Ερευνητική εργασία Θέμα: Ένα ταξίδι αριθμών. Από τον Διόφαντο και τον Αλ Χουαρίζμι, στους σύγχρονους αλγόριθμους των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και την τεχνητή.

Παρουσίαση με θέμα: "Ερευνητική εργασία Θέμα: Ένα ταξίδι αριθμών. Από τον Διόφαντο και τον Αλ Χουαρίζμι, στους σύγχρονους αλγόριθμους των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και την τεχνητή."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ερευνητική εργασία Θέμα: Ένα ταξίδι αριθμών. Από τον Διόφαντο και τον Αλ Χουαρίζμι, στους σύγχρονους αλγόριθμους των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και την τεχνητή νοημοσύνη Περιεχόμενα Η σύντομη ιστορία των Μαθηματικών Οι Έλληνες μαθηματικοί Πυθαγόρας Ευκλείδης Διόφαντος Ο Πέρσης μαθηματικός Αλ Χουαρίζμι Οι σύγχρονοι αλγόριθμοι των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τεχνητή νοημοσύνη Α τάξη Εσπερινού ΓΕΛ Ηρακλείου

2 Η σύντομη ιστορία των Μαθηματικών
Ο άνθρωπος χρειάστηκε χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρημένη έννοια των αριθμών. Ο Homo sapiens ( χρόνια πριν) κάνει μια μικρή αρίθμηση με κλαδιά. Ο Homo sapiens sapiens ( χρόνια πριν) χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές λέξεις. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες ( χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση. Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το π.Χ. Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το π.Χ. φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων.

3 Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι το αποκαλούμενο κόκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε στις όχθες της λίμνης Έντουαρντς, ανάμεσα στην Ουγκάντα και το Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί το π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων. Μικροσκοπική ανάλυση αποκάλυψε πρόσθετες εγκοπές, οι οποίες μπορούν να συσχετισθούν με τις φάσεις της σελήνης. Μέσω της αστρονομίας, της αστρολογίας ή της κοσμολογίας, ο ουρανός άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών. Περί το 2850 π.Χ. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 60. Οι Κινέζοι κάνανε αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς και το π (3,14). Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. Απόσπασμα από Κινέζικο μαθηματικό κείμενο

4 Μεσοποταμία Στην περιοχή των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη (Μεσοποταμία), στο μακρινό παρελθόν άνθισαν κάποιοι από τους λαμπρότερους πολιτισμούς όλων των εποχών, οι Σουμέριοι, Ακκαδαίοι και τέλος οι Βαβυλώνιοι. Οι αρχαιολόγοι έχουν βρει εκατοντάδες χιλιάδες πινακίδες, της εποχής των, από άργιλο με σφηνοειδείς χαρακτήρες, οι οποίοι ήταν χαραγμένοι με αιχμηρό εργαλείο πάνω σε μαλακή άργιλο που κατόπιν ξεραινόταν στον ήλιο ή σε κλίβανο. Η πιο παλιά από τις χιλιάδες πλάκες από άργιλο βρίσκεται στο πανεπιστήμιο Κολούμπια, ανήκει στην περίοδο της δυναστείας του Χαμουραμπί (1800 – 1600 π.Χ.) και δείχνει ένα πίνακα με τέσσερις πλήρεις στήλες σφηνοειδών χαρακτήρων, που φαίνεται να είναι αριθμοί γραμμένοι στο βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης, με βάση το 60. Η λεπτομερειακή μελέτη αποκάλυψε κάτι πραγματικά εκπληκτικό: η πινακίδα είναι ένας κατάλογος Πυθαγόρειων τριάδων, που είναι συνδυασμοί θετικών ακεραίων αριθμών (α, β, γ), όπως α2 + β2 = γ2 . Παραδείγματα των τριάδων είναι (3,4,5), (5,12,13) και (8,15,17). Δεξιά βλέπουμε πινακίδα του 1800 π.Χ. που φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο του Γέιλ και σύμφωνα με τους ερευνητές ανταποκρίνεται σε μια προσέγγιση του με τα 6 πρώτα δεκαδικά της:

5 Έτσι η πινακίδα αυτή, χαρακτηρίστηκε ως «το πιο αρχαίο διασωζόμενο τεκμήριο περί της θεωρίας των αριθμών». Το εύρημα ήταν εντυπωσιακό, έτσι οδηγούμαστε στη διαπίστωση ότι οι Βαβυλώνιοι θα έπρεπε να γνώριζαν κάποιον αλγόριθμο δημιουργίας Πυθαγόρειων τριάδων. Το 2500 π.Χ. οι Σουμέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ» και μετρούσαν τα υγρά σε «κα». Παράδειγμα αρίθμησης Βαβυλωνίων σε βάση το 60 Χρησιμοποιούσαν μόνο δύο σύμβολα: την "σφήνα" και το "καρφί" , Αν ήθελαν για παράδειγμα να συμβολίσουν τον αριθμό 5 έγραφαν ισάριθμες σφήνες, ενώ ο αριθμός 19 γραφόταν σαν ένα καρφί και δεξιά του 9 σφήνες. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (π =3 αντί π =3,14 που γνωρίζουμε σήμερα). Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων που είχε ως βάση το 60 , ήταν μη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα. Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Έτσι π.Χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

6 Αίγυπτος Ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν τις περίφημες πινακίδες από άργιλο για τις καταγραφές τους, πινακίδες που δύσκολα φθείρονται, οι Αιγύπτιοι επέλεξαν ένα πολύ πιο εύθραυστο υλικό, τον πάπυρο. Το ξηρό κλίμα της ερήμου ήταν αυτό που διαφύλαξε τα γραπτά τους, στη διάρκεια των αιώνων, από την ολοκληρωτική αποσύνθεσή τους. Η βασική πηγή πληροφοριών γύρω από τα μαθηματικά της αρχαίας Αιγύπτου είναι ο πάπυρος Rhind (Ράϊντ), που ανακαλύφθηκε το 1858 από τον Σκωτσέζο αιγυπτιολόγο Alexander Rhind και περιέχει 87 προβλήματα στοιχειώδους αριθμητικής. Γράφτηκε το 1650 π.Χ. και αποτελεί το αρχαιότερο βιβλίο μαθηματικών που σώθηκε. Ο συγγραφέας του λεγόταν Άχμες και δεν ήταν δικό του έργο, αλλά αποτελεί αντιγραφή από ένα παλαιότερο έγγραφο του 1800 π.Χ. Τα 87 προβλήματα που παπύρου Rhind πραγματεύονται τους αριθμούς και τις πράξεις τους, τον υπολογισμό των κλασμάτων, τις πρωτοβάθμιες εξισώσεις, τις προόδους και τις επιμεριστικές ιδιότητες. Θίγονται προβλήματα όπως ο υπολογισμός του όγκου κυλινδρικής σιταποθήκης ή του εμβαδού ενός αγροτεμαχίου. Λεπτομέρεια Ο πάπυρος Rhind

7 Πέντε από αυτά τα προβλήματα εστιάζουν ειδικά στις πυραμίδες, αλλά δεν έχουν καμία αναφορά στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Γνώριζαν όμως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι να επαληθεύουν την καθετότητα των κατασκευών τους χρησιμοποιώντας ένα σκοινί με 3, 4 και 5 κόμπους (μια Πυθαγόρεια τριάδα) τοποθετημένους σε συμμετρικά διαστήματα. Μαζί με τον Rhind, το σημαντικότερο μαθηματικό εύρημα της αρχαίας Αιγύπτου είναι ο περίφημος πάπυρος της Μόσχας που χρονολογείται από το 1890 π.Χ. και φυλάσσεται σήμερα στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας. Σ’ αυτόν παρατίθενται 25 προβλήματα μαθηματικών. Ξεχωρίζει το πρόβλημα 14 στο οποίο διατυπώνεται για πρώτη φορά ο όγκος μιας κόλουρης πυραμίδας. Κόλουρη πυραμίδα Ο πάπυρος της Μόσχας

8 Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ψηφιακό, δεκαδικό, θεσιακό, με υποδιαστολή και μηδέν. Ψηφιακό, γιατί οι μονάδες του παριστάνονται με διαφορετικά σύμβολα και όχι επανάληψη του ίδιου συμβόλου, π.χ. το τρία έχει το δικό του σύμβολο (3), ενώ σε ένα μη ψηφιακό σύστημα θα συμβολιζόταν επαναλαμβάνοντας τρεις φορές το σύμβολο 1. Στο βαβυλωνιακό, το αιγυπτιακό, το ρωμαϊκό και πολλά άλλα αριθμητικά συστήματα της αρχαιότητας το τρία παριστάνεται ως ΙΙΙ. Δεκαδικό, επειδή κάθε φορά που συμπληρώνονται δέκα μονάδες δημιουργείται μια μονάδα ανωτέρας τάξης. Οι αριθμοί από το 0 μέχρι το 9 είναι μονοψήφιοι. Ο αριθμός 10 γράφεται ως ένα και μηδέν δηλαδή μια μονάδα ανωτέρας τάξης (δεκάδα) και καμιά απλή μονάδα. Θεσιακό, γιατί η αξία του κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι στο 4737 από δεξιά προς τα αριστερά η αξία αυξάνεται. Έτσι αυτό που μας επιτρέπει να διαφοροποιήσουμε το 31,2 από το 3,12 είναι η υποδιαστολή.

9 Ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης Ελληνική επιστημονική σκέψη
Κατά τον 6ο αι. π.Χ. η Μεσοποταμία και η Αίγυπτος έπαψαν να είναι το επίκεντρο της πολιτιστικής ανάπτυξης, το οποίο μεταφέρθηκε στον ελληνικό κόσμο. Η ελληνική σκέψη θα δέσποζε στην Ευρώπη για 16 αιώνες. Οι Έλληνες της Ιωνίας τον 6ο αι. π.Χ. εγκαινίασαν μια διαδικασία πολιτισμικής ανάπτυξης που θα διαχώριζε τη λογική από τη μυθολογική σκέψη. Ο Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Οι γραμμές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που μπορείς να δεις στην άμμο, αλλά ήταν αντικείμενα σκέψης στη φαντασία μας. Πήρε φυσικά σχήματα και τα έκανε νοητικά σχήματα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του. Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Η εμβάθυνση στον κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσμος που ζει ένας μαθηματικός, οδηγεί στον κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσμος, όχι μόνο είναι «αντικειμενικός» , αλλά είναι ο μόνος που δυνάμεθα να κατανοήσουμε εις βάθος. Δεν είναι τυχαίο ότι σήμερα οι περισσότεροι ώριμοι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές. Ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης

10 Οι Έλληνες δανείστηκαν πολλές αρχές από τη γεωμετρία των Αιγυπτίων
Οι Έλληνες δανείστηκαν πολλές αρχές από τη γεωμετρία των Αιγυπτίων. Επιπλέον, στα εμπορικά τους ταξίδια οι Έλληνες έμποροι μάθαιναν πρακτικά μαθηματικά από τη Μεσοποταμία και την Ινδία. Αλλά στην Ελλάδα όλος αυτός ο πλούτος γνώσεων που συγκεντρώθηκε κορυφώθηκε σε κάτι διαφορετικό: στην Ελλάδα πέρασε από την πρακτική στη θεωρία και δημιουργήθηκαν οι έννοιες της απόδειξης, του αξιώματος και του θεωρήματος. Ακόμη και η ονομασία «Μαθηματικά» είναι ελληνικής καταγωγής, μάθημα είναι αυτό που «διδάσκεται». Οι Πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που ονομάστηκαν μαθηματικοί και ο διδάσκαλος τους, ο Πυθαγόρας, ο πρώτος που ονόμασε εαυτόν «φιλόσοφο», δηλαδή εραστή της σοφίας. Η «Οδός Μαθηματικής» είναι το πρώτο ελληνικό μαθηματικό εγχειρίδιο της νεότερης ιστορίας μας, γραμμένο από τον Μεθόδιο Ανθρακίτη και τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, για χρήση μαθητών στα ελληνικά σχολεία την εποχή της Τουρκοκρατίας. Ας μη ξεχνάμε όμως και τις γυναίκες μαθηματικούς, όπως την Υπατία ( μ.Χ.) και την Αουγκούστα Άντα Κινγκ, κόρη του Λόρδου Βύρωνα, η οποία θεωρείται σήμερα η πρώτη προγραμματίστρια υπολογιστών στον κόσμο και άλλες πολλές. Ζώα που ξέρουν να μετρούν είναι: τα δελφίνια, οι φάλαινες, οι φώκιες, οι σκίουροι, οι αρουραίοι, τα έντομα και οι παπαγάλοι.

11 Πυθαγόρειοι Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε περί το 570 π.Χ. στη Σάμο. Παρόλο που δεν είμαστε σίγουροι, ο νεαρός Πυθαγόρας γνώρισε τον Θαλή λόγω της γειτνίασης Σάμου – Μιλήτου και ίσως μάλιστα να ενθάρρυνε το πάθος του για τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία. Λέγεται ότι ταξίδεψε στα μεγαλύτερα κέντρα πολιτισμού του αρχαίου κόσμου, μεταξύ των οποίων η Αίγυπτος και η Περσία, όπου γνώρισε τη λογοτεχνία, τη θρησκεία, τη φιλοσοφία και τα μαθηματικά τους. Φαίνεται μάλιστα πως εγκαταστάθηκε για είκοσι χρόνια στη Βαβυλωνία, όπου σπούδασε και δίδαξε αστρονομία και μαθηματικά. Επέστρεψε στη Σάμο και στη συνέχεια εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας όπου και ίδρυσε φιλοσοφική σχολή, επηρεάζοντας όλες τις επόμενες γενεές στοχαστών και μελετητών.

12 Υπό την καθοδήγηση του δασκάλου τους οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τη μελέτη όλων των επιστημών της εποχής, κυρίως όμως με τη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και την αστρονομία. Ο περίφημος, όμως όρκος σιωπής των μελών της σχολής αναφορικά με τις ανακαλύψεις τους είχε ατυχείς ιστορικές συνέπειες: δεν επέτρεψε να φτάσουν στο ευρύ κοινό οι μεγάλες ανακαλύψεις τους. Στην έλλειψη αυθεντικών πηγών ας προσθέσουμε και το ότι οι Πυθαγόρειοι ακολουθούσαν την ανατολική παράδοση της προφορικής μετάδοσης των γνώσεων. Το γραπτό υλικό είναι πενιχρό. Οι αιγυπτιακοί πάπυροι έφτασαν στην Ελλάδα γύρω στο 650 π.Χ. και στην εποχή του Πυθαγόρα κυκλοφορούσαν ελάχιστοι. Ακόμη δεν ήταν γνωστή η περγαμηνή και οι πινακίδες από άργιλο δεν ήταν κατάλληλο υλικό για να γράφονται μεγάλες φιλοσοφικές πραγματείες. Έτσι, η γνώση περνούσε από γενεά σε γενεά με τον προφορικό λόγο.

13 Οι Πυθαγόρειοι τον 6ο αι. π. Χ
Οι Πυθαγόρειοι τον 6ο αι. π.Χ., πήραν ένα βασικό στοιχείο της φιλοσοφίας, τη λογική, και το εφάρμοσαν στα μαθηματικά. Για του Πυθαγόρειους τα μαθηματικά δεν αποτελούν απλή επιστημονική στάση, ήταν η εξήγηση του κόσμου και το εργαλείου κατανόησης του, ήταν ο δρόμος για να φτάσει κανείς στην τελειότητα. Η επίδραση της επιστήμης και της φιλοσοφίας τους, εμπότισε το δυτικό πολιτισμό για τα επόμενα δύο χιλιάδες χρόνια. Το πιο γνωστό θεώρημα των Πυθαγορείων είναι το περίφημο «Πυθαγόρειο θεώρημα». Το πυθαγόρειο θεώρημα όμως δεν είναι μόνο η σχέση ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου: η απλή διατύπωση του είναι και μια πύλη μέσα από την οποία βγαίνουμε στο στην ιστορία, στις ιδιότητες και τα μυστήρια του. Όχι άδικα, το ήταν ο πρώτος άρρητος αριθμός της ιστορίας. Το πρώτο μήκος που δεν ήταν κλάσμα. Η ανακάλυψη του άλλαξε για πάντα το πρώιμο πανόραμα των Μαθηματικών. Το φάσμα εφαρμογών αυτού του αυθεντικού «θεωρήματος της ζωής μας» είναι ευρύτατο: βάσει αυτού μπορούν να τετραγωνιστούν πολύγωνα, να αθροιστούν παρόμοια σχήματα ή να επιλυθεί το πρόβλημα των Μηνίσκων του Ιπποκράτη (Χίος). Επιπλέον, επιτρέπει την επιστημονική προσέγγιση της προοπτικής στη ζωγραφική και την εύρεση της καλύτερης θέσης από την οποία θα κοιτάξουμε έναν πίνακα. Και σαν να μην έφτανε αυτό, το θεώρημα ρίχνει φως στις Πυθαγόρειες τριάδες και στο πρόβλημα του Fermat (Φερμά). (Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών )

14 Επίσης, οι Πυθαγόρειοι ήταν εκείνοι που πρώτοι ανακάλυψαν τη σχέση μεταξύ χορδών διαφορετικού μήκους και των μουσικών ήχων που παράγουν. Έτσι όταν έχουμε δύο χορδές ίδιου υλικού και πάχους που υπόκεινται στην ίδια τάση τεντώματος, αλλά η μία έχει διπλάσιο μήκος της άλλης, η κοντύτερη ταλαντώνεται με διπλάσια συχνότητα σε σχέση με την μακρύτερη. Χρησιμοποιώντας μουσικούς όρους οι νότες που παράγουν οι δύο χορδές χωρίζονται από μια οκτάβα (διάστημα ογδόης). Ο λόγος μεταξύ της μίας χορδής προς την άλλη είναι 2:1. Αντίστοιχα για λόγο χορδών 4:3 έχουμε το μουσικό διάστημα της πέμπτης και για λόγο χορδών 3:2 έχουμε το μουσικό διάστημα της τετάρτης. Αυτή η ανακάλυψη έχει τεράστια σημασία για την επιστήμη διότι ήταν η πρώτη φορά που ένα φυσικό φαινόμενο περιγράφεται με όρους ακριβούς ποσοτικής έκφρασης, δηλαδή μαθηματικής σχέσης. Η κλίμακα του Πυθαγόρα

15 Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π. Χ. - 265 π. Χ
Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.Χ. - 265 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Αν και υπάρχουν αμφιβολίες λέγεται ότι μαθήτευσε στην ακαδημία του Πλάτωνα και έμεινε εκεί μέχρις ότου ο Πτολεμαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη μαθηματική σχολή του και έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του.  Οι μέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εμπνευστεί από αυτές του Αρχιμήδη. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Στα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωμετρική γνώση. Περιλαμβάνει θεωρήματα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάς γεωμετρίας, μαζί με την θεωρία των αναλογιών, συμμετριών, αριθμών και έναν τύπο γεωμετρικής άλγεβρας.

16 Υπάρχουν επιρροές από τον Θαλή, τον Ιπποκράτη από την Χίο και τον Πυθαγόρα.
Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα «Στοιχεία» του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία». Τα «Στοιχεία» είναι το έργο που, μετά τη Βίβλο, έχει εκδοθεί και μεταφραστεί τις περισσότερες φορές. Το πρώτο τυπωμένο αντίγραφο βγήκε το 1482.  Ο αλγεβρικός συμβολισμός δεν έχει επινοηθεί και ο Ευκλείδης αναπαριστά τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήματα. Οι αλγεβρικές ταυτότητες όπως η (a+b)2=a2+2ab+b2  παρουσιάζονται με μορφή γεωμετρική. Οι πρωτοβάθμιες γραμμικές εξισώσεις λύνονται με γεωμετρικές κατασκευές. Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονταν σε γεωμετρικό ισοδύναμο και λυνόταν με την εφαρμογή των ήδη θεμελιωμένων θεωρημάτων εμβαδού.

17 { - . - = + και - . + = - } . Διόφαντος
Ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος έζησε τον 3ο αιώνα μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μεθοδολογία και η συλλογιστική του Διόφαντου στην αναζήτηση λύσης προβλημάτων σε μορφή εξισώσεων υπήρξε θεμελιώδης στην εξέλιξη του κλάδου των μαθηματικών και της Άλγεβρας, ώστε να θεωρείται «πατέρας» της. Επίσης θεωρείται πρόδρομος του μαθηματικού συμβολισμού, εισάγοντας πρώτος σύμβολα στις άγνωστες μεταβλητές των προβλημάτων. Το σύγγραμμά του «Αριθμητικά», είναι το αρχαιότερο ελληνικό σύγγραμμα άλγεβρας και είναι μια εργασία πάνω στη θεωρία των αριθμών. Από αυτό το έργο, μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία έχουν διασωθεί. Τα «Αριθμητικά» αποτελούν μια συλλογή από 130 προβλήματα στα οποία δίνονται αριθμητικές λύσεις τόσο σε αριθμητικές παραστάσεις όσο και σε αόριστες εξισώσεις ή συστήματα Ο Διόφαντος ασχολήθηκε και ανέπτυξε ιδιαίτερα τις απροσδιόριστες (ή Διοφαντικές) εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις με πολλαπλές λύσεις. Στην εισαγωγή του Α’ Βιβλίου γράφει: «λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξιν και λείψις επί ύπαρξιν ποιεί λείψιν», δηλαδή με μαθηματικά σύμβολα: { = + και = - } . Τα Αριθμητικά έκδοση 1621

18 Αντιστοιχεί στην εξίσωση:
Όταν πέθανε ο μαθηματικός Διόφαντος, οι μαθητές του, κατόπιν δικής του επιθυμίας, αντί άλλου επιγράμματος για τον τάφο του, συνέθεσαν ένα γρίφο, ως εξής: "ΔΙΑΒΑΤΗ, Σ' ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ. ΣΕ ΕΣΕΝΑ ΠΟΥ ΕΙΣΑΙ ΣΟΦΟΣ, Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ΔΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙ ΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒΔΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙΔΙ. ΤΙ ΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕ ΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕ ΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. " Αντιστοιχεί στην εξίσωση: Το επίγραμμα είναι από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς γρίφους και από τη λύση του μαθαίνουμε ότι ο Διόφαντος πέθανε σε ηλικία ογδόντα τεσσάρων ετών.

19 Την εποχή του Μεσαίωνα της Ευρώπης οι Άραβες μελέτησαν και εμπλούτισαν την άλγεβρα του Διόφαντου.
Έπειτα η άλγεβρα και η ανάλυση διαδόθηκαν στην Ιταλία μέσω κυρίως του Leonardo της Πίζας (Fibonazzi), ο οποίος μετέφερε πολλές γνώσεις από τα ταξίδια του στην Ανατολή. Αργότερα, κατά τον 16ο αι., το έργο του Διόφαντου έγινε γνωστό και άρχισαν να δημοσιεύονται μεταφράσεις των «Αριθμητικών». Από τους νεότερους μαθηματικούς ο Euler (Όιλερ) μελέτησε Διόφαντο και έδωσε παρόμοιες λύσεις με αυτόν στις εξισώσεις του.

20 Το μαθηματικό πλαίσιο Ο Διόφαντος ως μαθηματικός που λύνει προβλήματα μέσω άλγεβρας 1: Η κατασκευή προβλημάτων Το σύνολο των όρων που υπεισέρχονται στην εκφώνηση των προβλημάτων: Μονάδα Αριθμός Πλευρά Τετράγωνος <αριθμός> Κύβος Χρησιμοποιούνται επίσης συνδυασμοί όρων, όπως: Τετράγωνος επί Τετράγωνο Τετράγωνος επί Κύβο (από της ίδιας πλευράς) Κύβος επί κύβο (Κείμενο από τα «Αριθμητικά»)

21 2: Η επίλυση προβλημάτων
Το σύνολο των όρων με τους οποίους γίνεται η επίλυση των προβλημάτων: Μονάδα Αριθμός Δύναμις Κύβος Δυναμοδύναμις Δυναμόκυβος Κυβόκυβος (Κείμενο από τα «Αριθμητικά»)

22 Οι συμβολισμοί του Διόφαντου Οι σημερινοί συμβολισμοί
Η μεθοδολογία Εκφώνηση προβλήματος Επίλυση προβλήματος Χρησιμοποιούνται όροι από το σύνολο Α: Χρησιμοποιούνται όροι από το σύνολο Β: Μονάδα Μο (x0 = 1 ) Αριθμός ς (x1 = x ) Δύναμις ΔΥ (x2) Κύβος ΚΥ (x3) Δυναμοδύναμις ΔΥΔ (x4) Δυναμόκυβος ΔΥΚ (x5) Κυβόκυβος ΚΥΚ (x6) Μονάδα Αριθμός Πλευρά Τετράγωνος Κύβος Οι συμβολισμοί του Διόφαντου Οι σημερινοί συμβολισμοί

23 Έτσι η επίλυση ενός προβλήματος σημαίνει μετάβαση από τους όρους του συνόλου Α (όροι της εκφώνησης) στους όρους του συνόλου Β (όροι της Αριθμητικής Θεωρίας - ΑΘ). Τα στάδια λοιπόν είναι: Η μεταφορά του προβλήματος εντός της Αριθμητικής Θεωρίας (ΑΘ) οδηγεί στον σχηματισμό μιας εξίσωσης. 2. Στη συνέχεια η εξίσωση απλοποιείται για να καταλήξει στη μορφή «ένας όρος της ΑΘ» = «ένας όρος της ΑΘ» (π.χ. 8 ΔΥ = 5ς, με σύγχρονους όρους, 8x2 = 5x) ή στη μορφή «δύο όροι της ΑΘ» = «ένας όρος της ΑΘ» (π.χ. 8 ΔΥ + 7 Μο = 5ς, με σύγχρονους όρους, 8x2 + 7 = 5x) Η απλοποίηση γίνεται με την εφαρμογή δύο πράξεων που είναι γνωστές με τα αραβικά τους ονόματα: al-jabr (αλ-τζαμπρ, αποκατάσταση) και al-muqabala (αλ-μουκαμπάλα, αντιστάθμιση). 4. Το τελευταίο στάδιο είναι η επίλυση της εξίσωσης.

24 Μεταφορά του -22x στο δεξί μέλος της εξίσωσης
Παράδειγμα: x2 – 22x = 54 x2 = x (al-jabr - αποκατάσταση ) 56 + 2x2 = 22x (al-muqabala - αντιστάθμιση) Μεταφορά του -22x στο δεξί μέλος της εξίσωσης Μεταφέρεται το 54 στο πρώτο μέλος και αφαιρείται από το 110. Δηλαδή =56

25 Σύνοψη της διοφαντικής επίλυσης ενός προβλήματος
Πρόβλημα Μεταφορά του προβλήματος εντός της ΑΘ και μετατροπή σε εξίσωση. Απλοποίηση της εξίσωσης. Λύση της εξίσωσης. Απάντηση στο πρόβλημα Πρόβλημα Εξίσωση Απάντηση Για πρώτη φορά στην ιστορία συναντάμε το παραπάνω μοντέλο επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων Το ενδιάμεσο στάδιο Β δεν υπάρχει στις βαβυλωνιακές και αιγυπτιακές επιλύσεις προβλημάτων, ούτε στις επιλύσεις στο πλαίσιο της προ-διοφαντικής ελληνικής λογιστικής. Αυτό το στάδιο καθιστά την επίλυση του Διοφάντου ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ.

26 Αλ Χουαρίζμι Καταγόταν από τη χώρα των Χορασμίων
(νοτίως της λίμνης Αράλης στην Κεντρική Ασία), το σημερινό Ουζμπεκιστάν. Γεννήθηκε περίπου το 780 μ.Χ Πέθανε περίπου το 850 μ.Χ. Όταν ο χαλίφης Αλ Μαμούν ίδρυσε στη Βαγδάτη το λεγόμενο "Σπίτι της Σοφίας" που είχε βιβλιοθήκη και αστεροσκοπείο ανάλογο με το αρχαίο Μουσείο στην Αλεξάνδρεια, κάλεσε τους αρίστους για να διδάξουν και ανάμεσα στους καθηγητές ήταν και ο μαθηματικός και αστρονόμος, ο Μωχάμμετ Ιμπν Μούσα Αλ Χουαρίζμι, του οποίου το όνομα έμελλε να γίνει τόσο γνωστό, αργότερα, στη Δυτική Ευρώπη, όσο αυτό του Ευκλείδη.

27 Ο Αλ-Χουαρίζμι συνέγραψε την «Άλγεβρα» του για να δώσει τις απαραίτητες γνώσεις για υπολογισμούς σχετικούς με καθαρώς πρακτικά θέματα της ζωής, όπως είναι τα κληρονομικά και τα εμπορικά, οι καταμετρήσεις γαιών και το σκάψιμο ορυγμάτων και γενικώς γεωμετρικοί υπολογισμοί σχετικοί με αυτά. Για αυτό μόνον στο πρώτο μέρος της Άλγεβρας του πραγματεύεται πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πάντοτε εκφράζοντάς τες ρητορικά και όχι με σύμβολα όπως ο Διόφαντος. Για τον άγνωστο χρησιμοποιεί τη λέξη (πράγμα), για τη δεύτερη δύναμή του τη λέξη (πλούτος), για την πρώτη δύναμη σε σχέση προς τη δεύτερη χρησιμοποιεί τη λέξη (ρίζα) και για τη μονάδα τη λέξη η οποία αντιστοιχεί σε μια νομισματική μονάδα.

28 Η μορφές των πρωτοβαθμίων και των δευτεροβαθμίων εξισώσεων, τις οποίες πραγματεύεται, σε σύγχρονο συμβολισμό έχουν ως εξής: αχ2=βχ, αχ2=β, αχ=β, αχ2+βχ=γ, αχ2+γ=βχ, αχ2=βχ+γ, όπου τα α, β, γ, είναι φυσικοί θετικοί αριθμοί, εφόσον αυτός δεν γνώριζε την ύπαρξη αρνητικών αριθμών και του μηδενός. Ο Αλ-Χουαρίζμι δίνει κανόνες επιλύσεως κάθε μίας από τις ανωτέρω περιπτώσεις και αναφέρει τις δύο μεθόδους αναγωγής των δεδομένων κάθε προβλήματος σε αυτές τις μορφές.

29 Οι μέθοδοι αναγωγής είναι:
η al-jabr (αλ-τζαμπρ), δηλαδή (αποκατάσταση) με την οποία απαλείφει τις αρνητικές ποσότητες, εδώ αναφέρετε στη μεταφορά των όρων στο άλλο μέλος της εξίσωσης. η al-muqabala, (αλ-μουκαμπαλα), δηλαδή (εξισορρόπηση), με την οποία κάνει αναγωγή των ομοίων όρων σε αμφότερα τα μέλη της εξισώσεως. Παράδειγμα (το αναφέραμε προηγουμένως): x2 – 22x = 54 x2 = x (al-jabr) 56 + 2x2 = 22x (al-muqabala) Η άλγεβρα του Αλ - Χουαρίζμι έγινε γνωστή στη Δύση από λατινικές μεταφράσεις, οι όποιες, αλλοιώνοντας λίγο τον όρο al-jabr (αλ-τζαμπρ), δημιούργησαν τη λέξη άλγεβρα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Μεταφορά του -22x στο δεξί μέλος της εξίσωσης Αφαίρεση του 54 από το 110. Δηλαδή =56

30 Διακρίνουμε την αραβική επιρροή στην Ισπανία, πολύ μετά την εποχή του Αλ Χουαρίζμι, στον Δον Κιχώτη, όπου η λέξη αλγεβρίστας χρησιμοποιείται για κάποιον που επιδιορθώνει. Σε ιδιαίτερο κεφάλαιο πραγματεύεται τη (μέθοδο των τριών) και κατόπιν αναπτύσσει την πρακτική των καταμετρήσεων, δίδοντας κανόνες υπολογισμού του εμβαδού επιπέδων σχημάτων και του όγκου στερεών σωμάτων. Ένα από τα βιβλία του διασώζεται σε ένα μοναδικό αντίγραφο του 12ου αιώνα, μιας λατινικής μετάφρασης με τον τίτλο De numero Indorum (Αναφορά στην Ινδική Τέχνη Υπολογισμών). Το βιβλίο αυτό αποτέλεσε ένα από τα μέσα με τα όποια η δυτική Ευρώπη γνώρισε το δεκαδικό σύστημα θέσης που χρησιμοποιούμε σήμερα.

31 Η Άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι δεν αναφέρεται μόνο στην επίλυση εξισώσεων, θέμα που καλύπτει το ήμισυ περίπου του έργου. Συναντάμε και κανόνες για υπολογισμούς διωνυμικών εκφράσεων, για παράδειγμα, συμπεριλαμβανομένων και γινομένων, όπως (10 + 2)(10-1) και (10 + χ)(10-χ). Γενικά στην Άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι, υπάρχουν τρεις βασικές σχολές σκέψης στην αραβική άλγεβρα η μία τονίζει τις ινδικές επιρροές, η άλλη τη μεσοποτάμια ή συριοπερσική παράδοση και η τρίτη την ελληνική. Σε ένα από τα κεφάλαια της Άλγεβρας Ο Αλ Χουαρίζμι χρησιμοποιεί γεωμετρικά σχήματα, κατ’ αντιστοιχία των εξισώσεων τις οποίες χρησιμοποιεί, τα οποία μας παραπέμπουν στο βιβλίο Β των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.

32 Το όλο έργο του Αλ - Χουαρίζμι έχει σημαντικά συμβάλει στην ιστορία των μαθηματικών, γιατί έχει αποτελέσει μια από τις κύριες πηγές, από τις όποιες η δυτική Ευρώπη γνώρισε τον ινδικό αριθμητικό συμβολισμό και την αραβική άλγεβρα που αποτελούν τη βάση της σύγχρονης Άλγεβρας. Πολλές φορές αποκαλούμε το Διόφαντο "πατέρα της άλγεβρας" αλλά και ο Αλ Χουαρίζμι είναι εξίσου κατάλληλος για να του αποδοθεί αυτός ο τίτλος.

33 Η Άλγεβρα την Αναγέννηση
Στην Ευρώπη, η  Άλγεβρα των Αράβων αναπτύχθηκε ιδιαίτερα κατά την  Αναγέννηση καθώς η ανάπτυξη του εμπορίου ήταν ταχύτατη και οι έμποροι είχαν ανάγκη από κάποια καινούρια βελτιωμένα μαθηματικά. Οι περισσότεροι μαθηματικοί στηρίζονταν αρχικά μόνο στα κείμενα των  Αράβων αλλά αργότερα και στην Ελληνική «γεωμετρική» Άλγεβρα Οι Ιταλοί τον 14ο και 15ο αιώνα Οι Ιταλοί εισήγαγαν τον ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ο οποίος δεν υπήρχε στην ισλαμική Άλγεβρα. Ωστόσο τα πράγματα άλλαζαν πολύ αργά και ο σύγχρονος αλγεβρικός συμβολισμός δεν καθιερώθηκα παρά μόνο κατά τον 17ο αιώνα . Οι  Ιταλοί ανέπτυξαν επίσης τη μελέτη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ενώ αναζητούσαν και τεχνικές για τη λύση τρίτου και τετάρτου βαθμού . Ο Maestro Dardida  Pisa εργάστηκε στις εξισώσεις τετάρτου βαθμού τις περισσότερες από τις οποίες τις ανήγαγε σε εξισώσεις δευτέρου βαθμού. O Piero della Francesca επιδόθηκε στη λύση εξισώσεων πέμπτου και έκτου βαθμού.

34 16ος αιώνας. Άγγλοι, Γάλλοι και κυρίως Γερμανοί
16ος αιώνας. Άγγλοι, Γάλλοι και κυρίως Γερμανοί  Ο  Christoff Rudolff στη Γερμανία αναφέρει ότι ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων αντιστοιχεί στην πρόσθεση των εκθετών.  Ο Rudolff ήταν και ο πρώτος που θα εισάγει το  σύμβολο √ για την τετραγωνική ρίζα  επειδή μοιάζει με το πεζό r,  αρχικό της λατινικής λέξης radix (ριζικό).  Στην Αγγλία παρουσιάζεται η εργασία του Robert Recorde ο οποίος έχει επηρεαστεί από τους Γερμανούς. Στο σημαντικότερο έργο του  κάνει για πρώτη φορά την εμφάνισή του το σύμβολο «ίσον» (=) για την ισότητα δύο αλγεβρικών ποσοτήτων Η λύση της τριτοβάθμιας, υπόθεση των Ιταλών Ο Ιταλός  Scipione del Ferro είχε ανακαλύψει μια μέθοδο για τη λύση της x3 + cx = d την οποία όμως δεν ανακοίνωσε αλλά λίγο πριν πεθάνει την εμπιστεύτηκε στον μαθητή του Antonio Maria Fiore. Λίγο αργότερα  ο  Niccolo Tartaglia βρήκε τη λύση της εξίσωσης  x3 + bx2 = d αλλά στη λογική της εποχής του δεν  την αποκάλυπτε. Το 1545 ο Cardano παρουσίασε το έργο του ArsMagna στο οποίο δημοσίευσε όλες τις λύσεις της Τριτοβάθμιας εξίσωσης και έτσι η φόρμουλα της τριτοβάθμιας εξίσωσης ονομάστηκε «φόρμουλα του Cardano» 

35 Αλγόριθμοι Ας γυρίσουμε λιγάκι πίσω, στα θρανία της αίθουσας του Εσπερινού που κάνουμε μάθημα. Οι μαθηματικοί μας (έχει μαλλιάσει η γλώσσα τους), για να λύσουμε την εξίσωση x+5=12 μας διδάσκουν ότι πρέπει να μεταφέρουμε το 5 στο άλλο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο, καταλήγοντας έτσι στην, x =12 - 5,  και τελικά x = 7 Ο "μηχανισμός" είναι τόσο "αυτόματος" μέσα μας, που τον εφαρμόζουμε παντού! Κάνοντας συχνά και χοντροειδή λάθη! Τέτοιου είδους μηχανισμούς έχει πολλούς η Άλγεβρα. Οι μηχανισμοί αυτοί καλούνται "αλγόριθμοι" από το όνομα του Άραβα Μαθηματικού Αλ-Χουαρίσμι. Το 1857 βρέθηκε μια λατινική μετάφραση που άρχιζε με το «Έχει πει ο Αλγορίθμι . . .». το όνομα δηλαδή του αλ –Χoυαρίσμι έγινε Αλγορίθμι και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ. Μάλιστα, το παραπάνω "κόλπο" όπου αλλάζουμε μέλος και πρόσημο σε έναν αριθμό, είναι δικό του, όπως είδαμε παραπάνω (al-jabr (αλ-τζαμπρ) και al-muqabala, (αλ-μουκαμπαλα)).

36 Το στοίχημα σήμερα είναι να βρούμε αλγόριθμους εκεί που δεν υπάρχουν
Το στοίχημα σήμερα είναι να βρούμε αλγόριθμους εκεί που δεν υπάρχουν. Για παράδειγμα, ξέρουμε πως δεν υπάρχει αλγόριθμος που να επιλύει μια πολυωνυμική εξίσωση 5ου βαθμού. Όμως, κάποιοι μαθηματικοί, όπως ο Newton, βρήκαν αλγόριθμο που να προσεγγίζει την λύση της πολυωνυμικής. Γιατί όμως αυτό είναι τόσο σημαντικό; Γιατί εκεί στηρίζεται η "τεχνητή νοημοσύνη". Στους αλγόριθμους. Όταν το κομπιουτεράκι υπολογίζει την τετραγωνική ρίζα του 2, το κάνει γιατί υπάρχει κάποιος αλγόριθμος από πίσω. Επίσης, όταν το ρομποτάκι Lego Mindstorms επιλύει τον κύβο του Rubic, το κατορθώνει γιατί υπάρχει κάποιος αλγόριθμος από πίσω. Video Ορισµοί Ως αλγόριθμο ορίζουµε το σύνολο των βηµάτων τα οποία καθορίζουν τον τρόπο εκτέλεσης µιας εργασίας. (εναλλακτικά: αλγόριθμο ονομάζουμε μια διαδοχή από προκαθορισμένα βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος.) Πρόγραµµα είναι η αναπαράσταση του αλγορίθµου σε µορφή συµβατή προς µία µηχανή (υπολογιστή). Η διαδικασία της ανάπτυξης ενός προγράµµατος ονοµάζεται προγραµµατισµός. Λογισµικό (software) είναι τα προγράµµατα και οι αλγόριθµοι ενώ υλικό (hardware) ο υλικός εξοπλισµός της μηχανής (υπολογιστή).

37 Η Ιστορία των αλγορίθµων
Ο πρώτος Αλγόριθµος • Ο πρώτος αλγόριθµος αποδίδεται στον Ευκλείδη και αφορά την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη μεταξύ δύο αροθμών. • Υπάρχει και το κινέζικο θεώρηµα υπολοίπου από τον Κινέζο µαθηµατικό Sun-Chu: Ποιοι είναι οι ακέραιοι αριθµοί x που δίνουν υπόλοιπο – 2 , 3, 2 όταν διαιρεθούν µε – 3, 5, 7 αντίστοιχα. Η Ιστορία των αλγορίθµων Η ιστορία των αλγορίθμων εκτείνεται πολύ πίσω στο παρελθόν. Τι άλλο παρά αναζήτηση αλγορίθμων δεν ήταν οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων με ριζικά, και τόσα άλλα; Η µελέτη των αλγορίθµων ξεκίνησε ως µαθηµατικό θέµα. Οι αλγόριθµοι µελετούνταν πολύ πριν την εµφάνιση των σύγχρονων υπολογιστών. Στόχος ήταν η εύρεση ενός µοναδικού συνόλου οδηγιών για την επίλυση όλων των προβληµάτων ενός συγκεκριµένου είδους.

38 «Ο Ευκλείδιος αλγόριθµος για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη δύο θετικών ακεραίων»
Περιγραφή: Αυτός ο αλγόριθµος υποθέτει ότι η είσοδος του είναι δύο θετικοί αριθµοί (Χ και Ψ), και σκοπός του είναι να υπολογίσει το µέγιστο κοινό διαιρέτη αυτών των δύο τιµών. ∆ιαδικασία: Βήµα 1. Αντιστοίχισε στα Χ και Ψ την τιµή της µεγαλύτερης και της µικρότερης εισόδου, αντίστοιχα. Βήµα 2. ∆ιαίρεσε το Χ µε το Ψ, και ονόµασε το υπόλοιπο Ζ. Βήµα 3. Αν το Ζ είναι διάφορο του 0, αντιστοίχισε στο Χ την τιµή του Ψ, αντιστοίχισε στο Ψ την τιµή του Ζ, και επέστρεψε στο βήµα 2, διαφορετικάֹ ο µέγιστος κοινός διαιρέτης είναι η τιµή που έχει αντιστοιχιστεί στο Ψ τη δεδοµένη στιγµή.

39 Ο παραπάνω αλγόριθμος του Ευκλείδη υλοποιημένος στη γλώσσα προγραμματισμού που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Δ Εσπερινού της Τεχνολογικής κατεύθυνσης του σχολείου μας.

40 Πρώτη αναπαράσταση αλγορίθµου σε χαρτί:
ήταν οπές σε χάρτινες κάρτες. – Ο Joseph Jacquard (1801) όρισε µοτίβα σε έναν αργαλειό για την παραγωγή υφαντών. – Οδηγίες για την Αναλυτική Μηχανή του Babbage. – ∆ηµοφιλής τεχνική το ’70. Η επιστήµη των αλγορίθµων προετοίµασε το έδαφος για την εµφάνιση της επιστήµης των υπολογιστών. Αντλεί στοιχεία από άλλες επιστήµες – Μαθηµατικά – Μηχανική – Ψυχολογία – Βιολογία – ∆ιοίκηση Επιχειρήσεων – Γλωσσολογία.

41 Κεντρικά ερωτήµατα της Επιστήµης των Υπολογιστών
Ποια προβλήµατα µπορούν να επιλυθούν µε αλγοριθµικές διαδικασίες; Πώς µπορεί να γίνει ευκολότερη η επινόηση αλγορίθµων; Με ποιον τρόπο µπορούν να βελτιωθούν οι τεχνικές αναπαράστασης και µετάδοσης των αλγορίθµων; Με ποιόν τρόπο µπορεί να εφαρµοστεί η γνώση µας και η τεχνολογία για τους αλγορίθµους ώστε να δηµιουργηθούν καλύτερες µηχανές; Πώς µπορούν να αναλυθούν και να συγκριθούν τα χαρακτηριστικά διαφορετικών αλγορίθµων;

42 ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ «Ο όρος τεχνητή νοημοσύνη (ΤΝ, εκ του Artificial Intelligence) αναφέρεται στον κλάδο της επιστήμης υπολογιστών ο οποίος ασχολείται με τη σχεδίαση και την υλοποίηση υπολογιστικών συστημάτων που μιμούνται στοιχεία της ανθρώπινης συμπεριφοράς τα οποία υπονοούν έστω και στοιχειώδη ευφυΐα: μάθηση , προσαρμοστικότητα, εξαγωγή συμπερασμάτων, κατανόηση από συμφραζόμενα, επίλυση προβλημάτων κλπ». (Russell, S. and Norvig, P. ,2003) Βάση για την απρόσκοπτη ανάπτυξη της τεχνητής νοημοσύνης αποτελεί η «θεωρία της λογικής». Στην παγκόσμια βιβλιογραφία ο Αριστοτέλης (4ος αι. π.Χ .) θεωρείται ως ο κύριος θεμελιωτής της Λογικής ως επιστήμης. Κύριο στοιχείο της ανάλυσης του Αριστοτέλη είναι ο "Συλλογισμός". Η επιτυχία όμως του Αριστοτέλη να ανακαλύψει κανόνες «συλλογισμού», δηλαδή μιας μορφής «σκέψης», ισοδυναμεί με τον προγραμματισμό ενός αλγόριθμου σε υπολογιστή για την προσομοίωση του συλλογισμού .

43 Η ιστορία της τεχνητής νοημοσύνης
1950: O μεγαλοφυής μαθηματικός Άλαν Τιούρινγκ επινόησε το λεγόμενο Τεστ Τιούρινγκ, το οποίο παρείχε τα απαραίτητα κριτήρια για να εξετάσουμε αν μια μηχανή μπορεί να είναι εξίσου ευφυής μ' έναν άνθρωπο. 1956: Πραγματοποιήθηκε ένα συνέδριο στις ΗΠΑ που αποτέλεσε σταθμό και η χρονολογία αυτή θεωρείται ως η ημερομηνία γέννησης της επιστήμης. Μάλιστα τότε επινοήθηκε και ο όρος «τεχνητή νοημοσύνη» από τον πρωτοπόρο επιστήμονα της πληροφορικής Τζον ΜακΚάρθυ 1956: Αναπτύχτηκε η γλώσσα προγραμματισμού LISP, η οποία έπαιξε πολύ σημαντικό ρόλο στη δημιουργία εφαρμογών τεχνητής νοημοσύνης τις επόμενες δεκαετίες. 1972: Έκανε την εμφάνισή της η γλώσσα Prolog η οποία έδωσε νέα ώθηση στη τεχνητή νοημοσύνη. Μέσα 70: Στα μέσα του '70 έκαναν την εμφάνισή τους τα έμπειρα συστήματα, μηχανές ΤΝ δηλαδή με αποθηκευμένη γνώση, οι οποίες συμπεριφέρονται όπως ένας άνθρωπος ειδικός στον αντίστοιχο τομέα.

44 Πότε ένα πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι «ευφυές»?
Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα έδωσε ο Βρετανός μαθηματικός Alan Turing. Εφεύρε μια δοκιμασία (τεστ) – σήμερα ονομάζεται δοκιμασία Turing- με την οποία εξετάζει αν το άτομο μπορεί να διακρίνει την απόδοση του Η/Υ από αυτή ενός ανθρώπου. ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ TURING Πιο συγκεκριμένα, το άτομο πραγματοποιεί δυο διαφορετικές «συνομιλίες» με ένα διαδραστικό πρόγραμμα Η/Υ. Σκοπός του είναι να καταλάβει σε ποια από τις δυο συνομιλίες επικοινωνούσε πράγματι με το πρόγραμμα του υπολογιστή και σε ποια επικοινωνούσε με έναν άνθρωπο που μιλούσε μέσω του υπολογιστή. Το άτομο - εξεταστής έχει τη δυνατότητα να υποβάλει στους δύο συνομιλητές όσες ερωτήσεις θέλει. Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής θεωρείται ότι περνά επιτυχώς τη δοκιμασία Turing, αν ο εξεταστής δεν μπορέσει να ξεχωρίσει τις ανθρώπινες απαντήσεις από αυτές του υπολογιστή.

45 ΤΙ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΣΤΟ ΜΕΛΛΟΝ ?
Mετά από μισό αιώνα ερευνών οι εφαρμογές και τα οφέλη που προέκυψαν από την ΤΝ ήταν εκπληκτικά.  Σήμερα πια οι μηχανές είναι σε θέση να προκαλέσουν και να ξεπεράσουν τους ανθρώπους σχεδόν σε κάθε εργασία, ακόμα και αν αυτή απαιτεί ειδικές δεξιότητες. Όμως το όραμα για τη δημιουργία μιας μηχανής με ανθρώπινη σκέψη πραγματοποιήθηκε? Οι επιστήμονες θεώρησαν εσφαλμένα ότι η λειτουργία της ανθρώπινης σκέψης ήταν ως επί το πλείστον γνωστή. Έτσι υπέθεσαν πως δε χρειάζονταν παρά μόνο μερικοί ειδικοί αλγόριθμοι για να αντιστοιχίσουμε την ανθρώπινη νοημοσύνη σ' έναν υπολογιστή. Η αλγοριθμική αντιστοίχηση του ανθρώπινου εγκεφάλου όμως στον υπολογιστή αποδείχθηκε αδύνατη.

46 Άρωμα ?? Παράδειγμα: Ένας πανίσχυρος υπολογιστής αναπαράγει με εξαιρετική ακρίβεια ένα πολύχρωμο λουλούδι. Δεν μπορεί να αντιληφθεί όμως την έννοια της λέξης "άρωμα", γιατί η αλγοριθμοποίηση τέτοιων αφηρημένων εννοιών απαιτεί χιλιάδες βήματα, τα οποία, μέχρι σήμερα τουλάχιστον, δεν είναι εφικτά. Επομένως η διαίσθηση, η έμπνευση, η συνείδηση και η δημιουργικότητα συμπληρώνουν το παζλ της ανθρώπινης νόησης, αποτελώντας μάλιστα τη γενεσιουργό αιτία των μεγαλύτερων ανακαλύψεων.   Π.χ. Ο Νόμος της Βαρύτητας, ο οποίος προέκυψε όταν ένα μήλο έπεσε στο κεφάλι του Νεύτωνα.

47 Συνέντευξη με τους Καθηγητές Μαθηματικών του Εσπερινού ΓΕΛ Ηρακλείου
Ερωτήσεις Γιατί τα μαθηματικά δεν είναι από τα αρεστά μαθήματα σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου; Γιατί τα φοβούνται; Μάλιστα, έχει επικρατήσει και ο όρος «Μαθηματικό άγχος» Τα μαθηματικά μας λένε ότι έχουν άμεση σχέση με την καθημερινότητα, την εξηγούν, αλλά αυτό δεν το βλέπουμε στα σχολικά βιβλία. Είναι σωστό να προσπαθούμε να απομνημονεύσουμε κανόνες, τύπους και διαδικασίες χωρίς να καταλαβαίνουμε την ουσία όσων κάνουν; Πως θεωρείτε εσείς ότι έπρεπε να γίνεται το μάθημα των μαθηματικών ώστε οι μαθητές να μην οδηγούνται στην αποστήθιση και επίσης να αντιλαμβάνονται τις πρακτικές εφαρμογές των θεωριών; Στα μαθηματικά υπάρχουν άλυτα προβλήματα; ή πιστεύετε ότι και αυτά που σήμερα θεωρούνται άλυτα στο μέλλον θα λυθούν; Ποιος θεωρείτε ότι υπήρξε ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών; Αυτός, δηλαδή, που έδωσε τη μεγαλύτερη ώθηση στην επιστήμη των μαθηματικών ανεξαρτήτως εποχής. Ποιοι παράγοντες θεωρείτε ότι συνετέλεσαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αρχαία Ελλάδα; Πιστεύετε ότι ήταν εφικτό οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι να οικοδομήσουν τεράστιες πυραμίδες χωρίς να γνωρίζουν το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο διατυπώθηκε από τον Πυθαγόρα αρκετά αργότερα;

48 Ερωτήσεις Τι είναι Αλγόριθμος;
Συνέντευξη με τους μαθητές Της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Δ Εσπερινού ΓΕΛ Ηρακλείου Ερωτήσεις Τι είναι Αλγόριθμος; Οι αλγόριθμοι σχετίζονται μόνο με τα Μαθηματικά και τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές; Τι είναι Αλγόριθμος στην καθημερινή ζωή; Δώστε μας δύο παραδείγματα Αλγορίθμων από την καθημερινή ζωή Είναι κάθε Αλγόριθμος μοναδικός για τη λύση ενός προβλήματος; Πότε ακούστηκε πρώτη φορά ο όρος Αλγόριθμος; Την έννοια του Αλγόριθμου τη γνωρίζατε πριν από την τελευταία τάξη του Λυκείου, φέτος δηλαδή; Αυτό που κάνουμε τώρα (συνέντευξη: ερωτήσεις - απαντήσεις) αποτελεί Αλγόριθμο; Η άσκηση σεισμού που έγινε στο σχολείο μας αποτελεί Αλγόριθμο; (περιγράψτε εν συντομία) Θεωρείτε ότι η ανάπτυξη Αλγορίθμων για Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές απαιτεί ειδικές – εξειδικευμένες γνώσεις; Θεωρείτε ότι η ανάπτυξη Αλγορίθμων για Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές απαιτεί γνώσεις από άλλες επιστήμες - άλλα μαθήματα; Αντιμετωπίσατε κάποια προβλήματα κατανόησης των Αλγορίθμων στην αρχή του μαθήματος; Μπορείτε να μας περιγράψετε με λόγια πως θα αναπτύξουμε έναν Αλγόριθμο για Ηλεκτρονικό Υπολογιστή, ο οποίος θα λύνει την εξίσωση: α · x + β = 0, για κάθε πραγματικούς αριθμούς, α, β. Πιστεύετε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε Αλγόριθμους που να μπορούν να δημιουργούν με τη σειρά τους νέους Αλγόριθμους;

49 Σας ευχαριστούμε Καλό καλοκαίρι Αρβανίτης Εμμανουήλ Ατσαλή Δέσποινα
Η ομάδα εργασίας Αρβανίτης Εμμανουήλ Ατσαλή Δέσποινα Ζερβός Παντελής Ματαλλιωτάκης ΝΑΣΚΑ Αλκέτα Πετρομιχελάκη Μαρία Σαάπογλου Γεώργιος Σμυρνιωτάκης Κωσταντίνος Τρούλου Γεωργία Χρονάκης Σας ευχαριστούμε Καλό καλοκαίρι Α τάξη Εσπερινού ΓΕΛ Ηρακλείου