο στη προσπάθεια σύνθεσης ευρημάτων που δείχνουν πόσο πολύπλοκη είναι η διαδικασία κατανόησης των ρητών αριθμών από τους μαθητές. Ειδικότερα θα έπρεπε να επανεξεταστούν τα προγράμματα σπουδών από τη σκοπιά της εννοιολογικής αλλαγής και να επανεξεταστεί η σειρά παρουσίασης κάποιων μαθηματικών εννοιών Η Resnick (2006) εκτός του ότι αφήνει ανοικτό το ερώτημα ως προς το ποια είναι η σειρά που πρέπει να διδάσκονται οι μαθηματικές έννοιες ώστε να μεγιστοποιηθεί η θετική επίδραση προηγούμενης γνώσης και να ελαχιστοποιηθεί η παρεμβολή της στη νέα, θέτει το θέμα επεμβάσεων εννοιολογικής αλλαγής και στους καθηγητές.